Propagation et Profondeur de Peau

Exercice : Profondeur de Peau (Électromagnétisme)

Titre Outil

À DÉCOUVRIR SUR LE SITE
Capacité d'un Condensateur Sphérique

Calcul détaillé de la capacité pour une géométrie sphérique.

Champ Magnétique d'une Boucle Polygonale

Application de la loi de Biot et Savart sur des segments.

Transmission d'une Onde Électromagnétique

Coefficients de réflexion et transmission aux interfaces.

Calcul des Courants de Foucault

Étude des pertes par induction dans les conducteurs massifs.

Application du Théorème de Gauss

Méthodes pour déterminer le champ électrique avec symétrie.

Champ Magnétique d'un Câble Coaxial

Calcul du champ B à l'intérieur et à l'extérieur par Ampère.

Ondes Guidées dans un Câble Coaxial

Modes de propagation TEM dans les lignes de transmission.

Nature et Densité des Porteurs

Effet Hall et caractérisation des semi-conducteurs.

Énergie Électrostatique d'une Sphère

Calcul de l'énergie stockée dans une distribution de charge.

Propagation et Profondeur de Peau dans un Conducteur

Contexte : Propagation d'une onde électromagnétique dans un métal.

Lorsqu'une Onde ÉlectromagnétiquePerturbation des champs électrique et magnétique se propageant dans l'espace. pénètre dans un matériau conducteur, elle induit des courants de Foucault qui s'opposent à sa propagation. L'amplitude de l'onde décroît exponentiellement avec la profondeur. Ce phénomène est connu sous le nom d'Effet de PeauTendance du courant alternatif à se concentrer à la surface d'un conducteur..

Remarque Pédagogique : Cet effet est crucial en ingénierie HF (Haute Fréquence). Il explique pourquoi les câbles coaxiaux utilisent des âmes en cuivre et pourquoi les blindages électromagnétiques n'ont pas besoin d'être très épais pour être efficaces.


Objectifs Pédagogiques

  • [Image of electromagnetic wave skin effect] Comprendre la notion de profondeur de pénétration (Skin Depth, \(\delta\)).
  • Calculer \(\delta\) pour un conducteur donné à une fréquence donnée.
  • Analyser l'influence de la fréquence et de la conductivité sur l'atténuation.

Données de l'étude

On considère une onde électromagnétique plane incidente sur un bloc de Cuivre semi-infini. Nous cherchons à déterminer à quelle profondeur l'amplitude du champ électrique est divisée par un facteur \(e\) (environ 2.718).

Fiche Technique / Données

Source : Constantes physiques universelles et propriétés des matériaux.

Caractéristique Valeur
Matériau Cuivre (Cu)
Perméabilité magnétique du vide (\(\mu_0\)) \(4\pi \times 10^{-7}\) H/m
Perméabilité relative (\(\mu_r\)) 1 (Matériau non magnétique)
Schéma de l'Atténuation
Air Cuivre (Conducteur) z (profondeur) z = δ E0/e

Source : Données spécifiques au problème posé.

Paramètre Variable Symbole Valeur de l'exercice Unité
Fréquence de l'onde \(f\) 1 MHz
Conductivité du Cuivre \(\sigma\) \(5.8 \times 10^7\) S/m
Questions à traiter
  1. Calculer la pulsation angulaire \(\omega\).
  2. Donner l'expression littérale de la profondeur de peau \(\delta\).
  3. Calculer la valeur numérique de \(\delta\) pour \(f = 1 \text{ MHz}\).
  4. Calculer l'atténuation du champ électrique à une profondeur \(z = 3\delta\).
  5. Analyser l'efficacité du blindage à cette fréquence.

Les bases théoriques

La propagation des champs électromagnétiques dans les conducteurs est régie par les équations de Maxwell couplées à la loi d'Ohm locale.

Loi de décroissance
L'amplitude du champ électrique \(E\) décroît exponentiellement en fonction de la profondeur \(z\).

Profil du champ

\[ E(z) = E_0 e^{-z/\delta} e^{j(\omega t - z/\delta)} \]

Le terme \(e^{-z/\delta}\) représente l'atténuation de l'amplitude.

Profondeur de Peau (\(\delta\))
C'est la distance à laquelle l'amplitude de l'onde est réduite d'un facteur \(1/e\) (soit environ 37% de sa valeur initiale).

Formule de \(\delta\)

\[ \delta = \sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma}} = \frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}} \]

Où :

  • \(\omega = 2\pi f\) est la pulsation (rad/s).
  • \(\mu = \mu_0 \mu_r\) est la perméabilité magnétique (H/m).
  • \(\sigma\) est la conductivité électrique (S/m).

Correction : Propagation et Profondeur de Peau dans un Conducteur

Question 1 : Calcul de la pulsation \(\omega\)

Principe

La pulsation angulaire \(\omega\) (oméga) est l'équivalent de la vitesse de rotation pour un signal périodique. Elle exprime la vitesse à laquelle la phase de l'onde évolue en radians par seconde.

Mini-Cours

Rappel : Une oscillation complète correspond à un tour de cercle trigonométrique, soit \(2\pi\) radians. Si l'onde fait \(f\) tours par seconde, elle parcourt \(2\pi \times f\) radians par seconde.

Remarque Pédagogique

L'utilisation de la pulsation permet d'alléger l'écriture des équations différentielles en physique ondulatoire (évite de traîner des \(2\pi\) partout).

Normes

Dans le Système International (SI), la fréquence s'exprime en Hertz (Hz) et la pulsation en radians par seconde (rad/s).

Formule(s)

Relation pulsation-fréquence

\[ \omega = 2\pi f \]
Hypothèses

On suppose que le signal est sinusoïdal pur et établi en régime permanent.

Donnée(s)

Source : Données de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Fréquence\(f\)\(1 \times 10^6\)Hz
Astuces

Pour calculer de tête rapidement : \(2\pi \approx 6.28\). Donc \(\omega \approx 6.28 \times f\).

Représentation de la Fréquence
wt Espace des Phases Domaine Temporel
Calcul Détaillé

On part de la formule \(\omega = 2\pi f\). On remplace \(f\) par sa valeur numérique \(10^6\) :

\[ \begin{aligned} \omega &= 2 \times \pi \times 10^6 \\ &= 2 \times 3.14159... \times 1\,000\,000 \\ &\approx 6.28318... \times 10^6 \\ &\approx 6.28 \times 10^6 \mathrm{rad/s} \end{aligned} \]

Le facteur \(10^6\) correspond au préfixe "Méga". On peut aussi dire que \(\omega \approx 6.28 \mathrm{Mrad/s}\).

Vitesse Angulaire Résultante
ω approx 6.28 millions rad/s
Réflexions

Cette valeur est très élevée car nous sommes en Haute Fréquence (HF). En comparaison, la pulsation du réseau électrique domestique (50 Hz) n'est que de \(314 \mathrm{rad/s}\).

Points de vigilance

Ne confondez pas fréquence \(f\) (Hz) et pulsation \(\omega\) (rad/s). Oublier le facteur \(2\pi\) est l'erreur la plus fréquente !

Points à Retenir
  • La pulsation est proportionnelle à la fréquence.
  • L'unité SI est le rad/s.
Le saviez-vous ?

Les ingénieurs radio utilisent souvent \(\omega\) car cela simplifie les dérivées dans les équations de Maxwell : \(\frac{\partial}{\partial t} \rightarrow j\omega\).

FAQ
Pourquoi utiliser des radians ?

Le radian est l'unité naturelle pour les fonctions trigonométriques sinus et cosinus utilisées pour décrire les ondes.

Résultat : \(\omega \approx 6.28 \times 10^6 \text{ rad/s}\).

A vous de jouer
Quelle serait la pulsation pour \(f = 2 \text{ MHz}\) ?

📝 Mémo
\(\omega\) est la "vitesse angulaire" de l'onde.


Question 2 : Expression littérale de la profondeur de peau

Principe

On cherche l'expression de \(\delta\) en fonction des paramètres physiques intrinsèques du matériau et de l'onde incidente.

Mini-Cours

Dans un milieu conducteur, l'équation de propagation devient une équation de diffusion. La solution fait apparaître un terme d'amortissement spatial \(e^{-\alpha z}\). Pour un "bon conducteur" (où les pertes joules dominent), \(\alpha = 1/\delta\).

Remarque Pédagogique

Cette formule est fondamentale en Compatibilité Électromagnétique (CEM) pour le design des boîtiers métalliques.

Normes

On utilise les symboles standards IEEE : \(\sigma\) pour la conductivité (parfois \(\gamma\)) et \(\mu\) pour la perméabilité.

Hypothèses

On suppose que le milieu est un bon conducteur, c'est-à-dire que le courant de conduction est bien supérieur au courant de déplacement (\(\sigma \gg \omega\epsilon\)). C'est toujours vrai pour le cuivre jusqu'aux fréquences optiques.

Formule Théorique

Expression de \(\delta\)

\[ \delta = \sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma}} = \frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}} \]
Donnée(s)

Source : Paramètres physiques du problème.

Paramètre Symbole Unité SI
Pulsation angulaire \(\omega\) rad/s
Fréquence \(f\) Hz
Perméabilité magnétique \(\mu\) H/m
Conductivité électrique \(\sigma\) S/m
Astuces

Notez la racine carrée : pour diviser la profondeur de peau par 2, il faut multiplier la fréquence par 4.

Définition Graphique
Delta 1/e (37%) Amplitude
Calcul Détaillé

La constante de propagation \(\gamma\) dans un milieu est donnée par \(\gamma = \sqrt{j\omega\mu(\sigma + j\omega\epsilon)}\). Avec l'approximation du bon conducteur (\(\sigma \gg \omega\epsilon\)), le terme imaginaire domine :

\[ \begin{aligned} \gamma &= \sqrt{j\omega\mu(\sigma + j\omega\epsilon)} \\ &\approx \sqrt{j\omega\mu\sigma} \quad (\mathrm{si\ } \sigma \gg \omega\epsilon) \\ &\approx \left(\frac{1+j}{\sqrt{2}}\right)\sqrt{\omega\mu\sigma} \\ &\approx (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} \end{aligned} \]

La partie réelle est l'atténuation \(\alpha = \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}\). Par définition \(\delta = 1/\alpha\), d'où la formule finale.

Analyse dimensionnelle

Vérifions l'homogénéité :

\[ \begin{aligned} [\delta] &= \frac{1}{\sqrt{T^{-1} \cdot (L M T^{-2} I^{-2}) \cdot (M^{-1} L^{-3} T^3 I^2)}} \\ &= \sqrt{L^2} \\ &= L \end{aligned} \]

C'est bien une longueur (mètres).

Réflexions

L'expression montre que plus le matériau est conducteur (\(\sigma\) grand), plus \(\delta\) est petit. Paradoxalement, un meilleur conducteur laisse moins pénétrer l'onde.

Points de vigilance

N'oubliez pas que cette formule n'est valide que pour les bons conducteurs. Pour l'eau de mer ou un sol sec, des formules plus complexes s'appliquent.

Points à Retenir
  • \(\delta\) dépend de \(1/\sqrt{f}\).
  • \(\delta\) dépend de \(1/\sqrt{\sigma}\).
Le saviez-vous ?

Pour les supraconducteurs, \(\sigma \to \infty\), donc \(\delta \to 0\). Le champ magnétique est totalement expulsé (Effet Meissner).

FAQ
Est-ce que \(\delta\) dépend de l'amplitude de l'onde ?

Non, dans un milieu linéaire comme le cuivre standard, \(\delta\) est indépendant de la puissance de l'onde.

Expression validée.

A vous de jouer
Si \(\mu\) augmente, \(\delta\) augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?

📝 Mémo
Bon conducteur = Petite pénétration.


Question 3 : Calcul numérique pour \(f = 1 \text{ MHz}\)

Principe

Il s'agit d'évaluer la profondeur réelle de pénétration en utilisant les constantes physiques du cuivre et la fréquence donnée.

Mini-Cours

La perméabilité magnétique du vide \(\mu_0\) vaut \(4\pi \cdot 10^{-7}\). Pour le cuivre, matériau non magnétique, \(\mu \approx \mu_0\). La conductivité \(\sigma\) du cuivre est très élevée (\(5.8 \cdot 10^7\) S/m), ce qui en fait un excellent conducteur.

Remarque Pédagogique

Visualiser cette épaisseur aide à comprendre pourquoi on peut utiliser des tubes creux en cuivre au lieu de câbles pleins pour transporter de la HF.

Normes

La conductivité du cuivre recuit standard (IACS) est définie à \(5.80 \times 10^7\) S/m à 20°C.

Formule(s)

Formule utilisée

\[ \delta = \frac{1}{\sqrt{\pi f \mu_0 \sigma}} \]
Hypothèses

On considère le matériau homogène et la température constante (la conductivité varie avec la température).

Données numériques

Source : Constantes physiques et données de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeur SI
Perméabilité\(\mu_0\)\(4\pi \times 10^{-7} \approx 1.257 \times 10^{-6}\)
Conductivité\(\sigma\)\(5.8 \times 10^7\)
Fréquence\(f\)\(10^6\)
Astuces & Ordres de grandeur

Pour le cuivre, une valeur repère facile à retenir est qu'à 50 Hz, la profondeur de peau est d'environ 9 mm. Comme \(\delta\) est inversement proportionnelle à \(\sqrt{f}\), si la fréquence augmente fortement (1 MHz), \(\delta\) devient microscopique.

Paramètres du calcul
f = 1 MHz | Cuivre
Calcul détaillé Pas à Pas

Décomposons le calcul sous la racine carrée :

1. Calcul du produit des termes au dénominateur

\[ \begin{aligned} \pi \cdot f \cdot \mu_0 \cdot \sigma &= \pi \times 10^6 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (5.8 \times 10^7) \\ &= \pi \times 4\pi \times 5.8 \times 10^6 \times 10^{-7} \times 10^7 \\ &= 4\pi^2 \times 5.8 \times 10^{(6 - 7 + 7)} \\ &\approx 39.478 \times 5.8 \times 10^6 \\ &\approx 228.9 \times 10^6 \end{aligned} \]

2. Racine carrée et inversion

\[ \begin{aligned} \delta &= \frac{1}{\sqrt{228.9 \times 10^6}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{228.9} \times \sqrt{10^6}} \\ &= \frac{1}{15.13 \times 10^3} \\ &\approx 0.06609 \times 10^{-3} \mathrm{m} \\ &\approx 66.1 \times 10^{-6} \mathrm{m} \end{aligned} \]
Comparaison d'Échelle
Cheveu (~80um) Delta (66um) La zone de conduction est plus fine qu'un cheveu !
Réflexions

À 1 MHz, le courant ne circule que sur une épaisseur de 66 micromètres ! C'est extrêmement fin. Cela signifie que le centre d'un gros câble de cuivre est inutile pour conduire ce courant.

Points de vigilance

Attention aux unités sous la racine carrée ! Assurez-vous que tout est en unités SI avant de calculer. Ne pas oublier de convertir les MHz en Hz.

Points à Retenir
  • Plus la fréquence est haute, plus \(\delta\) est petit.
  • La conductivité élevée du cuivre réduit \(\delta\).
Le saviez-vous ?

C'est pour contrer cet effet que les fils de Litz sont composés de milliers de brins isolés très fins.

FAQ
Pourquoi le cuivre est-il si utilisé si le courant ne passe qu'en surface ?

Le cuivre a une excellente conductivité, ce qui minimise la profondeur de peau, mais surtout minimise les pertes joules dans cette fine couche.

Le résultat est \(\delta \approx 66 \mu\text{m}\).

A vous de jouer
Si la fréquence était de 100 MHz (100 fois plus grande), quelle serait la nouvelle épaisseur ? (Indice: \(\delta \propto 1/\sqrt{f}\))

📝 Mémo
En Haute Fréquence, le courant est superficiel. La surface compte plus que le volume.


Question 4 : Atténuation à \(z = 3\delta\)

Principe

L'atténuation suit une loi exponentielle décroissante caractéristique des phénomènes de diffusion. À chaque fois qu'on parcourt une distance \(\delta\), l'amplitude du signal est divisée par la constante d'Euler \(e \approx 2.718\).

Mini-Cours

Exponentielle négative : La fonction \(e^{-x}\) décroît très vite.
\(x=1 \rightarrow 37\%\)
\(x=3 \rightarrow 5\%\)
\(x=5 \rightarrow 0.7\%\)

Remarque Pédagogique

Ce calcul permet de dimensionner l'épaisseur minimale nécessaire pour un blindage efficace.

Normes

Les normes de Compatibilité Électromagnétique (CEM) exigent souvent des atténuations supérieures à 20 dB ou 40 dB, ce qui correspond à plusieurs fois \(\delta\).

Formule

Facteur d'atténuation

\[ \begin{aligned} A &= \frac{E(z)}{E_0} \\ &= e^{-z/\delta} \end{aligned} \]
Hypothèses

On suppose le bloc de métal suffisamment épais (semi-infini) pour qu'il n'y ait pas de réflexion sur la face arrière qui perturberait ce profil.

Donnée(s)

Source : Hypothèse de la question.

ParamètreSymboleValeur
Profondeur cible\(z\)\(3\delta\)
Astuces

\(e^{-3}\) est approximativement égal à \(0.05\), soit 5%. Facile à retenir !

À l'entrée (z=0)
Champ Max E0
Calcul Détaillé

On remplace \(z\) par \(3\delta\) dans l'exposant de l'exponentielle :

\[ \begin{aligned} \frac{E(3\delta)}{E_0} &= e^{-(3\delta)/\delta} \\ &= e^{-3} \\ &\approx \frac{1}{2.718^3} \\ &\approx \frac{1}{20.085} \\ &\approx 0.04978... \end{aligned} \]

On arrondit généralement ce résultat à 0.05.

Schéma de Décroissance
Amplitude E z Delta 37% 3 Delta 5%
Réflexions

Avec seulement 3 fois la profondeur de peau (soit environ 0.2 mm dans notre cas), 95% du signal est stoppé. C'est une atténuation très efficace.

Points de vigilance

Attention : On parle ici de l'amplitude du champ (\(E\)). La puissance (\(P \propto E^2\)) s'atténue deux fois plus vite (\(e^{-2z/\delta}\)). À \(3\delta\), la puissance résiduelle est quasi nulle (\(e^{-6} \approx 0.2\%\)).

Points à Retenir
  • L'atténuation est exponentielle.
  • Un blindage n'a pas besoin d'être épais pour être efficace en HF.
Le saviez-vous ?

C'est la raison pour laquelle il est impossible de communiquer par radio avec un sous-marin en plongée (l'eau salée étant conductrice), sauf à utiliser des fréquences extrêmement basses (VLF) où \(\delta\) devient grand.

FAQ
Est-ce que le champ devient exactement nul après 3δ ?

Théoriquement non, l'exponentielle ne s'annule jamais (asymptote). Mais en pratique, en dessous du niveau de bruit thermique, on considère qu'il n'y a plus de signal.

Il reste environ 5% de l'amplitude initiale.

A vous de jouer
Quelle serait l'atténuation approximative à \(z = 5\delta\) ? (Indice : \(e^{-5} \approx 0.0067\))

📝 Mémo
Règle du pouce : Une épaisseur de \(3\delta\) suffit pour un bon blindage, \(5\delta\) pour un blindage excellent.


Question 5 : Analyse de l'Efficacité du Blindage

Principe

On cherche à synthétiser les résultats précédents pour statuer sur la faisabilité technique d'un blindage. Il s'agit de convertir l'atténuation physique en performance technique (souvent exprimée en décibels).

Mini-Cours

Efficacité de Blindage (SE) : L'efficacité se mesure souvent en décibels (dB).
\( SE_{\mathrm{dB}} = 20 \log_{10}(\frac{E_0}{E_{\mathrm{transmis}}}) \)

Remarque Pédagogique

C'est l'étape cruciale pour l'ingénieur : transformer un calcul théorique en décision de conception.

Normes

Les boîtiers électroniques grand public visent souvent 40 dB d'atténuation. Les équipements militaires peuvent exiger 80 à 100 dB.

Formule

Calcul en décibels

\[ \begin{aligned} SE_{\mathrm{dB}} &= 20 \log_{10}(e^{z/\delta}) \\ &\approx 8.686 \times \frac{z}{\delta} \end{aligned} \]
Hypothèses

On considère ici uniquement l'atténuation par absorption (pertes joules), en négligeant la réflexion à l'interface air-métal (qui ajoute encore de l'efficacité).

Donnée(s)

Source : Résultat de la question précédente.

ParamètreSymboleValeur
Ratio épaisseur\(z/\delta\)3
Astuces

Chaque épaisseur de \(\delta\) ajoute environ 8.7 dB d'atténuation.

Concept du Blindage
Cu Fort (E0) Faible
Calcul Détaillé

Le facteur d'atténuation est \(e^3\). En décibels :

\[ \begin{aligned} SE_{\mathrm{dB}} &= 20 \log_{10}(e^3) \\ &= 20 \times 3 \times \log_{10}(e) \\ &\approx 60 \times 0.4343 \\ &\approx 26.06 \text{ dB} \end{aligned} \]

Avec seulement \(200 \mu m\) de cuivre (3 fois \(\delta\)), on obtient déjà 26 dB d'atténuation par absorption.

Efficacité en dB
~26 dB Objectif 40dB
Réflexions

Si l'on ajoute l'effet de réflexion (très fort pour un métal), l'atténuation totale sera bien supérieure. Une simple feuille de papier d'aluminium est donc un blindage redoutable à 1 MHz.

Points de vigilance

Attention aux trous et fentes dans le blindage ! À haute fréquence, une fente agit comme une antenne et peut ruiner toute l'efficacité du matériau.

Points à Retenir
  • L'absorption dépend exponentiellement de l'épaisseur.
  • L'efficacité en dB est linéaire avec l'épaisseur.
Le saviez-vous ?

C'est le principe de la cage de Faraday. Même un grillage fonctionne si la maille est plus petite que la longueur d'onde.

FAQ
Peut-on blinder un champ magnétique statique avec du cuivre ?

Non. À 0 Hz (\(f=0\)), \(\delta\) tend vers l'infini. Le cuivre ne bloque pas les aimants. Il faut du métal ferromagnétique (Mumétal) pour cela.

Conclusion : Le blindage est très efficace.

A vous de jouer
Combien de dB pour une épaisseur de \(5\delta\) ?

📝 Mémo
Pour blinder de la HF, l'épaisseur importe peu tant qu'elle dépasse quelques \(\delta\). L'étanchéité des joints est plus critique.


Schéma Bilan : Profil de densité de courant

Décroissance exponentielle de la densité de courant J(z) dans le conducteur.

Profondeur z (µm) J(z) δ 37% max ~5% max

📝 Grand Mémo : L'Effet de Peau

Synthèse des concepts clés :

  • 📉
    Décroissance Exponentielle : Le champ ne s'arrête pas net, il s'atténue progressivement.
  • Haute Fréquence : Plus la fréquence est élevée, plus l'effet est marqué (profondeur faible).
  • 🛡️
    Blindage : Un bon conducteur (Cu, Al) est un excellent blindage contre les champs électriques HF.
"En HF, tout se passe en surface. Le cœur du conducteur devient inutile."

🎛️ Simulateur d'Atténuation

Visualisez la décroissance de l'onde dans le métal en fonction des paramètres.

Paramètres du Matériau et de l'Onde
Profondeur de peau (\(\delta\)) : -
Amplitude à 100 µm : -

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Si on double la fréquence, comment évolue la profondeur de peau ?

2. Quel matériau a la plus petite profondeur de peau ?

📚 Glossaire

Conductivité (\(\sigma\))
Capacité d'un matériau à laisser passer le courant électrique (inverse de la résistivité).
Perméabilité (\(\mu\))
Capacité d'un matériau à concentrer les lignes de champ magnétique.
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse de rotation de la phase de l'onde, égale à \(2\pi f\).
Atténuation
Réduction de l'amplitude ou de la puissance d'un signal lors de sa transmission.
Exercice : Profondeur de Peau
Le Saviez-vous ?

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