Loi de Faraday dans un Rail de Laplace

Contexte : L'Induction ÉlectromagnétiquePhénomène physique qui se manifeste par la production d'une force électromotrice (une tension) dans un conducteur électrique soumis à un flux de champ magnétique variable..

L'expérience des rails de Laplace est un exemple classique et fondamental pour comprendre comment un mouvement mécanique au sein d'un champ magnétique peut générer de l'électricité. Une tige conductrice se déplaçant sur des rails forme un circuit dont la surface varie, entraînant une variation du flux magnétique. Cet exercice a pour but de quantifier ce phénomène en calculant la force électromotrice, le courant induit, et la force de Laplace qui en résulte.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de lier des concepts théoriques (Loi de Faraday, flux) à des grandeurs physiques concrètes (tension, courant, force) et de comprendre le principe de la conversion d'énergie mécanique en énergie électrique, ainsi que le phénomène de freinage électromagnétique.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le flux magnétiqueMesure de la quantité de champ magnétique qui traverse une surface donnée. Son unité est le Weber (Wb). à travers une spire.
Appliquer la loi de Faraday pour déterminer la force électromotriceNotée f.é.m. ou ε, elle représente la tension générée par induction. Son unité est le Volt (V). (f.é.m.) induite.
Utiliser la loi d'Ohm pour calculer l'intensité du courant induit.
Déterminer la force de LaplaceForce exercée par un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant. Son unité est le Newton (N). et comprendre son rôle modérateur (loi de Lenz).

Données de l'étude

Une tige conductrice (T), de longueur \(L\), se déplace sans frottement à une vitesse constante \(\vec{v}\) sur deux rails conducteurs parallèles et horizontaux. Le circuit est fermé par une résistance \(R\). L'ensemble est plongé dans un champ magnétique uniforme et vertical \(\vec{B}\), dirigé vers le bas.

Schéma du dispositif des Rails de Laplace

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Champ magnétique	\(B\)	0.5	Tesla (T)
Vitesse de la tige	\(v\)	4	m/s
Écartement des rails (longueur tige)	\(L\)	20	cm
Résistance du circuit	\(R\)	2	Ohm (\(\Omega\))

Questions à traiter

Exprimer le flux magnétique \(\Phi_B\) à travers la surface du circuit en fonction de \(x\), la position de la tige à l'instant \(t\). On prendra \(x=0\) à la position de la résistance.
En utilisant la loi de Faraday, calculer la force électromotrice (f.é.m.) induite \(\epsilon\) dans le circuit.
Déterminer l'intensité \(I\) et le sens du courant induit. Justifier le sens à l'aide de la loi de Lenz.
Calculer la norme de la force de Laplace \(\vec{F}_L\) qui s'exerce sur la tige. Quel est son effet sur le mouvement ?

Les bases sur l'Induction Électromagnétique

Pour résoudre cet exercice, plusieurs lois fondamentales de l'électromagnétisme sont nécessaires.

1. Le Flux Magnétique \(\Phi_B\)
Le flux magnétique représente la quantité de "lignes de champ" magnétique qui traversent une surface \(S\). Pour un champ \(\vec{B}\) uniforme et une surface plane \(S\) perpendiculaire au champ, il se calcule simplement par : \[ \Phi_B = B \cdot S \] Son unité est le Weber (Wb), où \(1 \text{ Wb} = 1 \text{ T} \cdot \text{m}^2\).

2. La Loi de Faraday
Elle stipule que si le flux magnétique à travers un circuit varie dans le temps, une force électromotrice (tension) \(\epsilon\) est induite. Elle est égale à l'opposé de la dérivée du flux par rapport au temps : \[ \epsilon = - \frac{d\Phi_B}{dt} \] Le signe "moins" est la manifestation de la loi de Lenz.

3. La Force de Laplace
Un conducteur de longueur \(L\), parcouru par un courant \(I\) et placé dans un champ magnétique \(\vec{B}\), subit une force, appelée force de Laplace. Pour un fil rectiligne perpendiculaire au champ, sa norme est : \[ F_L = I \cdot L \cdot B \]

Correction : Loi de Faraday dans un Rail de Laplace

Question 1 : Expression du flux magnétique \(\Phi_B\)

Principe

Le flux magnétique est une mesure du "nombre de lignes de champ" qui traversent une surface. Ici, la surface est le rectangle formé par les rails, la résistance et la tige mobile. Comme la tige bouge, cette surface change, et donc le flux magnétique qui la traverse change aussi.

Mini-Cours

Pour un champ magnétique \(\vec{B}\) uniforme et un vecteur surface \(\vec{S}\) (perpendiculaire à la surface et de norme égale à l'aire), le flux est le produit scalaire \(\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{S}\). Si \(\vec{B}\) est perpendiculaire à la surface, cela se simplifie en \(\Phi_B = B \cdot S\). C'est le cas le plus simple, que nous avons ici.

Remarque Pédagogique

La première étape dans tout problème d'induction est presque toujours de définir la surface du circuit et d'exprimer le flux magnétique qui la traverse. C'est la base sur laquelle tout le reste sera construit.

Normes

Ce calcul est une application directe des lois de l'électromagnétisme de Maxwell, qui sont les fondements théoriques de la discipline. Aucune norme d'ingénierie spécifique n'est requise à ce stade.

Formule(s)

\Phi_B = B \cdot S

Hypothèses

On suppose que le champ magnétique \(\vec{B}\) est parfaitement uniforme sur toute la surface du circuit et parfaitement perpendiculaire au plan des rails.

Donnée(s)

Les données pertinentes pour cette question sont les grandeurs qui définissent la géométrie et le champ :

Champ magnétique : \(B\)
Écartement des rails : \(L\)
Position de la tige : \(x(t)\)

Astuces

Pour éviter les erreurs, identifiez toujours clairement les frontières de la surface qui vous intéresse. Ici, c'est le rectangle de côtés \(L\) et \(x(t)\). Visualisez cette surface qui "grandit" à mesure que la tige se déplace.

Schéma (Avant les calculs)

Surface du circuit à l'instant t

Calcul(s)

L'aire \(S\) de la boucle rectangulaire est le produit de sa longueur par sa largeur.

S(t) = L \cdot x(t)

En injectant cette surface dans la formule du flux, on obtient :

\begin{aligned} \Phi_B(t) &= B \cdot S(t) \\ &= B \cdot L \cdot x(t) \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Graphique du Flux en fonction de la Position

Réflexions

Le résultat montre que le flux magnétique est directement proportionnel à la position \(x\) de la tige. Puisque la tige avance, \(x\) augmente, et donc le flux augmente linéairement avec le temps (car \(x=v \cdot t\) si on part de \(x=0\) à \(t=0\)).

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier une des dimensions dans le calcul de la surface. Le flux dépend bien de \(B\), \(L\) ET \(x\). Une erreur fréquente est de considérer le flux comme constant.

Points à retenir

Le flux magnétique à travers un circuit dépend de trois facteurs : l'intensité du champ \(B\), l'aire \(S\) du circuit, et l'orientation relative entre les deux. Dans le cas du rail de Laplace, c'est la variation de l'aire \(S\) qui est la clé.

Le saviez-vous ?

Le concept de "lignes de champ" a été popularisé par Michael Faraday lui-même. N'ayant pas une formation mathématique poussée, il utilisait ces lignes imaginaires pour visualiser les forces électriques et magnétiques dans l'espace, une intuition qui s'est avérée extraordinairement fructueuse.

FAQ

Résultat Final

L'expression du flux magnétique à travers le circuit est \(\Phi_B(x) = B \cdot L \cdot x\).

A vous de jouer

En utilisant les données de l'énoncé, quel serait le flux magnétique (en Weber) lorsque la tige a parcouru 10 cm depuis la résistance ?

Question 2 : Calcul de la force électromotrice induite \(\epsilon\)

Principe

La loi de Faraday stipule que toute variation de flux magnétique au cours du temps à travers un circuit engendre une tension à ses bornes. Cette tension est appelée "force électromotrice induite" (f.é.m.). Puisque le flux dépend de \(x(t)\), il varie, donc une f.é.m. apparaît.

Mini-Cours

La f.é.m. d'induction est définie par \(\epsilon = -d\Phi_B/dt\). Elle représente le travail par unité de charge fourni par le champ électromoteur (non-électrostatique) qui apparaît dans le circuit. C'est elle qui met les charges en mouvement et crée le courant.

Remarque Pédagogique

Le point crucial à comprendre est que ce n'est pas le flux lui-même qui crée la tension, mais sa variation. Un flux très intense mais constant n'induit aucun courant. C'est le changement qui est la source du phénomène.

Normes

La loi de Faraday-Lenz est l'une des quatre équations de Maxwell, qui constituent le socle de l'électromagnétisme classique. C'est une loi fondamentale de la physique.

Formule(s)

\epsilon = - \frac{d\Phi_B}{dt}

Hypothèses

On suppose que le champ \(B\) et la longueur \(L\) sont constants dans le temps. La vitesse de la tige, \(v = dx/dt\), est également considérée comme constante dans l'énoncé.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs numériques fournies :

\(B = 0.5 \text{ T}\)
\(L = 20 \text{ cm} = 0.20 \text{ m}\)
\(v = 4 \text{ m/s}\)

Astuces

Dans ce type de problème (induction par mouvement), la f.é.m. est souvent appelée "f.é.m. de Lorentz" et sa norme est presque toujours \(|\epsilon| = B \cdot L \cdot v_{\perp}\), où \(v_{\perp}\) est la composante de la vitesse perpendiculaire à la fois à la tige et au champ.

Schéma (Avant les calculs)

Variation de la surface induisant la f.é.m.

Calcul(s)

On part de l'expression du flux \(\Phi_B(t) = B \cdot L \cdot x(t)\) et on la dérive par rapport au temps.

\begin{aligned} \epsilon &= - \frac{d}{dt} (B \cdot L \cdot x(t)) \\ &= - B \cdot L \cdot \frac{dx(t)}{dt} \end{aligned}

On reconnaît la vitesse \(v = dx/dt\). La norme de la f.é.m. est donc :

|\epsilon| = B \cdot L \cdot v

Application numérique :

\begin{aligned} |\epsilon| &= (0.5 \text{ T}) \cdot (0.20 \text{ m}) \cdot (4 \text{ m/s}) \\ &= 0.4 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Modélisation de la tige comme un générateur

Réflexions

Le résultat de 0.4 V est une tension continue, car la vitesse \(v\) est constante. Si la tige accélérait, la f.é.m. augmenterait avec le temps. Cette tension est la source d'énergie qui va alimenter le circuit électrique.

Points de vigilance

L'erreur la plus classique est la conversion d'unités. La longueur \(L\) doit impérativement être en mètres pour que le calcul soit homogène et que le résultat soit en Volts. \(1 \text{ T} \cdot \text{m}^2/\text{s} = 1 \text{ V}\).

Points à retenir

La formule \(|\epsilon| = B \cdot L \cdot v\) est un résultat fondamental pour l'induction par mouvement dans un champ uniforme. Elle montre la conversion directe d'une vitesse (énergie mécanique) en une tension (potentiel d'énergie électrique).

Le saviez-vous ?

Les dynamos de vélo fonctionnent sur ce principe ! Un aimant tourne près d'une bobine de fil (ou vice-versa). Le mouvement relatif change le flux magnétique à travers la bobine, ce qui induit une tension et un courant pour allumer l'ampoule.

FAQ

Résultat Final

La force électromotrice induite dans le circuit a une valeur de 0.4 V.

A vous de jouer

Calculez la f.é.m. (en Volts) si la vitesse de la tige était de 6 m/s, en gardant les autres paramètres inchangés.

Question 3 : Intensité et sens du courant induit \(I\)

Principe

La f.é.m. agit comme une pile dans le circuit. Connectée à une résistance, elle fait circuler un courant électrique. L'intensité de ce courant est régie par la loi d'Ohm, et son sens est dicté par la loi de Lenz, qui est un principe de modération.

Mini-Cours

Loi d'Ohm : Pour un circuit simple avec une source de tension \(\epsilon\) et une résistance \(R\), le courant \(I\) est \(I = \epsilon / R\).
Loi de Lenz : Le phénomène d'induction s'oppose à la cause qui lui donne naissance. Si le flux augmente, le courant induit crée un champ magnétique qui s'oppose à cette augmentation. S'il diminue, il crée un champ qui tente de le maintenir.

Remarque Pédagogique

Pour la loi de Lenz, raisonnez toujours en 4 étapes : 1. Quelle est la cause (variation de flux) ? 2. Comment le flux varie-t-il (augmente/diminue) ? 3. Comment le circuit doit-il s'opposer (créer un champ induit dans quel sens) ? 4. Quel sens de courant produit ce champ induit (règle de la main droite) ?

Normes

La loi d'Ohm et la loi de Lenz sont des lois fondamentales de l'électricité et de l'électromagnétisme.

Formule(s)

I = \frac{|\epsilon|}{R}

Hypothèses

On suppose que la résistance \(R\) est la seule résistance du circuit. La résistance des rails et de la tige est considérée comme négligeable.

Donnée(s)

On utilise le résultat précédent et la valeur de la résistance :

\(|\epsilon| = 0.4 \text{ V}\)
\(R = 2 \text{ } \Omega\)

Astuces

Pour la règle de la main droite (sens du courant / sens du champ), enroulez les doigts de votre main droite dans le sens du courant. Votre pouce indiquera alors la direction du champ magnétique créé au centre de la boucle.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la Loi de Lenz

Calcul(s)

Calcul de l'intensité :

\begin{aligned} I &= \frac{0.4 \text{ V}}{2 \text{ } \Omega} \\ &= 0.2 \text{ A} \end{aligned}

Détermination du sens :

Comme détaillé dans la section "Remarque Pédagogique", l'augmentation du flux entrant est compensée par la création d'un champ magnétique induit sortant. D'après la règle de la main droite, un tel champ est produit par un courant circulant dans le sens anti-horaire.

Schéma (Après les calculs)

Sens du courant dans le circuit

Réflexions

Un courant de 0.2 A (ou 200 mA) est un courant significatif, facilement mesurable. Le sens anti-horaire signifie que dans la tige mobile, les électrons sont poussés vers le haut, ce qui correspond à un courant conventionnel de bas en haut.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune avec la loi de Lenz est de se tromper sur le sens de la variation du flux. Demandez-vous toujours : "Est-ce que le flux augmente ou diminue ?". La réponse détermine le sens du champ induit à créer.

Points à retenir

Le courant induit est la conséquence directe de la f.é.m. et de la présence d'un circuit fermé. Son sens n'est jamais arbitraire ; il est toujours tel qu'il s'oppose à la variation de flux, un principe fondamental de modération en physique.

Le saviez-vous ?

Les plaques à induction utilisent ce principe. Des bobines dans la plaque créent un champ magnétique variable. Ce champ induit des courants (appelés courants de Foucault) directement dans le fond métallique de la casserole. C'est la résistance du métal à ces courants qui génère de la chaleur par effet Joule et cuit les aliments.

FAQ

Résultat Final

L'intensité du courant induit est de 0.2 A. Il circule dans le sens anti-horaire.

A vous de jouer

Si la résistance totale du circuit était de 4 \(\Omega\) au lieu de 2 \(\Omega\), quelle serait la nouvelle intensité du courant (en Ampères) ?

Question 4 : Calcul de la force de Laplace \(\vec{F}_L\)

Principe

Un fil conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique subit une force. C'est la force de Laplace. La tige mobile, qui est à la fois dans le champ \(\vec{B}\) et parcourue par le courant \(I\), va donc subir cette force.

Mini-Cours

La force de Laplace est l'effet macroscopique de la force de Lorentz qui s'exerce sur chaque porteur de charge (électron) se déplaçant dans le fil. La formule vectorielle est \(\vec{F}_L = I \cdot \vec{L} \times \vec{B}\), où \(\vec{L}\) est un vecteur orienté dans le sens du courant et de norme égale à la longueur du fil.

Remarque Pédagogique

Cette force est la manifestation physique de la modération de Lenz. Le courant induit n'est pas "gratuit" ; sa création engendre une force qui s'oppose à la cause du mouvement. C'est la conservation de l'énergie en action : pour produire de l'énergie électrique, il faut fournir un travail mécanique contre cette force de freinage.

Normes

La loi de la force de Laplace est, avec la force de Lorentz, l'une des expressions fondamentales de l'action des champs magnétiques sur la matière.

Formule(s)

Dans notre cas, \(\vec{I}\), \(\vec{L}\) et \(\vec{B}\) sont mutuellement perpendiculaires, la norme de la force est donc maximale :

F_L = I \cdot L \cdot B

Hypothèses

On suppose que le courant \(I\) est réparti uniformément dans la tige et que le champ \(B\) est uniforme sur toute la longueur \(L\) de la tige.

Donnée(s)

On utilise les résultats et données précédents :

\(I = 0.2 \text{ A}\)
\(L = 0.20 \text{ m}\)
\(B = 0.5 \text{ T}\)

Astuces

Pour trouver le sens de la force, utilisez la "règle des trois doigts" de la main droite : le pouce pour la force (\(\vec{F}\)), l'index pour le champ (\(\vec{B}\)) et le majeur pour le courant (\(\vec{I}\)). Assurez-vous que les vecteurs sont bien orientés !

Schéma (Avant les calculs)

Configuration pour la Force de Laplace

Calcul(s)

Calcul de la norme :

\begin{aligned} F_L &= (0.2 \text{ A}) \cdot (0.20 \text{ m}) \cdot (0.5 \text{ T}) \\ &= 0.02 \text{ N} \end{aligned}

Direction et sens :

Avec la règle de la main droite : le courant \(\vec{I}\) est vers le haut, le champ \(\vec{B}\) est entrant (vers l'intérieur de l'écran). La force résultante \(\vec{F}_L\) est dirigée vers la gauche, s'opposant au vecteur vitesse \(\vec{v}\).

Schéma (Après les calculs)

Forces sur la tige mobile

Réflexions

Une force de 0.02 N est faible (équivalente au poids d'une masse de 2 grammes), mais elle est bien réelle. Pour maintenir la vitesse constante, un opérateur externe doit tirer la tige vers la droite avec une force de 0.02 N. La puissance fournie par cet opérateur (\(P_{\text{méca}} = F_{\text{ext}} \cdot v\)) est alors convertie en puissance électrique dissipée dans la résistance (\(P_{\text{élec}} = R \cdot I^2\)).

Points de vigilance

Ne pas confondre les différentes règles de la main droite. L'une lie le courant au champ qu'il crée, l'autre lie le courant et le champ extérieur à la force subie. Soyez méthodique et appliquez la bonne règle au bon moment.

Points à retenir

La force de Laplace est la conséquence inévitable du courant induit. Elle incarne le principe de modération de Lenz et assure la conservation de l'énergie : la production d'énergie électrique se fait au prix d'un travail mécanique.

Le saviez-vous ?

Le "Railgun" (canon à rail) est une arme électromagnétique qui utilise le principe inverse. Un très fort courant est envoyé dans les rails et un projectile conducteur. La force de Laplace qui en résulte est si intense qu'elle peut propulser le projectile à des vitesses hypersoniques, bien supérieures à celles des armes conventionnelles.

FAQ

Résultat Final

La force de Laplace a une norme de 0.02 N. Elle est dirigée vers la gauche et s'oppose au mouvement de la tige.

A vous de jouer

Si le champ magnétique était porté à 0.8 T (les autres valeurs étant celles de l'énoncé), quelle serait la nouvelle force de Laplace (en Newtons) ? (Attention, il faut recalculer I d'abord !)

Outil Interactif : Simulateur du Rail de Laplace

Utilisez les curseurs pour faire varier la vitesse de la tige et l'intensité du champ magnétique. Observez en temps réel l'impact sur la force électromotrice et le courant induits. Le graphique montre comment la f.é.m. évolue en fonction de la vitesse pour un champ B donné.

Paramètres d'Entrée

Vitesse de la tige (\(v\)) 4 m/s

Champ Magnétique (\(B\)) 0.5 T

Résultats Clés (pour L=0.2m, R=2Ω)

Force Électromotrice (\(\epsilon\)) - V

Courant Induit (\(I\)) - A

Glossaire

Flux Magnétique (\(\Phi_B\)): Grandeur qui quantifie le champ magnétique traversant une surface. Une variation de ce flux est à l'origine de l'induction électromagnétique. Son unité est le Weber (Wb).
Force Électromotrice (\(\epsilon\)): Tension électrique générée par un phénomène d'induction. Elle est la "force" qui pousse les électrons à se déplacer, créant ainsi un courant. Son unité est le Volt (V).
Force de Laplace (\(\vec{F}_L\)): Force exercée par un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant électrique. Elle est responsable des effets moteurs (moteurs électriques) ou de freinage (freinage par induction). Son unité est le Newton (N).
Loi de Faraday: Loi fondamentale qui relie la variation temporelle du flux magnétique à la force électromotrice induite dans un circuit (\(\epsilon = -d\Phi_B/dt\)).
Loi de Lenz: Principe de modération qui précise le sens du courant induit. Le courant induit a un sens tel que ses effets s'opposent à la cause qui lui a donné naissance.