Image par un Système de Deux Lentilles

Exercice : Système de Deux Lentilles

Image par un Système de Deux Lentilles

Contexte : Optique Géométrique et Instruments.

De nombreux instruments d'optique (microscope, lunette astronomique, téléobjectif) sont constitués de l'association de plusieurs lentilles. Dans cet exercice, nous étudions un Système CentréEnsemble de composants optiques (lentilles, miroirs) ayant le même axe de symétrie (axe optique). formé de deux lentilles minces convergentes.

Remarque Pédagogique : La méthode consiste à étudier la lumière étape par étape : l'image formée par la première lentille devient l'objet (réel ou virtuel) pour la seconde lentille.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la relation de conjugaison de Descartes successivement.
Calculer la position d'une image intermédiaire.
Déterminer le grandissement total d'un doublet.
Distinguer objet réel et objet virtuel pour la seconde lentille.

Données de l'étude

On considère un système optique dans l'air, constitué de deux lentilles minces convergentes \(L_1\) et \(L_2\) de même axe optique \(\Delta\).

Fiche Technique / Données

Composant	Symbole	Valeur
Distance focale image \(L_1\)	\(f'_1 = \overline{O_1F'_1}\)	\(+20\ \text{cm}\)
Distance focale image \(L_2\)	\(f'_2 = \overline{O_2F'_2}\)	\(+15\ \text{cm}\)
Distance entre centres optiques	\(e = \overline{O_1O_2}\)	\(+80\ \text{cm}\)

Schéma du Système (Doublet)

Objet	Position	Valeur Algébrique
Objet réel \(AB\)	Devant \(L_1\)	\(\overline{O_1A} = -30\ \text{cm}\)

Questions à traiter

Déterminer la position \(\overline{O_1A_1}\) de l'image intermédiaire \(A_1B_1\) formée par \(L_1\).
En déduire la position \(\overline{O_2A_1}\) de cet objet intermédiaire par rapport à \(L_2\).
Calculer la position finale \(\overline{O_2A'}\) de l'image \(A'B'\) formée par le système.
Calculer le grandissement total \(\gamma\) du système.
Qualifier l'image finale (réelle/virtuelle, droite/renversée).

Les bases théoriques

Pour résoudre ce problème, nous utilisons l'approximation de Gauss et les relations algébriques. Attention aux signes : le sens de la lumière définit le sens positif (de gauche à droite).

Relation de Conjugaison (Descartes)
Elle lie la position de l'objet \(A\) et de l'image \(A'\) à la distance focale \(f'\).

\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C

Où :

\(\overline{OA}\) : position algébrique de l'objet (négative si réel).
\(\overline{OA'}\) : position algébrique de l'image.
\(C\) : Vergence en dioptries (\(\delta\)) si les longueurs sont en mètres.

Grandissement Transversal \(\gamma\)
Rapport de la taille de l'image sur la taille de l'objet.

\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}

Interprétation :

Si \(\gamma < 0\) : l'image est renversée.
Si \(|\gamma| > 1\) : l'image est agrandie.

Association de Lentilles
Le grandissement total est le produit des grandissements intermédiaires.

\gamma_{\text{tot}} = \gamma_1 \times \gamma_2

Correction : Image par un Système de Deux Lentilles

Question 1 : Image Intermédiaire \(A_1\)

Principe

On applique la relation de conjugaison à la lentille \(L_1\) seule. L'objet \(AB\) est réel, situé à 30 cm devant le centre optique \(O_1\).

Mini-Cours

Une lentille convergente forme d'un objet réel placé au-delà du foyer objet une image réelle renversée. C'est le cas le plus standard en optique (ex: appareil photo, œil).

Remarque Pédagogique

Pour simplifier le calcul, isolons d'abord le terme recherché \(\overline{O_1A_1}\) littéralement avant de remplacer par les valeurs. Cela évite de manipuler des inverses numériques trop tôt.

Normes

On utilise la convention de signe cartésienne : l'axe optique est orienté dans le sens de la lumière (de la gauche vers la droite). Les distances mesurées vers la droite sont positives, vers la gauche sont négatives.

Formule(s)

On part de la relation de conjugaison classique :

Relation de Descartes pour \(L_1\)

\frac{1}{\overline{O_1A_1}} = \frac{1}{f'_1} + \frac{1}{\overline{O_1A}} = \frac{\overline{O_1A} + f'_1}{\overline{O_1A} \times f'_1}

En inversant l'expression, on obtient la forme isolée :

\rightarrow \overline{O_1A_1} = \frac{\overline{O_1A} \times f'_1}{\overline{O_1A} + f'_1}

Hypothèses

Nous supposons que les conditions de Gauss sont respectées : les rayons lumineux sont proches de l'axe optique et peu inclinés par rapport à celui-ci (rayons paraxiaux).

Donnée(s)

Données extraites de l'énoncé :

Paramètre	Valeur
\(\overline{O_1A}\)	\(-30\ \text{cm}\)
\(f'_1\)	\(+20\ \text{cm}\)

Astuces

Pour vérifier votre résultat sans calculatrice : l'objet est à 1.5 fois la focale (30 = 1.5 * 20). Dans cette configuration, l'image se forme toujours à 3 fois la focale (3 * 20 = 60). C'est une propriété classique.

Schéma (Avant les calculs)

Positionnement L1

Calcul(s)

On remplace les variables par leurs valeurs numériques avec leurs unités :

Application numérique détaillée

\begin{aligned} \overline{O_1A_1} &= \frac{(-30\ \text{cm}) \times (+20\ \text{cm})}{(-30\ \text{cm}) + (+20\ \text{cm})} \\ &= \frac{-600}{-10} \ \text{cm} \\ &= +60\ \text{cm} \end{aligned}

Le résultat est positif, ce qui signifie que l'image se forme à droite de la lentille \(L_1\), à 60 cm de son centre.

Détail avec les fractions (méthode alternative) :
\(\frac{1}{\overline{O_1A_1}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-30} = \frac{3}{60} - \frac{2}{60} = \frac{1}{60}\). On inverse le résultat : \(60/1 = 60\).

Schéma (Après les calculs)

Formation Image A1 (Tracé des rayons)

Réflexions

L'image intermédiaire \(A_1\) se forme 60 cm après \(L_1\). Comme la valeur est positive, c'est une image réelle, située dans l'espace image de \(L_1\).

Points de vigilance

Attention aux parenthèses sur la calculatrice si vous tapez le calcul en une fois : (-30 * 20) / (-30 + 20). Une erreur de signe ici propage l'erreur sur tout le reste.

Points à Retenir

Une lentille convergente forme une image réelle d'un objet réel s'il est situé avant le foyer objet. C'est la base de la projection.

Le saviez-vous ?

Cette configuration (objet placé entre F et 2F) est typique des projecteurs de diapositives, où l'on cherche à obtenir une image réelle agrandie sur un écran.

FAQ

L'image intermédiaire peut-elle être virtuelle ?

Oui, si l'objet initial est placé entre le foyer objet et la lentille (loupe), l'image est virtuelle. Dans notre cas, l'objet est assez loin pour donner une image réelle.

Position \(A_1\) : +60 cm

A vous de jouer
Si l'objet est à l'infini, où se forme l'image ?

📝 Mémo
Calculer d'abord \(1/\overline{OA'}\) avant d'inverser pour trouver \(\overline{OA'}\).

Question 2 : Transfert vers \(L_2\)

Principe

L'image \(A_1\) formée par \(L_1\) devient l'objet pour \(L_2\). Il faut exprimer sa position par rapport au nouveau centre optique \(O_2\). C'est ce qu'on appelle le changement d'origine.

Mini-Cours

La relation de Chasles s'applique sur l'axe optique pour changer d'origine : \(\overline{O_2M} = \overline{O_2O_1} + \overline{O_1M}\). C'est une addition vectorielle unidimensionnelle.

Remarque Pédagogique

On sait que \(L_2\) est située après \(L_1\). La distance entre les centres est \(e = \overline{O_1O_2}\). Donc, pour passer de \(O_1\) à \(O_2\), on "recule" de \(e\), soit \(\overline{O_2O_1} = -e\).

Normes

L'axe est orienté de gauche à droite, donc \(\overline{O_1O_2} = +e\). Toutes les distances doivent être exprimées en centimètres pour être cohérentes.

Formule(s)

On exprime la position du point \(A_1\) par rapport à \(O_2\) :

Relation de Chasles

\overline{O_2A_1} = \overline{O_1A_1} - \overline{O_1O_2} = \overline{O_1A_1} - e

Hypothèses

Les lentilles sont parfaitement alignées sur le même axe optique (système centré coaxial).

Donnée(s)

Données issues de la question précédente et de l'énoncé :

Paramètre	Valeur
\(\overline{O_1A_1}\) (calculé)	\(+60\ \text{cm}\)
\(e = \overline{O_1O_2}\)	\(+80\ \text{cm}\)

Astuces

Faites un dessin à l'échelle approximative au brouillon. Si \(A_1\) est à 60cm de \(L_1\) et que \(L_2\) est à 80cm de \(L_1\), alors \(A_1\) est forcément entre les deux. La distance doit être négative par rapport à \(L_2\).

Schéma (Avant les calculs)

Position relative

Calcul(s)

On soustrait la distance \(e\) à la position de l'image intermédiaire :

Soustraction simple

\begin{aligned} \overline{O_2A_1} &= (+60\ \text{cm}) - (+80\ \text{cm}) \\ &= 60 - 80 \\ &= -20\ \text{cm} \end{aligned}

Le signe négatif confirme que l'objet est situé à gauche de \(L_2\).

Schéma (Après les calculs)

Positionnement final de A1 pour L2

Réflexions

Puisque \(\overline{O_2A_1} < 0\), l'objet intermédiaire \(A_1\) est situé devant \(L_2\). C'est donc un objet réel pour la seconde lentille.

Points de vigilance

Une erreur très fréquente est d'utiliser \(\overline{O_1A_1}\) directement dans la formule de conjugaison de \(L_2\). Il faut toujours changer l'origine !

Points à Retenir

L'image de la première lentille sert d'objet pour la seconde. Si elle se forme avant la seconde lentille, c'est un objet réel. Si elle se formait après, ce serait un objet virtuel.

Le saviez-vous ?

C'est ce principe de "relais" qui est utilisé dans les périscopes de sous-marins pour transporter l'image sur une longue distance sans perdre trop de lumière ni grossir démesurément le diamètre des tubes.

FAQ

Et si A1 tombait après L2 ?

A1 serait un objet virtuel pour L2 (valeur algébrique positive). La formule de conjugaison s'appliquerait de la même manière.

Position relative \(\overline{O_2A_1}\) : -20 cm

A vous de jouer
Si la distance \(e\) était de 50 cm, que vaudrait \(\overline{O_2A_1}\) ?

📝 Mémo
Toujours faire un petit croquis pour vérifier le signe du résultat lors d'un transfert.

Question 3 : Image Finale \(A'\)

Principe

On applique à nouveau la relation de conjugaison, cette fois pour la lentille \(L_2\), avec l'objet \(A_1\) que nous venons de localiser. C'est la dernière étape pour trouver l'image finale.

Mini-Cours

Application standard de la formule de conjugaison sur la seconde lentille. Le processus est itératif : image 1 -> objet 2 -> image 2.

Remarque Pédagogique

C'est exactement la même méthode que pour la question 1, mais avec des valeurs différentes. Nous réutilisons la forme "Produit sur Somme" pour être efficace.

Normes

Convention cartésienne toujours active. L'origine des mesures est maintenant le centre optique \(O_2\).

Formule(s)

On utilise la relation de conjugaison adaptée à \(L_2\), en isolant \(\overline{O_2A'}\) :

Relation de Descartes pour \(L_2\) (isolée)

\overline{O_2A'} = \frac{\overline{O_2A_1} \times f'_2}{\overline{O_2A_1} + f'_2}

Hypothèses

Conditions de Gauss. Pas de vignettage excessif (les lentilles sont assez grandes pour capter les rayons).

Donnée(s)

Données issues de la question 2 et de l'énoncé :

Paramètre	Valeur
\(\overline{O_2A_1}\)	\(-20\ \text{cm}\)
\(f'_2\)	\(+15\ \text{cm}\)

Astuces

Vérifiez les ordres de grandeur : l'objet est proche du foyer (20cm vs 15cm). Quand un objet est proche du foyer, l'image est rejetée très loin. On s'attend à une valeur grande.

Schéma (Avant les calculs)

Lentille L2 seule

Calcul(s)

On effectue le calcul avec les valeurs de \(L_2\) :

Application numérique détaillée

\begin{aligned} \overline{O_2A'} &= \frac{(-20\ \text{cm}) \times (+15\ \text{cm})}{(-20\ \text{cm}) + (+15\ \text{cm})} \\ &= \frac{-300}{-5} \ \text{cm} \\ &= +60\ \text{cm} \end{aligned}

Note : Les deux signes négatifs (numérateur et dénominateur) s'annulent, donnant un résultat positif.

Schéma (Après les calculs)

Formation Image A' (Tracé des rayons)

Réflexions

L'image finale est repoussée loin après la seconde lentille (60cm). C'est cohérent avec le fait que l'objet était proche du foyer.

Points de vigilance

Une erreur de signe à la question 2 fausse tout ici. Si vous aviez trouvé -40 par exemple, le résultat final serait totalement différent.

Points à Retenir

La position finale dépend de tout l'historique du trajet optique. Chaque étape est un maillon de la chaîne.

Le saviez-vous ?

Si l'objet A1 s'était trouvé exactement au foyer F2 (à 15cm), l'image finale aurait été rejetée à l'infini. C'est le réglage "à l'infini" utilisé pour le confort visuel dans les oculaires.

FAQ

L'image finale est-elle nette ?

Oui, dans le plan focal image calculé (à 60cm), l'image est nette. Ailleurs, elle sera floue.

Position finale \(\overline{O_2A'}\) : +60 cm

A vous de jouer
Si \(A_1\) était au foyer objet de \(L_2\) (donc à 15 cm), où serait \(A'\) ?

📝 Mémo
Toujours préciser l'origine du repère (ici \(O_2\)) dans le résultat final pour qu'il soit exploitable.

Question 4 : Grandissement Total

Principe

Le grandissement total d'un système optique est le produit des grandissements transversaux de chaque élément constitutif. C'est la capacité du système à agrandir ou réduire l'image.

Mini-Cours

\(\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}\). Si \(|\gamma| > 1\), l'image est plus grande que l'objet. Si \(\gamma < 0\), elle est renversée.

Remarque Pédagogique

On calcule d'abord \(\gamma_1\) pour la première lentille, puis \(\gamma_2\) pour la seconde, et enfin on fait le produit.

Normes

\(\gamma\) est une grandeur algébrique sans dimension (rapport de deux longueurs).

Formule(s)

La formule du grandissement total est :

\gamma_{\text{tot}} = \gamma_1 \times \gamma_2 = \frac{\overline{O_1A_1}}{\overline{O_1A}} \times \frac{\overline{O_2A'}}{\overline{O_2A_1}}

Hypothèses

Objets plans perpendiculaires à l'axe (approximation standard).

Donnée(s)

Récapitulatif des données calculées dans les questions 1 et 3 :

Lentille 1	Lentille 2
Pos. Objet : -30	Pos. Objet : -20
Pos. Image : +60	Pos. Image : +60

Astuces

Vérifiez les signes à chaque étape. Un signe moins oublié et votre image se retrouve à l'envers !

Schéma (Avant les calculs)

Concept d'Amplification en Cascade

Calcul(s)

Calcul détaillé des grandissements intermédiaires puis total :

Application numérique détaillée

\begin{aligned} \gamma_1 &= \frac{+60}{-30} = -2 \quad \text{(Image renversée, agrandie x2)} \\ \gamma_2 &= \frac{+60}{-20} = -3 \quad \text{(Image renversée, agrandie x3)} \\ \gamma_{\text{tot}} &= (-2) \times (-3) = +6 \end{aligned}

Le produit de deux nombres négatifs est positif. L'image finale est donc droite.

Schéma (Après les calculs)

Comparaison Tailles

Réflexions

Le système amplifie considérablement la taille de l'objet (facteur 6). C'est un système grossissant puissant.

Points de vigilance

Un grandissement positif ne veut pas dire que l'image est virtuelle ! Cela veut dire qu'elle est orientée dans le même sens que l'objet.

Points à Retenir

Le grandissement total peut être très grand si les lentilles travaillent de concert. C'est la multiplication qui donne cette puissance.

Le saviez-vous ?

C'est le principe du microscope : l'objectif fournit un premier grandissement, et l'oculaire reprend cette image pour la grossir encore.

FAQ

Peut-on additionner les grandissements ?

Non, jamais. C'est un effet multiplicatif successif.

Grandissement \(\gamma_{\text{tot}}\) : +6

A vous de jouer
Si \(\gamma_1 = -1\) et \(\gamma_2 = -1\), quel est le grandissement total ?

📝 Mémo
Les grandissements se multiplient : \(G_{\text{tot}} = \Pi G_i\).

Question 5 : Nature de l'image

Principe

On déduit la nature de l'image (réelle/virtuelle) et son sens (droite/renversée) à partir des signes des résultats calculés précédemment.

Mini-Cours

\(\overline{OA'} > 0\) : Image Réelle (après la lentille). \(\overline{OA'} < 0\) : Image Virtuelle (avant la lentille).
\(\gamma > 0\) : Droite. \(\gamma < 0\) : Renversée.

Remarque Pédagogique

C'est l'interprétation physique indispensable des résultats mathématiques. Un chiffre seul ne suffit pas en physique.

Hypothèses

Observation dans l'air, sortie du système optique.

Donnée(s)

Signes déduits des résultats des questions 3 et 4 :

Grandeur	Valeur	Signe
\(\overline{O_2A'}\)	+60 cm	Positif (+)
\(\gamma_{\text{tot}}\)	+6	Positif (+)

Astuces

Image réelle = projetable sur un écran (des photons arrivent vraiment là). Image virtuelle = visible à l'œil à travers l'instrument (le cerveau prolonge des rayons).

Calcul(s)

Analyse directe des résultats précédents :

\(\overline{O_2A'} > 0 \Rightarrow\) Image Réelle.
\(\gamma > 0 \Rightarrow\) Image Droite.

Schéma

Orientation

Réflexions

L'image a subi deux renversements successifs (un par lentille), elle se retrouve donc à l'endroit. C'est typique des systèmes redresseurs.

Points de vigilance

Ne confondez pas "droite" (orientation) et "réelle" (position). Une image peut être réelle et renversée, ou virtuelle et droite.

Points à Retenir

Un nombre pair d'inversions redonne une image droite. Une image réelle est située après le système optique.

Le saviez-vous ?

Les jumelles utilisent des prismes pour redresser l'image qui serait sinon renversée par l'objectif, afin de voir le paysage à l'endroit.

FAQ

Une image réelle est-elle toujours renversée ?

Pour une lentille simple convergente, oui. Pour un système complexe comme ici, pas forcément : nous avons une image réelle et droite !

Image Réelle et Droite

📝 Mémo
Deux moins font un plus (redressement de l'image).

Schéma Bilan du Trajet Lumineux

📝 Grand Mémo Optique

Synthèse de l'étude du doublet :

🔑
Règle d'Or : L'image de la première lentille sert d'objet pour la seconde. C'est la clé de voûte de tous les systèmes optiques.
📐
Chasles : Attention au changement d'origine lors du passage de \(O_1\) à \(O_2\). \(\overline{O_2A_1} = \overline{O_1A_1} - e\). Ne jamais oublier cette étape.
⚠️
Objet Virtuel : Si \(A_1\) tombe après \(L_2\), c'est un objet virtuel pour \(L_2\) (valeur algébrique positive). Cela arrive souvent dans les oculaires.

🎛️ Simulateur : Influence de la distance \(e\)

Modifiez la distance focale de \(L_1\) ou l'écartement des lentilles pour voir comment varie la position de l'image finale. L'objet est fixé à -30 cm.

Paramètres du Système

Focale \(f'_1\) (cm) : 20

Distance \(e\) (cm) : 80

Pos. Finale \(\overline{O_2A'}\) : -

Grandissement \(\gamma\) : -

📝 Quiz Optique

1. Si l'image intermédiaire se forme après la deuxième lentille, quel est le type d'objet pour la seconde lentille ?

Objet Virtuel
Objet Réel
Image Virtuelle

2. Un grandissement total négatif signifie que l'image finale est :

Droite (même sens que l'objet)
Renversée (sens inverse)

📚 Glossaire

Foyer Image: Point où convergent les rayons parallèles à l'axe optique après traversée de la lentille.
Dioptrie (\(\delta\)): Unité de vergence, inverse de la distance focale exprimée en mètres.
Image Virtuelle: Image qui ne peut être formée sur un écran, mais visible à travers l'instrument.
Doublet: Association de deux lentilles non accolées.
Stigmatisme: Propriété d'un système optique donnant une image nette point par point.

Le Saviez-vous ?

Chargement...

D’autres exercices d’optique et photonique: