Rayonnement d'un Dipôle Oscillant

Contexte : Comment une Antenne Crée-t-elle une Onde ?

Une charge accélérée rayonne de l'énergie sous forme d'ondes électromagnétiques. Le cas le plus simple et le plus fondamental est celui du dipôle électrique oscillantSystème de deux charges +q et -q séparées par une petite distance, où la charge oscille sinusoïdalement dans le temps. C'est le modèle de base d'une antenne.. On peut l'imaginer comme deux charges, +q et -q, vibrant en opposition à une fréquence \(\omega\). Cette oscillation crée des champs électrique et magnétique variables qui se propagent dans l'espace, emportant de l'énergie. Cet exercice a pour but de calculer la puissance totale rayonnée par un tel dipôle, un résultat fondamental connu sous le nom de formule de LarmorFormule qui donne la puissance totale rayonnée par une particule chargée non relativiste en accélération. Pour un dipôle, elle dépend du carré de l'amplitude du moment dipolaire et de la quatrième puissance de la fréquence..

Remarque Pédagogique : Ce problème est au cœur de la physique des antennes et des télécommunications. Comprendre comment une source localisée (le dipôle) peut envoyer de l'énergie "à l'infini" est une étape conceptuelle majeure, qui relie l'électromagnétisme des circuits (courants, tensions) à celui des ondes (propagation, rayonnement).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la notion de "zone de rayonnement" (champ lointain).
Définir et utiliser le vecteur de Poynting pour décrire le flux d'énergie.
Calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting.
Intégrer un flux sur une sphère pour calculer la puissance totale.
Analyser la dépendance de la puissance rayonnée avec la fréquence et l'amplitude du dipôle.

Données de l'étude

Un dipôle électrique oscillant est placé à l'origine, orienté selon l'axe z. Son moment dipolaire est donné par \(\vec{p}(t) = p_0 \cos(\omega t) \vec{u}_z\). Dans la zone de rayonnement (à grande distance \(r\)), les champs électrique et magnétique créés par ce dipôle en coordonnées sphériques sont donnés par :

\vec{E}(r, \theta, t) \approx -\frac{\mu_0 p_0 \omega^2}{4\pi r} \sin(\theta) \cos\left(\omega(t-r/c)\right) \vec{u}_\theta \] \[ \vec{B}(r, \theta, t) \approx -\frac{\mu_0 p_0 \omega^2}{4\pi rc} \sin(\theta) \cos\left(\omega(t-r/c)\right) \vec{u}_\phi

Schéma du Dipôle Rayonnant

Données :

Amplitude du moment dipolaire : \(p_0 = 10^{-9} \, \text{C}\cdot\text{m}\)
Fréquence : \(f = 100 \, \text{MHz}\)
Perméabilité du vide : \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
Vitesse de la lumière : \(c \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)

Questions à traiter

Calculer le vecteur de Poynting instantané \(\vec{S}(r, \theta, t)\).
Déterminer le vecteur de Poynting moyenné dans le temps, \(\langle\vec{S}\rangle\).
Calculer la puissance totale moyenne rayonnée \(\langle P \rangle\) à travers une grande sphère de rayon \(r\).

Correction : Rayonnement d'un Dipôle Oscillant

Question 1 : Vecteur de Poynting Instantané \(\vec{S}\)

Principe :

Le vecteur de Poynting \(\vec{S}\) représente la densité de flux d'énergie de l'onde électromagnétique. C'est un vecteur qui indique la direction de propagation de l'énergie et sa magnitude donne la puissance par unité de surface (en W/m²). Il est défini par le produit vectoriel des champs électrique et magnétique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Les champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) d'une onde EM sont perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation. Le vecteur \(\vec{S}\) est donc colinéaire à la direction de propagation. Pour une onde sphérique, il est dirigé radialement vers l'extérieur.

Formule(s) utilisée(s) :

\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})

Donnée(s) :

Expressions de \(\vec{E}(r, \theta, t)\) et \(\vec{B}(r, \theta, t)\)
Produit vectoriel en coordonnées sphériques : \(\vec{u}_\theta \times \vec{u}_\phi = \vec{u}_r\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \vec{S} &= \frac{1}{\mu_0} \left( \frac{\mu_0^2 p_0^2 \omega^4}{16\pi^2 r^2 c} \sin^2\theta \cos^2(\omega(t-r/c)) \right) (\vec{u}_\theta \times \vec{u}_\phi) \\ &= \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{16\pi^2 r^2 c} \sin^2\theta \cos^2(\omega(t-r/c)) \vec{u}_r \end{aligned}

Points de vigilance :

Produit Vectoriel : L'ordre des termes dans le produit vectoriel est crucial. \(\vec{E} \times \vec{B}\) donne la direction de propagation, inverser l'ordre donnerait la direction opposée. Il faut aussi être prudent avec le produit des vecteurs de base du système de coordonnées utilisé.

Le saviez-vous ?

Résultat : \(\vec{S}(r, \theta, t) = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{16\pi^2 r^2 c} \sin^2\theta \cos^2(\omega(t-r/c)) \vec{u}_r\).

Question 2 : Vecteur de Poynting Moyen \(\langle\vec{S}\rangle\)

Principe :

Le vecteur de Poynting instantané oscille très rapidement dans le temps. Pour obtenir une mesure significative du flux d'énergie, on calcule sa moyenne sur une période d'oscillation. Cela revient à calculer la moyenne temporelle du terme \(\cos^2(\omega(t-r/c))\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Pour toute fonction sinusoïdale au carré, comme \(\cos^2(x)\) ou \(\sin^2(x)\), la moyenne sur une période complète est toujours \(1/2\). C'est une propriété mathématique extrêmement utile en physique des ondes et en génie électrique.

Formule(s) utilisée(s) :

\langle \cos^2(\omega t + \phi) \rangle_T = \frac{1}{T} \int_0^T \cos^2(\omega t + \phi) dt = \frac{1}{2}

Donnée(s) :

Expression de \(\vec{S}(r, \theta, t)\) de la question 1.

Calcul(s) :

\langle\vec{S}\rangle = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{16\pi^2 r^2 c} \sin^2\theta \cdot \left\langle \cos^2(\omega(t-r/c)) \right\rangle \vec{u}_r \\ = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{32\pi^2 r^2 c} \sin^2\theta \vec{u}_r

Points de vigilance :

Moyenne temporelle : Il est important de ne moyenner que les termes qui dépendent du temps. Les termes spatiaux (\(r\), \(\theta\)) sont considérés constants pendant la moyenne temporelle.

Le saviez-vous ?

Résultat : \(\langle\vec{S}\rangle = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{32\pi^2 r^2 c} \sin^2\theta \vec{u}_r\).

Question 3 : Puissance Totale Moyenne Rayonnée \(\langle P \rangle\)

Principe :

Pour obtenir la puissance totale qui s'échappe du dipôle, il faut sommer le flux d'énergie à travers une surface fermée qui l'entoure. Le choix le plus simple est une grande sphère de rayon \(r\). La puissance totale est l'intégrale du flux du vecteur de Poynting moyen, \(\langle\vec{S}\rangle \cdot d\vec{S}\), sur toute la surface de cette sphère.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le terme \(\sin^2\theta\) dans le vecteur de Poynting montre que le rayonnement n'est pas isotrope. Il est maximal dans le plan équatorial (\(\theta = \pi/2\)) et nul le long de l'axe du dipôle (\(\theta = 0\) ou \(\pi\)). Une antenne dipolaire ne rayonne pas "vers le haut" ou "vers le bas".

Formule(s) utilisée(s) :

\langle P \rangle = \oint_{\text{sphère}} \langle\vec{S}\rangle \cdot d\vec{S}

L'élément de surface en coordonnées sphériques est \(d\vec{S} = r^2 \sin\theta \,d\theta\, d\phi \, \vec{u}_r\).

Donnée(s) :

Expression de \(\langle\vec{S}\rangle\) de la question 2.
Intégrale remarquable : \(\int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta = 4/3\).
\(p_0 = 10^{-9} \, \text{C}\cdot\text{m}\), \(f = 100 \, \text{MHz}\).

Calcul(s) :

\begin{aligned} \langle P \rangle &= \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \left( \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{32\pi^2 r^2 c} \sin^2\theta \right) (r^2 \sin\theta) d\theta \\ &= \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{32\pi^2 c} (2\pi) \int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta \\ &= \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{16\pi c} \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{12\pi c} \end{aligned}

Application numérique avec \(\omega = 2\pi f = 2\pi \times 10^8\):

\begin{aligned} \langle P \rangle &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) (10^{-9})^2 (2\pi \times 10^8)^4}{12\pi (3 \times 10^8)} \\ &\approx \frac{10^{-24} \times (1558.5 \times 10^{32})}{9 \times 10^8} \approx 0.0173 \, \text{W} \end{aligned}

Points de vigilance :

Intégration Angulaire : L'intégration sur toute la sphère est essentielle. Oublier l'élément de surface \(r^2 \sin\theta \,d\theta\, d\phi\) ou mal calculer l'intégrale de \(\sin^3\theta\) sont des erreurs courantes. La dépendance en \(\sin^2\theta\) du rayonnement rend cette intégration non triviale.

Le saviez-vous ?

Résultat : La puissance totale rayonnée est \(\langle P \rangle = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{12\pi c} \approx 17.3 \, \text{mW}\).

Simulation du Rayonnement Dipolaire

Faites varier la fréquence et l'amplitude du moment dipolaire pour observer leur influence spectaculaire sur la puissance rayonnée.

Paramètres du Dipôle

Fréquence (f) : 100 MHz

Moment Dipolaire (p0) : 1.0 nC.m

Puissance Rayonnée

Puissance Totale \(\langle P \rangle\)

Pour Aller Plus Loin : Diagramme de Rayonnement

Comment une antenne "vise"-t-elle ? Le terme \(\sin^2\theta\) dans le vecteur de Poynting décrit la répartition angulaire de la puissance. Si on trace cette fonction en 3D, on obtient un "tore" (un donut) avec un "trou" le long de l'axe du dipôle. Ce tracé est le diagramme de rayonnement de l'antenne. Les ingénieurs conçoivent des antennes complexes (comme les antennes Yagi-Uda ou les antennes paraboliques) en combinant plusieurs sources pour modifier ce diagramme et concentrer l'énergie dans une direction précise (augmenter le "gain").

Le Saviez-Vous ?

La dépendance de la puissance rayonnée en \(\omega^4\) (ou \(f^4\)) est responsable de la couleur bleue du ciel. Les molécules de l'air agissent comme de minuscules dipôles oscillants lorsqu'elles sont excitées par la lumière du soleil. Elles "rediffusent" la lumière dans toutes les directions (diffusion Rayleigh). Comme la lumière bleue a une fréquence plus élevée que la lumière rouge, elle est diffusée beaucoup plus efficacement (environ 16 fois plus), ce qui fait que le ciel nous apparaît bleu.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la puissance ne dépend-elle pas de la distance r ?

C'est un point crucial. Le flux d'énergie par unité de surface (\(\langle\vec{S}\rangle\)) diminue bien en \(1/r^2\). Cependant, pour calculer la puissance totale, on intègre ce flux sur la surface d'une sphère, qui elle augmente en \(r^2\). Les deux effets se compensent exactement, et la puissance totale traversant la sphère est indépendante de son rayon. C'est la confirmation que l'énergie est conservée et qu'elle se propage vers l'infini sans perte.

Qu'est-ce que la "zone de rayonnement" ?

Aussi appelée "champ lointain" (far-field), c'est la région de l'espace suffisamment éloignée de l'antenne (\(r \gg \lambda\), où \(\lambda\) est la longueur d'onde) pour que les champs électrique et magnétique puissent être considérés comme des ondes planes transverses qui décroissent en \(1/r\). Plus près de l'antenne (dans le "champ proche"), la structure du champ est beaucoup plus complexe, avec des composantes qui décroissent plus vite (en \(1/r^2\), \(1/r^3\)) et qui ne contribuent pas au rayonnement d'énergie à grande distance.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. On double la fréquence d'oscillation \(\omega\) du dipôle. La puissance totale rayonnée est :

Doublée.
Quadruplée.
Multipliée par 16.

2. Un observateur se place sur l'axe z, directement "au-dessus" du dipôle oscillant (\(\theta=0\)). Il mesure une puissance :

Nulle.
Maximale.
Égale à la moyenne.

Glossaire

Dipôle Électrique Oscillant: Modèle d'une source de rayonnement EM, consistant en deux charges opposées dont la séparation ou la valeur oscille dans le temps, créant un moment dipolaire variable \(\vec{p}(t)\).
Formule de Larmor: Formule donnant la puissance totale rayonnée par une particule chargée accélérée. Pour un dipôle électrique, elle s'exprime en fonction de \(\omega^4\) et \(p_0^2\).
Vecteur de Poynting (\(\vec{S}\)): Vecteur représentant la densité de flux d'énergie (puissance par unité de surface) d'une onde électromagnétique. \(\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}\).
Zone de Rayonnement (Champ Lointain): Région de l'espace lointaine de la source (\(r \gg \lambda\)) où les champs EM se comportent comme une onde sphérique transverse et décroissent en \(1/r\).

Rayonnement d’un Dipôle Oscillant

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Dipôle Rayonnant

Questions à traiter

Correction : Rayonnement d'un Dipôle Oscillant

Question 1 : Vecteur de Poynting Instantané \(\vec{S}\)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Vecteur de Poynting Moyen \(\langle\vec{S}\rangle\)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Puissance Totale Moyenne Rayonnée \(\langle P \rangle\)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation du Rayonnement Dipolaire

Paramètres du Dipôle

Puissance Rayonnée

Pour Aller Plus Loin : Diagramme de Rayonnement

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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