Propagation d'une Onde Électromagnétique Plane

Contexte : L'étude des Ondes ÉlectromagnétiquesUne onde électromagnétique est une perturbation des champs électrique et magnétique qui se propage dans l'espace en transportant de l'énergie. La lumière, les ondes radio ou les rayons X en sont des exemples. dans le vide.

Les ondes électromagnétiques sont au cœur des technologies de communication modernes. Comprendre leur propagation est essentiel en physique et en ingénierie. L'onde plane est le modèle le plus simple pour décrire ces ondes, où les champs électrique et magnétique sont uniformes dans tout plan perpendiculaire à la direction de propagation. Cet exercice vous guidera à travers l'analyse complète d'une telle onde, en partant du champ électrique pour en déduire toutes ses autres propriétés, y compris le transport d'énergie via le vecteur de PoyntingVecteur qui représente la direction et la densité de flux d'énergie d'une onde électromagnétique. Son module correspond à la puissance par unité de surface..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il relie toutes les grandeurs clés d'une onde (fréquence, longueur d'onde, champs E et B, énergie) à travers les équations de Maxwell. Il vous apprendra comment les champs électrique et magnétique sont intimement liés et comment leur interaction permet à l'énergie de voyager, même dans le vide.

Objectifs Pédagogiques

Analyser l'expression d'une onde plane pour en déduire ses caractéristiques de propagation et de polarisation.
Utiliser les équations de Maxwell pour relier le champ magnétique au champ électrique.
Calculer les paramètres fondamentaux d'une onde (nombre d'onde, longueur d'onde, fréquence).
Déterminer le vecteur de Poynting et calculer l'intensité (ou éclairement) de l'onde.

Données de l'étude

Une onde électromagnétique plane, progressive et sinusoïdale se propage dans le vide. Son champ électrique est décrit en notation réelle par l'expression suivante :

\vec{E}(z, t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x

Représentation d'une Onde Électromagnétique Plane

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Amplitude du champ électrique	\(E_0\)	10	\(\text{V} \cdot \text{m}^{-1}\)
Pulsation de l'onde	\(\omega\)	\(6\pi \times 10^8\)	\(\text{rad} \cdot \text{s}^{-1}\)
Célérité de la lumière dans le vide	\(c\)	\(3 \times 10^8\)	\(\text{m} \cdot \text{s}^{-1}\)
Perméabilité du vide	\(\mu_0\)	\(4\pi \times 10^{-7}\)	\(\text{H} \cdot \text{m}^{-1}\)

Questions à traiter

Déterminer la direction de propagation et la polarisation de l'onde.
Donner l'expression complète du vecteur champ magnétique \(\vec{B}(z, t)\) associé.
Calculer le nombre d'onde \(k\), la fréquence \(f\) et la longueur d'onde \(\lambda\).
Déterminer l'expression du vecteur de Poynting \(\vec{R}(z, t)\).
En déduire l'expression de l'intensité moyenne (ou éclairement) \(\langle R \rangle\) de l'onde.
Calculer les valeurs numériques de l'amplitude du champ magnétique \(B_0\) et de l'intensité moyenne \(\langle R \rangle\).

Les bases sur l'Électromagnétisme

La propagation des ondes électromagnétiques dans le vide est régie par les équations de Maxwell, qui relient les champs électrique et magnétique.

1. Équations de Maxwell dans le vide
Dans le vide et en l'absence de charges et de courants, les équations de Maxwell s'écrivent : \[ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 \quad ; \quad \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \] \[ \vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad (\text{Maxwell-Faraday}) \] \[ \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad (\text{Maxwell-Ampère}) \]

2. Structure de l'Onde Plane et Vecteur de Poynting
Pour une onde plane se propageant dans la direction \(\vec{u}\), les champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) sont perpendiculaires entre eux et à \(\vec{u}\). Le trièdre \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{u})\) est direct. Leurs modules sont liés par \(E = cB\). Le vecteur de Poynting, qui représente le flux d'énergie, est donné par : \[ \vec{R} = \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{\mu_0} \]

Correction : Propagation d’une Onde Électromagnétique Plane

Question 1 : Direction de propagation et polarisation

Principe

Les caractéristiques de propagation et de polarisation d'une onde plane sinusoïdale se lisent directement dans l'argument de la fonction sinusoïdale (le cosinus ici) et dans le vecteur qui porte l'amplitude du champ électrique.

Mini-Cours

L'argument d'une onde progressive est de la forme \(\omega t \pm \vec{k} \cdot \vec{r}\). Le signe '–' indique une propagation dans le sens de \(\vec{k}\), et le signe '+' dans le sens opposé. La polarisation décrit la direction de l'oscillation du vecteur champ électrique. Si cette direction est fixe, la polarisation est rectiligne.

Remarque Pédagogique

C'est une lecture directe de la formule. Identifiez toujours en premier la variable d'espace (ici \(z\)) dans le cosinus pour trouver l'axe de propagation. Ensuite, regardez le vecteur unitaire à l'extérieur (ici \(\vec{u}_x\)) pour la polarisation.

Normes

Il s'agit de conventions d'écriture universelles pour les ondes en physique.

Formule(s)

Expression générale du champ électrique

\vec{E}(z, t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x

Hypothèses

L'onde est supposée être une onde plane progressive sinusoïdale (OPPS) parfaite.

Donnée(s)

L'expression de \(\vec{E}(z, t)\) est la seule donnée nécessaire.

Astuces

Le signe devant le terme spatial \(kz\) est crucial. Un signe "moins" (\(\omega t - kz\)) signifie que pour garder la phase constante, si \(t\) augmente, \(z\) doit aussi augmenter. L'onde se propage donc dans le sens des \(z\) croissants.

Schéma (Avant les calculs)

Analyse de l'expression de l'onde

Calcul(s)

Il n'y a pas de calcul à effectuer.

Direction de propagation : L'argument est en \(\omega t - kz\). La variable d'espace est \(z\) et le signe est négatif. L'onde se propage donc dans la direction des \(z\) croissants, soit selon le vecteur \(\vec{u}_z\).
Polarisation : Le vecteur champ électrique \(\vec{E}\) est colinéaire à \(\vec{u}_x\). L'onde est donc polarisée rectilignement selon l'axe des x.

Schéma (Après les calculs)

Propagation et Polarisation

Réflexions

L'onde est transversale : la direction de l'oscillation du champ (\(\vec{u}_x\)) est perpendiculaire à la direction de propagation (\(\vec{u}_z\)). C'est une propriété fondamentale de toutes les ondes électromagnétiques dans le vide.

Points de vigilance

Ne pas confondre la direction de propagation (donnée par la variable dans le cosinus) et la direction de polarisation (donnée par le vecteur directeur du champ).

Points à retenir

L'argument \((\omega t - kz)\) indique une propagation selon \(+\vec{u}_z\).
Le vecteur \(\vec{u}_x\) indique une polarisation rectiligne selon l'axe x.

Le saviez-vous ?

La lumière du soleil n'est pas polarisée, c'est-à-dire que son champ électrique oscille dans toutes les directions perpendiculaires à sa propagation. Les lunettes de soleil polarisantes contiennent un filtre qui ne laisse passer que la lumière polarisée verticalement, réduisant ainsi les reflets (qui sont souvent polarisés horizontalement).

FAQ

Résultat Final

Propagation selon \(+\vec{u}_z\), Polarisation rectiligne selon \(\vec{u}_x\).

A vous de jouer

Quelle serait la direction de propagation pour une onde \(\vec{E}(y, t) = E_0 \cos(\omega t + ky) \vec{u}_z\) ?

Question 2 : Expression du champ magnétique \(\vec{B}(z, t)\)

Principe

Dans une onde électromagnétique, les champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) sont directement liés par les équations de Maxwell. On utilise ici l'équation de Maxwell-Faraday pour déduire \(\vec{B}\) à partir de la connaissance de \(\vec{E}\).

Mini-Cours

L'équation de Maxwell-Faraday \(\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\) montre qu'un champ électrique variable dans l'espace (rotationnel non nul) génère un champ magnétique variable dans le temps. Pour une onde plane, cette relation impose la structure orthogonale du trièdre \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\) et le rapport entre les amplitudes \(E_0 = c B_0\).

Remarque Pédagogique

Il y a deux méthodes : le calcul complet via l'équation de Maxwell-Faraday, ou l'utilisation directe de la structure de l'onde plane. La deuxième méthode est beaucoup plus rapide et recommandée si vous maîtrisez bien la structure \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\) et la relation \(B_0 = E_0/c\).

Normes

Les équations de Maxwell sont les lois fondamentales de l'électromagnétisme.

Formule(s)

Équation de Maxwell-Faraday

\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

Relation pour une onde plane

\vec{B} = \frac{\vec{k} \times \vec{E}}{\omega}

Hypothèses

L'onde se propage dans le vide, ce qui nous permet d'utiliser la relation \(E_0 = cB_0\).

Donnée(s)

Champ électrique : \(\vec{E}(z, t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x\)
Direction de propagation : \(\vec{u}_z\), donc \(\vec{k} = k \vec{u}_z\)

Astuces

Retenez que le trièdre \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\) est direct. Ici, \(\vec{E}\) est selon \(\vec{u}_x\) et \(\vec{k}\) est selon \(\vec{u}_z\). Pour que le trièdre soit direct, \(\vec{B}\) doit être selon \(\vec{u}_y\), car \(\vec{u}_x \times \vec{u}_y = \vec{u}_z\).

Schéma (Avant les calculs)

Structure du Trièdre Direct

Calcul(s)

Analyse de la structure de l'onde plane

\begin{aligned} \vec{B} \text{ est } \perp \text{ à } \vec{E} \text{ et } \vec{k} &\Rightarrow \vec{B} \text{ est selon } \vec{u}_y \\ (\vec{E}, \vec{B}, \vec{k}) \text{ est direct} &\Rightarrow \vec{u}_x \times \vec{u}_y = \vec{u}_z \text{ (OK)} \\ B_0 = \frac{E_0}{c} \end{aligned}

Le champ magnétique a la même forme de propagation (même cosinus) que le champ électrique.

Schéma (Après les calculs)

Champs E et B de l'Onde Plane

Réflexions

Les champs électrique et magnétique d'une onde plane sont indissociables. Ils oscillent en phase (leurs maxima et minima sont atteints aux mêmes moments et aux mêmes endroits), leurs directions sont orthogonales et leurs amplitudes sont liées par la célérité de la lumière.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier de diviser par \(c\) pour obtenir l'amplitude de B. Le champ magnétique d'une onde a une valeur numérique beaucoup plus faible que celle du champ électrique dans le Système International.

Points à retenir

Dans le vide, \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\) forment un trièdre direct.
Les champs sont en phase.
Leurs amplitudes sont liées par \(E_0 = c B_0\).

Le saviez-vous ?

James Clerk Maxwell a prédit l'existence de ces ondes et a calculé leur vitesse de propagation à partir des constantes \(\varepsilon_0\) et \(\mu_0\) (connues à l'époque par des expériences d'électrostatique et de magnétostatique). Il a trouvé une vitesse de \(c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} \approx 3 \times 10^8\) m/s, qui correspondait à la vitesse de la lumière déjà mesurée. Il a ainsi été le premier à comprendre que la lumière est une onde électromagnétique.

FAQ

Résultat Final

\[ \vec{B}(z, t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y \]

A vous de jouer

Si le champ électrique était polarisé selon \(\vec{u}_y\), quelle serait la direction de \(\vec{B}\) ?

Question 3 : Calculer le nombre d'onde \(k\), la fréquence \(f\) et la longueur d'onde \(\lambda\).

Principe

Ces trois grandeurs sont les caractéristiques fondamentales qui décrivent l'oscillation spatiale et temporelle de l'onde. Elles sont toutes reliées entre elles et à la vitesse de propagation de l'onde.

Mini-Cours

La pulsation \(\omega\) (en rad/s) décrit la rapidité de l'oscillation temporelle. Elle est liée à la fréquence \(f\) (en Hz) par \(\omega = 2\pi f\). Le nombre d'onde \(k\) (en rad/m) décrit la rapidité de l'oscillation spatiale. Il est lié à la longueur d'onde \(\lambda\) (en m) par \(k = 2\pi/\lambda\). Dans le vide, ces grandeurs sont liées par la relation de dispersion \(\omega = ck\).

Remarque Pédagogique

La relation \(\omega = ck\) est fondamentale pour les ondes électromagnétiques dans le vide. Si vous connaissez l'une des deux grandeurs (\(\omega\) ou \(k\)), vous pouvez immédiatement en déduire l'autre.

Normes

Les unités Hertz (Hz), mètre (m) et radian (rad) font partie du Système International.

Formule(s)

Relation de dispersion

k = \frac{\omega}{c}

Fréquence et longueur d'onde

f = \frac{\omega}{2\pi} \quad ; \quad \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{c}{f}

Hypothèses

L'onde se propage dans le vide à la vitesse \(c\).

Donnée(s)

\(\omega = 6\pi \times 10^8 \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}\)
\(c = 3 \times 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}\)

Astuces

Calculez d'abord \(k\) et \(f\) à partir de \(\omega\), puis déduisez \(\lambda\) de la manière que vous préférez, soit à partir de \(k\), soit à partir de \(f\). Les deux doivent donner le même résultat, ce qui est une bonne façon de vérifier vos calculs.

Schéma (Avant les calculs)

Périodes Spatiale et Temporelle

Calcul(s)

Calcul du nombre d'onde k

k = \frac{\omega}{c} = \frac{6\pi \times 10^8}{3 \times 10^8} = 2\pi \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}

Calcul de la fréquence f

f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{6\pi \times 10^8}{2\pi} = 3 \times 10^8 \text{ Hz} = 300 \text{ MHz}

Calcul de la longueur d'onde λ

\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \text{ m}

Schéma (Après les calculs)

Résultat : Longueur d'onde

Réflexions

L'onde étudiée a une fréquence de 300 MHz et une longueur d'onde de 1 mètre. Cela correspond à la bande des ondes radio UHF (Ultra Haute Fréquence), utilisée notamment pour la télévision et la radio FM.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre la pulsation \(\omega\) (en rad/s) et la fréquence \(f\) (en Hz). Il y a toujours un facteur \(2\pi\) entre les deux. De même pour le nombre d'onde \(k\) (en rad/m) et la longueur d'onde \(\lambda\) (en m).

Points à retenir

Les relations \(\omega = 2\pi f\), \(k = 2\pi/\lambda\) et \(\omega = ck\) sont essentielles pour caractériser n'importe quelle onde électromagnétique dans le vide.

Le saviez-vous ?

Le spectre électromagnétique s'étend sur une gamme immense de longueurs d'onde, des ondes radio (kilomètres) aux rayons gamma (picomètres). Nos yeux ne sont sensibles qu'à une toute petite fenêtre de ce spectre, que nous appelons la lumière visible (environ 400 à 700 nanomètres).

FAQ

Résultat Final

\[ k = 2\pi \text{ rad/m} \quad ; \quad f = 300 \text{ MHz} \quad ; \quad \lambda = 1 \text{ m} \]

A vous de jouer

Quelle est la longueur d'onde d'un signal Wi-Fi standard à 2.4 GHz ? (Réponse attendue en cm)

Question 4 : Déterminer l'expression du vecteur de Poynting \(\vec{R}(z, t)\).

Principe

Le vecteur de Poynting représente la puissance par unité de surface transportée par l'onde électromagnétique. Il est défini par le produit vectoriel des champs électrique et magnétique.

Mini-Cours

La direction du vecteur de Poynting \(\vec{R}\) indique la direction de propagation de l'énergie, qui est la même que la direction de propagation de l'onde. Son module, \(R\), représente l'intensité instantanée de l'onde (en Watts par mètre carré, W/m²).

Remarque Pédagogique

Le calcul du vecteur de Poynting est une étape cruciale qui fait le lien entre les champs de l'onde et l'énergie qu'elle transporte. C'est une notion fondamentale en radiométrie, en optique et en antennes.

Normes

Le Watt par mètre carré (W/m²) est l'unité du Système International pour l'éclairement énergétique (ou irradiance).

Formule(s)

Définition du vecteur de Poynting

\vec{R} = \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{\mu_0}

Hypothèses

On utilise les expressions des champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) trouvées précédemment pour une onde se propageant dans le vide.

Donnée(s)

\(\vec{E}(z, t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x\)
\(\vec{B}(z, t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y\)

Astuces

Le produit vectoriel des vecteurs unitaires \(\vec{u}_x \times \vec{u}_y\) donne \(\vec{u}_z\), ce qui confirme que l'énergie se propage bien dans la même direction que l'onde. Le reste du calcul est un produit de scalaires.

Schéma (Avant les calculs)

Produit Vectoriel pour le Vecteur de Poynting

Calcul(s)

Calcul du produit vectoriel

\begin{aligned} \vec{R}(z,t) &= \frac{1}{\mu_0} \left( E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x \right) \times \left( \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y \right) \\ &= \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - kz) (\vec{u}_x \times \vec{u}_y) \\ &= \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - kz) \vec{u}_z \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Vecteur de Poynting Instantané

Réflexions

Le vecteur de Poynting est toujours dirigé dans le sens de la propagation (\(\vec{u}_z\)). Son module varie dans le temps et l'espace comme \(\cos^2\), ce qui signifie qu'il est toujours positif ou nul. L'énergie ne "revient" jamais en arrière, elle est constamment transportée dans la direction de propagation.

Points de vigilance

N'oubliez pas le carré sur le cosinus, qui vient du produit des deux champs. C'est ce carré qui fera apparaître un facteur 1/2 lors du calcul de la moyenne temporelle à la question suivante.

Points à retenir

Le vecteur de Poynting \(\vec{R} = (\vec{E} \times \vec{B}) / \mu_0\) représente le flux d'énergie instantané de l'onde. Il est colinéaire au vecteur d'onde \(\vec{k}\).

Le saviez-vous ?

La pression de radiation, qui permet de propulser les "voiles solaires" dans l'espace, est une conséquence directe de ce flux d'énergie. L'onde électromagnétique transporte non seulement de l'énergie, mais aussi une quantité de mouvement, qu'elle peut transférer à un objet lorsqu'elle est absorbée ou réfléchie.

FAQ

Résultat Final

\[ \vec{R}(z, t) = \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - kz) \vec{u}_z \]

A vous de jouer

À quel moment le flux d'énergie est-il maximal ?

Question 5 : En déduire l'expression de l'intensité moyenne \(\langle R \rangle\).

Principe

Les instruments de mesure (comme nos yeux ou un capteur de puissance) ne sont généralement pas assez rapides pour suivre les oscillations extrêmement rapides du champ électromagnétique. Ils mesurent donc la valeur moyenne du flux d'énergie sur une période. Cette valeur moyenne est appelée intensité ou éclairement de l'onde.

Mini-Cours

La valeur moyenne d'une fonction périodique \(f(t)\) sur une période \(T\) est définie par \(\langle f(t) \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) dt\). Pour les fonctions sinusoïdales au carré, comme \(\cos^2(\omega t + \phi)\) ou \(\sin^2(\omega t + \phi)\), la moyenne temporelle sur une période est toujours 1/2.

Remarque Pédagogique

C'est un résultat mathématique à retenir car il est omniprésent en physique des ondes et en électricité (pensez à la puissance efficace). La moyenne de \(\sin^2\) ou \(\cos^2\) est 1/2.

Normes

Le calcul de la moyenne temporelle est une opération mathématique standard.

Formule(s)

Moyenne de la fonction cosinus carré

\langle \cos^2(\omega t - kz) \rangle_t = \frac{1}{2}

Hypothèses

On suppose que la durée de la mesure est très grande devant la période de l'onde, ce qui justifie le calcul de la moyenne temporelle.

Donnée(s)

Vecteur de Poynting : \(\vec{R}(z, t) = \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - kz) \vec{u}_z\)

Astuces

Puisque la moyenne de \(\cos^2\) est 1/2, il suffit de prendre l'amplitude du vecteur de Poynting et de la diviser par 2 pour obtenir l'intensité moyenne.

Schéma (Avant les calculs)

Moyenne temporelle de \(\cos^2(x)\)

Calcul(s)

Calcul de la moyenne du vecteur de Poynting

\begin{aligned} \langle \vec{R} \rangle &= \left\langle \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - kz) \vec{u}_z \right\rangle_t \\ &= \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \langle \cos^2(\omega t - kz) \rangle_t \vec{u}_z \\ &= \frac{E_0^2}{2\mu_0 c} \vec{u}_z \end{aligned}

Expression de l'intensité

I = \langle R \rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}

Schéma (Après les calculs)

Intensité Moyenne

Réflexions

L'intensité de l'onde est constante dans l'espace et le temps. Elle est proportionnelle au carré de l'amplitude du champ électrique. Cela signifie que si vous doublez l'amplitude du champ, vous quadruplez la puissance transportée.

Points de vigilance

Ne pas oublier le facteur 1/2. L'intensité moyenne n'est pas égale à l'intensité maximale.

Points à retenir

L'intensité moyenne d'une onde plane est \(I = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}\). C'est une formule essentielle pour les calculs de puissance en électromagnétisme.

Le saviez-vous ?

L'intensité solaire moyenne au niveau de l'orbite terrestre, appelée "constante solaire", est d'environ 1361 W/m². En utilisant cette formule, on peut calculer que l'amplitude du champ électrique de la lumière du soleil est d'environ 710 V/m.

FAQ

Résultat Final

\[ I = \langle R \rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c} \]

A vous de jouer

Si l'intensité d'un pointeur laser est de 1000 W/m², quelle est l'amplitude E₀ de son champ électrique ? (\(\mu_0 c \approx 377 \, \Omega\))

Question 6 : Calculer les valeurs numériques de \(B_0\) et \(\langle R \rangle\).

Principe

Il s'agit d'une application numérique directe des formules établies aux questions précédentes, en utilisant les valeurs de l'énoncé.

Mini-Cours

Cette étape finale concrétise les expressions littérales en valeurs physiques, ce qui permet de les comparer à des ordres de grandeur connus et de valider la cohérence du raisonnement.

Remarque Pédagogique

C'est le moment de vérité ! Vérifiez bien vos unités et les puissances de 10. Une petite erreur peut conduire à un résultat physiquement absurde.

Normes

On utilise les unités du Système International : Tesla (T) pour le champ magnétique et Watt par mètre carré (W/m²) pour l'intensité.

Formule(s)

Amplitude du champ magnétique

B_0 = \frac{E_0}{c}

Intensité moyenne

\langle R \rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}

Hypothèses

Les hypothèses de l'onde plane dans le vide sont toujours valables.

Donnée(s)

\(E_0 = 10 \text{ V/m}\)
\(c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}\)
\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}\)

Astuces

Pour le calcul de l'intensité, l'impédance du vide \(Z_0 = \mu_0 c \approx 377 \, \Omega\) peut simplifier l'expression : \(\langle R \rangle = E_0^2 / (2Z_0)\).

Schéma (Avant les calculs)

Application Numérique

Calcul(s)

Calcul de l'amplitude du champ magnétique B₀

\begin{aligned} B_0 &= \frac{E_0}{c} \\ &= \frac{10}{3 \times 10^8} \\ &\approx 3.33 \times 10^{-8} \text{ T} \end{aligned}

Calcul de l'intensité moyenne ⟨R⟩

\begin{aligned} \langle R \rangle &= \frac{E_0^2}{2\mu_0 c} \\ &= \frac{10^2}{2 \cdot (4\pi \times 10^{-7}) \cdot (3 \times 10^8)} \\ &= \frac{100}{24\pi \times 10^1} \\ &= \frac{100}{753.98} \\ &\approx 0.132 \text{ W/m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Synthèse des Résultats

Réflexions

L'amplitude du champ magnétique (\(33.3 \text{ nT}\)) est très faible par rapport aux champs magnétiques statiques courants (le champ terrestre est environ 1500 fois plus grand). L'intensité de 0.132 W/m² est faible, comparable à la lumière d'une ampoule à quelques mètres de distance.

Points de vigilance

Faites attention à la manipulation des puissances de 10 et à la présence de \(\pi\) dans les calculs. Il est facile de faire une erreur de calcul.

Points à retenir

Une onde électromagnétique "normale" (non focalisée par un laser par exemple) a un champ électrique dont l'amplitude est numériquement beaucoup plus grande que celle de son champ magnétique.

Le saviez-vous ?

Les téléphones portables émettent des ondes électromagnétiques. Les normes sanitaires limitent la puissance émise. Le "Débit d'Absorption Spécifique" (DAS), exprimé en W/kg, mesure la quantité d'énergie absorbée par le corps humain. Les limites réglementaires sont de l'ordre de 2 W/kg.

FAQ

Résultat Final

\[ B_0 \approx 33.3 \text{ nT} \quad ; \quad \langle R \rangle \approx 0.132 \text{ W/m}^2 \]

A vous de jouer

Si on voulait obtenir une intensité de 1 W/m², quelle devrait être l'amplitude E₀ ?

Outil Interactif : Simulateur d'Onde Plane

Utilisez les curseurs pour faire varier l'amplitude du champ électrique (E₀) et la pulsation (\(\omega\)). Observez en temps réel l'impact sur l'amplitude du champ magnétique (B₀) et sur l'intensité moyenne de l'onde.

Paramètres d'Entrée

Amplitude E₀ (V/m) 10 V/m

Fréquence f (MHz) 300 MHz

Résultats Clés

Amplitude B₀ (nT) -

Intensité \(\langle R \rangle\) (W/m²) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si une onde électromagnétique se propage dans un milieu matériel d'indice n > 1, sa vitesse...

Diminue.
Augmente.
Reste la même.

2. Si on double l'amplitude du champ électrique E₀, l'intensité moyenne de l'onde est...

Doublée.
Quadruplée.
Inchangée.

Glossaire

Onde Électromagnétique: Une onde électromagnétique est une perturbation des champs électrique et magnétique qui se propage dans l'espace en transportant de l'énergie. La lumière, les ondes radio ou les rayons X en sont des exemples.
Vecteur de Poynting (\(\vec{R}\)): Vecteur qui représente la direction et la densité de flux d'énergie d'une onde électromagnétique. Son module correspond à la puissance par unité de surface (W/m²).
Polarisation: Décrit la direction géométrique de l'oscillation du champ électrique. Si cette direction est une droite fixe, la polarisation est dite rectiligne.
Nombre d'onde (\(k\)): Caractéristique spatiale d'une onde, représentant le nombre de radians par unité de distance. Il est lié à la longueur d'onde par \(k = 2\pi/\lambda\).