Application du Modèle de Bohr
Contexte : Le premier modèle quantique de l'atome.
Avant la mécanique quantique moderne, le modèle planétaire de l'atome de Rutherford posait un problème majeur : un électron en orbite devrait rayonner de l'énergie en continu et donc s'écraser sur le noyau. En 1913, Niels Bohr a proposé un modèle révolutionnaire qui, bien qu'aujourd'hui dépassé, a introduit l'idée fondamentale de la quantification. En postulant que seules certaines orbites et certains niveaux d'énergie sont permis, Bohr a réussi à expliquer le spectre d'émission de l'hydrogène et à calculer des grandeurs atomiques avec une précision stupéfiante pour l'époque. Cet exercice explore les calculs de base de ce modèle historique.
Remarque Pédagogique : Le modèle de Bohr est une passerelle essentielle entre la physique classique et la physique quantique. Il mélange des concepts classiques (force de Coulomb, orbites circulaires) avec des idées radicalement nouvelles (quantification du moment cinétique). Le résoudre permet de se familiariser avec les ordres de grandeur du monde atomique et de comprendre la logique derrière la quantification de l'énergie.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer les postulats de Bohr.
- Calculer le rayon des orbites électroniques quantifiées pour un ion hydrogénoïde.
- Calculer les niveaux d'énergie quantifiés.
- Se familiariser avec les unités atomiques (électron-volt, Angström).
- Appréhender l'influence du numéro atomique Z sur les propriétés de l'atome.
Données de l'étude
Schéma du modèle de Bohr pour He⁺
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Numéro atomique de l'Hélium | \(Z\) | 2 | |
| Masse de l'électron | \(m_{\text{e}}\) | \(9.11 \times 10^{-31}\) | \(\text{kg}\) |
| Constante de Planck réduite | \(\hbar\) | \(1.054 \times 10^{-34}\) | \(\text{J} \cdot \text{s}\) |
| Permittivité du vide | \(\varepsilon_0\) | \(8.854 \times 10^{-12}\) | \(\text{F} \cdot \text{m}^{-1}\) |
| Charge élémentaire | \(e\) | \(1.602 \times 10^{-19}\) | \(\text{C}\) |
| Rayon de Bohr | \(a_0\) | \(0.529 \times 10^{-10}\) | \(\text{m}\) |
Questions à traiter
- Calculer le rayon \(r_1\) de l'orbite de l'état fondamentalL'état de plus basse énergie possible pour un système quantique. Pour l'atome de Bohr, il correspond à l'orbite la plus proche du noyau (n=1). (n=1) pour l'ion He⁺. Donner le résultat en mètres et en Angströms (Å).
- Calculer l'énergie \(E_2\) du premier état excité (n=2) pour l'ion He⁺. Donner le résultat en Joules (J) et en électron-volts (eV).
Les bases du Modèle de Bohr
Le modèle de Bohr repose sur trois postulats qui combinent physique classique et idées quantiques.
1. Postulat des orbites stationnaires :
L'électron ne peut se trouver que sur certaines orbites circulaires permises sans émettre de rayonnement. Sur ces orbites, son moment cinétique \(L = mvr\) est quantifié et est un multiple entier de la constante de Planck réduite \(\hbar\).
\[ L_n = m_{\text{e}} v_n r_n = n \hbar, \quad \text{où } n = 1, 2, 3, ... \]
2. Postulat des états stationnaires :
À chaque orbite permise \(n\) correspond un niveau d'énergie bien défini \(E_n\). Tant que l'électron reste sur cette orbite, son énergie est constante. C'est un état "stationnaire".
3. Postulat des transitions quantiques :
Un électron peut "sauter" d'une orbite d'énergie \(E_i\) à une autre d'énergie plus basse \(E_f\). Ce faisant, il émet un photon dont l'énergie est exactement la différence d'énergie entre les deux niveaux :
\[ E_{\text{photon}} = h\nu = E_i - E_f \]
Cette idée explique pourquoi les atomes n'émettent de la lumière qu'à certaines fréquences discrètes, créant un spectre de raies.
Correction : Application du Modèle de Bohr
Question 1 : Calculer le rayon de l'orbite fondamentale (n=1)
Principe (le concept physique)
Dans le modèle de Bohr, le rayon de l'orbite de l'électron est déterminé par un équilibre entre deux forces : la force d'attraction électrostatique (Coulomb) qui tire l'électron vers le noyau, et la force centrifuge (classique) qui tend à l'en écarter. La condition de quantification du moment cinétique de Bohr sélectionne parmi toutes les orbites classiquement possibles un ensemble discret d'orbites stables.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour trouver la formule du rayon, on part de deux équations : 1) L'égalité entre la force de Coulomb et la force centripète : \(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(Ze)e}{r_n^2} = \frac{m_{\text{e}}v_n^2}{r_n}\). 2) Le postulat de quantification de Bohr : \(m_{\text{e}}v_n r_n = n\hbar\). En isolant \(v_n\) dans la deuxième équation et en l'injectant dans la première, on peut résoudre pour \(r_n\) et obtenir la formule générale des rayons de Bohr.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Notez bien comment le rayon dépend des paramètres. Il augmente comme \(n^2\) : les orbites sont de plus en plus espacées. Il diminue comme \(1/Z\) : plus le noyau est chargé, plus il attire fortement l'électron et plus les orbites sont resserrées. C'est logique !
Normes (la référence réglementaire)
La formule du rayon de Bohr est un résultat canonique de la physique atomique. Le rayon de Bohr pour l'hydrogène à l'état fondamental, \(a_0\), est une constante physique fondamentale dont la valeur est standardisée par le CODATA (Committee on Data for Science and Technology).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le rayon de l'orbite \(n\) pour un ion hydrogénoïde de numéro atomique \(Z\) est donné par :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise le modèle de Bohr, qui suppose que le noyau est infiniment lourd et fixe. On néglige les effets relativistes et les interactions plus complexes (comme le spin de l'électron).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Niveau quantique, \(n = 1\)
- Numéro atomique de l'Hélium, \(Z = 2\)
- Rayon de Bohr, \(a_0 = 0.529 \times 10^{-10} \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Il est beaucoup plus simple d'utiliser la formule \(r_n = \frac{n^2}{Z} a_0\) que de refaire tout le calcul avec les constantes fondamentales. Le rayon de Bohr \(a_0\) est une "unité de longueur naturelle" pour les atomes. Pensez toujours en termes de \(a_0\).
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre rₙ, n et Z
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul du rayon \(r_1\) en mètres :
2. Conversion en Angströms (\(1 \, \text{Å} = 10^{-10} \, \text{m}\)) :
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Rayons : H et He⁺
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le rayon de l'orbite fondamentale de He⁺ est deux fois plus petit que celui de l'hydrogène. Cela confirme notre intuition : le noyau de l'hélium, avec ses deux protons (\(Z=2\)), attire l'unique électron beaucoup plus fortement que le noyau d'hydrogène (\(Z=1\)), ce qui résulte en une orbite plus compacte.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de diviser par Z ou de mettre n au carré. Souvenez-vous de la dépendance \(n^2/Z\). Une autre erreur est de mal convertir les unités, notamment entre mètres, nanomètres et Angströms.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le rayon de l'orbite de Bohr est quantifié.
- Il est proportionnel au carré du nombre quantique principal (\(r_n \propto n^2\)).
- Il est inversement proportionnel au numéro atomique (\(r_n \propto 1/Z\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Bien que le modèle de Bohr soit incorrect dans les détails (les électrons ne suivent pas d'orbites planétaires), le rayon de Bohr \(a_0\) reste une échelle de longueur extrêmement importante en physique et en chimie. Il représente la taille typique d'un atome et apparaît dans de nombreuses équations plus avancées.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel serait le rayon de l'orbite n=3 pour l'ion Lithium Li²⁺ (Z=3) en Angströms ?
Question 2 : Calculer l'énergie du premier état excité (n=2)
Principe (le concept physique)
L'énergie totale de l'électron sur une orbite de Bohr est la somme de son énergie cinétique (due à son mouvement) et de son énergie potentielle (due à l'attraction du noyau). Le résultat remarquable du modèle est que cette énergie totale est négative, ce qui signifie que l'électron est lié au noyau. De plus, comme les orbites sont quantifiées, l'énergie l'est aussi : seuls des niveaux d'énergie discrets sont autorisés.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'énergie totale est \(E_n = E_{\text{cinétique}} + E_{\text{potentielle}} = \frac{1}{2}m_{\text{e}}v_n^2 - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{r_n}\). En utilisant la condition d'équilibre des forces de la question précédente, on peut montrer une relation simple (le théorème du viriel pour ce cas) : \(E_{\text{cinétique}} = -\frac{1}{2}E_{\text{potentielle}}\). Cela simplifie l'énergie totale à \(E_n = \frac{1}{2}E_{\text{potentielle}}\). En remplaçant \(r_n\) par son expression quantifiée, on obtient la formule finale de l'énergie.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
L'énergie est proportionnelle à \(-Z^2/n^2\). Le signe "moins" est crucial : il signifie que l'électron est piégé dans le "puits de potentiel" du noyau. L'énergie zéro correspond à un électron infiniment loin et au repos (ionisation). Plus \(n\) est grand, plus l'énergie est élevée (moins négative), et plus l'électron est facile à arracher.
Normes (la référence réglementaire)
L'énergie de l'état fondamental de l'hydrogène, \(E_1 \approx -13.6 \, \text{eV}\), est une autre constante fondamentale de la physique atomique, souvent appelée le Rydberg. Les niveaux d'énergie de tous les autres atomes et ions hydrogénoïdes sont exprimés par rapport à cette valeur de référence.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'énergie du niveau \(n\) pour un ion hydrogénoïde de numéro atomique \(Z\) est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les mêmes hypothèses que pour le calcul du rayon s'appliquent : noyau fixe, absence d'effets relativistes, etc. Le modèle est une approximation qui fonctionne bien pour les systèmes à un seul électron.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Niveau quantique, \(n = 2\)
- Numéro atomique de l'Hélium, \(Z = 2\)
- Énergie de Rydberg, \(E_R \approx 13.6 \, \text{eV}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Travaillez directement en électron-volts en utilisant la valeur de \(E_R \approx 13.6 \, \text{eV}\). C'est beaucoup plus rapide et moins sujet aux erreurs de calcul avec de très petites puissances de 10 que de tout calculer en Joules à partir des constantes fondamentales.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme Énergétique (Concept)
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de l'énergie \(E_2\) en électron-volts :
2. Conversion en Joules :
Schéma (Après les calculs)
Niveaux d'Énergie : H vs He⁺
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'énergie du premier état excité de He⁺ est de -13.6 eV. C'est exactement la même que l'énergie de l'état fondamental de l'hydrogène ! Ce n'est pas une coïncidence. La dépendance en \(Z^2/n^2\) fait que le niveau \(n=2\) de He⁺ (\(Z=2\)) a la même énergie que le niveau \(n=1\) de H (\(Z=1\)). Cela montre que les niveaux d'énergie des ions hydrogénoïdes sont une simple mise à l'échelle de ceux de l'hydrogène.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
N'oubliez pas le signe "moins" ! Une énergie positive dans ce modèle signifierait un électron non lié (libre). Attention également à bien mettre Z et n au carré. Une erreur fréquente est d'oublier l'un des carrés.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'énergie des orbites de Bohr est quantifiée et négative.
- Elle est proportionnelle à \(-Z^2/n^2\).
- L'état \(n=\infty\) correspond à l'ionisation (énergie nulle).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les aurores boréales sont un exemple spectaculaire de transitions quantiques. Des particules énergétiques venant du Soleil (vent solaire) excitent les atomes d'oxygène et d'azote de la haute atmosphère. En revenant à des états d'énergie inférieurs, ces atomes émettent des photons à des longueurs d'onde bien précises, créant les couleurs caractéristiques : le vert et le rouge pour l'oxygène, le bleu et le violet pour l'azote.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est l'énergie (en eV) nécessaire pour ioniser un atome d'hydrogène (\(Z=1\)) depuis son état fondamental (\(n=1\)) ?
Outil Interactif : Paramètres de l'Atome de Bohr
Modifiez le numéro atomique et le niveau quantique pour voir leur influence sur le rayon et l'énergie.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le "principe de correspondance" de Bohr stipule que pour de grands nombres quantiques (n très grand), les prédictions de la mécanique quantique doivent tendre vers celles de la physique classique. Pour l'atome de Bohr, si vous calculez la fréquence de la lumière émise pour une transition de n=1000 à n=999, vous trouverez qu'elle est quasiment identique à la fréquence de rotation de l'électron sur son orbite classique n=1000. La physique quantique contient la physique classique comme cas limite.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi le modèle de Bohr ne fonctionne-t-il que pour les atomes à un seul électron ?
Le modèle de Bohr ne prend pas en compte les interactions (répulsion de Coulomb) entre les électrons. Dès qu'il y a plus d'un électron, ces interactions deviennent très complexes et modifient profondément les niveaux d'énergie. Seule l'équation de Schrödinger, beaucoup plus complète, peut décrire correctement ces atomes multi-électroniques.
Le modèle de Bohr explique-t-il pourquoi certaines raies spectrales sont plus intenses que d'autres ?
Non, c'est une autre de ses limites. Le modèle de Bohr prédit les fréquences (les couleurs) des raies spectrales, mais pas leur intensité. L'intensité d'une raie est liée à la probabilité de la transition quantique correspondante. Ces probabilités ne peuvent être calculées qu'avec la mécanique quantique moderne via des "règles de sélection".
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on compare l'orbite n=2 de l'Hydrogène (Z=1) à l'orbite n=4 de l'ion He⁺ (Z=2), comment sont leurs rayons ?
2. L'énergie nécessaire pour ioniser un atome (arracher son électron) depuis son état fondamental est...
- État Fondamental
- L'état de plus basse énergie possible pour un système quantique. Pour l'atome de Bohr, il correspond à l'orbite la plus proche du noyau (n=1).
- Nombre Quantique Principal (n)
- Entier (n=1, 2, 3...) qui définit l'orbite et le niveau d'énergie de l'électron dans le modèle de Bohr.
- Ion Hydrogénoïde
- Atome ou ion qui ne possède qu'un seul électron (ex: H, He⁺, Li²⁺). Le modèle de Bohr s'applique bien à ces systèmes.
D’autres exercices de physique quantique:
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