Ondes Guidées dans un Câble Coaxial

Contexte : Le Câble CoaxialUne ligne de transmission composée d'un conducteur central (âme) et d'un conducteur extérieur (tresse), séparés par un isolant (diélectrique)..

Les câbles coaxiaux sont omniprésents dans notre quotidien, transportant des signaux haute fréquence pour la télévision, internet, et les communications radio. Leur structure unique permet de "guider" une onde électromagnétique en la confinant entre deux conducteurs, ce qui la protège des interférences extérieures. Cet exercice explore les propriétés fondamentales qui régissent la propagation de ces ondes, comme l'impédance caractéristiqueRapport entre la tension et le courant d'une onde se propageant dans une seule direction. C'est une propriété intrinsèque de la ligne, dépendant de sa géométrie et des matériaux. et la vitesse de l'onde dans le câble.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous fera passer du concept de circuit à celui de ligne de transmission. Vous comprendrez que les propriétés d'un câble ne dépendent pas seulement des composants discrets, mais de sa géométrie continue et des matériaux qui le composent, ce qui est crucial pour les applications haute fréquence.

Objectifs Pédagogiques

Calculer l'impédance caractéristique d'un câble coaxial.
Déterminer la vitesse de propagation et la longueur d'onde d'un signal dans le câble.
Comprendre le lien entre les propriétés géométriques/matérielles et les caractéristiques de l'onde.
Calculer les paramètres linéiques (inductance et capacité par unité de longueur) du câble.

Données de l'étude

On étudie la propagation d'une onde électromagnétique à la fréquence $f$ dans un câble coaxial considéré comme une ligne de transmission sans pertes. Le câble est caractérisé par ses dimensions géométriques et les propriétés du diélectrique qui sépare les deux conducteurs.

Coupe Transversale d'un Câble Coaxial

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rayon de l'âme (conducteur interne)	$a$	1	mm
Rayon interne de la tresse (conducteur externe)	$b$	3.5	mm
Permittivité relative du diélectrique	$\epsilon_r$	2.25	(sans unité)
Perméabilité relative du diélectrique	$\mu_r$	1	(sans unité)
Fréquence de l'onde	$f$	1	GHz

On rappelle les constantes du vide : permittivité $\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ et perméabilité $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}$.

Questions à traiter

Calculer l'impédance caractéristique $Z_c$ du câble coaxial.
Calculer la vitesse de propagation $v$ de l'onde dans le câble.
Calculer la longueur d'onde $\lambda$ du signal dans le câble.
Calculer la capacité linéique $C'$ et l'inductance linéique $L'$ du câble.

Les bases sur les Lignes de Transmission

Un câble coaxial est une ligne de transmission. Pour les ondes s'y propageant (mode TEM), ses propriétés dépendent de sa géométrie et des matériaux, et non de la fréquence (pour un câble idéal).

1. L'Impédance Caractéristique ($Z_c$)
C'est une propriété fondamentale qui représente le rapport de l'amplitude de la tension à celle du courant pour une onde se propageant dans une seule direction. Pour un câble coaxial sans pertes, elle est purement réelle et donnée par : \[ Z_c = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \] Où $\mu = \mu_0 \mu_r$ et $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$ sont la perméabilité et la permittivité du diélectrique.

2. Vitesse de Propagation et Longueur d'onde
La vitesse à laquelle l'onde se déplace dans le diélectrique est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide ($c$). Elle ne dépend que des propriétés du matériau. \[ v = \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}} \] La longueur d'onde $\lambda$ est la distance spatiale sur laquelle l'onde effectue un cycle complet. Elle est liée à la vitesse et à la fréquence par $\lambda = v/f$.

Correction : Ondes Électromagnétiques Guidées dans un Câble Coaxial

Question 1 : Calcul de l'impédance caractéristique $Z_c$

Principe (le concept physique)

L'impédance caractéristique est une sorte de "résistance" que l'onde "voit" en se propageant le long du câble. Elle ne dépend pas de la longueur du câble, mais uniquement de sa géométrie (le rapport des rayons) et du matériau isolant (le diélectrique) qui se trouve entre les deux conducteurs.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une ligne sans pertes, $Z_c = \sqrt{L'/C'}$, où $L'$ et $C'$ sont l'inductance et la capacité par unité de longueur. Ces grandeurs dépendent de la géométrie et des matériaux. Le calcul direct via les propriétés des matériaux ($\mu, \epsilon$) et la géométrie (ln(b/a)) est souvent plus direct. Le terme $\sqrt{\mu/\epsilon}$ est l'impédance d'onde du milieu diélectrique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Retenez que pour adapter une ligne (éviter les réflexions d'onde), l'impédance de la source et de la charge doivent être égales à l'impédance caractéristique du câble. C'est pourquoi les câbles TV standards ont une impédance de 75 $\Omega$ et les équipements de mesure radiofréquence une impédance de 50 $\Omega$.

Normes (la référence réglementaire)

Les impédances caractéristiques des câbles coaxiaux sont standardisées au niveau international (par ex. par la CEI) pour garantir la compatibilité entre les équipements. Les valeurs les plus courantes sont 50 $\Omega$ (applications RF générales, instrumentation) et 75 $\Omega$ (applications vidéo et télécommunications).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Impédance caractéristique

Z_c = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu_0 \mu_r}{\epsilon_0 \epsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le câble est considéré sans pertes (conducteurs parfaits, diélectrique parfait).
L'onde se propage en mode Transverse Électromagnétique (TEM).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Rayon interne, $a = 1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-3} \text{ m}$
Rayon externe, $b = 3.5 \text{ mm} = 3.5 \times 10^{-3} \text{ m}$
$\epsilon_r = 2.25$, $\mu_r = 1$
$\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}$

Astuces (Pour aller plus vite)

Le terme $\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}$ est l'impédance du vide, $Z_0 \approx 377 \, \Omega$ ou plus précisément $120\pi \, \Omega$. La formule peut se simplifier en $Z_c = \frac{Z_0}{2\pi\sqrt{\epsilon_r}} \ln(b/a)$ si $\mu_r=1$, ce qui est très souvent le cas.

Schéma (Avant les calculs)

La géométrie clé est la section transversale, qui détermine les champs électrique (radial) et magnétique (circulaire) pour le mode de propagation principal (TEM).

Champs E et H en mode TEM

Calcul(s) (l'application numérique)

Rapport des rayons

\begin{aligned} \frac{b}{a} &= \frac{3.5 \text{ mm}}{1 \text{ mm}} \\ &= 3.5 \end{aligned}

Impédance d'onde du milieu

\begin{aligned} \sqrt{\frac{\mu_0 \mu_r}{\epsilon_0 \epsilon_r}} &= \sqrt{\frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1}{8.854 \times 10^{-12} \times 2.25}} \\ &\approx \sqrt{6.289 \times 10^4} \\ &\approx 250.78 \, \Omega \end{aligned}

Impédance caractéristique

\begin{aligned} Z_c &= \frac{1}{2\pi} \times 250.78 \times \ln(3.5) \\ &\approx \frac{1}{6.283} \times 250.78 \times 1.253 \\ &\approx 50.0 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur purement réelle. L'impédance caractéristique d'un câble sans pertes se comporte comme une simple résistance pour l'onde qui s'y propage. Elle est représentée par un vecteur sur l'axe réel du plan complexe.

Représentation de Zc dans le plan complexe

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat de 50 $\Omega$ est une valeur très standard pour les câbles coaxiaux utilisés en instrumentation et dans de nombreux systèmes de communication. Cela montre que les dimensions et le matériau choisis pour cet exercice sont réalistes et correspondent à un produit commun.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser le logarithme népérien (ln) et non le logarithme en base 10 (log). De plus, le rapport b/a est sans dimension, donc peu importe si vous utilisez des mm ou des m, tant que l'unité est la même pour les deux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

$Z_c$ dépend du logarithme du rapport des rayons, pas de leur valeur absolue.
$Z_c$ diminue si la permittivité $\epsilon_r$ du diélectrique augmente.
Pour un câble sans pertes, $Z_c$ est un nombre réel et ne dépend pas de la fréquence.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le câble coaxial a été inventé par l'ingénieur et mathématicien anglais Oliver Heaviside en 1880. Sa structure, qui confine le champ électromagnétique, a été une avancée majeure pour permettre la transmission de signaux sur de longues distances avec peu de pertes et d'interférences, bien avant l'avènement de la fibre optique.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'impédance caractéristique du câble est $Z_c \approx 50 \, \Omega$.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Que deviendrait $Z_c$ si on utilisait un diélectrique avec $\epsilon_r = 4$ (tout le reste étant identique) ? (Réponse attendue en $\Omega$, arrondie à 1 décimale)

Question 2 : Calcul de la vitesse de propagation $v$

Principe (le concept physique)

Une onde électromagnétique se propage à la vitesse de la lumière $c$ dans le vide. Lorsqu'elle traverse un matériau diélectrique, comme l'isolant d'un câble coaxial, elle est ralentie. La vitesse de propagation dans le câble est donc une fraction de $c$, déterminée par les propriétés électromagnétiques ($\epsilon_r, \mu_r$) de cet isolant.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La vitesse de phase d'une onde EM dans un milieu est donnée par $v = 1/\sqrt{\mu\epsilon}$. En remplaçant $\mu$ et $\epsilon$ par leurs expressions en fonction des propriétés du vide et des propriétés relatives du matériau, on obtient $v = 1/\sqrt{\mu_0\mu_r\epsilon_0\epsilon_r}$. Puisque la vitesse de la lumière dans le vide est $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$, on peut simplifier l'expression en $v = c/\sqrt{\mu_r\epsilon_r}$.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le terme $\sqrt{\mu_r\epsilon_r}$ est l'indice de réfraction du matériau, souvent noté $n$. La formule devient alors très simple : $v = c/n$. C'est exactement la même relation que celle utilisée en optique pour la lumière traversant du verre ou de l'eau. Cela montre l'unité fondamentale de l'électromagnétisme.

Normes (la référence réglementaire)

Les fiches techniques des câbles coaxiaux spécifient souvent un "facteur de vélocité" (Velocity Factor, VF), qui est le rapport $v/c$. C'est une donnée normalisée cruciale pour les applications où le temps de propagation est important, comme dans les systèmes radar ou les réseaux de communication synchrones.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vitesse de propagation

v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le diélectrique est non-magnétique, homogène et isotrope.
La vitesse de la lumière dans le vide est $c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Permittivité relative, $\epsilon_r = 2.25$
Perméabilité relative, $\mu_r = 1$

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour de nombreux diélectriques non-magnétiques, $\mu_r=1$, donc la formule se simplifie en $v = c/\sqrt{\epsilon_r}$. C'est un raccourci très courant et utile.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser l'onde se propageant le long du câble. Sa vitesse est inférieure à celle qu'elle aurait dans le vide.

Propagation de l'onde

Calcul(s) (l'application numérique)

Indice de réfraction du milieu

\begin{aligned} \sqrt{\mu_r \epsilon_r} &= \sqrt{1 \times 2.25} \\ &= \sqrt{2.25} \\ &= 1.5 \end{aligned}

Vitesse de propagation

\begin{aligned} v &= \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}} \\ &= \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{1.5} \\ &= 2 \times 10^8 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme compare la distance parcourue par l'onde dans le vide et dans le câble pendant la même durée $\Delta t$. La distance plus courte dans le câble illustre sa vitesse de propagation plus faible.

Comparaison des vitesses

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vitesse de l'onde dans le câble est de $2 \times 10^8$ m/s, soit exactement les deux tiers (66.7%) de la vitesse de la lumière dans le vide. C'est une valeur typique pour les câbles coaxiaux utilisant un diélectrique en polyéthylène. Ce ralentissement est un facteur crucial à prendre en compte dans la conception de systèmes haute fréquence.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de prendre la racine carrée du produit $\mu_r \epsilon_r$. Une erreur fréquente est de diviser $c$ directement par $\epsilon_r$.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La vitesse de propagation dans un câble dépend uniquement du diélectrique ($\epsilon_r, \mu_r$), pas de la géométrie.
Cette vitesse est toujours inférieure ou égale à $c$.
Le rapport $v/c$ est appelé le facteur de vélocité (VF).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les câbles coaxiaux "Air-spaced", on utilise des entretoises en plastique pour maintenir le conducteur central, le reste de l'espace étant rempli d'air ($\epsilon_r \approx 1$). Cela permet d'atteindre des facteurs de vélocité très élevés (plus de 95%), minimisant le retard du signal, ce qui est essentiel pour les applications comme les liaisons de télécommunication à très longue distance.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse de propagation de l'onde dans le câble est $v = 2 \times 10^8 \text{ m/s}$.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Quelle serait la vitesse de propagation $v$ si le diélectrique était du Téflon ($\epsilon_r = 2.1$) ? (Réponse en $10^8$ m/s, arrondie à 2 décimales)

Question 3 : Calcul de la longueur d'onde $\lambda$

Principe (le concept physique)

La longueur d'onde est la "distance" physique que parcourt une onde pendant une période de son cycle. Comme la vitesse de l'onde est réduite à l'intérieur du câble, la distance qu'elle peut parcourir pendant un cycle est également réduite. Par conséquent, la longueur d'onde dans le câble est plus courte que celle de la même onde se propageant dans le vide.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation fondamentale liant la vitesse ($v$), la fréquence ($f$) et la longueur d'onde ($\lambda$) est $v = f \cdot \lambda$. On peut donc toujours trouver l'une de ces grandeurs si l'on connaît les deux autres. En combinant avec la formule de la vitesse, on peut écrire la longueur d'onde dans le milieu : $\lambda = v/f = c/(f\sqrt{\mu_r\epsilon_r})$. Comme la longueur d'onde dans le vide est $\lambda_0 = c/f$, on a la relation simple $\lambda = \lambda_0 / \sqrt{\mu_r\epsilon_r}$.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la longueur d'onde comme à la longueur de la foulée d'un coureur. Si le coureur (l'onde) ralentit sur un terrain difficile (le diélectrique) mais que son rythme (la fréquence) reste le même, la longueur de sa foulée (la longueur d'onde) va nécessairement diminuer.

Normes (la référence réglementaire)

La longueur d'onde est une grandeur physique fondamentale et non un standard. Cependant, sa connaissance est cruciale pour la conception d'éléments normalisés qui dépendent de la longueur d'onde, comme les antennes, les filtres à stub, ou les coupleurs directionnels, dont les dimensions physiques sont souvent une fraction de $\lambda$.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Longueur d'onde

\lambda = \frac{v}{f}

Hypothèses (le cadre du calcul)

La fréquence de l'onde reste constante lorsqu'elle passe du vide (ou de l'air) au diélectrique du câble.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Vitesse de propagation, $v = 2 \times 10^8 \text{ m/s}$
Fréquence, $f = 1 \text{ GHz} = 1 \times 10^9 \text{ Hz}$

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour les fréquences en GHz, il est pratique de se souvenir que la longueur d'onde dans le vide $\lambda_0$ est approximativement $30/f_{\text{[GHz]}}$ en centimètres. Il suffit ensuite de diviser ce résultat par l'indice de réfraction $\sqrt{\epsilon_r}$ pour obtenir la longueur d'onde dans le câble.

Schéma (Avant les calculs)

La longueur d'onde est la distance spatiale entre deux points identiques successifs de l'onde, par exemple deux maxima.

Visualisation de la Longueur d'onde

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la longueur d'onde

\begin{aligned} \lambda &= \frac{v}{f} \\ &= \frac{2 \times 10^8 \text{ m/s}}{1 \times 10^9 \text{ Hz}} \\ &= 0.2 \text{ m} \\ &= 20 \text{ cm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma compare la longueur d'onde du signal à 1 GHz dans le vide et à l'intérieur du câble. On voit clairement le "raccourcissement" de l'onde dû au ralentissement dans le diélectrique.

Comparaison des longueurs d'onde

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une onde de 1 GHz a une longueur d'onde de 30 cm dans le vide. Dans notre câble, elle est réduite à 20 cm. Cette "compression" de la longueur d'onde est un effet direct du ralentissement de l'onde dans le diélectrique. C'est un point essentiel : les dimensions des composants haute fréquence doivent être calculées en utilisant la longueur d'onde dans le milieu de propagation, pas celle dans le vide.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'utiliser la vitesse de la lumière dans le vide ($c$) au lieu de la vitesse de propagation dans le câble ($v$) pour le calcul. Assurez-vous également que la fréquence est bien en Hertz (Hz) et non en GHz ou MHz dans le calcul final.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La longueur d'onde est inversement proportionnelle à la fréquence.
La longueur d'onde est plus courte dans un diélectrique que dans le vide.
La relation $\lambda = v/f$ est fondamentale.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En micro-électronique, sur les circuits imprimés, les pistes qui transportent des signaux haute fréquence se comportent comme des lignes de transmission. Les ingénieurs doivent calculer la longueur d'onde du signal sur la carte pour s'assurer que la longueur des pistes ne crée pas de réflexions ou de déphasages non désirés, ce qui pourrait perturber le fonctionnement du circuit.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La longueur d'onde du signal dans le câble est $\lambda = 0.2 \text{ m}$ (ou 20 cm).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Quelle serait la longueur d'onde $\lambda$ si la fréquence était de 500 MHz (avec la même vitesse $v$) ? (Réponse attendue en cm)

Question 4 : Calcul de $C'$ et $L'$

Principe (le concept physique)

Un câble coaxial peut être modélisé comme une succession infinie de petits circuits LC en série. La capacité linéique $C'$ (en F/m) représente la capacité formée par les deux conducteurs séparés par le diélectrique, par unité de longueur. L'inductance linéique $L'$ (en H/m) représente l'inductance due au champ magnétique créé entre les conducteurs, par unité de longueur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les valeurs de $L'$ et $C'$ peuvent être dérivées de l'électrostatique et de la magnétostatique en considérant une tranche de câble de longueur unité. On trouve que $C' = 2\pi\epsilon / \ln(b/a)$ et $L' = (\mu/2\pi) \ln(b/a)$. On peut vérifier que $Z_c = \sqrt{L'/C'}$ et $v = 1/\sqrt{L'C'}$, ce qui montre la cohérence du modèle de la ligne de transmission.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Notez que le produit $L'C'$ est égal à $\mu\epsilon$. Cela signifie que ce produit ne dépend que du matériau diélectrique, pas de la géométrie du câble ! C'est une propriété remarquable des lignes TEM.

Normes (la référence réglementaire)

Les paramètres $L'$ et $C'$ sont rarement spécifiés directement dans les fiches techniques grand public, mais ils sont fondamentaux pour les ingénieurs qui conçoivent et modélisent des systèmes RF. Ils sont utilisés dans des logiciels de simulation électromagnétique pour prédire avec précision le comportement d'un câble.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formules directes

C' = \frac{2\pi\epsilon_0\epsilon_r}{\ln(b/a)} \quad ; \quad L' = \frac{\mu_0\mu_r}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right)

Formules alternatives

Z_c = \sqrt{\frac{L'}{C'}} \quad ; \quad v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} \Rightarrow L' = \frac{Z_c}{v} \text{ et } C' = \frac{1}{Z_c v}

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Impédance caractéristique, $Z_c \approx 50 \, \Omega$
Vitesse de propagation, $v = 2 \times 10^8 \text{ m/s}$

Astuces (Pour aller plus vite)

Il est beaucoup plus simple et rapide d'utiliser les relations alternatives avec $Z_c$ et $v$ que de recalculer $L'$ et $C'$ à partir des formules de base, surtout si vous avez déjà calculé $Z_c$ et $v$ dans les questions précédentes.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre l'origine physique des paramètres linéiques : le champ électrique radial entre les conducteurs crée la capacité, tandis que le champ magnétique circulaire autour de l'âme crée l'inductance.

Origine de L' et C' dans le câble

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la capacité linéique $C'$

\begin{aligned} C' &= \frac{1}{Z_c v} \\ &= \frac{1}{50 \times (2 \times 10^8)} \\ &= \frac{1}{100 \times 10^8} = 10^{-10} \text{ F/m} \\ &= 100 \text{ pF/m} \end{aligned}

Calcul de l'inductance linéique $L'$

\begin{aligned} L' &= \frac{Z_c}{v} \\ &= \frac{50}{2 \times 10^8} \\ &= 25 \times 10^{-8} \text{ H/m} \\ &= 250 \text{ nH/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma représente le modèle à éléments distribués d'une petite section de câble de longueur Δz. Il montre comment la capacité et l'inductance linéiques se manifestent physiquement.

Modèle à Constantes Réparties

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces valeurs sont typiques pour un câble coaxial de 50 $\Omega$. Chaque mètre de ce câble se comporte comme un condensateur de 100 pF en parallèle avec une inductance de 250 nH. C'est ce modèle distribué qui explique comment l'onde est guidée le long de la structure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Les unités sont cruciales ici. $C'$ est en Farads par mètre (F/m) et $L'$ en Henrys par mètre (H/m). Il est courant d'exprimer les résultats en pF/m ou nH/m pour obtenir des valeurs plus maniables.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Un câble est une structure à constantes réparties ($L', C'$).
$Z_c$ et $v$ sont directement liés à $L'$ et $C'$.
Le produit $L'C' = \mu\epsilon$ ne dépend que du matériau.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La théorie des lignes de transmission, basée sur ce modèle $L'C'$, a été développée par Oliver Heaviside à la fin du 19e siècle pour expliquer pourquoi les signaux télégraphiques transatlantiques arrivaient déformés. Il a montré que pour une transmission sans distorsion, il fallait que la condition $R'/L' = G'/C'$ soit respectée, où $R'$ et $G'$ sont la résistance et la conductance linéiques (les pertes).

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La capacité linéique est $C' = 100 \text{ pF/m}$ et l'inductance linéique est $L' = 250 \text{ nH/m}$.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Calculez la capacité linéique $C'$ pour un câble standard de 75 $\Omega$ ayant le même facteur de vélocité (donc la même vitesse $v$). (Réponse attendue en pF/m, arrondie à 1 décimale)

Outil Interactif : Propriétés du Câble Coaxial

Utilisez les curseurs pour faire varier le rapport des rayons ($b/a$) et la permittivité relative ($\epsilon_r$) du diélectrique. Observez comment l'impédance caractéristique et la vitesse de propagation sont affectées.

Paramètres d'Entrée

Rapport des rayons ($b/a$) 3.5

Permittivité relative ($\epsilon_r$) 2.25

Résultats Clés

Impédance $Z_c$ ($\Omega$) -

Vitesse $v$ (% de c) -

Impédance Caractéristique ($Z_c$): Rapport entre la tension et le courant d'une onde se propageant dans une seule direction sur une ligne de transmission. C'est une propriété intrinsèque de la ligne, dépendant de sa géométrie et des matériaux.
Diélectrique: Matériau isolant électrique qui peut être polarisé par un champ électrique. Dans un câble coaxial, il sépare les deux conducteurs et influence la vitesse de l'onde et l'impédance.
Permittivité ($\epsilon$): Mesure de la capacité d'un matériau à stocker de l'énergie électrique dans un champ électrique. La permittivité relative $\epsilon_r$ compare cette capacité à celle du vide.
Perméabilité ($\mu$): Mesure de la capacité d'un matériau à supporter la formation d'un champ magnétique. La plupart des diélectriques sont non-magnétiques, avec une perméabilité relative $\mu_r$ proche de 1.
Mode TEM: Mode de propagation d'onde Transverse Électromagnétique, où les champs électrique (E) et magnétique (H) sont tous deux perpendiculaires à la direction de propagation. C'est le mode principal dans un câble coaxial.

Ondes Guidées dans un Câble Coaxial

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Coupe Transversale d'un Câble Coaxial

Questions à traiter

Les bases sur les Lignes de Transmission

Correction : Ondes Électromagnétiques Guidées dans un Câble Coaxial

Question 1 : Calcul de l'impédance caractéristique \(Z_c\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Champs E et H en mode TEM

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Représentation de Zc dans le plan complexe

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Question 2 : Calcul de la vitesse de propagation \(v\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Propagation de l'onde

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des vitesses

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Question 3 : Calcul de la longueur d'onde \(\lambda\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la Longueur d'onde

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des longueurs d'onde

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Question 4 : Calcul de \(C'\) et \(L'\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Origine de L' et C' dans le câble