ÉTUDE DE PHYSIQUE

Tension de Hall dans un Semi-conducteur

Calcul de la Tension de Hall dans un Semi-conducteur

Calcul de la Tension de Hall dans un Semi-conducteur

Comprendre l'Effet Hall et la Tension de Hall

L'effet Hall est un phénomène physique observé lorsqu'un conducteur ou un semi-conducteur parcouru par un courant électrique est placé dans un champ magnétique perpendiculaire à ce courant. Sous l'action de la force de Lorentz, les porteurs de charge (électrons ou trous) sont déviés vers un côté de l'échantillon, créant une accumulation de charges et, par conséquent, un champ électrique transverse appelé champ de Hall. Ce champ électrique engendre une différence de potentiel, la tension de Hall (\(V_H\)), mesurable entre les faces opposées de l'échantillon. L'effet Hall est très utile pour déterminer le type de porteurs de charge majoritaires (électrons pour type n, trous pour type p) et leur concentration volumique dans le matériau.

Données de l'étude

On étudie un échantillon de Germanium de type n.

Caractéristiques de l'échantillon et conditions expérimentales :

  • Largeur de l'échantillon (\(w\)) : \(5.0 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de l'échantillon (\(t\)) : \(1.0 \, \text{mm}\)
  • Courant traversant l'échantillon (\(I\)) : \(10 \, \text{mA}\)
  • Champ magnétique appliqué perpendiculairement à la face \(L \times w\) (\(B\)) : \(0.5 \, \text{T}\)
  • Concentration des porteurs de charge (électrons) (\(n\)) : \(1.0 \times 10^{22} \, \text{m}^{-3}\)
  • Charge élémentaire (\(e\)) : \(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
Schéma : Effet Hall dans un Semi-conducteur
I B (sortant) V_H + - w t

Un courant \(I\) traverse un échantillon d'épaisseur \(t\) et de largeur \(w\), soumis à un champ magnétique \(B\). Une tension de Hall \(V_H\) apparaît.

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de Hall (\(R_H\)) pour cet échantillon de Germanium de type n.
  2. Calculer la tension de Hall (\(V_H\)) développée aux bornes de l'échantillon.
  3. Si l'épaisseur (\(t\)) de l'échantillon était doublée, comment cela affecterait-il la tension de Hall (en supposant que I, B, et n restent constants) ? Justifier.
  4. Si le matériau était de type p avec la même concentration de porteurs (\(p=n\)), quel serait le signe de la tension de Hall par rapport au cas n-type, et pourquoi ?

Correction : Calcul de la Tension de Hall dans un Semi-conducteur

Question 1 : Calcul du Coefficient de Hall (\(R_H\))

Principe :

Le coefficient de Hall (\(R_H\)) est une caractéristique du matériau qui dépend du type et de la concentration des porteurs de charge. Pour un semi-conducteur de type n (où les porteurs majoritaires sont des électrons), le coefficient de Hall est négatif. Sa valeur absolue est l'inverse du produit de la concentration des électrons (\(n\)) et de la charge élémentaire (\(e\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_H = -\frac{1}{n \cdot e} \quad (\text{pour type n})\]
Données spécifiques :
  • Concentration des électrons (\(n\)) : \(1.0 \times 10^{22} \, \text{m}^{-3}\)
  • Charge élémentaire (\(e\)) : \(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_H &= -\frac{1}{(1.0 \times 10^{22} \, \text{m}^{-3}) \times (1.602 \times 10^{-19} \, \text{C})} \\ &= -\frac{1}{1.602 \times 10^3 \, \text{C/m}^3} \\ &\approx -0.0006242 \, \text{m}^3/\text{C} \\ &\approx -6.242 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le coefficient de Hall est \(R_H \approx -6.24 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{C}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la concentration des porteurs de charge (\(n\)) augmente, la valeur absolue du coefficient de Hall (\(|R_H|\)) :

Question 2 : Calcul de la Tension de Hall (\(V_H\))

Principe :

La tension de Hall (\(V_H\)) qui apparaît aux bornes de l'échantillon (sur sa largeur \(w\)) est directement proportionnelle au courant (\(I\)) qui le traverse, au champ magnétique (\(B\)) appliqué, et au coefficient de Hall (\(R_H\)), et inversement proportionnelle à l'épaisseur (\(t\)) de l'échantillon par laquelle le courant passe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_H = \frac{R_H \cdot I \cdot B}{t}\]
Données spécifiques (convertir les unités si nécessaire) :
  • \(R_H \approx -6.242 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{C}\) (calculée)
  • Courant (\(I\)) : \(10 \, \text{mA} = 10 \times 10^{-3} \, \text{A}\)
  • Champ magnétique (\(B\)) : \(0.5 \, \text{T}\) (Tesla)
  • Épaisseur (\(t\)) : \(1.0 \, \text{mm} = 1.0 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_H &= \frac{(-6.242 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{C}) \times (10 \times 10^{-3} \, \text{A}) \times (0.5 \, \text{T})}{1.0 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= \frac{-6.242 \times 10^{-4} \times 0.01 \times 0.5}{0.001} \, \text{V} \\ &= \frac{-3.121 \times 10^{-6}}{1 \times 10^{-3}} \, \text{V} \\ &= -3.121 \times 10^{-3} \, \text{V} \\ &= -3.121 \, \text{mV} \end{aligned} \]

Le signe négatif de la tension de Hall indique la polarité, qui dépend du type de porteurs de charge (ici, des électrons).

Résultat Question 2 : La tension de Hall est \(V_H \approx -3.12 \, \text{mV}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le champ magnétique (\(B\)) appliqué est doublé, la tension de Hall (\(V_H\)) (tous les autres paramètres étant constants) :

Question 3 : Effet du Doublement de l'Épaisseur (\(t\))

Principe :

La formule de la tension de Hall \(V_H = \frac{R_H \cdot I \cdot B}{t}\) montre que \(V_H\) est inversement proportionnelle à l'épaisseur \(t\). Si \(t\) est doublée, et que les autres paramètres (\(R_H\), \(I\), \(B\)) restent constants, la tension de Hall sera divisée par deux.

Analyse :

Si \(t' = 2t\), alors la nouvelle tension de Hall \(V'_H\) sera :

\[V'_H = \frac{R_H \cdot I \cdot B}{t'} = \frac{R_H \cdot I \cdot B}{2t} = \frac{1}{2} \left( \frac{R_H \cdot I \cdot B}{t} \right) = \frac{1}{2} V_H\]
Résultat Question 3 : Si l'épaisseur de l'échantillon est doublée, la tension de Hall sera divisée par deux.

Question 4 : Cas d'un Semi-conducteur de Type p

Principe :

Dans un semi-conducteur de type p, les porteurs de charge majoritaires sont des trous, qui ont une charge positive (\(+e\)). Le coefficient de Hall pour un type p est donné par \(R_H = +\frac{1}{p \cdot e}\), où \(p\) est la concentration des trous. Si la concentration des porteurs \(p\) est la même que \(n\) dans le cas précédent, la valeur absolue du coefficient de Hall sera la même, mais son signe sera opposé.

La tension de Hall \(V_H = R_H \frac{IB}{t}\) changera donc de signe. Cela signifie que la polarité de la tension mesurée sera inversée. Si pour un type n, une face devient négative par rapport à l'autre, pour un type p avec le même sens de courant et de champ magnétique, cette même face deviendrait positive.

Analyse :

Pour un type p avec \(p=n\):

\[R_{H,p} = +\frac{1}{p \cdot e} = -\left(-\frac{1}{n \cdot e}\right) = -R_{H,n}\]

Donc, la tension de Hall \(V_{H,p}\) serait :

\[V_{H,p} = R_{H,p} \frac{IB}{t} = (-R_{H,n}) \frac{IB}{t} = -V_{H,n}\]

Si \(V_{H,n} \approx -3.12 \, \text{mV}\), alors \(V_{H,p} \approx -(-3.12 \, \text{mV}) = +3.12 \, \text{mV}\).

La polarité de la tension de Hall est inversée. Cela est dû au fait que les trous (charges positives) sont déviés dans la direction opposée aux électrons (charges négatives) par la même force de Lorentz (car \( \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) \), et \(q\) change de signe).

Résultat Question 4 : Si le matériau était de type p avec la même concentration de porteurs, le coefficient de Hall \(R_H\) serait positif (environ \(+6.24 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{C}\)), et la tension de Hall \(V_H\) serait également positive (environ \(+3.12 \, \text{mV}\)). La polarité de la tension serait inversée.

Quiz Intermédiaire 4 : L'effet Hall permet de déterminer :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. La force de Lorentz est responsable de la déviation des porteurs de charge dans l'effet Hall. Elle est donnée par :

  • (la partie magnétique est \(q(\vec{v} \times \vec{B})\))

2. Dans un semi-conducteur de type p, les porteurs de charge majoritaires sont :

3. La tension de Hall est mesurée :

Glossaire

Effet Hall
Production d'une différence de potentiel (tension de Hall) aux bornes d'un conducteur ou semi-conducteur électrique, lorsqu'il est parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique perpendiculaire à ce courant.
Tension de Hall (\(V_H\))
Différence de potentiel électrique qui apparaît transversalement à la direction du courant dans un matériau soumis à un champ magnétique.
Coefficient de Hall (\(R_H\))
Constante de proportionnalité qui relie la tension de Hall au produit du courant et du champ magnétique, divisé par l'épaisseur de l'échantillon. Il est inversement proportionnel à la densité des porteurs de charge et à leur charge.
Semi-conducteur
Matériau dont la conductivité électrique est intermédiaire entre celle d'un conducteur et celle d'un isolant. Sa conductivité peut être fortement influencée par la température et la présence d'impuretés (dopage).
Porteurs de Charge
Particules chargées qui se déplacent dans un matériau et transportent le courant électrique. Dans les semi-conducteurs, ce sont principalement les électrons (charge négative) et les trous (considérés comme des charges positives).
Type n / Type p
Type de semi-conducteur extrinsèque. Type n : les porteurs majoritaires sont des électrons. Type p : les porteurs majoritaires sont des trous.
Force de Lorentz
Force exercée par un champ électromagnétique sur une particule chargée en mouvement. La composante magnétique est \(\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})\).
Tesla (T)
Unité du Système International pour l'induction magnétique (densité de flux magnétique).
Calcul de la Tension de Hall – Exercice d'Application

D’autres exercices de physique de la matière condensée:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *