Potentiel Vecteur d’un Dipôle Magnétique

Question 1 : Symétries et Invariances

Principe

On analyse la géométrie du système (spire circulaire) pour réduire le nombre de variables dont dépend \(\vec{A}\) et déterminer sa direction vectorielle. C'est l'application du **Principe de Curie** (ou principe de Neumann en cristallographie) : "Les effets sont au moins aussi symétriques que les causes". Autrement dit, si la distribution de courant possède une certaine symétrie géométrique, le champ créé doit respecter cette même symétrie.

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Conventions ISO 80000-6 : Le système de coordonnées utilisé est le système sphérique \((r, \theta, \phi)\), où \(\theta\) est la colatitude (angle avec l'axe z) et \(\phi\) la longitude (azimut).

Formule(s)

Propriétés de Symétrie (Vecteur Polaire)

Invariance par rotation

Hypothèses

Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :

• Distribution de courant filiforme et circulaire parfaite.
• Régime stationnaire (le courant \(I\) ne dépend pas du temps, sinon \(\vec{A}\) dépendrait de \(t\)).

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s)

Analyse des Invariances

Le système (la spire) est invariant par toute rotation d'angle \(\phi\) autour de l'axe \(Oz\). Par conséquent, les propriétés physiques au point \(M(r, \theta, \phi)\) sont identiques à celles en \(M'(r, \theta, \phi + d\phi)\). Les composantes du vecteur \(\vec{A}\) dans la base locale ne dépendent donc que de \(r\) et \(\theta\).

L'équation précédente montre bien que les trois composantes du potentiel vecteur sont indépendantes de la variable \(\phi\).

Analyse des Plans de Symétrie

Considérons le plan méridien \(\Pi_M\) passant par l'axe \(Oz\) et le point d'observation \(M\). Ce plan contient les vecteurs de base \(\vec{e}_r\) et \(\vec{e}_\theta\). Le vecteur \(\vec{e}_\phi\) lui est perpendiculaire.
Observons la distribution de courant : en tout point où la spire coupe ce plan, le vecteur densité de courant \(\vec{j}\) est orthogonal au plan. Si on effectue une symétrie plane par rapport à \(\Pi_M\), le sens de rotation du courant est inversé. \(\Pi_M\) est donc un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant.

Pour un vecteur polaire comme \(\vec{A}\), la règle est : si \(M\) appartient à un plan d'antisymétrie, alors le vecteur \(\vec{A}(M)\) est orthogonal à ce plan.

Cette relation implique que les composantes radiale et orthoradiale (en \(\theta\)) sont nulles.

Résultat Vectoriel

Conclusion

Puisque \(\vec{A}\) doit être perpendiculaire au plan méridien \(\Pi_M\) (qui est engendré par \(\vec{e}_r\) et \(\vec{e}_\theta\)), la seule composante non nulle possible est celle portée par la normale au plan, c'est-à-dire \(\vec{e}_\phi\). Les composantes \(A_r\) et \(A_\theta\) sont nécessairement nulles.

Expression simplifiée

Le potentiel vecteur est purement orthoradial. Il "tourne" autour de l'axe z dans le même sens que le courant I.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Ce résultat est fondamental : il réduit notre problème vectoriel à 3 inconnues \((A_r, A_\theta, A_\phi)\) à un problème scalaire à une seule inconnue \(A_\phi\). C'est la puissance de l'analyse des symétries avant tout calcul.

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Pourquoi A ne dépend pas de Phi ?

Car si vous tournez la spire autour de son axe, la distribution de courant reste identique à elle-même. Un observateur ne voit aucun changement physique, donc le potentiel au point M (fixe par rapport à l'axe) ne peut pas dépendre de l'angle azimutal.

Question 2 : Expression Intégrale

Principe

Nous allons maintenant traduire la loi de Biot-Savart en une intégrale explicite. Pour simplifier le calcul des projections vectorielles (souvent source d'erreur), nous choisissons un point \(M\) particulier situé dans le plan \((xOz)\), c'est-à-dire tel que \(\phi_M=0\). Comme nous avons prouvé en Q1 que le problème est invariant par rotation, l'expression de \(A_\phi(r, \theta)\) trouvée pour ce point spécifique sera valable pour tout \(\phi\).

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Utilisation du repère cartésien local pour la décomposition vectorielle initiale, puis passage en coordonnées du point source pour l'intégration.

Formule(s)

Loi de Biot-Savart Intégrale

Expression intégrale

Hypothèses

On considère la spire comme filiforme (épaisseur négligeable devant R et r).

• Point M positionné arbitrairement à \(\phi_M = 0\)).

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s)

1. Paramétrage du point source P

On repère un point \(P\) quelconque de la spire par l'angle polaire \(\alpha\) dans le plan xOy. Commençons par exprimer le vecteur position de ce point P en coordonnées cartésiennes :

Pour obtenir le vecteur déplacement élémentaire tangentiel, on dérive ce vecteur position par rapport à l'angle :

Le vecteur \(d\vec{l}\) est tangent à la spire et orienté selon le sens du courant.

2. Calcul de la distance PM

Le dénominateur de la loi de Biot-Savart est la distance \(PM = ||\vec{OM} - \vec{OP}||\). Pour la calculer, utilisons le carré scalaire, qui simplifie souvent les expressions vectorielles :

On sait que \(OM^2 = r^2\) et \(OP^2 = R^2\). Calculons maintenant le produit scalaire. Rappelons que \(M\) est dans le plan xOz, donc sa coordonnée y est nulle :

En remplaçant ce produit scalaire dans l'expression du carré de la distance, on obtient finalement :

Cette distance varie avec \(\alpha\), ce qui est logique puisque \(P\) tourne autour de l'axe \(z\).

3. Projection sur l'axe utile

Nous savons d'après la Question 1 que \(\vec{A}\) est dirigé selon \(\vec{e}_\phi\). Au point M choisi (\(\phi=0\)), le vecteur \(\vec{e}_\phi\) coïncide avec \(\vec{e}_y\). Nous n'avons donc besoin que de la composante selon \(\vec{e}_y\) de l'intégrale totale. Regardons la composante y de \(d\vec{l}\) que nous avons calculée plus haut : c'est \(R\cos\alpha\,d\alpha\). (Note : La composante en sinus s'annulerait de toute façon par intégration sur un tour complet, par symétrie).

4. Résultat Intégral

On assemble tous les morceaux dans la formule de Biot-Savart : on remplace \(I\), la projection de \(d\vec{l}\) et l'expression de la distance \(PM\) :

C'est la forme exacte de l'intégrale, valable pour tout \(r\) et \(\theta\).

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Cette intégrale semble complexe car le dénominateur dépend de l'angle d'intégration \(\alpha\). C'est tout à fait normal : la distance entre M et les différents points de la spire varie. C'est ce qu'on appelle une intégrale elliptique complète. Heureusement, nous cherchons le champ "lointain", ce qui va nous permettre de simplifier cette racine carrée par approximation.

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Pourquoi PM dépend de alpha ?

Car le point P parcourt la spire (variable d'intégration alpha). M est fixe, mais la distance PM change : P est plus proche de M quand il est du même côté, et plus loin quand il est diamétralement opposé.

Question 3 : Approximation Dipolaire

Principe

L'expression intégrale précédente est trop complexe. On se place dans le cadre de l'approximation dipolaire, c'est-à-dire à grande distance (\(r \gg R\)). Nous allons effectuer un développement limité (DL) à l'ordre 1 du terme \(1/PM\) pour linéariser l'intégrale et la rendre calculable.

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Approximation classique en physique théorique (Développement Multipolaire).

Formule(s)

DL Généralisé

Hypothèses

Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :

• \(r \gg R\) : Observation lointaine.
• Le terme \(\frac{R}{r}\) est notre "infiniment petit".

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s)

1. Mise en facteur du terme dominant

Reprenons l'expression de \(PM\) trouvée précédemment. Dans la racine, le terme dominant (le plus grand) est \(r^2\). Nous allons le factoriser pour faire apparaître une forme \((1+\epsilon)\) :

Nous avons sorti \(1/r\) de la racine. Le terme entre crochets est maintenant de la forme \((1+u)\) où \(u\) contient des termes en \(R/r\).

2. Développement Limité

Comme \(R \ll r\), le terme quadratique \(R^2/r^2\) est négligeable devant \(R/r\) (c'est un infiniment petit d'ordre 2). On ne garde que le terme d'ordre 1. On pose donc \(\epsilon = -2\frac{R}{r}\sin\theta\cos\alpha\). En appliquant la formule \((1+\epsilon)^{-1/2} \approx 1 - \epsilon/2\) :

Nous avons transformé l'inverse de la distance (compliqué) en une somme de deux termes simples, beaucoup plus facile à intégrer.

3. Intégration Terme à Terme

On réinjecte cette expression approchée dans l'intégrale de \(A\) trouvée en Q2 :

On sort les constantes en \(r\) et on distribue le \(\cos\alpha\) à l'intérieur de l'intégrale :

Analysons les deux termes :
- Le premier terme est \(\int_{0}^{2\pi} \cos\alpha \, d\alpha\). L'intégrale d'un cosinus sur une période complète est nulle. Ce terme (monopolaire) disparait.
- Le second terme contient \(\int_{0}^{2\pi} \cos^2\alpha \, d\alpha\). Cette intégrale vaut \(\pi\).

4. Résultat Scalaire

Il ne reste plus que le second terme. L'expression se simplifie :

Nous obtenons une formule scalaire simple, inversement proportionnelle au carré de la distance.

5. Retour au vecteur (Intrinsèque)

Pour rendre cette formule vectorielle et indépendante du repère, on identifie les grandeurs physiques. Le terme \(I \pi R^2\) correspond exactement à la norme du moment magnétique \(||\vec{\mathcal{M}}||\). Le terme \(\sin\theta\) nous fait penser à un produit vectoriel. En effet, \(\vec{\mathcal{M}}\) est porté par \(\vec{e}_z\) et le vecteur position \(\vec{e}_r\) fait un angle \(\theta\) avec lui. Leur produit vectoriel est bien porté par \(\vec{e}_\phi\) et a pour norme \(\mathcal{M} \sin\theta\).

Potentiel Vecteur Dipolaire

C'est la forme canonique du potentiel vecteur d'un dipôle, valable quel que soit le système de coordonnées.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

On observe une décroissance en \(1/r^2\). C'est beaucoup plus rapide que pour un élément de courant isolé (qui serait en \(1/r\)). La boucle fermée fait que le courant "qui vient" est presque annulé par le courant "qui repart", d'où une décroissance plus forte.

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Pourquoi le terme en 1/r disparaît ?

Mathématiquement, car \(\int \cos\alpha = 0\). Physiquement, cela signifie qu'il n'y a pas de "monopôle magnétique" (pas de charge magnétique nette). Le terme dominant doit donc être d'ordre supérieur (dipôle).

Question 4 : Champ Magnétique B

Principe

Maintenant que nous avons l'expression de \(\vec{A}\) en tout point de l'espace (dans la zone lointaine), nous pouvons retrouver le champ magnétique \(\vec{B}\) par simple dérivation spatiale locale. Nous utilisons l'opérateur **Rotationnel** en coordonnées sphériques.

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Unités SI : Le champ B s'exprime en Tesla (T). 1 Tesla est un champ énorme (gros aimant IRM). Le champ terrestre est de l'ordre de 50 µT.

Formule(s)

Définition locale

Hypothèses

Validité dans le vide (pas de milieu magnétique matériel type ferromagnétique à proximité).

• Approximation dipolaire valide (\(r \gg R\)).

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s)

1. Composante Radiale \(B_r\)

Commençons par la première composante du rotationnel (selon \(\vec{e}_r\)). La formule donne \(\frac{1}{r\sin\theta}\) fois la dérivée par rapport à \(\theta\) de \((A_\phi \sin\theta)\) :

Remplaçons \(A_\phi\) par son expression \(\frac{K \sin\theta}{r^2}\). Le terme \(1/r^2\) est constant par rapport à \(\theta\), on peut le sortir de la dérivée :

On doit donc dériver \(\sin^2\theta\). La dérivée de \(u^2\) est \(2u u'\), donc la dérivée de \(\sin^2\theta\) est \(2\sin\theta\cos\theta\). En remplaçant :

Les sinus se simplifient, et on regroupe les puissances de \(r\) pour obtenir \(1/r^3\).

2. Composante Orthoradiale \(B_\theta\)

Passons à la deuxième composante (selon \(\vec{e}_\theta\)). La formule est \(-\frac{1}{r}\) fois la dérivée par rapport à \(r\) de \((r A_\phi)\) :

Injectons \(A_\phi = \frac{K \sin\theta}{r^2}\). Multiplié par \(r\), cela devient \(\frac{K \sin\theta}{r}\) :

Les termes en \(\theta\) sont constants pour la dérivation en \(r\). On doit dériver \(1/r\), ce qui donne \(-1/r^2\). Avec le signe moins devant et le facteur \(1/r\) extérieur, cela donne :

On obtient bien une dépendance en \(1/r^3\) pour cette composante également.

3. Résultat Vectoriel Final

On regroupe les deux composantes vectorielles. N'oublions pas de remplacer la constante \(K\) par sa définition initiale \(K = \frac{\mu_0 \mathcal{M}}{4\pi}\) :

C'est la formule classique du champ d'un dipôle magnétique.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

On retrouve la décroissance caractéristique en \(1/r^3\). Notez que le champ ne s'annule jamais sauf à l'infini. Il n'est jamais purement orthoradial (sauf à l'infini). Il est purement radial sur l'axe (\(\theta=0\)).

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Est-ce que B est défini en r=0 ?

Non, c'est une singularité mathématique du modèle dipolaire ponctuel. Dans la réalité, à l'intérieur de la spire, le champ est fini et à peu près constant (champ d'un solénoïde plat).

Question 5 : Équation des Lignes de Champ

Principe

Les lignes de champ sont les courbes imaginaires qui sont tangentes au vecteur \(\vec{B}\) en tout point de l'espace. Elles permettent de visualiser la topologie du champ. Pour trouver leur équation mathématique \(r(\theta)\), on résout l'équation différentielle qui exprime cette colinéarité entre un petit déplacement sur la ligne \(d\vec{OM}\) et le champ \(\vec{B}\) local.

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

N/A (Mathématiques pures).

Formule(s)

Équation différentielle des lignes de champ

Hypothèses

On cherche l'équation dans un plan méridien (\(\phi = \text{cste}\)), car le système est invariant par rotation. La ligne de champ est plane.

• \(\phi = \text{cste}\).

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s)

1. Séparation des variables

On part de la condition de tangence \(\frac{dr}{B_r} = \frac{r d\theta}{B_\theta}\). On réarrange l'équation pour séparer les variables \(r\) et \(\theta\) de chaque côté du signe égal :

Nous avons maintenant une équation différentielle à variables séparées.

2. Intégration

On intègre chaque membre séparément. L'intégrale de \(1/r\) est \(\ln(r)\). L'intégrale de \(2\cos\theta/\sin\theta\) est \(2\ln(\sin\theta)\) :

On utilise la propriété des logarithmes \(a \ln(x) = \ln(x^a)\) pour simplifier le terme de droite :

3. Exponentiation

Pour retrouver \(r\), on prend l'exponentielle des deux côtés. Le terme \(\exp(\text{Cste})\) devient une constante multiplicative positive que nous noterons \(r_0\) (ou \(K\)). C'est la constante d'intégration qui définit quelle ligne de champ on regarde.

Équation Polaire

C'est l'équation d'une courbe fermée en forme de cardioïde aplatie.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Analysons cette courbe.
- Si \(\theta \to 0\) ou \(\pi\) (pôles), \(\sin\theta \to 0\) donc \(r \to 0\). La ligne part de l'origine.
- Si \(\theta = \pi/2\) (équateur), \(\sin\theta = 1\) donc \(r = r_0\). La ligne atteint son extension maximale. Cela décrit bien des boucles fermées qui sortent d'un pôle pour aller vers l'autre.

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Est-ce que les lignes se croisent ?

Jamais en dehors de la source (singularité). En un point de l'espace, le champ B a une direction unique, il ne peut y avoir deux tangentes différentes (sauf si B=0).