Potentiel Électrique d'un Quadripôle
Comprendre le Potentiel d'un Quadripôle
Après le monopôle (charge seule) et le dipôle, le quadripôle est le terme suivant dans le développement multipolaire du potentiel électrique. Il représente une distribution de charges dont le moment monopolaire et le moment dipolaire sont nuls. Le potentiel d'un quadripôle décroît plus rapidement avec la distance (en \(1/r^3\)) que celui d'un dipôle (\(1/r^2\)) ou d'un monopôle (\(1/r\)). Le calcul de son potentiel à grande distance est un excellent exercice d'application du principe de superposition et des développements limités, outils fondamentaux en physique.
Données de l'étude
- Une charge \(+q\) située en \(z = +a\).
- Une charge \(-2q\) située à l'origine \(z = 0\).
- Une charge \(+q\) située en \(z = -a\).
- Déterminer une expression approchée du potentiel électrique \(V(P)\) en un point \(P\) très éloigné de l'origine (\(r \gg a\)), repéré par ses coordonnées sphériques \((r, \theta)\).
Schéma du Quadripôle Linéaire
Questions à traiter
- Écrire l'expression exacte du potentiel \(V(P)\) créé par les trois charges au point P.
- Exprimer les distances \(r_1\) (de la charge \(-q\) en \(-a\)) et \(r_2\) (de la charge \(+q\) en \(+a\)) en fonction de \(r\), \(a\) et \(\theta\) en utilisant la loi des cosinus.
- En utilisant le développement limité \((1+\epsilon)^{-1/2} \approx 1 - \frac{1}{2}\epsilon + \frac{3}{8}\epsilon^2\) pour \(\epsilon \ll 1\), trouver les expressions approchées de \(1/r_1\) et \(1/r_2\) pour \(r \gg a\).
- Substituer ces approximations dans l'expression de \(V(P)\) et la simplifier pour obtenir le potentiel du quadripôle à grande distance.
Correction : Potentiel Électrique d'un Quadripôle
Question 1 : Expression Exacte du Potentiel
Principe :
On applique le principe de superposition. Le potentiel total est la somme scalaire des potentiels créés par chaque charge ponctuelle.
Formule(s) :
Calcul :
Soit \(r_1\) la distance de la charge en \(z=-a\) à P, \(r\) la distance de la charge en \(z=0\) à P, et \(r_2\) la distance de la charge en \(z=+a\) à P.
Question 2 : Distances \(r_1\) et \(r_2\)
Principe :
On applique la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi) aux triangles formés par l'origine O, le point P, et chaque charge décalée.
Calcul :
Pour la charge en \(z=+a\) (distance \(r_2\)) :
Pour la charge en \(z=-a\) (distance \(r_1\)) : l'angle entre le vecteur position de la charge et le vecteur \(\vec{r}\) est \(\pi - \theta\). Comme \(\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta\) :
Question 3 : Développement Limité
Principe :
On factorise par \(r^2\) dans les expressions de \(r_1^2\) et \(r_2^2\), puis on prend l'inverse de la racine carrée et on applique le développement limité fourni, en posant \(\epsilon\) comme le terme petit devant 1.
Calcul :
Pour \(1/r_2\) :
Pour \(1/r_1\) (on remplace \(a\) par \(-a\) dans l'expression de \(r_2\), ou on refait le calcul avec \(+2ra\cos\theta\)):
Question 4 : Potentiel Approché du Quadripôle
Principe :
On remplace les expressions approchées de \(1/r_1\) et \(1/r_2\) dans l'équation du potentiel total, puis on regroupe les termes de même puissance en \(1/r\).
Calcul :
On somme les termes \((1/r_1 + 1/r_2)\) :
On substitue dans \(V(P)\) :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances
1. Le potentiel d'un quadripôle à grande distance décroît en fonction de la distance \(r\) comme :
2. Un quadripôle est une distribution de charge dont :
3. Dans notre exercice, sur l'axe des z (pour \(\theta=0\)), le potentiel est :
Glossaire
- Potentiel électrique (\(V\))
- Champ scalaire qui décrit l'énergie potentielle électrique par unité de charge. Le champ électrique dérive du potentiel (\(\vec{E} = -\vec{\nabla}V\)). Unité : Volt (V).
- Développement multipolaire
- Technique mathématique permettant d'approximer le potentiel (ou le champ) d'une distribution de charge complexe à grande distance. Les termes successifs sont le monopôle, le dipôle, le quadripôle, etc.
- Moment monopolaire
- Charge totale de la distribution. S'il est non nul, c'est le terme dominant à grande distance (potentiel en \(1/r\)).
- Moment dipolaire (\(\vec{p}\))
- Vecteur qui caractérise une distribution de charges dont la charge totale est nulle. S'il est non nul, c'est le terme dominant à grande distance (potentiel en \(1/r^2\)).
- Moment quadripolaire
- Terme d'ordre supérieur qui décrit la distribution des charges lorsque les moments monopolaire et dipolaire sont nuls. Son potentiel décroît en \(1/r^3\).
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