Dans ce problème de physique appliquée, nous explorons les fondements de l'optique laser à travers l'étude d'une Cavité Fabry-PerotRésonateur optique constitué de deux miroirs se faisant face.. Le laser Hélium-Néon (He-Ne), source historique de lumière rouge cohérente (632.8 nm), sert ici de modèle parfait pour comprendre la notion de résonance optiquePhénomène d'amplification d'une onde lorsque sa fréquence coïncide avec les modes propres du système.. Contrairement à une ampoule classique qui émet un chaos de fréquences (lumière incohérente), une cavité laser agit comme un "filtre ultra-sélectif" qui ne permet l'existence que de fréquences très précises, appelées Modes LongitudinauxOndes stationnaires dont la longueur d'onde s'adapte à la longueur de la cavité..

L'enjeu crucial de cet exercice est de comprendre comment la simple géométrie de la cavité (sa longueur \(L\)) dicte la "pureté" du laser (monochromatisme) et la stabilité de son faisceau. Nous verrons pourquoi il est si difficile d'obtenir une seule fréquence pure et comment l'espacement des miroirs contrôle la compétition entre les différentes couleurs possibles. Ces concepts sont au cœur des technologies modernes, des télécommunications par fibre optique (lasers DFB) à la détection d'ondes gravitationnelles (LIGO/Virgo).

Analogie Acoustique : Pour visualiser ce phénomène abstrait, imaginez la cavité laser comme une corde de guitare. Une corde de longueur fixe ne peut pas vibrer à n'importe quelle fréquence : elle ne produit que sa fréquence fondamentale et ses harmoniques précises. De la même façon, la lumière, qui est une onde, ne peut "vibrer" entre les deux miroirs qu'à des fréquences spécifiques où elle entre en résonance. Cet exercice est l'équivalent optique du calcul des harmoniques d'une corde vibrante.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le mécanisme physique de sélection de fréquence par interférence constructive multiple.
Maîtriser le calcul de l'Intervalle Spectral Libre (ISL) et comprendre ses implications sur la densité spectrale.
Interpréter physiquement l'ordre d'interférence \(q\) et les ordres de grandeur en optique vs acoustique.
Appréhender la notion de Finesse (\(\mathcal{F}\)) comme facteur de qualité spectral du résonateur.
Analyser la compétition modale et estimer le nombre de modes oscillants (fonctionnement multimode vs monomode).

Données de l'étude

On considère une cavité optique linéaire (résonateur) constituée de deux miroirs plans hautement réfléchissants, séparés par une distance fixe \(L\). L'espace entre les miroirs est rempli par le milieu actif gazeux (mélange Hélium-Néon) dont l'indice de réfraction \(n\) est supposé très proche de 1 (l'influence du gaz sur la vitesse de la lumière est négligeable dans cette approximation).

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Valeur
Longueur de la cavité (\(L\))	30 cm
Indice de réfraction du milieu (\(n\))	1.0
Longueur d'onde centrale d'émission (\(\lambda_0\))	632.8 nm
Réflectivité des miroirs (\(R\))	99 % (0.99)
Largeur spectrale de gain (\(\Delta \nu_{gain}\))	1.5 GHz
Vitesse de la lumière (c)Vitesse de la lumière dans le vide, constante universelle.	\(3 \cdot 10^8\) m/s

Schéma du Système Laser He-Ne

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur Cavité	\(L\)	0.30	\(\text{m}\)
Indice Réfraction	\(n\)	1.0	-
Fréquence Lumière	\(\nu\)	~474	\(\text{THz}\)

Questions à traiter

Calculer l'Intervalle Spectral Libre (ISL) en fréquence (\(\Delta \nu\)).
Déterminer l'ordre d'interférence \(q\) du mode longitudinal correspondant à \(\lambda_0\).
Calculer la Finesse (\(\mathcal{F}\)) de la cavité. Que représente-t-elle physiquement ?
Estimer le nombre de modes longitudinaux pouvant osciller simultanément dans la plage de gain.

Les bases théoriques

Pour qu'une onde électromagnétique puisse osciller durablement dans la cavité et former un faisceau laser stable, elle ne peut pas avoir n'importe quelle fréquence. Elle doit satisfaire une condition de phase stricte. Après un aller-retour complet dans la cavité (réflexion sur M1 puis M2 et retour), l'onde doit se superposer exactement en phase avec elle-même pour qu'il y ait des interférences constructives. Si cette condition n'est pas remplie, les ondes successives se décalent, s'annulent (interférences destructives) et la lumière s'éteint très rapidement.

Condition de Résonance (Onde Stationnaire)
Cette condition de phase se traduit géométriquement : la longueur optique de l'aller-retour (\(2nL\)) doit être un multiple entier (\(q\)) de la longueur d'onde \(\lambda\). En d'autres termes, un nombre entier de demi-longueurs d'onde doit "tenir" exactement entre les miroirs, formant une onde stationnaire avec des nœuds aux extrémités.

Condition de Phase

\begin{aligned} 2nL &= q \cdot \lambda \\ \Rightarrow L &= q \cdot \frac{\lambda}{2} \end{aligned}

Où :

\(L\) est la longueur physique de la cavité.
\(n\) est l'indice de réfraction du milieu (ici \(n=1\)).
\(q\) est un entier positif très grand, appelé ordre du mode.
\(\lambda\) est la longueur d'onde dans le vide.

Fréquence des Modes Longitudinaux
Comme la fréquence est liée à la longueur d'onde par \(\nu = c/\lambda\), la condition de résonance impose que seules certaines fréquences discrètes \(\nu_q\) sont permises. L'ensemble de ces fréquences forme ce qu'on appelle le "peigne de fréquences" de la cavité.

Fréquences propres

\begin{aligned} \nu_q &= q \cdot \frac{c}{2nL} \end{aligned}

Où :

\(\nu_q\) est la fréquence du mode d'ordre \(q\).
\(c\) est la célérité de la lumière dans le vide.
\(2nL\) est le chemin optique d'un aller-retour.

Intervalle Spectral Libre (ISL)
L'ISL (ou FSR en anglais : Free Spectral Range) est l'écart constant en fréquence entre deux modes longitudinaux consécutifs (d'ordres \(q\) et \(q+1\)). C'est la "période" spectrale fondamentale de la cavité.

ISL

\begin{aligned} \Delta \nu &= \nu_{q+1} - \nu_q \\ &= (q+1)\frac{c}{2nL} - q\frac{c}{2nL} \\ &= \frac{c}{2nL} \end{aligned}

Cette valeur ne dépend que de la géométrie de la cavité (\(L\)) et de l'indice (\(n\)), pas de la couleur de la lumière ! C'est la signature acoustique de la cavité.

Correction : Modes Longitudinaux et Transversaux d’une Cavité Fabry-Perot

Question 1 : Calcul de l'Intervalle Spectral Libre (ISL)

Principe

L'Intervalle Spectral Libre (\(\Delta \nu\)) représente l'espacement fréquentiel entre deux résonances successives possibles de la cavité. Physiquement, c'est l'inverse du temps \(\tau\) mis par la lumière pour faire un aller-retour complet (\(\Delta \nu = 1/\tau\)). C'est une mesure de la "densité" des modes : plus la cavité est courte, plus ce temps est court, et plus les fréquences permises sont éloignées les unes des autres.

Mini-Cours

Analogie Acoustique : Pensez à une petite flûte piccolo par rapport à un grand orgue. Le piccolo (cavité courte) produit des sons très aigus (haute fréquence) et ses harmoniques sont très espacées. L'orgue (cavité longue) a des harmoniques très serrées. Une cavité optique courte se comporte comme le piccolo : elle "écarte" ses modes, ce qui facilite la sélection d'une seule fréquence (laser monomode).

Remarque Pédagogique

L'ISL est une constante fondamentale de la géométrie. Que vous injectiez du rouge, du vert ou de l'infrarouge, l'espacement fréquentiel entre les modes reste le même : \(c/2L\). C'est la "grille" sur laquelle la lumière peut se poser.

Normes

Dans l'industrie laser et les télécommunications, l'ISL est presque toujours spécifié en MHz ou GHz. Par exemple, les grilles de fréquences standard de l'ITU (Union Internationale des Télécommunications) pour la fibre optique sont espacées de 50 GHz ou 100 GHz, ce qui correspond à des conceptions de cavités ou de filtres très précises.

Formule(s)

Formules utilisées

Formule de l'ISL

\begin{aligned} \Delta \nu &= \frac{c}{2nL} \end{aligned}

Hypothèses

Pour appliquer cette formule simple, nous posons les hypothèses suivantes :

Le milieu (He-Ne) est non dispersif, c'est-à-dire que l'indice \(n\) est constant et indépendant de la fréquence dans la petite zone spectrale d'intérêt.
La cavité est stable et parfaitement alignée (pas de pertes géométriques majeures).
On néglige les effets de phase aux miroirs (déphasage de Gouy négligé pour les modes longitudinaux simples).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse lumière	\(c\)	\(3 \cdot 10^8\)	m/s
Longueur	\(L\)	0.30	m
Indice	\(n\)	1.0	-

Astuces

Calcul mental rapide : La lumière parcourt 30 cm en environ 1 nanoseconde (ns). Un aller-retour de \(2 \times 30\) cm prend donc 2 ns. La fréquence est l'inverse de la période : \(1 / (2 \text{ ns}) = 0.5 \text{ GHz} = 500 \text{ MHz}\). C'est une excellente façon de vérifier votre ordre de grandeur !

Trajet Aller-Retour de la Lumière

Calcul(s)

Conversion(s)

Il est impératif de travailler dans le système international (SI). La longueur donnée en centimètres doit être convertie en mètres :

Conversion cm → m

\begin{aligned} L &= 30 \text{ cm} \\ &= 30 \times 10^{-2} \text{ m} \\ &= 0.30 \text{ m} \end{aligned}

Nous avons maintenant une longueur \(L\) exprimée en mètres, prête à être utilisée dans les formules standard.

Calcul intermédiaire : Chemin optique

On calcule d'abord le chemin optique d'un aller-retour complet, qui correspond au dénominateur de la formule. Ici \(n=1\), donc le chemin optique est égal au chemin géométrique :

\begin{aligned} 2nL &= 2 \times 1.0 \times 0.30 \\ &= 0.60 \text{ m} \end{aligned}

Nous obtenons un trajet total de 0.60 mètre. C'est la distance que la lumière doit parcourir pour revenir à son point de départ.

Calcul Principal

Application numérique

On divise maintenant la célérité de la lumière par ce chemin optique pour obtenir la fréquence de répétition (l'ISL) :

Calcul de l'ISL

\begin{aligned} \Delta \nu &= \frac{c}{2nL} \\ &= \frac{3 \cdot 10^8}{0.60} \\ &= \frac{30 \cdot 10^7}{0.6} \\ &= 50 \cdot 10^7 \\ &= 500 \cdot 10^6 \text{ Hz} \end{aligned}

Le résultat brut est \(500 \times 10^6\) Hertz. Il est plus lisible et conventionnel de le convertir en Mégahertz (MHz).

Schéma (Résultat)

Spectre des Modes (Peigne de Fréquences)

Réflexions

Nous avons trouvé un ISL de 500 MHz. Cela signifie que dans le spectre de ce laser, il y a une résonance possible tous les 500 MHz. C'est une "grille" très serrée par rapport à la fréquence absolue de la lumière visible (474 THz), mais qui peut être large par rapport à la finesse de la transition atomique. Cela implique que si la cavité s'allonge un tout petit peu, de nouveaux modes peuvent apparaître très vite.

Points de vigilance

Erreur fréquente : Ne pas confondre la longueur physique \(L\) avec la longueur optique \(nL\). Ici \(n=1\), donc elles sont égales, mais dans un cristal laser solide (comme un laser Nd:YAG où \(n \approx 1.82\)), oublier le facteur \(n\) fausserait le résultat de près de 50% ! La lumière "voit" le chemin optique, pas le chemin physique.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

L'ISL dépend inversement de la longueur de la cavité.
L'unité standard est le Hertz (Hz), souvent exprimé en MHz ou GHz.

Le saviez-vous ?

Le premier laser à gaz (He-Ne) a été démontré par Ali Javan, William Bennett et Donald Herriott aux laboratoires Bell en 1960. Il émettait initialement dans l'infrarouge (1150 nm) ! La raie rouge visible (632.8 nm) que nous étudions ici n'est devenue standard que plus tard, mais c'est elle qui a rendu le laser visible et populaire.

FAQ

Pourquoi l'ISL est-il constant sur tout le spectre ?

L'ISL est constant en fréquence (\(\Delta \nu\)) car la relation de résonance est linéaire en fonction de la fréquence (\(\nu_q = q \cdot \text{constante}\)). Cependant, si on l'exprimait en longueur d'onde (\(\Delta \lambda\)), l'espacement varierait légèrement d'un mode à l'autre car la relation est inverse (\(\Delta \lambda \approx \lambda^2 / 2nL\)).

L'ISL est de 500 MHz.

A vous de jouer
Si la cavité faisait 15 cm (la moitié), quel serait l'ISL en MHz ?

📝 Mémo
ISL = c / 2L (pour l'air). Cavité plus courte = ISL plus grand = Moins de modes.

Question 2 : Ordre d'interférence du mode central

Principe

L'ordre d'interférence \(q\) est un nombre entier qui représente "combien de demi-longueurs d'onde" tiennent exactement dans la longueur de la cavité. C'est l'équivalent du "numéro de l'harmonique" en acoustique. Comme la longueur d'onde de la lumière est minuscule (centaines de nanomètres) par rapport à la taille de la cavité (dizaines de centimètres), ce nombre \(q\) sera nécessairement gigantesque.

Mini-Cours

Ordre d'interférence :
En optique laser, \(q\) est typiquement de l'ordre de \(10^5\) à \(10^6\). C'est une différence fondamentale avec les interférences type "fentes d'Young" où l'on observe les ordres 0, 1, 2... Ici, nous travaillons avec des interférences d'ordre très élevé, ce qui confère au dispositif une très grande sensibilité aux variations de longueur (interférométrie de haute précision).

Remarque Pédagogique

Puisque la résonance n'a lieu que si \(q\) est un entier exact, il est statistiquement très improbable que la longueur d'onde centrale de gain \(\lambda_0\) (632.8 nm) corresponde parfaitement à un mode entier. Le mode qui oscillera sera celui dont la longueur d'onde est la plus proche possible de \(\lambda_0\) tout en satisfaisant \(q \in \mathbb{N}\).

Normes

En métrologie des fréquences, la détermination exacte de \(q\) sans ambiguïté est un défi majeur. Cela a longtemps limité la précision des mesures de temps et de longueur, jusqu'à l'invention des peignes de fréquences optiques (Technologie récompensée par le Prix Nobel 2005 à Theodor Hänsch et John Hall), qui permettent de "compter" les ondes optiques.

Formule(s)

Formules utilisées

Condition de résonance

\begin{aligned} L &= q \frac{\lambda}{2} \\ \Rightarrow q &= \frac{2nL}{\lambda} \end{aligned}

Hypothèses

Nous supposons que le déphasage introduit par la réflexion sur les miroirs est nul ou un multiple exact de \(2\pi\). Dans des miroirs réels multicouches diélectriques, un déphasage additionnel existe, mais il est constant et souvent négligé en première approximation pour calculer l'ordre de grandeur de \(q\).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur d'onde	\(\lambda\)	\(632.8 \cdot 10^{-9}\)	m
Chemin optique	\(nL\)	0.30	m

Astuces

Vérification d'ordre de grandeur :
La lumière visible est de l'ordre de \(0.5 \mu m\). Une cavité de 30 cm = \(300,000 \mu m\). Le ratio doit donc être de l'ordre de \(300,000 / 0.5 \approx 600,000\). Si vous trouvez 50 ou 100, il y a une erreur d'unités ! Si vous trouvez \(10^{14}\), vous avez utilisé la fréquence au lieu de la longueur d'onde.

Concept : Compter les "bosses"

Calcul(s)

Conversion(s)

Les unités sont déjà cohérentes (mètres), mais il faut être vigilant avec les puissances de 10 (\(10^{-9}\) pour les nanomètres). Convertissons tout en mètres.

Calcul Principal

Application numérique

Divisons le double de la longueur de la cavité par la longueur d'onde. Nous séparons les mantisses des puissances de 10 pour plus de clarté :

Calcul de l'entier q

\begin{aligned} q &= \frac{2nL}{\lambda} \\ &= \frac{2 \cdot 1.0 \cdot 0.30}{632.8 \cdot 10^{-9}} \\ &= \frac{0.60}{6.328 \cdot 10^{-7}} \\ &= \left( \frac{0.60}{6.328} \right) \cdot 10^{7} \\ &= 0.094816656 \cdot 10^{7} \\ &\approx 948166.56 \end{aligned}

Le résultat mathématique exact est 948 166,56. Or, l'ordre d'interférence doit être un entier. Cela signifie que la longueur d'onde 632.8 nm ne résonne pas parfaitement. Le mode résonant le plus proche sera l'entier :

\[ q = 948167 \]

Pour que ce mode existe, la cavité va "forcer" la lumière à adopter une longueur d'onde très légèrement différente pour satisfaire la condition entière.

Schéma (Résultat)

Ordre du Mode

Réflexions

La valeur très élevée de \(q\) explique pourquoi les lasers sont si sensibles à l'environnement. Si la longueur \(L\) change de seulement une demi-longueur d'onde (\(0.3 \mu m\)), l'ordre \(q\) change de 1 unité, et la fréquence laser saute d'un mode à l'autre ! C'est pourquoi les cavités laser doivent être mécaniquement très stables et faites de matériaux à faible dilatation (Invar, zérodur).

Points de vigilance

Arrondis : Ne jamais arrondir grossièrement ce chiffre au début d'un calcul de précision. La partie décimale (ici 0.56) porte l'information sur le désaccord de fréquence entre le centre de la raie atomique et la résonance de la cavité.

Points à Retenir

\(q\) représente le nombre de noeuds de l'onde stationnaire dans la cavité. C'est un grand entier positif.

Le saviez-vous ?

Pour stabiliser la fréquence d'un laser, on utilise souvent un élément piézoélectrique (PZT) collé sur un miroir. En appliquant une tension électrique, on modifie \(L\) de quelques nanomètres pour ajuster \(q\) afin qu'il soit un entier exact coïncidant avec le maximum de gain atomique, garantissant une puissance maximale.

FAQ

Est-ce que q peut être négatif ?

Non, \(q\) représente un nombre d'ondes physiques dans l'espace, c'est une quantité de dénombrement strictement positive.

L'ordre est environ 948 167.

A vous de jouer
Si on utilisait une longueur d'onde Infrarouge (plus grande, ex: 1064 nm), l'ordre \(q\) augmenterait-il ou diminuerait-il pour la même cavité ?

📝 Mémo
q est un très grand entier positif (~10^6) en optique.

Question 3 : Calcul de la Finesse (\(\mathcal{F}\))

Principe

La Finesse (\(\mathcal{F}\)) est un nombre sans dimension qui caractérise la qualité du confinement de la lumière dans la cavité. Elle quantifie la "finesse" spectrale des pics de résonance : plus la Finesse est élevée, plus les pics de transmission sont étroits et plus le laser sera pur spectralement (monochromatique). Elle est directement liée à la capacité des miroirs à garder les photons piégés à l'intérieur le plus longtemps possible.

Mini-Cours

La finesse est analogue au facteur de qualité Q en électronique, mais adaptée aux cavités périodiques. Elle représente approximativement (à un facteur \(2/\pi\) près) le nombre moyen d'allers-retours qu'un photon effectue dans la cavité avant d'être perdu ou transmis.

Remarque Pédagogique

La Finesse théorique ne dépend que de la réflectivité \(R\) des miroirs (en négligeant les pertes internes). Elle est indépendante de la longueur \(L\) de la cavité ! Une cavité courte et une cavité longue peuvent avoir la même Finesse si elles ont les mêmes miroirs, même si leur ISL est différent.

Normes

Les cavités de très haute finesse ("super-mirrors") utilisées pour la détection d'ondes gravitationnelles (comme LIGO/Virgo) atteignent des Finesses supérieures à 100 000, nécessitant des miroirs avec \(R > 99.999\%\). Un miroir standard de salle de bain a une finesse négligeable !

Formule(s)

Formules utilisées

Finesse (approximation pour R élevé)

\begin{aligned} \mathcal{F} \approx \frac{\pi \sqrt{R}}{1-R} \end{aligned}

Cette approximation est excellente dès que \(R > 50\%\).

Hypothèses

Nous supposons qu'il n'y a pas d'autres pertes dans la cavité (absorption par le gaz, diffraction sur les bords des miroirs, diffusion par la poussière) que la transmission utile des miroirs. Les deux miroirs sont supposés identiques.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur
Réflectivité des miroirs	\(R\)	0.99 (99%)

Astuces

Mathématiquement, c'est le terme \((1-R)\) au dénominateur qui contrôle tout. Si \(R\) est proche de 1, \((1-R)\) devient très petit (ici 0.01), ce qui fait "exploser" la valeur de la Finesse. C'est pourquoi on cherche toujours des \(R\) les plus proches possibles de 100%.

Bilan aux Miroirs

Calcul(s)

Conversion(s)

La réflectivité \(R\) est une grandeur sans dimension. On utilise sa valeur décimale \(0.99\).

Calcul Principal

Application numérique

Nous injectons la valeur de la réflectivité \(R = 0.99\) dans la formule approchée. Le numérateur dépend de la racine de \(R\), tandis que le dénominateur représente les pertes par transmission (\(1-R\)) :

\begin{aligned} \mathcal{F} &= \frac{\pi \sqrt{0.99}}{1 - 0.99} \\ &= \frac{\pi \times 0.995}{0.01} \\ &= 3.125 \times 100 \\ &\approx 312.5 \end{aligned}

Nous obtenons une valeur sans dimension de 312.5. Cela indique que la 'finesse' des pics de résonance est très élevée, signe d'une cavité de grande qualité.

Schéma (Résultat)

Impact de la Finesse sur le Spectre

Réflexions

Une finesse de ~312 signifie que la largeur spectrale d'un mode est 312 fois plus petite que l'écart entre deux modes. C'est excellent pour la pureté spectrale.

Points de vigilance

Miroirs asymétriques : Si les deux miroirs ont des réflectivités différentes \(R_1\) et \(R_2\), il faut utiliser la moyenne géométrique \(R = \sqrt{R_1 R_2}\) dans la formule.

Points à Retenir

Haute Réflectivité = Haute Finesse = Pics très fins.
La finesse quantifie la sélectivité spectrale de la cavité.

Le saviez-vous ?

Le Fabry-Perot est aussi utilisé hors des lasers comme filtre interférentiel pour sélectionner une longueur d'onde très précise, par exemple en astronomie pour observer la raie H-alpha du soleil en rejetant toutes les autres lumières.

FAQ

Peut-on avoir une Finesse infinie ?

Théoriquement oui si \(R=100\%\), mais alors aucune lumière ne peut entrer ni sortir de la cavité ! Il faut toujours un compromis pour extraire le faisceau laser (c'est le rôle du "Couplage de sortie").

La Finesse est d'environ 312.

A vous de jouer
Si les miroirs étaient sales et que \(R\) tombait à 90% (0.9), que deviendrait la finesse ?

📝 Mémo
Finesse = \(\pi\sqrt{R} / (1-R)\). C'est le facteur de qualité de la cavité.

Question 4 : Nombre de modes oscillants

Principe

Pour qu'un laser émette de la lumière à une fréquence donnée, deux conditions sine qua non doivent être remplies simultanément :

Condition de Cavité (Filtre) : La fréquence doit correspondre à un mode longitudinal permis par la cavité (pics du peigne calculé en Q1).
Condition de Gain (Moteur) : Le milieu actif (les atomes de gaz excités) doit fournir assez d'amplification à cette fréquence pour compenser les pertes. Cela n'est possible que dans une plage de fréquences limitée autour de la raie atomique, appelée "Largeur de Gain" (\(\Delta \nu_{gain}\)).

Le nombre de modes oscillants correspond donc au nombre de pics de la cavité qui "tombent" géométriquement sous la courbe de gain (au-dessus du seuil d'oscillation).

Mini-Cours

Compétition de modes : Si plusieurs modes oscillent, le laser est dit "Multimode Longitudinal". Ces modes vont se partager l'énergie disponible. C'est souvent indésirable car cela crée du bruit et réduit la cohérence temporelle. Pour obtenir un laser pur (monomode), on doit s'assurer que \(N=1\).

Remarque Pédagogique

C'est comme un emporte-pièce (la cavité) qui découpe une forme dans une pâte (le gain). Seule la pâte découpée reste. Ici, la cavité "découpe" des fréquences précises dans la "bosse" de gain atomique.

Normes

Pour les applications de haute précision (holographie, interférométrie), on exige des lasers "Single Longitudinal Mode" (SLM), c'est-à-dire \(N=1\). En revanche, pour un pointeur laser basique ou de la soudure industrielle, un laser multimode suffit.

Formule(s)

Nombre de modes N

\begin{aligned} N &\approx \frac{\Delta \nu_{gain}}{\text{ISL}} \end{aligned}

Si le résultat n'est pas entier, on arrondit généralement à l'entier supérieur ou inférieur selon la position exacte des modes, mais l'arrondi au supérieur donne le nombre maximal possible de modes pouvant être excités.

Hypothèses

On suppose que le "seuil laser" est bas, c'est-à-dire que presque toute la largeur de gain (\(\Delta \nu_{gain}\)) est au-dessus des pertes et permet l'oscillation. Si le seuil est haut, la largeur "utile" sera plus faible.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Largeur spectrale de Gain	1.5 GHz
ISL (calculé en Q1)	0.5 GHz (500 MHz)

Astuces

C'est une division simple ! Combien de fois 0.5 rentre-t-il dans 1.5 ? C'est une question de géométrie pure : comparer l'espacement des barreaux d'une échelle (ISL) à la largeur d'une fenêtre (Gain).

Superposition Gain / Modes

Calcul(s)

Conversion(s)

On s'assure que les deux valeurs sont dans la même unité (GHz pour simplifier). Nous utilisons les puissances de 10 pour le détail.

\begin{aligned} \Delta \nu_{gain} &= 1.5 \text{ GHz} \\ &= 1.5 \times 10^9 \text{ Hz} \end{aligned}

Nous convertissons l'ISL trouvé en question 1 en GHz :

\begin{aligned} \text{ISL} &= 500 \text{ MHz} \\ &= 0.5 \times 10^9 \text{ Hz} \end{aligned}

Calcul Principal

Application numérique

Nous cherchons combien d'intervalles de fréquence (ISL) 'tiennent' à l'intérieur de la plage de gain spectral disponible :

\begin{aligned} N &\approx \frac{1.5 \times 10^9 \text{ Hz}}{0.5 \times 10^9 \text{ Hz}} \\ &= \frac{1.5}{0.5} \\ &= 3 \end{aligned}

Le résultat est 3. Cela signifie géométriquement que la largeur de gain est exactement égale à 3 fois l'espacement entre les modes. Nous pouvons donc espérer voir jusqu'à 3 modes oscillants.

Schéma (Résultat)

Modes Sélectionnés

Réflexions

Le calcul donne exactement 3. Cela signifie qu'il est possible d'avoir 3 modes oscillants simultanément : un mode exactement au centre de la raie (qui a le maximum de gain), et deux modes latéraux situés à \(\pm 500\) MHz du centre. L'intensité des modes latéraux sera plus faible car ils voient moins de gain (ils sont sur les flancs de la courbe en cloche).

Points de vigilance

Instabilité : Le peigne de fréquences peut se décaler si la température de la cavité change (dilatation). Si le peigne se décale de la moitié d'un ISL, on pourrait se retrouver avec seulement 2 modes symétriques autour du centre. Le nombre de modes peut donc fluctuer entre 2 et 3 en fonctionnement réel, créant du bruit d'intensité.

Points à Retenir

Pour forcer un laser à être monomode (\(N=1\)), la stratégie principale est de raccourcir la cavité (diminuer \(L\)) pour augmenter l'ISL jusqu'à ce qu'il soit plus grand que la largeur de gain (\(\text{ISL} > \Delta \nu_{gain}\)).

Le saviez-vous ?

Les diodes laser (semi-conducteurs) ont des largeurs de gain énormes (plusieurs THz). Sans cavité externe ou réseau de Bragg, elles oscillent sur des centaines de modes simultanément ! C'est pourquoi leur lumière est moins "pure" que celle d'un He-Ne sans traitement spécifique.

FAQ

Est-ce que tous les modes ont la même puissance ?

Non. Le gain suit une courbe en cloche (Gaussienne ou Lorentzienne). Le mode central, proche du sommet de la courbe, reçoit plus d'énergie et sera plus intense que les modes latéraux qui sont sur les bords.

Environ 3 modes oscillent simultanément.

A vous de jouer
Quel est l'espacement en fréquence entre ces 3 modes ?

📝 Mémo
Le laser est un filtre sélectif : il ne garde que l'intersection entre le Gain et les Modes.

Schéma Bilan de l'Exercice

Synthèse visuelle : De la cavité physique au spectre d'émission final.

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Voici la synthèse des points clés méthodologiques et physiques abordés dans cet exercice :

🔑
Point Clé 1 : [Résonance]
La cavité agit comme un filtre qui ne laisse passer que des fréquences précises (modes longitudinaux) où l'onde fait des interférences constructives avec elle-même.
📐
Point Clé 2 : [ISL]
\(\Delta \nu = c/2nL\). C'est l'écart entre les dents du peigne. Plus la cavité est longue, plus les dents sont serrées.
⚠️
Point Clé 3 : [Finesse]
Elle mesure la qualité du confinement. Elle ne dépend que de la réflectivité R des miroirs. Une haute finesse donne des pics très fins.
💡
Point Clé 4 : [Multimode]
Le nombre de modes qui oscillent dépend du rapport entre la largeur de gain du milieu (ce qui est disponible) et l'ISL (ce qui est permis).

"La cavité sélectionne les fréquences, le milieu fournit l'énergie."

🎛️ Simulateur interactif : Modes de Cavité

Modifiez la longueur de la cavité et l'indice pour voir l'impact direct sur l'ISL et le temps de vol.

Paramètres de la Cavité

Longueur de la cavité L (cm) : 30

Indice de réfraction n : 1.0

ISL Calculé (MHz) : -

Temps Aller-Retour (ns) : -

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Si je double la longueur \(L\) de la cavité, comment évolue l'ISL ?

Il double (x2).
Il est divisé par deux (/2).
Il ne change pas.

2. Quelle est la condition de résonance sur la phase pour un aller-retour ?

Le déphasage doit être un multiple de \(2\pi\).
Le déphasage doit être nul uniquement.

📚 Glossaire

Cavité Fabry-Perot: Dispositif interférométrique constitué de deux surfaces partiellement réfléchissantes.
Mode Longitudinal: Configuration du champ électromagnétique le long de l'axe de la cavité satisfaisant les conditions aux limites.
ISL: Intervalle Spectral Libre : espacement fréquentiel entre deux modes consécutifs.
Finesse: Paramètre caractérisant la largeur des pics de résonance par rapport à l'ISL.
Gain: Amplification de la lumière par émission stimulée dans le milieu actif.

Le Saviez-vous ?

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Modes Longitudinaux et Transversaux d’une Cavité

BOÎTE À OUTILS

Titre Outil

À DÉCOUVRIR SUR LE SITE

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma du Système Laser He-Ne

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Modes Longitudinaux et Transversaux d’une Cavité Fabry-Perot

Question 1 : Calcul de l'Intervalle Spectral Libre (ISL)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Trajet Aller-Retour de la Lumière

Calcul(s)

Conversion(s)

Calcul intermédiaire : Chemin optique

Calcul Principal

Schéma (Résultat)

Spectre des Modes (Peigne de Fréquences)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Ordre d'interférence du mode central

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Concept : Compter les "bosses"

Calcul(s)

Conversion(s)

Calcul Principal

Schéma (Résultat)

Ordre du Mode

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Calcul de la Finesse (\(\mathcal{F}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Bilan aux Miroirs

Calcul(s)

Conversion(s)

Calcul Principal

Schéma (Résultat)

Impact de la Finesse sur le Spectre

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Nombre de modes oscillants

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)