ÉTUDE DE PHYSIQUE

Modes Longitudinaux et Transversaux d’une Cavité

Optique : Modes Longitudinaux et Transversaux d'une Cavité Laser Résonnante

Modes Longitudinaux et Transversaux d'une Cavité Laser Résonnante

Contexte : L'ADN d'un Faisceau Laser

Un laser n'est pas juste une source de lumière intense ; c'est une source de lumière hautement structurée. Cette structure est dictée par la cavité résonnanteEnsemble de deux miroirs face à face qui piègent la lumière, créant un résonateur optique. Seules certaines fréquences et certains motifs peuvent exister durablement dans la cavité., le cœur du laser. Seules certaines ondes électromagnétiques, appelées "modes", peuvent exister durablement dans cette cavité. On distingue deux types de modes : les modes longitudinauxModes liés à la condition de résonance sur la longueur de la cavité. Ils déterminent les fréquences précises que le laser peut émettre., qui définissent les fréquences d'émission possibles, et les modes transversauxModes qui décrivent la distribution de l'intensité du faisceau dans un plan perpendiculaire à sa direction de propagation. Le plus courant est le mode TEM₀₀, ou mode Gaussien., qui décrivent la forme et la distribution de l'intensité du faisceau.

Remarque Pédagogique : Comprendre les modes d'une cavité est fondamental pour comprendre ce qui rend un faisceau laser si spécial (sa monochromaticité et sa faible divergence). Cet exercice explore comment la géométrie simple d'une cavité (sa longueur, la courbure de ses miroirs) détermine entièrement les propriétés fondamentales du faisceau laser qui en sortira.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la condition de résonance pour les modes longitudinaux.
  • Calculer l'intervalle spectral libre (FSR) d'une cavité.
  • Déterminer le numéro d'un mode longitudinal pour une longueur d'onde donnée.
  • Comprendre la notion de faisceau Gaussien (mode TEM₀₀).
  • Calculer les paramètres d'un faisceau Gaussien : taille du waist et angle de divergence.
  • Analyser l'influence de la géométrie de la cavité sur les caractéristiques du faisceau.

Données de l'étude

On considère une cavité laser Fabry-Pérot stable, constituée de deux miroirs sphériques concaves identiques, séparés par une distance L. Le milieu actif entre les miroirs émet de la lumière autour d'une longueur d'onde centrale \(\lambda_0\).

Schéma de la Cavité Laser
M1 (R) M2 (R) L w(z) w₀

Données :

  • Longueur de la cavité : \(L = 50 \, \text{cm}\).
  • Rayon de courbure des miroirs : \(R_1 = R_2 = R = 1 \, \text{m}\).
  • Longueur d'onde centrale : \(\lambda_0 = 632.8 \, \text{nm}\) (laser Hélium-Néon).
  • Vitesse de la lumière dans le vide : \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\).

Questions à traiter

  1. Calculer l'intervalle spectral libre (FSR) de la cavité, en fréquence (\(\Delta\nu_{\text{FSR}}\)) et en longueur d'onde (\(\Delta\lambda_{\text{FSR}}\)).
  2. Calculer le numéro d'ordre \(q\) du mode longitudinal le plus proche de la longueur d'onde centrale \(\lambda_0\).
  3. En supposant que le laser oscille sur le mode transverse fondamental TEM₀₀ (faisceau Gaussien), calculer la taille du waist (rayon) \(w_0\) au centre de la cavité.
  4. Calculer l'angle de divergence \(\theta\) du faisceau en sortie de la cavité.

Correction : Modes Longitudinaux et Transversaux d'une Cavité Laser Résonnante

Question 1 : Intervalle Spectral Libre (FSR)

Principe :
L = q * (λ/2)

Pour qu'une onde lumineuse soit résonnante dans une cavité de longueur L, elle doit former une onde stationnaire. Cela signifie qu'un aller-retour dans la cavité doit correspondre à un déphasage de \(2\pi\). La condition la plus simple est que la longueur de la cavité soit un multiple entier de demi-longueurs d'onde : \(L = q \frac{\lambda}{2}\). Les modes longitudinaux sont les fréquences \(\nu_q\) qui satisfont cette condition. L'intervalle spectral libre (FSR) est l'écart de fréquence constant entre deux modes consécutifs (\(\nu_{q+1} - \nu_q\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le FSR est une caractéristique fondamentale d'un résonateur. Il représente la "densité" des fréquences autorisées. Une cavité courte aura un FSR élevé (modes très espacés), tandis qu'une cavité longue aura un FSR faible (modes très rapprochés). C'est crucial car le milieu actif du laser n'amplifie la lumière que sur une certaine plage de fréquences (la "bande de gain"). Seuls les modes de la cavité qui tombent dans cette bande pourront osciller.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta\nu_{\text{FSR}} = \frac{c}{2L} \]
\[ \Delta\lambda_{\text{FSR}} \approx \frac{\lambda_0^2}{2L} \]
Donnée(s) :
  • Longueur de la cavité \(L = 50 \, \text{cm} = 0.5 \, \text{m}\)
  • Vitesse de la lumière \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Longueur d'onde centrale \(\lambda_0 = 632.8 \, \text{nm} = 632.8 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta\nu_{\text{FSR}} &= \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{2 \times 0.5 \, \text{m}} \\ &= 3 \times 10^8 \, \text{Hz} \\ &= 300 \, \text{MHz} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta\lambda_{\text{FSR}} &= \frac{(632.8 \times 10^{-9} \, \text{m})^2}{2 \times 0.5 \, \text{m}} \\ &\approx \frac{3.99 \times 10^{-13} \, \text{m}^2}{1 \, \text{m}} \\ &\approx 3.99 \times 10^{-13} \, \text{m} \\ &= 0.399 \, \text{pm} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités et approximations : Assurez-vous que toutes les longueurs sont en mètres. La formule pour \(\Delta\lambda\) est une approximation (\(|\Delta\lambda| \approx \frac{c}{ \nu^2} |\Delta\nu|\)) valable car \(\Delta\nu \ll \nu\). Le résultat en picomètres (pm) montre à quel point les modes sont proches en termes de longueur d'onde.

Le saviez-vous ?

Les cavités Fabry-Pérot ne sont pas seulement utilisées pour les lasers. Ce sont des outils essentiels en spectroscopie, servant de filtres très sélectifs en fréquence pour analyser la composition de la lumière avec une très haute résolution.

FAQ en rapport avec la question :
L'indice de réfraction du milieu a-t-il un impact ?

Oui. Si la cavité est remplie d'un milieu d'indice \(n\), la vitesse de la lumière devient \(c/n\). La formule du FSR devient alors \(\Delta\nu_{\text{FSR}} = \frac{c}{2nL}\). L'intervalle spectral libre est réduit.

Résultat : L'intervalle spectral libre est de 300 MHz, soit environ 0.4 pm.

Question 2 : Numéro d'Ordre du Mode Longitudinal

Principe :
Bande de gain du milieu actif ν₀ (q)

Le numéro d'ordre \(q\) est le nombre entier de demi-longueurs d'onde qui "rentrent" exactement dans la cavité. Pour les longueurs d'onde visibles et les cavités macroscopiques, ce nombre est extrêmement grand. On peut le calculer facilement à partir de la condition de résonance \(L = q \frac{\lambda_q}{2}\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Connaître \(q\) n'est pas très utile en soi, mais ce calcul illustre un point important : un laser n'émet pas à "une" longueur d'onde, mais sur un "peigne" de fréquences très fines et très rapprochées. La valeur de \(q\) change de 1 entre deux modes consécutifs, alors que \(q\) lui-même est de l'ordre du million. La variation relative de fréquence ou de longueur d'onde est donc infime.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ q = \frac{2L}{\lambda_0} \]
Donnée(s) :
  • Longueur de la cavité \(L = 0.5 \, \text{m}\)
  • Longueur d'onde centrale \(\lambda_0 = 632.8 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} q &= \frac{2 \times 0.5 \, \text{m}}{632.8 \times 10^{-9} \, \text{m}} \\ &= \frac{1}{632.8 \times 10^{-9}} \\ &\approx 1580278 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Nombre entier : Le numéro d'ordre \(q\) est par définition un entier. Le calcul donne un nombre non entier car \(\lambda_0\) n'est pas *exactement* une longueur d'onde de résonance. Le mode le plus proche aura le numéro d'ordre entier le plus proche du résultat calculé.

Le saviez-vous ?

En stabilisant la longueur L d'une cavité avec une précision extrême, on peut créer un étalon de fréquence optique. Les horloges atomiques optiques, les instruments de mesure les plus précis jamais construits par l'homme, sont basées sur ce principe.

FAQ en rapport avec la question :
Le laser émet-il sur plusieurs modes à la fois ?

Souvent, oui. Si la bande de gain du milieu actif est plus large que l'intervalle spectral libre, plusieurs modes longitudinaux peuvent être amplifiés et osciller simultanément. Pour obtenir une émission sur un seul mode (monomode), on doit ajouter des éléments de filtrage supplémentaires dans la cavité.

Résultat : Le numéro d'ordre du mode est \(q \approx 1,580,278\).

Question 3 : Taille du Waist du Faisceau Gaussien

Principe :
w₀ (waist) Centre de la cavité

Le mode transverse fondamental d'une cavité stable a une distribution d'intensité Gaussienne. Ce faisceau a un point de focalisation, appelé "waist" (taille), où son rayon \(w_0\) est minimal. Pour une cavité symétrique (deux miroirs identiques), le waist se situe exactement au centre de la cavité. Sa taille dépend de la longueur d'onde, de la longueur de la cavité et du rayon de courbure des miroirs.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le concept de faisceau Gaussien est central en optique laser. Connaître la taille du waist est crucial pour de nombreuses applications, comme la focalisation d'un faisceau, le couplage dans une fibre optique, ou l'interaction laser-matière.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ w_0^2 = \frac{\lambda}{\pi} \sqrt{L \left(R - \frac{L}{2}\right)} \]
Donnée(s) :
  • \(\lambda_0 = 632.8 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
  • \(L = 0.5 \, \text{m}\)
  • \(R = 1 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} w_0^2 &= \frac{632.8 \times 10^{-9}}{\pi} \sqrt{0.5 \left(1 - \frac{0.5}{2}\right)} \\ &= \frac{632.8 \times 10^{-9}}{\pi} \sqrt{0.5 \times 0.75} \\ &= \frac{632.8 \times 10^{-9}}{\pi} \sqrt{0.375} \\ &\approx (2.014 \times 10^{-7}) \times 0.612 \\ &\approx 1.233 \times 10^{-7} \, \text{m}^2 \\ w_0 &= \sqrt{1.233 \times 10^{-7}} \\ &\approx 3.51 \times 10^{-4} \, \text{m} = 0.351 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Stabilité de la cavité : Cette formule n'est valide que si la cavité est stable. La condition de stabilité pour une cavité symétrique est \(0 \le L \le 2R\). Ici, \(L=0.5\)m et \(2R=2\)m, la condition est bien respectée.

Le saviez-vous ?

Les modes transversaux d'ordre supérieur (TEM₀₁, TEM₁₁, etc.) ont des formes plus complexes (en forme de "donut", de lobes...). Ils sont généralement indésirables car ils correspondent à un faisceau de moins bonne qualité (plus divergent). On insère souvent un diaphragme dans la cavité pour forcer le laser à n'osciller que sur le mode fondamental TEM₀₀.

FAQ en rapport avec la question :
Où se trouve le waist si les miroirs ne sont pas identiques ?

Si \(R_1 \ne R_2\), le waist ne se trouve plus au centre de la cavité. Sa position et sa taille doivent être calculées à l'aide de formules plus générales de la propagation des faisceaux Gaussiens, qui font intervenir les paramètres g de la cavité (\(g_i = 1 - L/R_i\)).

Résultat : Le rayon du waist au centre de la cavité est d'environ 0.35 mm.

Question 4 : Angle de Divergence du Faisceau

Principe :
θ Waist w₀

À cause de la diffraction, un faisceau laser, même parfait, ne peut pas rester parfaitement collimaté. Il s'élargit en se propageant. Pour un faisceau Gaussien, cet élargissement est minimal et se mesure par l'angle de divergence (demi-angle au sommet du cône de lumière). Cet angle est inversement proportionnel à la taille du waist : plus le faisceau est focalisé en un point petit, plus il divergera rapidement.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la limite fondamentale de la diffraction. Il y a un compromis inévitable entre la taille d'un faisceau à son point le plus étroit (\(w_0\)) et sa capacité à rester collimaté sur une longue distance (\(\theta\)). Cette relation, \(w_0 \theta \approx \lambda/\pi\), est une manifestation directe du principe d'incertitude de Heisenberg appliqué aux photons.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \theta = \frac{\lambda_0}{\pi w_0} \]
Donnée(s) :
  • \(\lambda_0 = 632.8 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
  • \(w_0 = 3.51 \times 10^{-4} \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \theta &= \frac{632.8 \times 10^{-9} \, \text{m}}{\pi \times 3.51 \times 10^{-4} \, \text{m}} \\ &\approx \frac{632.8 \times 10^{-9}}{1.103 \times 10^{-3}} \\ &\approx 5.74 \times 10^{-4} \, \text{rad} \\ &\approx 0.033^{\circ} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités d'angle : La formule donne directement l'angle en radians, qui est l'unité naturelle en physique. Il faut penser à le convertir en degrés ou en milliradians (mrad) pour une meilleure intuition (ici, 0.57 mrad).

Le saviez-vous ?

Les pointeurs laser verts semblent souvent plus brillants que les rouges de même puissance. Cela est dû au fait que l'œil humain est beaucoup plus sensible à la lumière verte (autour de 555 nm) qu'à la lumière rouge (autour de 650 nm). La physique du faisceau (divergence, puissance) peut être la même, mais la perception est différente !

FAQ en rapport avec la question :
Comment peut-on réduire la divergence d'un laser ?

Pour réduire la divergence \(\theta\), il faut augmenter la taille du waist \(w_0\). Cela peut être fait en utilisant une cavité plus longue ou des miroirs de plus grand rayon de courbure. On peut aussi utiliser un système de lentilles (un "expanseur de faisceau") à la sortie du laser pour augmenter le diamètre du faisceau, ce qui réduit mécaniquement sa divergence finale.

Résultat : L'angle de divergence du faisceau est d'environ \(5.7 \times 10^{-4}\) radians (ou 0.57 mrad).

Simulation Interactive : Géométrie de la Cavité et Faisceau

Faites varier la longueur de la cavité (L) et le rayon de courbure des miroirs (R) et observez l'impact sur la taille du waist et la divergence du faisceau. Notez les zones d'instabilité de la cavité.

Paramètres de la Cavité
Stabilité de la cavité
Taille du waist (w₀)
Divergence (θ)
Visualisation du Faisceau

Pour Aller Plus Loin : La Stabilité de la Cavité

Garder la lumière piégée : Toutes les configurations de miroirs ne forment pas une cavité stable. Une cavité est stable si un rayon lumineux légèrement désaxé reste confiné à l'intérieur après de multiples réflexions. Pour une cavité à deux miroirs, la condition de stabilité est donnée par \(0 \le g_1 g_2 \le 1\), où \(g_i = 1 - L/R_i\) sont les "paramètres g" de la cavité. Si cette condition n'est pas respectée, la lumière s'échappe rapidement et l'effet laser ne peut pas se produire. Les cavités plan-plan (\(R_1=R_2=\infty\)) ou confocales (\(L=R\)) sont des cas limites importants de cette condition.

Le Saviez-Vous ?

Les détecteurs d'ondes gravitationnelles comme LIGO et Virgo sont les interféromètres de Fabry-Pérot les plus extrêmes jamais construits. Ils utilisent des cavités de plusieurs kilomètres de long pour mesurer des variations de distance inférieures à un millième du diamètre d'un proton, en surveillant les infimes changements dans les conditions de résonance des modes de la cavité.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre modes longitudinaux et transversaux ?

Imaginez une corde de guitare. Les modes longitudinaux sont comme les différentes harmoniques que vous pouvez jouer (la note fondamentale, l'octave, etc.). Ils correspondent à différentes fréquences de vibration le long de la corde. Les modes transversaux sont comme les différentes manières dont la corde peut vibrer à une fréquence donnée (un seul ventre, deux ventres en opposition de phase, etc.). Pour un laser, les modes longitudinaux fixent les fréquences possibles, et les modes transversaux fixent la forme du faisceau à ces fréquences.

Pourquoi le mode TEM₀₀ est-il si important ?

Le mode transverse électromagnétique TEM₀₀, ou mode Gaussien, est le "plus pur". Il a une distribution d'intensité lisse, en forme de cloche, sans aucun nœud (point d'intensité nulle). C'est le mode qui a la plus faible divergence possible pour un diamètre de faisceau donné, ce qui le rend idéal pour la plupart des applications nécessitant un faisceau de haute qualité, bien focalisé et se propageant sur de longues distances.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la longueur (L) d'une cavité laser, son intervalle spectral libre (FSR) en fréquence :

2. Pour obtenir le faisceau le moins divergent possible, il faut :

Glossaire

Cavité Résonnante
Un système optique, généralement composé de deux miroirs, qui contraint la lumière à effectuer de multiples allers-retours. Seules les ondes qui sont en phase après un aller-retour (ondes stationnaires) peuvent y exister durablement.
Modes Longitudinaux
Les fréquences discrètes qui satisfont la condition de résonance de la cavité sur son axe. Elles sont espacées par l'Intervalle Spectral Libre (FSR).
Modes Transversaux (TEM)
Les motifs de distribution de l'intensité du champ électromagnétique dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation. Le mode le plus simple est le TEM₀₀, ou faisceau Gaussien.
Intervalle Spectral Libre (FSR)
L'espacement en fréquence (\(\Delta\nu\)) ou en longueur d'onde (\(\Delta\lambda\)) entre deux modes longitudinaux consécutifs de la cavité.
Waist (w₀)
Le rayon du faisceau Gaussien à son point le plus étroit. C'est un paramètre fondamental qui définit la géométrie du faisceau.
Angle de Divergence (θ)
Le demi-angle au sommet du cône dans lequel se propage la majeure partie de l'énergie du faisceau laser en champ lointain.
Modes Longitudinaux et Transversaux d'une Cavité Laser Résonnante

D’autres exercices d’optique et photonique :

Analyse de la Lumière Polarisée Circulairement
Analyse de la Lumière Polarisée Circulairement

Optique : Analyse de la Lumière Polarisée Circulairement à l'aide d'une Lame Quart d'Onde Analyse de la Lumière Polarisée Circulairement à l'aide d'une Lame Quart d'Onde Contexte : Révéler la Nature de la Lumière La polarisation est une propriété fondamentale de la...

Dispersion Modale dans une Fibre Optique
Dispersion Modale dans une Fibre Optique

Dispersion Modale dans une Fibre Optique à Saut d'Indice Dispersion Modale dans une Fibre Optique à Saut d'Indice Contexte : La Limite de Vitesse des Télécommunications Les fibres optiques transmettent l'information sous forme d'impulsions lumineuses. Idéalement, une...

Étude des Aberrations Chromatiques
Étude des Aberrations Chromatiques

Optique : Étude des Aberrations Chromatiques d'une Lentille Simple Étude des Aberrations Chromatiques d'une Lentille Simple Contexte : Pourquoi les Images ont-elles des Franges Colorées ? Dans un monde idéal, une lentille simple ferait converger toutes les couleurs de...

Interféromètre de Fabry-Pérot
Interféromètre de Fabry-Pérot

Optique : Interféromètre de Fabry-Pérot : Finesse et Facteur de Qualité Interféromètre de Fabry-Pérot : Finesse et Facteur de Qualité Contexte : Le Résonateur Optique Un interféromètre de Fabry-Pérot est une cavité optique résonante formée de deux miroirs parallèles à...

Image par un Système de Deux Lentilles
Image par un Système de Deux Lentilles

Optique : Image Donnée par un Système de Deux Lentilles Minces Construction de l'Image Donnée par un Système de Deux Lentilles Minces Contexte : L'Art de Combiner les Lentilles La plupart des instruments d'optique, comme les microscopes, les télescopes ou les...

Principe de Fermat pour la Réfraction
Principe de Fermat pour la Réfraction

Principe de Fermat et Réfraction (Lois de Snell-Descartes) Application du Principe de Fermat pour la Réfraction Comprendre le Principe de Fermat Le principe de Fermat, ou principe de moindre temps, est un postulat fondamental de l'optique géométrique. Il énonce que le...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *