ÉTUDE DE PHYSIQUE

Optimisation d’un Circuit Électrique

Optimisation d’un Circuit Électrique en Électromagnétisme

Optimisation d’un Circuit Électrique

Comprendre l'Optimisation des Circuits Électriques

L'optimisation des circuits électriques est un aspect crucial de l'électromagnétisme et de l'ingénierie électrique. Elle vise à concevoir des circuits qui fonctionnent de manière efficace, par exemple en minimisant les pertes d'énergie, en maximisant le transfert de puissance vers une charge, ou en assurant une réponse spécifique en fréquence. Un concept fondamental est le théorème du transfert maximal de puissance, qui stipule que pour transférer la puissance maximale d'une source avec une résistance interne fixe vers une charge résistive, la résistance de la charge doit être égale à la résistance interne de la source. Cet exercice explore ce théorème et les calculs associés.

Données du Problème

On considère une source de tension réelle connectée à une résistance de charge \(R_L\).

  • Tension à vide de la source (force électromotrice, FEM), \(E\) : \(12.0 \, \text{V}\)
  • Résistance interne de la source (\(R_i\)) : \(2.0 \, \Omega\)
  • La résistance de charge (\(R_L\)) est variable.
Schéma : Source de Tension avec Résistance Interne et Charge
E Ri RL I

Circuit avec une source de tension réelle et une résistance de charge.

Questions à traiter

  1. Exprimer le courant total (\(I\)) circulant dans le circuit en fonction de \(E\), \(R_i\), et \(R_L\).
  2. Exprimer la puissance (\(P_L\)) dissipée par la résistance de charge \(R_L\) en fonction de \(E\), \(R_i\), et \(R_L\).
  3. Pour quelle valeur de \(R_L\) la puissance dissipée par la charge est-elle maximale ? (Indice : dériver \(P_L\) par rapport à \(R_L\) et égaler à zéro, ou utiliser le théorème du transfert maximal de puissance).
  4. Calculer la valeur de cette puissance maximale (\(P_{L, \text{max}}\)) transférée à la charge.
  5. Calculer la puissance totale (\(P_{\text{source}}\)) fournie par la source (FEM) lorsque la puissance transférée à la charge est maximale.
  6. Calculer le rendement (\(\eta\)) du transfert de puissance lorsque la puissance transférée à la charge est maximale. Le rendement est défini comme \(\eta = P_L / P_{\text{source}}\).
  7. Si \(R_L = 10.0 \, \Omega\), calculer le courant \(I\), la puissance \(P_L\) dissipée dans la charge, et le rendement du transfert de puissance. Comparer avec le cas du transfert maximal.

Correction : Optimisation d’un Circuit Électrique

Question 1 : Expression du courant total (\(I\))

Principe :

Dans un circuit série simple, le courant total est donné par la loi d'Ohm appliquée à l'ensemble du circuit : la tension totale (FEM de la source) divisée par la résistance totale équivalente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I = \frac{E}{R_{\text{totale}}} \]

La résistance totale est la somme de la résistance interne et de la résistance de charge : \(R_{\text{totale}} = R_i + R_L\).

\[ I = \frac{E}{R_i + R_L} \]
Résultat Question 1 : L'expression du courant total est \(I = \frac{E}{R_i + R_L}\).

Question 2 : Expression de la puissance (\(P_L\)) dissipée par la charge

Principe :

La puissance dissipée par une résistance est donnée par \(P = I^2 R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_L = I^2 R_L \]

En substituant l'expression de \(I\) de la question 1 :

\[ P_L = \left(\frac{E}{R_i + R_L}\right)^2 R_L = \frac{E^2 R_L}{(R_i + R_L)^2} \]
Résultat Question 2 : L'expression de la puissance dissipée par la charge est \(P_L = \frac{E^2 R_L}{(R_i + R_L)^2}\).

Question 3 : Valeur de \(R_L\) pour une puissance maximale

Principe :

Pour trouver la valeur de \(R_L\) qui maximise \(P_L\), on dérive l'expression de \(P_L\) par rapport à \(R_L\) et on cherche la valeur de \(R_L\) pour laquelle cette dérivée est nulle.

Soit \(P_L(R_L) = \frac{E^2 R_L}{(R_i + R_L)^2}\). On calcule \(\frac{dP_L}{dR_L}\) en utilisant la règle de dérivation d'un quotient \((u/v)' = (u'v - uv')/v^2\).

Ici, \(u = E^2 R_L \Rightarrow u' = E^2\), et \(v = (R_i + R_L)^2 \Rightarrow v' = 2(R_i + R_L)\).

Calcul de la dérivée :
\[ \begin{aligned} \frac{dP_L}{dR_L} &= \frac{E^2 (R_i + R_L)^2 - E^2 R_L \cdot 2(R_i + R_L)}{((R_i + R_L)^2)^2} \\ &= \frac{E^2 (R_i + R_L) [ (R_i + R_L) - 2R_L ]}{(R_i + R_L)^4} \\ &= \frac{E^2 (R_i - R_L)}{(R_i + R_L)^3} \end{aligned} \]

Pour que la puissance soit maximale, \(\frac{dP_L}{dR_L} = 0\). Cela implique que le numérateur soit nul (le dénominateur ne peut pas être infini pour \(R_L > 0\)) :

\[ E^2 (R_i - R_L) = 0 \]

Puisque \(E^2 \neq 0\), on doit avoir :

\[ R_i - R_L = 0 \Rightarrow R_L = R_i \]

C'est le théorème du transfert maximal de puissance : la puissance transférée à la charge est maximale lorsque la résistance de la charge est égale à la résistance interne de la source.

Données spécifiques :
  • \(R_i = 2.0 \, \Omega\)
Résultat Question 3 : La puissance dissipée par la charge est maximale lorsque \(R_L = R_i = 2.0 \, \Omega\).

Question 4 : Calcul de la puissance maximale (\(P_{L, \text{max}}\))

Principe :

On substitue \(R_L = R_i\) dans l'expression de \(P_L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{L, \text{max}} = \frac{E^2 R_i}{(R_i + R_i)^2} = \frac{E^2 R_i}{(2R_i)^2} = \frac{E^2 R_i}{4R_i^2} = \frac{E^2}{4R_i} \]
Données spécifiques :
  • \(E = 12.0 \, \text{V}\)
  • \(R_i = 2.0 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{L, \text{max}} &= \frac{(12.0 \, \text{V})^2}{4 \times 2.0 \, \Omega} \\ &= \frac{144 \, \text{V}^2}{8.0 \, \Omega} \\ &= 18.0 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La puissance maximale transférée à la charge est \(P_{L, \text{max}} = 18.0 \, \text{W}\).

Question 5 : Puissance totale (\(P_{\text{source}}\)) fournie par la source

Principe :

La puissance totale fournie par la source (FEM) est \(P_{\text{source}} = E \cdot I\). Lorsque \(R_L = R_i\), le courant est \(I = E / (R_i + R_i) = E / (2R_i)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I_{\text{max_power}} = \frac{E}{2R_i} \] \[ P_{\text{source}} = E \cdot I_{\text{max_power}} = E \cdot \frac{E}{2R_i} = \frac{E^2}{2R_i} \]
Données spécifiques :
  • \(E = 12.0 \, \text{V}\)
  • \(R_i = 2.0 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{source}} &= \frac{(12.0 \, \text{V})^2}{2 \times 2.0 \, \Omega} \\ &= \frac{144 \, \text{V}^2}{4.0 \, \Omega} \\ &= 36.0 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La puissance totale fournie par la source est \(P_{\text{source}} = 36.0 \, \text{W}\).

Question 6 : Rendement (\(\eta\)) du transfert de puissance maximal

Principe :

Le rendement est le rapport de la puissance utile (dissipée dans la charge) à la puissance totale fournie par la source.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \eta = \frac{P_{L, \text{max}}}{P_{\text{source}}} \]
Données spécifiques :
  • \(P_{L, \text{max}} = 18.0 \, \text{W}\)
  • \(P_{\text{source}} = 36.0 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{18.0 \, \text{W}}{36.0 \, \text{W}} \\ &= 0.50 \end{aligned} \]

Exprimé en pourcentage : \(\eta = 50\%\).

Résultat Question 6 : Le rendement du transfert de puissance maximal est de \(50\%\).

Question 7 : Calculs pour \(R_L = 10.0 \, \Omega\)

Principe :

On utilise les formules établies précédemment pour \(I\), \(P_L\), et \(\eta\).

Données spécifiques :
  • \(E = 12.0 \, \text{V}\)
  • \(R_i = 2.0 \, \Omega\)
  • \(R_L = 10.0 \, \Omega\)
Calcul du courant \(I\) :
\[ \begin{aligned} I &= \frac{E}{R_i + R_L} = \frac{12.0 \, \text{V}}{2.0 \, \Omega + 10.0 \, \Omega} \\ &= \frac{12.0 \, \text{V}}{12.0 \, \Omega} = 1.00 \, \text{A} \end{aligned} \]
Calcul de la puissance \(P_L\) :
\[ \begin{aligned} P_L &= I^2 R_L = (1.00 \, \text{A})^2 \times (10.0 \, \Omega) \\ &= 1.00 \, \text{A}^2 \times 10.0 \, \Omega \\ &= 10.0 \, \text{W} \end{aligned} \]
Calcul de la puissance source \(P_{\text{source}}\) :
\[ P_{\text{source}} = E \cdot I = (12.0 \, \text{V}) \times (1.00 \, \text{A}) = 12.0 \, \text{W} \]
Calcul du rendement \(\eta\) :
\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{P_L}{P_{\text{source}}} = \frac{10.0 \, \text{W}}{12.0 \, \text{W}} \\ &\approx 0.8333 \end{aligned} \]

Exprimé en pourcentage : \(\eta \approx 83.3\%\).

Comparaison :

Pour \(R_L = 10.0 \, \Omega\) : \(I=1.00 \, \text{A}\), \(P_L = 10.0 \, \text{W}\), \(\eta \approx 83.3\%\).

Pour le transfert maximal (\(R_L = 2.0 \, \Omega\)) : \(I = 12.0/(2.0+2.0) = 3.0 \, \text{A}\), \(P_{L, \text{max}} = 18.0 \, \text{W}\), \(\eta = 50\%\).

Lorsque \(R_L > R_i\), la puissance transférée à la charge (\(10.0 \, \text{W}\)) est inférieure à la puissance maximale (\(18.0 \, \text{W}\)), mais le rendement du transfert est plus élevé (\(83.3\%\) contre \(50\%\)). Cela illustre le compromis entre maximiser la puissance transférée et maximiser l'efficacité.

Résultat Question 7 : Pour \(R_L = 10.0 \, \Omega\), \(I = 1.00 \, \text{A}\), \(P_L = 10.0 \, \text{W}\), et \(\eta \approx 83.3\%\). La puissance transférée est plus faible mais le rendement est meilleur que dans le cas du transfert de puissance maximal.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Selon le théorème du transfert maximal de puissance, la puissance transférée à une charge \(R_L\) est maximale lorsque :

2. La puissance dissipée par une résistance \(R\) traversée par un courant \(I\) est donnée par :

3. Le rendement d'un transfert de puissance est maximal lorsque :

4. Dans un circuit série simple avec une source de tension \(E\) et deux résistances \(R_1\) et \(R_2\), le courant total est :

Glossaire

Source de Tension Réelle
Modèle d'une source de tension qui inclut une force électromotrice (FEM) idéale en série avec une résistance interne.
Force Électromotrice (FEM, \(E\))
Tension produite par une source d'énergie électrique, comme une batterie ou un générateur, lorsqu'aucun courant ne circule (tension à vide).
Résistance Interne (\(R_i\))
Résistance inhérente à une source de tension, qui cause une chute de tension lorsque la source débite un courant.
Résistance de Charge (\(R_L\))
Résistance externe connectée à une source de tension, qui consomme de l'énergie électrique.
Loi d'Ohm
Relation fondamentale en électricité : \(V = IR\), où \(V\) est la tension, \(I\) le courant, et \(R\) la résistance.
Puissance Électrique (\(P\))
Taux auquel l'énergie électrique est transférée ou dissipée. Unités : Watt (W). Formules : \(P = VI = I^2R = V^2/R\).
Théorème du Transfert Maximal de Puissance
Stipule que pour transférer la puissance maximale d'une source avec une résistance interne fixe à une charge résistive, la résistance de la charge doit être égale à la résistance interne de la source (\(R_L = R_i\)).
Rendement (\(\eta\))
Rapport de la puissance utile (ex: puissance dissipée dans la charge) à la puissance totale fournie par la source.
Circuit Série
Circuit électrique dans lequel les composants sont connectés les uns à la suite des autres, de sorte que le même courant les traverse tous.
Optimisation d’un Circuit Électrique - Exercice d'Application

D’autres exercices d’electromagnétisme:

Champ Électrique d’une Distribution Linéique
Champ Électrique d’une Distribution Linéique

Champ Électrique d'une Distribution Linéique de Charge Finie Champ Électrique d'une Distribution Linéique de Charge Finie Comprendre le Champ des Distributions Continues Pour calculer le champ électrique créé par une distribution continue de charges (comme un fil ou...

Calcul du Courant pour chaque Tension
Calcul du Courant pour chaque Tension

Calcul du Courant pour chaque Tension en Électromagnétisme Calcul du Courant pour Différentes Tensions (Loi d'Ohm) Comprendre la Loi d'Ohm La loi d'Ohm est une loi fondamentale en électricité qui décrit la relation entre la tension (\(V\)), le courant (\(I\)) et la...

Contrôle de la Tension pour un Moteur DC
Contrôle de la Tension pour un Moteur DC

Contrôle de la Tension pour un Moteur DC en Électromagnétisme Contrôle de la Tension pour un Moteur DC Comprendre le Contrôle de la Tension des Moteurs DC Les moteurs à courant continu (DC) sont largement utilisés dans de nombreuses applications en raison de leur...

Calcul des Lignes de Champ Électrique
Calcul des Lignes de Champ Électrique

Calcul des Lignes de Champ Électrique en Électromagnétisme Calcul des Lignes de Champ Électrique Comprendre les Lignes de Champ Électrique Le champ électrique est une région de l'espace où une charge électrique subirait une force électrostatique. Les lignes de champ...

Application de la Loi de Coulomb
Application de la Loi de Coulomb

Application de la Loi de Coulomb en Électromagnétisme Application de la Loi de Coulomb Comprendre la Loi de Coulomb La loi de Coulomb, formulée par Charles-Augustin de Coulomb à la fin du XVIIIe siècle, est une loi fondamentale de l'électrostatique. Elle décrit la...

Calcul de la Puissance d’une Ampoule LED
Calcul de la Puissance d’une Ampoule LED

Calcul de la Puissance d’une Ampoule LED en Électromagnétisme Calcul de la Puissance d’une Ampoule LED Comprendre la Puissance Électrique des Ampoules LED La puissance électrique est la quantité d'énergie électrique consommée par un appareil par unité de temps. Pour...

Calcul d’Énergie Stockée dans un Condensateur
Calcul d’Énergie Stockée dans un Condensateur

Calcul de l’Énergie Stockée dans un Condensateur en Électromagnétisme Calcul de l’Énergie Stockée dans un Condensateur Comprendre l'Énergie Stockée dans un Condensateur Un condensateur est un composant électronique passif capable de stocker de l'énergie sous forme de...

Analyse des Configurations de Condensateurs
Analyse des Configurations de Condensateurs

Analyse des Configurations de Condensateurs Comprendre les Condensateurs et leurs Associations Un condensateur est un composant électronique capable de stocker de l'énergie sous forme de champ électrique entre deux armatures conductrices (appelées électrodes) séparées...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *