ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de la température finale du gaz

Calcul de la Température Finale d’un Gaz en Thermodynamique

Calcul de la Température Finale d’un Gaz en Thermodynamique

Comprendre les Transformations Thermodynamiques et la Température

La thermodynamique étudie les transferts d'énergie sous forme de chaleur et de travail, et leurs effets sur les propriétés macroscopiques des systèmes, comme la température, la pression et le volume. Le premier principe de la thermodynamique, ou principe de conservation de l'énergie, stipule que la variation de l'énergie interne (\(\Delta U\)) d'un système est égale à la chaleur (\(Q\)) échangée avec le milieu extérieur moins le travail (\(W\)) effectué par le système sur le milieu extérieur (\(\Delta U = Q - W\)). Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de sa température. Ainsi, toute modification de l'énergie interne se traduit par une variation de température. Différents processus thermodynamiques (isobare, isochore, isotherme, adiabatique) affectent différemment la température d'un gaz.

Données de l'étude : Expansion Isobarique d'un Gaz Parfait Diatomique

On considère \(n = 2.00 \, \text{mol}\) d'un gaz parfait diatomique. Initialement, le gaz se trouve à une température \(T_1 = 300 \, \text{K}\) et à une pression \(P_1 = 1.00 \times 10^5 \, \text{Pa}\). On fournit une quantité de chaleur \(Q = +5000 \, \text{J}\) au gaz lors d'une transformation isobare (pression constante).

Constantes et informations :

  • Pour un gaz parfait diatomique (comme N₂ ou O₂ à température ambiante), on peut prendre :
    • Capacité thermique molaire à volume constant : \(C_{v,m} = \frac{5}{2}R\)
    • Capacité thermique molaire à pression constante : \(C_{p,m} = \frac{7}{2}R\)
  • Constante des gaz parfaits \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
Schéma : Expansion Isobarique d'un Gaz dans un Cylindre avec Piston
P = constante V₁, T₁ V₂, T₂ W Q > 0 Chauffage isobare d'un gaz parfait.

Un gaz parfait diatomique se détend à pression constante en recevant de la chaleur.

Questions à traiter

  1. Calculer la capacité thermique molaire à pression constante (\(C_{p,m}\)) du gaz diatomique.
  2. En utilisant la quantité de chaleur \(Q\) fournie au gaz lors de la transformation isobare, calculer la variation de température (\(\Delta T\)) du gaz.
  3. Déterminer la température finale (\(T_2\)) du gaz en Kelvins (K) et en degrés Celsius (°C). (Rappel : \(T(^{\circ}\text{C}) = T(\text{K}) - 273.15\))
  4. Calculer le travail (\(W\)) effectué par le gaz lors de cette expansion isobare.
  5. Calculer la variation de l'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz.

Correction : Calcul de la Température Finale d’un Gaz

Question 1 : Capacité thermique molaire à pression constante (\(C_{p,m}\))

Principe :

Pour un gaz parfait diatomique, la capacité thermique molaire à pression constante (\(C_{p,m}\)) est donnée par \(C_{p,m} = \frac{7}{2}R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C_{p,m} = \frac{7}{2}R \]
Données spécifiques :
  • \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_{p,m} &= \frac{7}{2} \times 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \\ &= 3.5 \times 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \\ &= 29.099 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La capacité thermique molaire à pression constante est \(C_{p,m} \approx 29.10 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).

Question 2 : Variation de température (\(\Delta T\))

Principe :

Pour une transformation isobare (pression constante), la chaleur échangée (\(Q\)) est reliée à la variation de température (\(\Delta T\)) par la relation \(Q = n C_{p,m} \Delta T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q = n C_{p,m} \Delta T \Rightarrow \Delta T = \frac{Q}{n C_{p,m}} \]
Données spécifiques :
  • \(Q = +5000 \, \text{J}\)
  • \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
  • \(C_{p,m} \approx 29.099 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta T &= \frac{5000 \, \text{J}}{(2.00 \, \text{mol}) \times (29.099 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1})} \\ &= \frac{5000 \, \text{J}}{58.198 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1}} \\ &\approx 85.9136 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La variation de température est \(\Delta T \approx 85.91 \, \text{K}\).

Question 3 : Température finale (\(T_2\))

Principe :

La température finale \(T_2\) est la somme de la température initiale \(T_1\) et de la variation de température \(\Delta T\). Ensuite, on convertit en degrés Celsius.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_2 = T_1 + \Delta T \] \[ T(^{\circ}\text{C}) = T(\text{K}) - 273.15 \]
Données spécifiques :
  • \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
  • \(\Delta T \approx 85.9136 \, \text{K}\)
Calcul :

Température finale en Kelvins :

\[ \begin{aligned} T_2 &= 300 \, \text{K} + 85.9136 \, \text{K} \\ &= 385.9136 \, \text{K} \end{aligned} \]

Température finale en degrés Celsius :

\[ \begin{aligned} T_2(^{\circ}\text{C}) &= 385.9136 - 273.15 \\ &\approx 112.7636 \, ^{\circ}\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • La température finale est \(T_2 \approx 385.9 \, \text{K}\).
  • La température finale est \(T_2 \approx 112.8 \, ^{\circ}\text{C}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'une expansion isobare où de la chaleur est fournie au gaz, la température du gaz :

Question 4 : Travail (\(W\)) effectué par le gaz

Principe :

Pour une transformation isobare (pression constante \(P\)), le travail effectué PAR le gaz est \(W = P \Delta V\). En utilisant la loi des gaz parfaits \(PV = nRT\), on peut écrire \(P\Delta V = nR\Delta T\) pour une transformation isobare.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W = nR\Delta T \]
Données spécifiques :
  • \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • \(\Delta T \approx 85.9136 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W &= (2.00 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (85.9136 \, \text{K}) \\ &\approx 1428.27 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le travail est positif, ce qui signifie qu'il est effectué par le système (le gaz se détend).

Résultat Question 4 : Le travail effectué par le gaz est \(W \approx +1428 \, \text{J}\).

Question 5 : Variation de l'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

Selon le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = Q - W\) (si W est le travail effectué PAR le système). Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne est aussi donnée par \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\). Pour un gaz diatomique, \(C_{v,m} = \frac{5}{2}R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = Q - W \] \[ \text{ou} \quad \Delta U = n C_{v,m} \Delta T \quad \text{avec} \quad C_{v,m} = \frac{5}{2}R \]
Données spécifiques :
  • \(Q = +5000 \, \text{J}\)
  • \(W \approx 1428.27 \, \text{J}\)
  • \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • \(\Delta T \approx 85.9136 \, \text{K}\)
Calcul avec \(Q\) et \(W\) :
\[ \begin{aligned} \Delta U &= 5000 \, \text{J} - 1428.27 \, \text{J} \\ &= 3571.73 \, \text{J} \end{aligned} \]

Calcul avec \(n C_{v,m} \Delta T\) :

\[ C_{v,m} = \frac{5}{2} \times 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} = 20.785 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \] \[ \begin{aligned} \Delta U &= (2.00 \, \text{mol}) \times (20.785 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (85.9136 \, \text{K}) \\ &\approx 3571.73 \, \text{J} \end{aligned} \]

Les deux méthodes donnent des résultats cohérents.

Résultat Question 5 : La variation de l'énergie interne du gaz est \(\Delta U \approx +3572 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Pour un gaz parfait, l'énergie interne dépend uniquement de :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le premier principe de la thermodynamique exprime :

2. Lors d'une transformation isobare, quelle grandeur reste constante ?

3. Pour un gaz parfait diatomique, la capacité thermique molaire à pression constante (\(C_{p,m}\)) est typiquement :

Glossaire

Thermodynamique
Branche de la physique qui étudie les relations entre la chaleur, le travail et l'énergie, et les transformations de l'énergie d'une forme à une autre.
Gaz Parfait
Modèle théorique d'un gaz dont les particules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il obéit à l'équation d'état \(PV=nRT\).
Processus Isobarique
Transformation thermodynamique qui se produit à pression constante (\(\Delta P = 0\)).
Chaleur (\(Q\))
Transfert d'énergie thermique entre des systèmes dû à une différence de température. Unité SI : Joule (J).
Travail (\(W\))
Transfert d'énergie qui se produit lorsqu'une force agit sur un objet et le déplace. En thermodynamique, souvent associé à l'expansion ou la compression d'un gaz (\(W = -\int P_{ext} dV\)). Unité SI : Joule (J).
Énergie Interne (\(U\))
Énergie totale contenue dans un système thermodynamique. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température et du nombre de moles.
Premier Principe de la Thermodynamique
La variation de l'énergie interne d'un système (\(\Delta U\)) est égale à la chaleur (\(Q\)) ajoutée au système moins le travail (\(W\)) effectué par le système : \(\Delta U = Q - W\).
Capacité Thermique Molaire (\(C_m\))
Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une mole d'une substance d'un degré Celsius (ou Kelvin). On distingue \(C_{p,m}\) (à pression constante) et \(C_{v,m}\) (à volume constant).
Calcul de la Température Finale d’un Gaz - Exercice d'Application

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