Calcul de l'Altitude pour une Orbite Géosynchrone

Contexte : L' Orbite GéosynchroneUne orbite autour de la Terre d'un satellite dont la période orbitale est égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même (un jour sidéral)..

Les satellites de télécommunication (comme ceux pour la télévision ou internet) sont souvent placés en orbite géosynchrone. Depuis le sol, ils semblent immobiles dans le ciel, ce qui permet aux antennes paraboliques de pointer fixement vers eux. Pour que cela soit possible, le satellite doit avoir une période de révolution de 24h (plus précisément, un jour sidéral).

Cet exercice vous guidera à travers les calculs de mécanique céleste, basés sur la loi de la gravitation de Newton, pour déterminer l'altitude exacte à laquelle un satellite doit être placé pour atteindre cette orbite si particulière autour de la Terre.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la 3ème loi de Kepler et la loi de la gravitation universelle pour résoudre un problème concret d'ingénierie aérospatiale. Vous manipulerez des notations scientifiques et comprendrez la différence cruciale entre le rayon orbital et l'altitude.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la définition d'une orbite géosynchrone et d'un jour sidéral.
Appliquer la 3ème loi de Kepler dans sa forme gravitationnelle.
Manipuler les unités et les puissances de dix (notation scientifique).
Calculer un rayon orbital à partir d'une masse et d'une période.
Distinguer et calculer l'altitude à partir du rayon orbital et du rayon planétaire.

Données de l'étude

Pour cet exercice, nous allons calculer l'altitude de l'orbite géosynchrone de la Terre. Nous avons besoin pour cela des constantes physiques fondamentales et des caractéristiques de notre planète.

Constantes Physiques

Caractéristique	Symbole	Valeur
Constante gravitationnelle	\(G\)	\(6.674 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)
Pi (constante mathématique)	\(\pi\)	\(\approx 3.14159\)

Schéma d'une Orbite Circulaire

Nom du Paramètre	Description ou Formule	Symbole	Valeur	Unité
Masse de la Terre	Masse du corps central	\(M_{\text{Terre}}\)	\(5.972 \times 10^{24}\)	\(\text{kg}\)
Rayon de la Terre	Rayon équatorial moyen	\(R_{\text{Terre}}\)	\(6378\)	\(\text{km}\)
Période Géosynchrone	Temps d'une rotation (Jour Sidéral)	\(T\)	\(23\text{h } 56\text{min } 4\text{s}\)	-

Questions à traiter

Convertir la période de révolution géosynchrone (\(T\)) en secondes.
Calculer le paramètre gravitationnel standardNoté μ (mu), c'est le produit de la constante gravitationnelle G et de la masse M (μ = GM). Il simplifie les calculs. (\(\mu\)) de la Terre.
À partir de l'équilibre des forces, dériver l'expression algébrique du rayon orbital (\(r\)) en fonction de \(G\), \(M\) et \(T\).
Calculer la valeur numérique du rayon orbital (\(r\)) en mètres, puis en kilomètres.
En déduire l'altitude (\(h\)) de l'orbite géosynchrone par rapport à la surface de la Terre (en km).

Les bases de la mécanique orbitale

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux concepts fondamentaux de la physique : la loi de la gravitation de Newton et le concept de force centripète pour un mouvement circulaire.

1. Loi Universelle de la Gravitation (Newton)
Deux corps de masses \(M\) (la Terre) et \(m\) (le satellite) s'attirent avec une force \(F_g\) proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance \(r\) qui sépare leurs centres. \[ F_g = G \frac{M \cdot m}{r^2} \]

2. Force Centripète
Pour qu'un objet (satellite) suive une orbite circulaire à une vitesse constante, il doit subir une force \(F_c\) dirigée vers le centre de rotation (la Terre). Cette force est donnée par : \[ F_c = m \cdot a_c = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r \] Où \(\omega\) (oméga) est la vitesse angulaire. Puisque \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) (où \(T\) est la période), on a : \[ F_c = m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = m \frac{4\pi^2}{T^2} r \]

3. Équilibre Orbital (3e Loi de Kepler)
En orbite stable, la seule force qui agit comme force centripète est la force de gravité. On a donc l'équilibre : \[ F_g = F_c \] \[ G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} r \] Cette équation est la base de tout notre exercice.

Correction : Calcul de l’Altitude pour une Orbite Géosynchrone

Question 1 : Convertir la période de révolution géosynchrone (\(T\)) en secondes.

Principe

Pour tous les calculs de physique utilisant le Système International (SI), les unités de temps doivent être en secondes. Nous devons convertir la période donnée (en heures, minutes, secondes) en une valeur unique en secondes.

Mini-Cours

Les conversions standard sont : 1 minute = 60 secondes, et 1 heure = 60 minutes = 3600 secondes. La période géosynchrone correspond au jour sidéralTemps que met la Terre pour faire une rotation complète par rapport aux étoiles lointaines (légèrement plus court que le jour solaire de 24h)..

Remarque Pédagogique

C'est une étape préliminaire mais essentielle. Une erreur ici faussera tous les calculs suivants. Une bonne organisation de ses données est la première étape vers la réussite.

Normes

La norme appliquée ici est l'utilisation du Système International (SI) d'unités pour le temps, où l'unité de base fondamentale est la seconde (s). Tous les calculs de mécanique doivent utiliser cette base.

Formule(s)

La formule de conversion est une simple addition des composantes temporelles.

Conversion de temps

T_{\text{s}} = (N_{\text{h}} \times 3600) + (N_{\text{min}} \times 60) + N_{\text{s}}

Hypothèses

Nous supposons que la définition du 'jour sidéral' fournie dans l'énoncé (\(23\text{h } 56\text{min } 4\text{s}\)) est la valeur standard, exacte et suffisante pour ce calcul.

Donnée(s)

La seule donnée d'entrée pour cette question est la période de révolution géosynchrone, décomposée en heures, minutes et secondes. Ces valeurs vont être combinées pour former une valeur unique en secondes (s).

Composante Temporelle	Symbole (pour formule)	Valeur
Heures	\(N_{\text{h}}\)	23
Minutes	\(N_{\text{min}}\)	56
Secondes	\(N_{\text{s}}\)	4

Astuces

Pour une vérification rapide : 24 heures = 86400 secondes. Le jour sidéral doit être légèrement plus court, ce qui est bien le cas de notre résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la donnée d'entrée : un jour sidéral est légèrement plus court qu'un jour solaire de 24h.

Visualisation de la Période

Calcul(s)

Nous appliquons la formule de conversion :

Application numérique

\begin{aligned} T &= (23 \times 3600) + (56 \times 60) + 4 \\ &= 82800 \text{ s} + 3360 \text{ s} + 4 \text{ s} \\ \Rightarrow T &= 86164 \text{ s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du résultat de la conversion.

Résultat de la Conversion

Réflexions

Cette valeur de 86164 secondes est la véritable "journée" de rotation de la Terre par rapport à l'univers lointain. C'est la référence fondamentale pour tout ce qui doit rester "fixe" dans le ciel.

Points de vigilance

Ne confondez pas le jour sidéral (\(\approx 86164\) s) avec le jour solaire moyen (exactement \(24\text{h} = 86400\) s). L'orbite géosynchrone est synchronisée avec la rotation de la Terre par rapport aux étoiles (sidéral), et non par rapport au Soleil.

Points à retenir

La période d'une orbite géosynchrone est celle du jour sidéral.
Toutes les unités de temps doivent être en secondes pour les calculs de mécanique en SI.

Le saviez-vous ?

Le jour solaire (24h) est plus long que le jour sidéral car la Terre, en plus de tourner sur elle-même, avance sur son orbite autour du Soleil. Elle doit tourner "un peu plus" (environ 1 degré) chaque jour pour que le Soleil revienne à la même position dans le ciel.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La période de révolution géosynchrone est \(T = 86164 \text{ s}\).

A vous de jouer

Pour vous entraîner : combien de secondes y a-t-il dans 2 heures et 15 minutes ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Période en secondes (SI).
Donnée : \(T = 23\text{h } 56\text{min } 4\text{s}\).
Résultat : \(T = 86164 \text{ s}\).

Question 2 : Calculer le paramètre gravitationnel standard (\(\mu\)) de la Terre.

Principe

En mécanique céleste, les grandeurs \(G\) (Constante gravitationnelle) et \(M\) (Masse de la planète) apparaissent presque toujours ensemble sous la forme du produit \(GM\). Pour simplifier les calculs et réduire les incertitudes de mesure, on les groupe en un seul paramètre, \(\mu\) (mu), appelé paramètre gravitationnel standard.

Mini-Cours

Le paramètre \(\mu\) est unique pour chaque corps central (planète, étoile). Connaître \(\mu\) permet de calculer les caractéristiques orbitales (vitesse, période) sans connaître \(G\) et \(M\) séparément, ce qui était historiquement très utile avant que l'on ne mesure \(G\) avec précision.

Remarque Pédagogique

Notez bien les unités. \(\mu\) n'a pas les mêmes unités que \(G\). C'est une étape de simplification de nos données d'entrée. Nous calculons cette valeur une fois pour la réutiliser plus tard.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme au sens d'un règlement, mais d'une convention de calcul universellement adoptée en mécanique céleste et en astronautique pour simplifier les équations et les calculs ultérieurs.

Formule(s)

La formule de définition du paramètre \(\mu\).

Définition de Mu (μ)

\mu = G \cdot M

Hypothèses

Nous supposons que les valeurs de \(G\) et \(M\) de l'énoncé sont des constantes fondamentales, mesurées indépendamment, et suffisamment précises pour notre calcul. Nous supposons que leur produit \(GM\) est la seule interaction pertinente.

Donnée(s)

Nous utilisons les constantes de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Constante gravitationnelle	\(G\)	\(6.674 \times 10^{-11}\)	\(\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)
Masse de la Terre	\(M_{\text{Terre}}\)	\(5.972 \times 10^{24}\)	\(\text{kg}\)

Astuces

Pour multiplier les notations scientifiques de type \((a \times 10^x) \times (b \times 10^y)\), on multiplie les mantisses (\(a \times b\)) et on additionne les exposants (\(x+y\)).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du concept : la constante \(G\) et la masse \(M\) de la Terre sont combinées pour créer le paramètre \(\mu\).

Création du Paramètre \(\mu\)

Calcul(s)

On multiplie les deux valeurs :

Application numérique

\begin{aligned} \mu &= (6.674 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24}) \\ &= (6.674 \times 5.972) \times 10^{(-11 + 24)} \\ &\approx 39.860 \times 10^{13} \\ \Rightarrow \mu &\approx 3.986 \times 10^{14} \text{ m}^3/\text{s}^2 \end{aligned}

Note : L'unité \(\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg} = (\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2) \cdot \text{m}^2 / \text{kg} = \text{m}^3/\text{s}^2\).

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une nouvelle propriété associée à la Terre.

Propriété de la Terre

Réflexions

Cette valeur \(\mu \approx 3.986 \times 10^{14}\) est une constante fondamentale pour tout ce qui orbite la Terre (la Lune, les satellites artificiels, les débris spatiaux...). Nous l'utiliserons dans la suite.

Points de vigilance

Attention à l'addition des exposants (\(-11 + 24 = 13\)). Une erreur de signe ou de calcul sur l'exposant est la source d'erreur la plus fréquente.

Points à retenir

Le paramètre \(\mu = GM\) simplifie grandement les équations orbitales.
Sa valeur pour la Terre est d'environ \(3.986 \times 10^{14} \text{ m}^3/\text{s}^2\).

Le saviez-vous ?

Le paramètre \(\mu\) est souvent connu avec une bien meilleure précision que \(G\) ou \(M\) séparément. On mesure \(\mu\) très précisément en observant les orbites des satellites, mais mesurer \(G\) (la force de gravité entre deux objets) en laboratoire est extrêmement difficile !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le paramètre gravitationnel standard de la Terre est \(\mu \approx 3.986 \times 10^{14} \text{ m}^3/\text{s}^2\).

A vous de jouer

Si une planète fictive a une masse de \(2.0 \times 10^{25} \text{ kg}\), que vaut son paramètre \(\mu\) ? (Utilisez \(G \approx 6.67 \times 10^{-11}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Définition \(\mu = GM\).
Résultat : \(\mu \approx 3.986 \times 10^{14} \text{ m}^3/\text{s}^2\).

Question 3 : DÉRIVER l'expression algébrique du rayon orbital (\(r\)).

Principe

C'est le cœur théorique du problème. Nous allons poser l'équilibre orbital : pour qu'une orbite soit stable, la force de gravité (\(F_g\)) qui attire le satellite vers la Terre doit être exactement égale à la force centripète (\(F_c\)) qui tend à l'éjecter vers l'extérieur. De cette égalité, nous allons isoler mathématiquement le rayon \(r\).

Mini-Cours

Cette dérivation est l'application directe de la 3ème loi de Kepler. Kepler avait trouvé que \(T^2 \propto r^3\) (le carré de la période est proportionnel au cube du rayon), mais c'est Newton qui, avec sa loi de la gravitation, a trouvé la constante de proportionnalité (\(4\pi^2 / GM\)).

Remarque Pédagogique

Savoir manipuler les équations algébriques (isoler une variable) est aussi important que le calcul numérique. Prenez votre temps pour bien suivre chaque étape de réarrangement de l'équation.

Normes

La 'norme' ici est l'application des lois fondamentales de la physique : la Loi de la Gravitation de Newton et la Seconde Loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique) appliquée à un mouvement circulaire.

Formule(s)

Nous partons de l'équilibre des forces et des définitions des rappels de cours.

Équilibre des forces

\[ F_g = F_c \]

Expressions des forces

G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} r

Hypothèses

Nous faisons plusieurs hypothèses simplificatrices :

L'orbite est parfaitement circulaire.
La masse du satellite (\(m\)) est négligeable devant la masse de la Terre (\(M\)).
La Terre est une sphère parfaite et homogène.
Nous négligeons les perturbations d'autres corps (Lune, Soleil).

Donnée(s)

Cette question est une dérivation purement algébrique. Aucune valeur numérique (donnée) n'est requise. Nous utilisons uniquement les symboles \(G\), \(M\), \(m\), \(r\), et \(T\).

Astuces

Le premier réflexe doit être de simplifier ce qui peut l'être. Ici, la masse du satellite \(m\) est présente des deux côtés et peut donc être éliminée. Cela prouve que l'orbite ne dépend pas de la masse de l'objet en orbite !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'équilibre des forces sur le satellite.

Équilibre des Forces

Calcul(s)

Nous allons isoler \(r\). Notez que la masse du satellite \(m\) s'annule des deux côtés.

L'objectif est d'isoler la variable \(r\). Nous allons procéder étape par étape : 1. Simplifier l'équation en enlevant la masse \(m\). 2. Regrouper tous les termes \(r\) d'un côté. 3. Isoler \(r^3\). 4. Prendre la racine cubique pour trouver \(r\).

Dérivation algébrique

\begin{aligned} G \frac{M \cdot m}{r^2} &= m \frac{4\pi^2}{T^2} r & \text{(Équilibre des forces)} \\ G \frac{M}{r^2} &= \frac{4\pi^2}{T^2} r & \text{(Simplification par } m\text{)} \\ G M &= \frac{4\pi^2}{T^2} r^3 & \text{(Multiplier par } r^2\text{)} \\ \frac{G M T^2}{4\pi^2} &= r^3 & \text{(Isoler } r^3\text{)} \\ \Rightarrow r &= \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}} & \text{(Prendre la racine cubique)} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une formule qui lie la période (\(T\)) au rayon (\(r\)). Ce graphique montre cette relation : plus la période est longue, plus l'orbite est haute.

Relation \(r \propto T^{2/3}\)

Réflexions

La formule finale montre la relation directe : si la planète est plus massive (\(M\) augmente), le rayon \(r\) doit être plus grand pour une même période \(T\). Si on veut une période plus longue (\(T\) augmente), le rayon \(r\) doit aussi être plus grand.

Points de vigilance

Attention en manipulant les fractions. \(\frac{1}{r^2}\) au dénominateur devient \(r^3\) au numérateur de l'autre côté. Ne pas se tromper en passant de \(r^2\) à \(r^3\).

Points à retenir

Cette formule est la 3ème loi de Kepler généralisée par Newton.
Elle montre que \(r^3 \propto T^2\).
L'orbite ne dépend que de la masse du corps central (\(M\)), pas de la masse du satellite (\(m\)).

Le saviez-vous ?

C'est en utilisant cette même équation que l'on "pèse" les exoplanètes ! En mesurant la période (\(T\)) et le rayon orbital (\(r\)) d'une lune (ou par d'autres méthodes), on peut déduire la masse (\(M\)) de la planète qu'elle orbite.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'expression du rayon orbital est : \(r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}}\) ou \(r = \sqrt[3]{\frac{\mu T^2}{4\pi^2}}\).

A vous de jouer

Si \(r^3 = 27 \times 10^6\), que vaut \(r\) ? (Indice: \(\sqrt[3]{27} = 3\) et \(\sqrt[3]{10^6} = 10^2\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Équilibre \(F_g = F_c\).
Formule : \(G \frac{M m}{r^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} r\).
Résultat : \(r^3 = \frac{\mu T^2}{4\pi^2}\).

Question 4 : Calculer la valeur numérique du rayon orbital (\(r\)).

Principe

Maintenant que nous avons la formule algébrique de la question 3 (\(r = ...\)) et toutes les valeurs numériques nécessaires (Questions 1 et 2), nous pouvons effectuer l'application numérique pour trouver le rayon orbital \(r\).

Mini-Cours

C'est l'étape de l'application numérique. La clé est de s'assurer que toutes les unités sont cohérentes (Système International : mètres, kilogrammes, secondes) avant de commencer le calcul.

Remarque Pédagogique

Utilisez une calculatrice scientifique. La partie la plus délicate est de gérer les puissances de 10 et de ne pas oublier la racine cubique (\(\sqrt[3]{...}\) ou \(...^{1/3}\)) à la toute fin.

Normes

La norme est la cohérence des unités. Tous les calculs doivent être effectués en unités du Système International (mètres, secondes, kg) pour que le résultat soit valide. Le \(\mu\) est en \(\text{m}^3/\text{s}^2\) et \(T\) est en \(\text{s}\), ce qui est cohérent.

Formule(s)

Nous utilisons la formule dérivée en Q3, avec le paramètre \(\mu\) calculé en Q2.

Formule de calcul de r

r = \sqrt[3]{\frac{\mu T^2}{4\pi^2}}

Hypothèses

Nous appliquons les hypothèses de la Q3 (orbite circulaire, Terre sphérique, pas de perturbations). Nous supposons également que les valeurs \(\mu\) et \(T\) calculées dans les Q1 et Q2 sont correctes et peuvent être injectées dans la formule.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Paramètre gravitationnel	\(\mu\)	\(3.986 \times 10^{14}\)	\(\text{m}^3/\text{s}^2\)
Période	\(T\)	\(86164\)	\(\text{s}\)
Pi	\(\pi\)	\(\approx 3.14159\)	-

Astuces

Pour calculer \(T^2\) : \((86164)^2 \approx (8.6 \times 10^4)^2 \approx 74 \times 10^8 \approx 7.4 \times 10^9\). Pour \(r^3\), on aura \(\frac{(4 \times 10^{14}) \times (7.4 \times 10^9)}{4 \times 10^1} \approx 7.4 \times 10^{22}\). Pour \(r\), \(\sqrt[3]{74 \times 10^{21}} \approx \sqrt[3]{74} \times 10^7\). Comme \(4^3=64\), le résultat sera un peu plus de 4. \(\rightarrow r \approx 4.x \times 10^7\) m. Cela donne un bon ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons la valeur du rayon \(r\) pour la période \(T = 86164 \text{ s}\).

Objectif : Trouver \(r\)

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer le numérateur \(\mu T^2\)

\begin{aligned} \mu T^2 &= (3.986 \times 10^{14}) \times (86164)^2 \\ &= (3.986 \times 10^{14}) \times (7.4242... \times 10^{9}) \\ &\approx 2.9596... \times 10^{24} \text{ m}^3 \end{aligned}

Étape 2 : Calculer le dénominateur \(4\pi^2\) (détaillé)

\begin{aligned} \pi &\approx 3.14159... \\ \pi^2 &\approx (3.14159...) \times (3.14159...) \\ &\approx 9.8696... \\ 4\pi^2 &= 4 \times 9.8696... \\ \Rightarrow 4\pi^2 &\approx 39.478... \end{aligned}

Étape 3 : Calculer \(r^3\)

\begin{aligned} r^3 &= \frac{2.9596... \times 10^{24}}{39.478...} \\ &\approx 0.07496... \times 10^{24} \text{ m}^3 \\ \Rightarrow r^3 &\approx 7.496 \times 10^{22} \text{ m}^3 \end{aligned}

Étape 4 : Calculer \(r\) (racine cubique)

\begin{aligned} r &= \sqrt[3]{7.496... \times 10^{22} \text{ m}^3} \\ &\approx (74.96... \times 10^{21})^{1/3} \text{ m} \\ \Rightarrow r &\approx 4.2164... \times 10^7 \text{ m} \end{aligned}

Étape 5 : Conversion en km

\begin{aligned} r &= (4.2164... \times 10^7 \text{ m}) / 1000 \text{ m/km} \\ \Rightarrow r &\approx 42164 \text{ km} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Nous avons trouvé la valeur du rayon orbital.

Résultat : Rayon Orbital \(r\)

Réflexions

Le rayon orbital est de 42164 km. C'est la distance au *centre* de la Terre. Notez que c'est une valeur unique : *toute* orbite géosynchrone autour de la Terre doit être à ce rayon, quelle que soit la masse du satellite.

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur est la gestion des puissances de 10 sur la calculatrice. Utilisez les touches \(\times 10^x\) ou `EE` / `EXP`. N'oubliez pas la racine cubique (\(^{1/3}\)) à la fin !

Points à retenir

Toutes les unités doivent être en SI (m, s, kg) pour le calcul.
Le rayon orbital \(r\) est la distance au centre de la planète.

Le saviez-vous ?

Cette orbite est unique et précieuse, on l'appelle "l'anneau de Clarke", du nom d'Arthur C. Clarke qui l'a popularisée en 1945. Elle est aujourd'hui très encombrée par des milliers de satellites actifs et de débris.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le rayon orbital (distance au centre de la Terre) est \(r \approx 4.2164 \times 10^7 \text{ m}\), soit \(42164 \text{ km}\).

A vous de jouer

Calculez le rayon orbital (en km) pour la Station Spatiale Internationale (ISS), qui a une période \(T \approx 90 \text{ min} = 5400 \text{ s}\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Application numérique de \(r = \sqrt[3]{\mu T^2 / 4\pi^2}\).
Données : \(\mu \approx 3.986 \times 10^{14} \text{ m}^3/\text{s}^2\), \(T = 86164 \text{ s}\).
Résultat : \(r \approx 42164 \text{ km}\).

Question 5 : En déduire l'altitude (\(h\)) de l'orbite géosynchrone (en km).

Principe

C'est la dernière étape, cruciale pour l'ingénieur. Le rayon orbital (\(r\)) que nous avons calculé est la distance du satellite au *centre* de la Terre. L'altitude (\(h\)) est la distance du satellite à la *surface* de la Terre. Il faut donc soustraire le rayon de la Terre (\(R_{\text{Terre}}\)) à notre rayon orbital (\(r\)).

Mini-Cours

La relation est simple : le rayon orbital est la somme du rayon de la planète et de l'altitude au-dessus de sa surface. \(r = R + h\). Par conséquent, \(h = r - R\).

Remarque Pédagogique

Ne jamais confondre "rayon orbital" et "altitude". En astronautique, cette distinction est fondamentale. Une orbite de 400 km (comme l'ISS) signifie 400 km d'altitude, mais \(\approx 6378 + 400 = 6778 \text{ km}\) de rayon orbital.

Normes

Il s'agit d'une norme de définition géométrique en astronautique : l''altitude' (\(h\)) est universellement définie comme la distance à la surface (\(r - R\)), tandis que le 'rayon orbital' (\(r\)) est la distance au centre.

Formule(s)

Formule de l'altitude

h = r - R_{\text{Terre}}

Hypothèses

L'hypothèse clé est que notre planète peut être modélisée par une sphère parfaite de rayon \(R_{\text{Terre}}\). Nous utilisons la valeur du rayon *équatorial* (\(6378 \text{ km}\)) car l'orbite géostationnaire est située dans le plan équatorial, là où le rayon est maximal.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de Q4 et la donnée de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rayon orbital (calculé)	\(r\)	\(42164\)	\(\text{km}\)
Rayon de la Terre (donné)	\(R_{\text{Terre}}\)	\(6378\)	\(\text{km}\)

Astuces

Assurez-vous que les deux valeurs (\(r\) et \(R_{\text{Terre}}\)) sont dans la même unité (ici, km) avant de les soustraire. C'est le cas.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre la différence fondamentale entre le rayon orbital \(r\), le rayon terrestre \(R\), et l'altitude \(h\).

Altitude (h) vs Rayon Orbital (r)

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} h &= r - R_{\text{Terre}} \\ &= 42164 \text{ km} - 6378 \text{ km} \\ \Rightarrow h &= 35786 \text{ km} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du résultat final avec les valeurs numériques.

Résultat Final : Altitude

Réflexions

Une altitude de près de 36 000 km est incroyablement élevée. À titre de comparaison, l'ISS orbite à environ 400 km. C'est cette altitude immense qui permet aux satellites de "voir" une grande partie de la surface de la Terre et de rester fixes dans le ciel.

Points de vigilance

Assurez-vous que les deux valeurs (\(r\) et \(R_{\text{Terre}}\)) sont dans la même unité (ici, km) avant de les soustraire. Si \(r\) était en mètres et \(R\) en km, l'erreur serait catastrophique.

Points à retenir

L'altitude est le résultat final recherché pour le lancement : \(h = r - R\).
L'altitude géosynchrone est d'environ 35 786 km.

Le saviez-vous ?

Une orbite "géostationnaire" est un cas particulier d'orbite géosynchrone : elle est parfaitement circulaire (ce que l'on a calculé) ET son inclinaison est de 0° (elle est exactement au-dessus de l'équateur). C'est le Graal pour les satellites de télécommunication.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'altitude de l'orbite géosynchrone est \(h \approx 35786 \text{ km}\).

A vous de jouer

Si l'on découvrait que le rayon de la Terre était en fait de \(6400 \text{ km}\), quelle serait l'altitude (en supposant \(r=42164 \text{ km}\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Altitude = Rayon orbital - Rayon planète.
Formule : \(h = r - R_{\text{Terre}}\).
Résultat : \(h \approx 42164 \text{ km} - 6378 \text{ km} = 35786 \text{ km}\).

Outil Interactif : Simulateur d'Orbite

Utilisez les curseurs pour voir comment la masse d'une planète et la période d'une orbite influencent l'altitude nécessaire. Nous fixerons le rayon de la planète à celui de la Terre (\(\approx 6371 \text{ km}\)) pour la simulation.

Paramètres d'Entrée

Masse de la Planète (\(M\)) (x10²⁴ kg) 5.97 x10²⁴ kg

Période de Révolution (\(T\)) (s) 86164 s

Résultats Clés

Rayon Orbital (\(r\)) (km) -

Altitude (\(h\)) (km) -

Glossaire

Altitude (\(h\)): Distance verticale d'un objet par rapport à une surface de référence (comme le niveau de la mer ou la surface moyenne d'une planète).
Force Centripète (\(F_c\)): Force qui maintient un objet en mouvement sur une trajectoire circulaire, toujours dirigée vers le centre du cercle.
Orbite Géosynchrone: Orbite autour de la Terre d'un satellite dont la période orbitale est égale à la période de rotation de la Terre (un jour sidéral, \(\approx 23\text{h } 56\text{min}\)).
Paramètre gravitationnel standard (\(\mu\)): Produit de la constante gravitationnelle \(G\) et de la masse \(M\) du corps central (\(\mu = GM\)). Il simplifie les calculs en mécanique céleste.
Période Sidérale (Jour Sidéral): Temps nécessaire pour qu'un corps céleste (comme la Terre) effectue une rotation complète de 360° sur son axe par rapport aux étoiles lointaines (environ 23h 56min 4s pour la Terre).
Rayon Orbital (\(r\)): Distance entre le centre de l'objet en orbite (satellite) et le centre du corps central (planète).