Calcul de l’Altitude pour une Orbite Géosynchrone

1. Calcul de l’altitude \(h\) pour une orbite géosynchrone

Imagine que tu accroches une balle à la fin d’une ficelle et que tu la fais tourner au-dessus de ta tête. La ficelle exerce une force centripète pour maintenir la balle dans sa trajectoire circulaire. De la même manière, pour qu’un satellite reste en orbite autour de la Terre, la gravité joue le rôle de la ficelle : elle attire le satellite vers le centre de la Terre et le fait tourner.

Une orbite géosynchrone signifie que le satellite met exactement le même temps pour faire un tour complet autour de la Terre que la Terre met pour tourner sur elle‑même (24 heures). Ainsi, vue depuis la Terre, la position du satellite semble fixe au‑dessus d’un même point de l’équateur. C’est très utile pour les satellites météo ou de télécommunications.

Pour trouver à quelle distance de la surface terrestre (altitude \(h\) placer le satellite, on utilise la relation suivante, qui met en équilibre la force de gravité (qui attire) et la force centrifuge (qui repousse vers l’extérieur) :

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^{3}}{G M}} \]

• \(T\) : le temps pour un tour complet (ici 24 h).
• \(r\) : distance du centre de la Terre au satellite.
• \(G\) : constante gravitationnelle (force d’attraction entre deux masses).
• \(M\) : masse de la Terre.

Formules

1. Exprimer la relation ci‑dessus pour isoler \(r^{3}\) :
\[ r^{3} = \frac{G M T^{2}}{4 \pi^{2}} \]

2. Une fois \(r\) calculé, l’altitude \(h\) par rapport à la surface terrestre s’obtient par :
\[ h = r - R \]

Données

• \(M = 5.972 \times 10^{24}\) kg : masse de la Terre, c’est la quantité de matière qu’elle contient.
• \(R = 6.371 \times 10^{6}\) m : rayon de la Terre, distance du centre à la surface.
• \(G = 6.674 \times 10^{-11}\) m³ kg⁻¹ s⁻² : constante universelle, elle caractérise la force d’attraction entre deux masses.
• \(T = 86\,400\) s : temps mis par la Terre pour tourner autour de son axe (24 h).
• \(\pi \approx 3.1416\) : nombre mathématique issu du rapport circonférence / diamètre.

Calculs

Étape 1 : Calcul de \(r^{3}\)
• Numérateur : \(G M T^{2} = (6.674\times10^{-11}) \times (5.972\times10^{24}) \times (86\,400)^{2}\).
• \((86\,400)^{2} = 7.46496\times10^{9}\).
• Produit complet : \(6.674\times10^{-11} \times 5.972\times10^{24} \times 7.46496\times10^{9} = 2.979\times10^{24}\).
• Dénominateur : \(4 \pi^{2} = 4 \times (3.1416)^{2} = 39.4784\).

Ainsi : \[ r^{3} = \frac{2.979\times10^{24}}{39.4784} = 7.5418\times10^{22}\;\mathrm{m^{3}} \]

Étape 2 : Calcul de \(r\)
Prendre la racine cubique de \(r^{3}\) : \[ r = (7.5418\times10^{22})^{\frac{1}{3}} = 4.2240\times10^{7}\;\mathrm{m} \]

Étape 3 : Calcul de l’altitude \(h\)
Soustraire le rayon de la Terre :
\[ h = r - R \] \[ h = 4.2240\times10^{7} - 6.371\times10^{6} \] \[ h = 3.5869\times10^{7}\;\mathrm{m} \]

Résultat final

\[ h \approx 3.5869\times10^{7}\;\mathrm{m} \quad(= 35\,869\;\mathrm{km}) \]