Application du Modèle de Bohr
Comprendre l’Application du Modèle de Bohr
Le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène est un modèle quantique précoce qui postule que les électrons orbitent autour du noyau en orbites circulaires fixes tout en obéissant aux règles de la mécanique quantique. Selon ce modèle, les électrons ne peuvent occuper que certaines orbites où leur moment angulaire est quantifié, et ils ne rayonnent de l’énergie que lorsqu’ils sautent d’une orbite à une autre.
Données:
- La constante de Planck \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\)
- La masse de l’électron \(m_e = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
- La charge élémentaire \(e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
- La constante de Coulomb \(k = 8.988 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2\)
- Numéro de l’orbite initiale \(n_i = 3\)
- Numéro de l’orbite finale \(n_f = 1\)
Questions:
1. Calculer l’énergie totale de l’électron dans chacune des orbites spécifiées (initiale \(n_i\) et finale \(n_f\)).
2. Déterminer l’énergie du photon émis lorsque l’électron passe de l’orbite \(n_i\) à l’orbite \(n_f\).
Correction : Application du Modèle de Bohr
1. Calcul de l’énergie totale de l’électron dans chacune des orbites
Le modèle de Bohr nous indique que l’énergie d’un électron dans l’atome d’hydrogène est quantifiée. Elle s’exprime par la formule :
\[ E_{n} = -\frac{2 \pi^{2} m_{e} k^{2} e^{4}}{h^{2}} \cdot \frac{1}{n^{2}} \]
Cette formule est obtenue en partant de la version classique écrite en fonction de \(\epsilon_{0}\) et en utilisant la relation \(k = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\).
Données
- Constante de Planck : \(h = 6.626 \times 10^{-34}\,\text{J·s}\)
- Masse de l’électron : \(m_{e} = 9.109 \times 10^{-31}\,\text{kg}\)
- Charge élémentaire : \(e = 1.602 \times 10^{-19}\,\text{C}\)
- Constante de Coulomb : \(k = 8.988 \times 10^{9}\,\text{N·m}^2/\text{C}^2\)
- Nombres quantiques :
– Orbite initiale : \(n_{i} = 3\)
– Orbite finale : \(n_{f} = 1\)
Calcul
1.1. Calcul pour l’orbite \(n=1\)
La formule donne :
\[ E_{1} = -\frac{2 \pi^{2} m_{e} k^{2} e^{4}}{h^{2}} \cdot \frac{1}{1^{2}} \]
En substituant les valeurs :
- Calcul intermédiaire :
\(\displaystyle 2\pi^{2} \approx 19.74\)
- Ensuite, on calcule le numérateur :
\[ N = 19.74 \times (9.109 \times 10^{-31}) \times (8.988 \times 10^{9})^{2} \times (1.602 \times 10^{-19})^{4} \]
Ainsi, le numérateur devient environ :
\[ N \approx 19.74 \times 9.109 \times 10^{-31} \times 8.078 \times 10^{19} \times 6.586 \times 10^{-76} \]
Ce calcul donne approximativement \(N \approx 9.55 \times 10^{-85}\) (en unités cohérentes).
- Le dénominateur est :
\[ D = h^{2} = (6.626 \times 10^{-34})^{2} \] \[ D \approx 4.39 \times 10^{-67} \]
Donc :
\[ E_{1} \approx -\frac{9.55 \times 10^{-85}}{4.39 \times 10^{-67}} \] \[ E_{1} \approx -2.18 \times 10^{-18}\,\text{J} \]
Ce résultat est en accord avec la valeur classique de \(-13.6\,\text{eV}\) (puisque \(1\,\text{eV} \approx 1.602 \times 10^{-19}\,\text{J}\)).
2.1. Calcul pour l’orbite \(n=3\)
La formule nous dit :
\[ E_{3} = -\frac{2 \pi^{2} m_{e} k^{2} e^{4}}{h^{2}} \cdot \frac{1}{3^{2}} = \frac{E_{1}}{9} \]
Ainsi :
\[ E_{3} = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{9} \] \[ E_{3} \approx -2.42 \times 10^{-19}\,\text{J} \]
2. Calcul de l’énergie du photon émis
Lorsque l’électron passe de l’orbite \(n_i = 3\) à \(n_f = 1\), il émet un photon dont l’énergie est égale à la différence d’énergie entre ces deux niveaux :
\[ E_{\gamma} = E_{n_{f}} – E_{n_{i}} \]
Calcul
On a trouvé :
- \(E_{1} = -2.18 \times 10^{-18}\,\text{J}\)
- \(E_{3} = -2.42 \times 10^{-19}\,\text{J}\)
Donc :
\[ E_{\gamma} = \left(-2.18 \times 10^{-18}\,\text{J}\right) – \left(-2.42 \times 10^{-19}\,\text{J}\right) \] \[ E_{\gamma} = -2.18 \times 10^{-18}\,\text{J} + 2.42 \times 10^{-19}\,\text{J} \] \[ E_{\gamma} \approx -1.94 \times 10^{-18}\,\text{J} \]
La valeur négative indique une perte d’énergie par l’atome. L’énergie du photon (sa valeur absolue) est donc :
\[ E_{\gamma} \approx 1.94 \times 10^{-18}\,\text{J} \]
Pour convertir en électron-volt (optionnel) :
\[ 1\,\text{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\,\text{J} \] \[ \Longrightarrow\quad E_{\gamma} \approx \frac{1.94 \times 10^{-18}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 12.1\,\text{eV} \]
Conclusion
1. Énergies des orbites :
- Pour \(n = 1\) : \(E_{1} \approx -2.18 \times 10^{-18}\,\text{J}\)
- Pour \(n = 3\) : \(E_{3} \approx -2.42 \times 10^{-19}\,\text{J}\)
2. Énergie du photon émis lors de la transition \(3 \to 1\) :
\[ E_{\gamma} \approx 1.94 \times 10^{-18}\,\text{J} \quad \text{(ou environ 12.1 eV)} \]
Application du Modèle de Bohr
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