Ondes Guidées dans un Câble Coaxial

Comprendre les Ondes Guidées dans un Câble Coaxial

Les câbles coaxiaux sont omniprésents dans les télécommunications pour transporter des signaux haute fréquence (télévision, internet, etc.). Leur géométrie cylindrique unique permet de confiner l'onde électromagnétique dans le diélectrique entre l'âme centrale et le blindage externe. Ce confinement crée un mode de propagation principal appelé TEM (Transverse Électro-Magnétique)Mode de propagation d'une onde électromagnétique où le champ électrique (E) et le champ magnétique (B) sont tous deux perpendiculaires à la direction de propagation de l'onde. C'est le mode principal dans les lignes de transmission comme les câbles coaxiaux., où les champs électrique et magnétique sont perpendiculaires à la direction de propagation. Les propriétés de cette propagation (vitesse, impédance) sont entièrement déterminées par la géométrie du câble et les caractéristiques du matériau diélectrique isolant.

Remarque Pédagogique : Cet exercice montre comment les propriétés fondamentales d'un guide d'ondes, comme son inductance linéiqueL'inductance par unité de longueur d'une ligne de transmission. Elle représente la capacité de la ligne à stocker de l'énergie magnétique. Unité : Henry par mètre (H/m). (L) et sa capacité linéiqueLa capacité par unité de longueur d'une ligne de transmission. Elle représente la capacité de la ligne à stocker de l'énergie électrique. Unité : Farad par mètre (F/m). (C), découlent directement de l'électrostatique et de la magnétostatique et dictent le comportement dynamique de l'onde.

Données de l'étude

On étudie un câble coaxial de type RG-58/U utilisé pour transmettre un signal.

Caractéristiques géométriques et matérielles :

Rayon de l'âme interne (\(a\)) : \(0.45 \, \text{mm}\)
Rayon interne du blindage (\(b\)) : \(1.45 \, \text{mm}\)
Diélectrique : Polyéthylène (PE)
Permittivité relative du PE (\(\epsilon_r\)) : \(2.25\)
Perméabilité relative du PE (\(\mu_r\)) : \(1\) (non magnétique)

Caractéristiques du signal :

Fréquence (\(f\)) : \(100 \, \text{MHz}\)

Constantes physiques :

Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)

Schéma d'un Câble Coaxial

Questions à traiter

Calculer l'inductance linéique \(L\) du câble.
Calculer la capacité linéique \(C\) du câble.
En déduire l'impédance caractéristique \(Z_c\).
Calculer la vitesse de propagation \(v_p\) et la longueur d'onde guidée \(\lambda_g\) du signal dans le câble.

Correction : Ondes Électromagnétiques Guidées dans un Câble Coaxial

Question 1 : Inductance Linéique (\(L\))

Principe :

L'inductance par unité de longueur (\(L\)) est déterminée par la géométrie du câble et la perméabilité magnétique du diélectrique. Elle représente la capacité du câble à stocker de l'énergie dans le champ magnétique (\(B\)) créé par le courant (\(I\)) qui le traverse.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Notez que l'inductance dépend du logarithme du rapport des rayons, et non des rayons eux-mêmes. Cela signifie que la valeur de L est relativement peu sensible aux petites variations de la géométrie du câble. Cette propriété découle de l'intégration du champ magnétique, calculé par le théorème d'Ampère, entre l'âme et le blindage.

Formule(s) utilisée(s) :

L = \frac{\mu_0 \mu_r}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right)

Données(s) :

Rayon interne (\(a\)) : \(0.45 \, \text{mm} = 0.45 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Rayon externe (\(b\)) : \(1.45 \, \text{mm} = 1.45 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Perméabilité relative (\(\mu_r\)) : \(1\)
Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} L &= \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 1}{2\pi} \ln\left(\frac{1.45 \times 10^{-3}}{0.45 \times 10^{-3}}\right) \\ &= (2 \times 10^{-7}) \cdot \ln(3.222) \\ &\approx 2.34 \times 10^{-7} \, \text{H/m} \end{aligned}

Résultat Question 1 : L'inductance linéique est \(L \approx 234 \, \text{nH/m}\).

Question 2 : Capacité Linéique (\(C\))

Principe :

La capacité par unité de longueur (\(C\)) dépend de la géométrie et de la permittivité diélectrique \(\epsilon\) de l'isolant. Elle caractérise l'aptitude du câble à stocker de l'énergie dans le champ électrique (\(E\)) qui s'établit entre les deux conducteurs.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Tout comme l'inductance, la capacité dépend inversement du même terme géométrique \(\ln(b/a)\). Cette dualité entre L et C est fondamentale dans la théorie des lignes de transmission. Un câble avec une forte inductance aura nécessairement une faible capacité, et vice-versa, pour une géométrie donnée.

Formule(s) utilisée(s) :

C = \frac{2\pi \epsilon_0 \epsilon_r}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}

Données(s) :

Rapport \(\ln(b/a)\) : \(\approx 1.17\) (calculé précédemment)
Permittivité relative (\(\epsilon_r\)) : \(2.25\)
Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} C &= \frac{2\pi \cdot (8.854 \times 10^{-12}) \cdot 2.25}{1.17} \\ &= \frac{1.25 \times 10^{-10}}{1.17} \\ &\approx 1.07 \times 10^{-10} \, \text{F/m} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La capacité linéique est \(C \approx 107 \, \text{pF/m}\).

Question 3 : Impédance Caractéristique (\(Z_c\))

Principe :

L'impédance caractéristiqueLe rapport entre l'amplitude de la tension et l'amplitude du courant d'une onde se propageant dans une ligne de transmission en l'absence de réflexions. C'est une propriété fondamentale du guide d'ondes. Unité : Ohm (Ω). \(Z_c\) est une propriété fondamentale du câble qui représente le rapport entre la tension et le courant de l'onde qui s'y propage. Pour une ligne sans pertes, elle ne dépend que de l'inductance et de la capacité linéiques.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : En substituant les formules complètes de L et C, on trouve que \(Z_c \approx \frac{60}{\sqrt{\epsilon_r}}\ln(b/a)\). L'impédance ne dépend que du rapport des rayons \(b/a\) et du diélectrique \(\epsilon_r\), pas de la taille absolue du câble ! C'est pourquoi on peut fabriquer des câbles de 50 Ω de tailles très différentes.

Formule(s) utilisée(s) :

Z_c = \sqrt{\frac{L}{C}}

Données(s) :

Inductance linéique (\(L\)) : \(2.34 \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
Capacité linéique (\(C\)) : \(1.07 \times 10^{-10} \, \text{F/m}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} Z_c &= \sqrt{\frac{2.34 \times 10^{-7}}{1.07 \times 10^{-10}}} \\ &= \sqrt{2187} \\ &\approx 46.8 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Question 3 : L'impédance caractéristique est \(Z_c \approx 47 \, \Omega\). (La valeur standard pour un RG-58 est 50 Ω, notre calcul est proche).

Question 4 : Vitesse de Propagation (\(v_p\)) et Longueur d'Onde (\(\lambda_g\))

Principe :

La vitesse de propagation \(v_p\) de l'onde dans le câble est ralentie par le diélectrique par rapport à la vitesse de la lumière dans le vide. La longueur d'onde guidéeLa distance spatiale sur laquelle la forme de l'onde se répète à l'intérieur d'un guide d'ondes. Elle est liée à la vitesse de propagation et à la fréquence par \(\lambda_g = v_p / f\). \(\lambda_g\) est la distance que l'onde parcourt dans le câble pendant une période du signal.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Pour un mode TEM, la vitesse de propagation \(v_p = 1/\sqrt{LC}\) se simplifie et ne dépend que des propriétés du matériau (\(v_p = c/\sqrt{\mu_r \epsilon_r}\)). Elle est indépendante de la géométrie du câble (les termes en \(\ln(b/a)\) s'annulent) ! Le facteur \(\sqrt{\epsilon_r}\) est l'indice de réfraction du diélectrique.

Formule(s) utilisée(s) :

v_p = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}} \quad \text{et} \quad \lambda_g = \frac{v_p}{f}

Données(s) :

Permittivité relative (\(\epsilon_r\)) : \(2.25\)
Perméabilité relative (\(\mu_r\)) : \(1\)
Vitesse de la lumière (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Fréquence (\(f\)) : \(100 \, \text{MHz} = 1 \times 10^8 \, \text{Hz}\)

Calcul(s) :

1. Calcul de la vitesse de propagation (\(v_p\))

\begin{aligned} v_p &= \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 \cdot 2.25}} \\ &= \frac{3 \times 10^8}{1.5} \\ &= 2.0 \times 10^8 \, \text{m/s} \end{aligned}

2. Calcul de la longueur d'onde guidée (\(\lambda_g\))

\begin{aligned} \lambda_g &= \frac{v_p}{f} \\ &= \frac{2.0 \times 10^8 \, \text{m/s}}{1 \times 10^8 \, \text{Hz}} \\ &= 2.0 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La vitesse de propagation est \(v_p = 2.0 \times 10^8 \, \text{m/s}\) (soit 67% de c) et la longueur d'onde est \(\lambda_g = 2.0 \, \text{m}\).

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre	Valeur Calculée
Inductance Linéique (\(L\))	Cliquez pour révéler
Capacité Linéique (\(C\))	Cliquez pour révéler
Impédance Caractéristique (\(Z_c\))	Cliquez pour révéler
Vitesse et Longueur d'onde	Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Un autre câble coaxial a une impédance caractéristique de \(75 \, \Omega\) et utilise un diélectrique avec \(\epsilon_r = 1.5\). En supposant que le rayon de l'âme interne \(a\) est de \(0.3 \, \text{mm}\), quel doit être le rayon interne du blindage \(b\) ? (Indice : Exprimez \(Z_c\) en fonction des constantes et de la géométrie).

\(b\) (en mm) =

Pièges à Éviter

Unités : Assurez-vous d'utiliser les unités du Système International pour tous les calculs (mètres, Farads, Henrys). Convertissez les mm, pF, nH avant de calculer.

Logarithme : Les formules utilisent le logarithme népérien (\(\ln\)), pas le logarithme en base 10 (\(\log\)).

Vitesse de propagation : Ne pas oublier que la vitesse dans le câble est inférieure à \(c\). Elle est réduite par le facteur \(1/\sqrt{\epsilon_r}\) (si \(\mu_r=1\)).

Simulation Interactive des Propriétés du Câble

Variez la géométrie et le diélectrique pour voir leur impact sur les caractéristiques du câble.

Paramètres de Simulation

Rapport des rayons (b/a): 3.22

Permittivité relative (\(\epsilon_r\)): 2.25

Fréquence (f): 100 MHz

Résultats Calculés

Impédance Caractéristique (\(Z_c\))

Vitesse de Propagation (\(v_p\))

Longueur d'Onde Guidée (\(\lambda_g\))

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Lignes Micro-ruban :

Dans les circuits imprimés (PCBs), on utilise des "lignes micro-ruban" qui agissent comme des guides d'ondes plans. Le calcul de leur impédance est plus complexe mais suit les mêmes principes : il dépend de la géométrie (largeur de la piste, épaisseur du substrat) et du diélectrique (\(\epsilon_r\) du PCB).

2. Pertes dans le câble :

Notre exercice suppose un câble parfait. En réalité, il existe des pertes dues à la résistance des conducteurs (effet de peau) et aux imperfections du diélectrique. Ces pertes introduisent une atténuation du signal qui augmente avec la fréquence et la longueur du câble.

3. Fréquence de coupure :

Le mode TEM peut se propager à n'importe quelle fréquence (en théorie de 0 Hz à l'infini). Cependant, au-delà d'une certaine fréquence, d'autres modes plus complexes (TE, TM) peuvent apparaître. La fréquence de coupure du premier mode supérieur limite la bande passante utile du câble coaxial.

Le Saviez-Vous ?

L'invention du câble coaxial est attribuée à l'ingénieur et mathématicien anglais Oliver Heaviside, qui a breveté le concept en 1880. Il a compris que cette géométrie permettrait de minimiser les interférences extérieures et de contrôler précisément l'impédance, des concepts révolutionnaires pour l'époque qui sont toujours au cœur des technologies de communication actuelles.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi l'impédance caractéristique de 50 Ω et 75 Ω est-elle si courante ?

Ces valeurs sont un compromis historique. L'impédance pour une perte d'atténuation minimale dans un câble à diélectrique air est d'environ 77 Ω. L'impédance pour une puissance transmissible maximale est d'environ 30 Ω. Les valeurs de 50 Ω (pour les applications de mesure et de radiofréquence) et 75 Ω (pour la vidéo et la télévision) représentent des compromis optimaux entre ces contraintes.

Que se passe-t-il si on connecte deux câbles avec des impédances différentes ?

Une partie de l'onde sera réfléchie à la jonction entre les deux câbles. Cette réflexion crée des ondes stationnaires, une perte de puissance transmise et peut endommager l'émetteur. C'est pourquoi il est crucial d'adapter les impédances dans une chaîne de transmission RF.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'on remplace le diélectrique par de l'air (\(\epsilon_r=1\)) sans changer la géométrie, que devient l'impédance caractéristique \(Z_c\) ?

Elle diminue.
Elle augmente.
Elle ne change pas.

2. La vitesse de propagation de l'onde dans un câble coaxial dépend principalement :

De la permittivité du diélectrique.
Des rayons des conducteurs.
De la fréquence du signal.

Glossaire

Mode TEM (Transverse Électro-Magnétique): Mode de propagation d'une onde électromagnétique où le champ électrique (E) et le champ magnétique (B) sont tous deux perpendiculaires à la direction de propagation de l'onde. C'est le mode principal dans les lignes de transmission comme les câbles coaxiaux.
Inductance Linéique (L): L'inductance par unité de longueur d'une ligne de transmission. Elle représente la capacité de la ligne à stocker de l'énergie magnétique. Unité : Henry par mètre (H/m).
Capacité Linéique (C): La capacité par unité de longueur d'une ligne de transmission. Elle représente la capacité de la ligne à stocker de l'énergie électrique. Unité : Farad par mètre (F/m).
Impédance Caractéristique (\(Z_c\)): Le rapport entre l'amplitude de la tension et l'amplitude du courant d'une onde se propageant dans une ligne de transmission en l'absence de réflexions. C'est une propriété fondamentale du guide d'ondes. Unité : Ohm (Ω).
Longueur d'Onde Guidée (\(\lambda_g\)): La distance spatiale sur laquelle la forme de l'onde se répète à l'intérieur d'un guide d'ondes. Elle est liée à la vitesse de propagation et à la fréquence par \(\lambda_g = v_p / f\).

Ondes Guidées dans un Câble Coaxial

Données de l'étude

Schéma d'un Câble Coaxial

Questions à traiter

Correction : Ondes Électromagnétiques Guidées dans un Câble Coaxial

Question 1 : Inductance Linéique (\(L\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Données(s) :

Calcul(s) :

Question 2 : Capacité Linéique (\(C\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Données(s) :

Calcul(s) :

Question 3 : Impédance Caractéristique (\(Z_c\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Données(s) :

Calcul(s) :

Question 4 : Vitesse de Propagation (\(v_p\)) et Longueur d'Onde (\(\lambda_g\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Données(s) :

Calcul(s) :

Tableau Récapitulatif Interactif

À vous de jouer ! (Défi)

Pièges à Éviter

Simulation Interactive des Propriétés du Câble

Paramètres de Simulation

Résultats Calculés

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

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Glossaire

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