Induction Électromagnétique : Loi de Faraday dans un Rail de Laplace
Comprendre l'Induction sur les Rails de Laplace
Le dispositif des rails de Laplace est une illustration fondamentale de l'induction électromagnétique et de la conversion d'énergie. Lorsqu'une barre conductrice se déplace sur deux rails parallèles dans un champ magnétique, la surface du circuit qu'elle forme varie. Selon la loi de Faraday, cette variation du flux magnétique induit une force électromotrice (f.e.m.) dans le circuit. Cette f.e.m. génère un courant induit qui, à son tour, subit une force de Laplace de la part du champ magnétique. Conformément à la loi de Lenz, cette force s'oppose à la cause qui l'a créée, c'est-à-dire au mouvement de la barre. Ce phénomène est au cœur de la conversion d'énergie mécanique en énergie électrique et thermique.
Données de l'étude
- Un opérateur externe tire la barre pour la maintenir à une vitesse constante \(v = 2 \, \text{m/s}\).
Schéma : Rails de Laplace
Questions à traiter
- Exprimer le flux magnétique \(\Phi(t)\) à travers la surface du circuit en fonction de \(x(t)\), la position de la barre.
- Calculer la force électromotrice (f.e.m.) induite \(e\) dans le circuit.
- Déterminer l'intensité et le sens du courant induit \(i\).
- Calculer la force de Laplace \(\vec{F}_L\) qui s'exerce sur la barre.
- Déterminer la force externe \(\vec{F}_{\text{ext}}\) que l'opérateur doit appliquer pour maintenir la vitesse constante.
- Calculer la puissance mécanique fournie par l'opérateur et la puissance dissipée par effet Joule, puis conclure.
Correction : Induction dans un Rail de Laplace
Question 1 : Flux Magnétique \(\Phi(t)\)
Principe :
Le flux magnétique \(\Phi\) à travers une surface \(S\) est le produit scalaire du champ magnétique \(\vec{B}\) par le vecteur surface \(\vec{S}\). Ici, \(\vec{B}\) et \(\vec{S}\) sont colinéaires. La surface du circuit est un rectangle de côtés \(L\) et \(x\), où \(x\) est la position de la barre.
Calcul :
La surface du circuit est \(S(t) = L \cdot x(t)\). Le flux est donc :
Question 2 : Force Électromotrice Induite (\(e\))
Principe :
La loi de Faraday de l'induction stipule que la f.e.m. induite est l'opposé de la dérivée du flux magnétique par rapport au temps.
Formule(s) :
Calcul :
Application numérique (on calcule la valeur absolue) :
Question 3 : Courant Induit (\(i\))
Principe :
Le courant qui circule dans le circuit fermé (barre + rails) est donné par la loi d'Ohm : \(i = e/R_{\text{total}}\). La loi de Lenz (traduite par le signe "moins" de la loi de Faraday) indique que le courant s'oppose à la variation de flux. Ici, le flux entrant augmente, donc le courant induit crée un champ magnétique sortant. Par la règle de la main droite, cela correspond à un sens de circulation anti-horaire.
Calcul :
Question 4 : Force de Laplace (\(\vec{F}_L\))
Principe :
La barre de longueur \(L\), parcourue par le courant \(i\), subit une force de Laplace \(\vec{F}_L = i (\vec{L} \times \vec{B})\), où \(\vec{L}\) est le vecteur longueur orienté dans le sens du courant.
Calcul :
Le courant va de bas en haut (sens anti-horaire). Donc \(\vec{L} = L \vec{u}_y\). Le champ est \(\vec{B} = -B \vec{u}_z\) (entrant).
Application numérique :
Question 5 : Force Externe (\(\vec{F}_{\text{ext}}\))
Principe :
Pour que la vitesse soit constante, l'accélération doit être nulle. D'après le principe fondamental de la dynamique, la somme des forces appliquées à la barre doit être nulle. \(\vec{F}_{\text{tot}} = \vec{F}_{\text{ext}} + \vec{F}_L = \vec{0}\).
Calcul :
Question 6 : Bilan de Puissance
Principe :
La puissance mécanique fournie par l'opérateur est \(P_{\text{méc}} = \vec{F}_{\text{ext}} \cdot \vec{v}\). La puissance électrique dissipée par effet Joule dans la résistance de la barre est \(P_{\text{Joule}} = R i^2\). On doit vérifier si ces deux puissances sont égales.
Calcul :
Puissance mécanique :
Puissance Joule :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances
1. Si la barre se déplaçait vers la gauche au lieu de la droite, le courant induit :
2. La force de Laplace est la manifestation macroscopique de :
3. Si on double l'intensité du champ magnétique \(B\), la puissance mécanique à fournir pour garder la même vitesse \(v\) sera :
Glossaire
- Induction électromagnétique
- Phénomène de production d'un courant électrique dans un circuit soumis à un flux magnétique variable.
- Loi de Faraday
- Loi qui quantifie l'induction : la force électromotrice (\(e\)) induite dans un circuit est égale à l'opposé de la dérivée du flux magnétique \(\Phi\) qui le traverse par rapport au temps (\(e = -d\Phi/dt\)).
- Loi de Lenz
- Principe qui donne le sens du courant induit. Le courant induit a un sens tel qu'il s'oppose, par ses effets, à la cause qui lui a donné naissance. C'est la manifestation du signe "moins" dans la loi de Faraday.
- Force de Laplace
- Force exercée par un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant. Elle est donnée par \(\vec{F} = \int I(d\vec{l} \times \vec{B})\).
- Flux magnétique (\(\Phi\))
- Mesure de la quantité de champ magnétique qui traverse une surface donnée. \(\Phi = \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{S}\).
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