Calcul de l’Angle de Déviation de la Lumière
Contexte : La Relativité GénéraleThéorie de la gravitation développée par Albert Einstein, qui décrit la gravité comme une courbure de l'espace-temps causée par la masse et l'énergie..
L'une des prédictions les plus célèbres de la théorie de la relativité générale d'Einstein est que la masse courbe l'espace-tempsConcept unifiant l'espace et le temps en une seule entité à quatre dimensions. C'est le "tissu" de l'univers.. Un rayon lumineux passant près d'un corps massif, comme le Soleil, ne se propage pas en ligne droite mais suit cette courbure. Cet effet, appelé lentille gravitationnelle, a été confirmé de manière spectaculaire lors de l'éclipse solaire de 1919. Cet exercice vous guidera dans le calcul de cet angle de déviation pour un rayon lumineux frôlant la surface du Soleil.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de manipuler une formule fondamentale de la relativité générale, de comprendre l'un de ses tests expérimentaux les plus importants et de pratiquer les conversions d'unités en physique et en astronomie.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe de déviation de la lumière par un corps massif.
- Savoir appliquer la formule d'Einstein pour l'angle de déviation.
- Maîtriser la conversion entre radians et secondes d'arc.
- Appréhender l'importance des constantes physiques fondamentales.
Données de l'étude
Schéma du phénomène de lentille gravitationnelle
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Constante gravitationnelle | \(G\) | \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\) |
| Masse du Soleil | \(M\) | \(1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\) |
| Vitesse de la lumière | \(c\) | \(299,792,458 \, \text{m/s}\) |
| Rayon du Soleil | \(R\) | \(6.963 \times 10^{8} \, \text{m}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'angle de déviation \(\alpha\) en radians.
- Convertir cet angle en secondes d'arc (").
- Sachant que la valeur observée par Arthur Eddington en 1919 était d'environ 1.75", commentez votre résultat.
- Recalculez l'angle de déviation si le rayon lumineux passait à une distance de 2 rayons solaires (\(r = 2R\)) du centre du Soleil.
- En utilisant les données de la Terre (Masse \(\approx 5.97 \times 10^{24}\) kg, Rayon \(\approx 6.37 \times 10^6\) m), expliquez pourquoi la déviation de la lumière par sa masse est généralement considérée comme négligeable.
Les bases de la déviation gravitationnelle
En relativité générale, la gravitation n'est pas une force mais une manifestation de la courbure de l'espace-temps. Les objets (et la lumière) suivent les trajectoires les plus courtes dans cet espace-temps courbé, appelées géodésiques.
1. Courbure de l'espace-temps
La présence de masse et d'énergie déforme la géométrie de l'espace-temps. Plus un objet est massif et dense, plus la courbure à sa proximité est importante.
2. Formule de l'Angle de Déviation
Pour un rayon lumineux passant à une distance \(r\) du centre d'un corps sphérique de masse \(M\), l'angle de déviation total \(\alpha\) est donné par la formule :
\[ \alpha = \frac{4GM}{rc^2} \]
Correction : Calcul de l’Angle de Déviation de la Lumière
Question 1 : Calculer l'angle de déviation \(\alpha\) en radians.
Principe (le concept physique)
Le concept physique clé est que la masse du Soleil courbe l'espace-temps. Un rayon lumineux, bien que sans masse, doit suivre cette courbure. Nous utilisons la formule issue de la relativité générale pour quantifier cet effet pour un rayon frôlant la surface du Soleil, où la distance de passage \(r\) est simplement le rayon \(R\) de l'étoile.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule de déviation est une approximation dite de "champ faible" de la relativité générale, dérivée de la métrique de Schwarzschild. Cette métrique décrit l'espace-temps autour d'un objet massif, sphérique et sans rotation. La lumière suit une trajectoire appelée "géodésique de type lumière" dans cet espace-temps courbé.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Abordez toujours ce type de problème en vérifiant d'abord la cohérence des unités de toutes vos constantes. Une erreur d'unité est l'erreur la plus fréquente en physique appliquée. Ici, toutes les données sont déjà dans le Système International (mètres, kilogrammes, secondes), ce qui simplifie le calcul.
Normes (la référence réglementaire)
En physique fondamentale, la "norme" n'est pas un règlement de construction mais le cadre théorique lui-même. Ici, nous nous plaçons entièrement dans le cadre de la théorie de la Relativité Générale d'Albert Einstein, qui fait autorité pour décrire la gravitation à grande échelle.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Le Soleil est une sphère parfaite et ne tourne pas sur lui-même (approximation de Schwarzschild).
- Le rayon lumineux passe exactement à la surface du Soleil (\(r=R\)).
- L'observateur et l'étoile source sont très éloignés du Soleil.
- Nous sommes dans une approximation de champ gravitationnel faible.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Constante gravitationnelle | \(G\) | \(6.674 \times 10^{-11}\) | \(\text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\) |
| Masse du Soleil | \(M\) | \(1.989 \times 10^{30}\) | \(\text{kg}\) |
| Rayon du Soleil | \(R\) | \(6.963 \times 10^{8}\) | \(\text{m}\) |
| Vitesse de la lumière | \(c\) | \(2.998 \times 10^{8}\) | \(\text{m/s}\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour éviter les erreurs avec les puissances de 10, calculez le numérateur et le dénominateur séparément avant la division finale. Regroupez les nombres d'un côté et les puissances de 10 de l'autre.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du problème
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'angle calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat est un angle extrêmement petit, proche de 8.5 millionièmes de radian. Cela montre que l'effet, bien que fondamental, est très subtil et difficile à mesurer, expliquant pourquoi il n'a pu être confirmé qu'avec des instruments précis lors d'une éclipse.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La principale source d'erreur est la gestion des puissances de 10. Assurez-vous d'utiliser correctement les notations scientifiques sur votre calculatrice. N'oubliez pas non plus d'élever au carré la vitesse de la lumière (\(c^2\)).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour maîtriser cette question, retenez :
- La formule de déviation \(\alpha = 4GM/rc^2\).
- La déviation est directement proportionnelle à la masse (\(M\)) de l'objet déviateur.
- Elle est inversement proportionnelle à la distance de passage (\(r\)).
- L'importance de la cohérence des unités (Système International).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Même si les photons qui composent la lumière n'ont pas de masse, ils possèdent une énergie et une quantité de mouvement. En relativité générale, c'est le contenu total en énergie-impulsion (pas seulement la masse) qui courbe l'espace-temps. La lumière est donc affectée par la gravité car elle suit les géodésiques de cet espace-temps courbé.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Une naine blanche a une masse similaire au Soleil (\(1 M☉\)) mais un rayon de l'ordre de celui de la Terre (\(R \approx 6.37 \times 10^6\) m). Calculez l'angle de déviation (en radians) qu'elle produirait.
Question 2 : Convertir cet angle en secondes d'arc (").
Principe (le concept physique)
Le radian est l'unité naturelle en physique théorique, mais en astronomie d'observation, les angles sont si petits qu'on utilise un système plus pratique : le système sexagésimal (degrés, minutes d'arc, secondes d'arc). Le principe est de convertir notre résultat dans cette unité usuelle.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le système sexagésimal (base 60) nous vient des astronomes babyloniens. Un cercle complet est divisé en 360 degrés (\(^\circ\)). Chaque degré est divisé en 60 minutes d'arc (\('\)), et chaque minute en 60 secondes d'arc (\('')\). Cette subdivision fine est idéale pour les très petits angles rencontrés en astronomie.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour ne jamais vous tromper de sens dans la conversion, retenez qu'un radian vaut environ 57.3°. Comme on part d'un angle en radians très petit, son expression en degrés sera encore plus petite, mais son expression en secondes d'arc sera un nombre plus grand et plus facile à manipuler.
Normes (la référence réglementaire)
L'utilisation des degrés, minutes et secondes d'arc est la convention standard de l'Union Astronomique Internationale (UAI) pour les coordonnées et les séparations angulaires dans les publications scientifiques et les catalogues d'objets célestes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Nous utilisons la valeur de \(\pi\) avec une précision suffisante pour le calcul.
- Nous partons du résultat non arrondi de la question précédente pour minimiser les erreurs de calcul.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle de déviation | \(\alpha_{\text{rad}}\) | \(8.484 \times 10^{-6}\) | \(\text{radians}\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Retenez le facteur de conversion magique : \(1 \text{ radian} \approx 206265 \text{ secondes d'arc}\). Il suffit de multiplier votre résultat en radians par ce nombre pour obtenir directement les secondes d'arc avec une excellente précision.
Schéma (Avant les calculs)
Échelle des unités d'angle
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de 1.75 secondes d'arc
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat de 1.75" est plus parlant. C'est l'angle sous lequel on verrait une pièce de 1 euro à une distance d'environ 2.5 kilomètres. C'est infime, mais mesurable par les instruments astronomiques du début du 20ème siècle (pendant une éclipse).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est d'inverser le facteur de conversion des radians en degrés, en utilisant \(\pi/180\) au lieu de \(180/\pi\). Souvenez-vous qu'un radian est grand (environ 57°), donc pour convertir un petit angle en radians en degrés, le résultat doit être encore plus petit.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Les unités d'angle courantes en astronomie sont le degré, la minute d'arc et la seconde d'arc.
- La relation clé : \(1^\circ = 60' = 3600"\).
- Le facteur de conversion approximatif : \(1 \text{ rad} \approx 206265"\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les télescopes modernes comme le télescope spatial Hubble ou le satellite Gaia ont des résolutions bien meilleures que la seconde d'arc. Gaia, par exemple, peut mesurer des positions avec une précision de quelques dizaines de microsecondes d'arc (\(10^{-6}\) secondes d'arc), soit l'équivalent de mesurer l'épaisseur d'un cheveu à 1000 km de distance !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est la valeur d'un angle de 2 radians en degrés ?
Question 3 : Sachant que la valeur observée par Arthur Eddington en 1919 était d'environ 1.75", commentez votre résultat.
Principe
Le principe au cœur de cette question est la validation expérimentale, pilier de la méthode scientifique. Une théorie, aussi élégante soit-elle, n'est acceptée que si ses prédictions sont confirmées par l'observation et la mesure. La comparaison de notre résultat théorique avec les données de 1919 est un exemple historique de ce processus.
Mini-Cours
L'expédition d'Eddington de 1919 : Pour tester la prédiction d'Einstein, l'astronome britannique Arthur Eddington organisa deux expéditions pour observer l'éclipse solaire totale du 29 mai 1919. Une équipe se rendit à Sobral (Brésil) et l'autre sur l'île de Principe (Afrique). L'idée était de photographier les étoiles proches du Soleil pendant l'éclipse (quand le disque solaire est masqué) et de comparer leurs positions à celles mesurées de nuit, six mois plus tard. La différence de position révèlerait la déviation causée par le Soleil.
Réflexions
Notre calcul théorique (\(1.75"\)) correspond parfaitement à la valeur mesurée par l'expédition d'Arthur Eddington. Cette concordance n'était pas un simple détail ; elle a été perçue comme une preuve éclatante de la validité de la relativité générale par rapport à la physique newtonienne, qui prédisait un résultat différent. C'était un moment de basculement dans l'histoire de la physique.
Schéma
Comparaison : Théories vs Observation (1919)
Point de vigilance
Il est important de noter que les mesures de 1919 étaient à la limite de la précision technologique de l'époque. Les barres d'erreur étaient significatives et les résultats ont été débattus pendant des années. Ce n'est qu'avec des expériences plus tardives et plus précises que la prédiction d'Einstein a été confirmée avec une certitude quasi absolue.
Le saviez-vous ?
La mécanique classique de Newton prédisait également une déviation de la lumière (en la traitant comme un corpuscule de masse nulle mais d'énergie finie), mais sa valeur était exactement la moitié de celle prédite par Einstein (environ 0.87"). Les mesures de 1919 ont donc permis de trancher de manière décisive en faveur de la théorie d'Einstein, propulsant ce dernier au rang de célébrité mondiale.
Point à retenir
La confrontation entre une prédiction théorique et une mesure expérimentale est le juge final en science. Cet événement historique illustre parfaitement comment une observation peut valider une nouvelle théorie révolutionnaire au détriment d'une théorie établie depuis des siècles.
Résultat final
Question 4 : Recalculez l'angle pour une distance de 2 rayons solaires.
Principe (le concept physique)
Le concept physique est la relation de dépendance entre la déviation et la distance au corps massif. La formule montre que l'angle est inversement proportionnel à cette distance (\( \alpha \propto 1/r \)). Si la distance de passage double, l'effet de courbure est plus faible, et donc l'angle de déviation doit diminuer.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les relations de proportionnalité sont fondamentales en physique. Savoir qu'une quantité \(y\) est inversement proportionnelle à \(x\) (\(y \propto 1/x\)) signifie que si \(x\) est multiplié par un facteur \(k\), \(y\) sera divisé par ce même facteur \(k\). C'est un outil puissant pour des calculs rapides sans avoir à réinjecter toutes les constantes.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Avant de vous lancer dans un calcul complet, utilisez la proportionnalité pour estimer le résultat. Ici, doubler la distance doit diviser l'angle par deux. Vous savez donc que la réponse doit être la moitié de 1.75", soit environ 0.875". Cela vous donne une cible à vérifier avec le calcul formel.
Normes (la référence réglementaire)
Il n'y a pas de norme spécifique ici, mais le principe d'utiliser des relations de proportionnalité pour vérifier ou simplifier des calculs est une pratique standard et universelle en sciences et en ingénierie.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Toutes les hypothèses de la question 1 restent valides.
- La seule variable qui change est la distance de passage, \(r' = 2R\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Angle de déviation de base | \(\alpha\) | \(1.75"\) (pour \(r=R\)) |
| Nouvelle distance de passage | \(r'\) | \(2R\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Nul besoin de refaire le calcul complet avec toutes les constantes. Puisque vous avez déjà calculé \(\alpha\) pour \(r=R\), utilisez simplement la relation \(\alpha' = \alpha/2\) pour trouver la nouvelle valeur instantanément.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des trajectoires
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des angles de déviation
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat de 0.875" est intéressant car il correspond à la valeur prédite par la théorie de Newton. Une mesure à cette distance ne permettrait donc pas de discriminer les deux théories aussi clairement. Cela souligne l'importance de mesurer la déviation pour les rayons lumineux passant au plus près du Soleil.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas appliquer une mauvaise relation de proportionnalité. Si la relation avait été en \(1/r^2\), il aurait fallu diviser par \(2^2 = 4\). Il est crucial de bien regarder la formule avant de faire une déduction rapide.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'angle de déviation gravitationnelle est inversement proportionnel à la distance de passage.
- Comprendre les relations de proportionnalité permet de simplifier les calculs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Lorsque la source lumineuse, l'objet massif (la lentille) et l'observateur sont parfaitement alignés, la lumière de la source nous parvient sous la forme d'un anneau lumineux, appelé "Anneau d'Einstein". C'est une manifestation spectaculaire et rare de la lentille gravitationnelle forte.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel serait l'angle de déviation (en secondes d'arc) pour un rayon passant à 10 rayons solaires du centre ?
Question 5 : Pourquoi la déviation par la Terre est-elle négligeable ?
Principe (le concept physique)
Le concept est de réaliser un calcul d'ordre de grandeur. En appliquant la même physique à un objet beaucoup moins massif et moins dense comme la Terre, nous pouvons quantifier l'effet et le comparer aux seuils de détection expérimentaux pour juger de sa pertinence ou de sa négligeabilité.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En relativité générale, l'intensité des effets gravitationnels dépend de la "compacité" d'un objet, souvent représentée par le rapport Masse/Rayon (M/R). Des objets très compacts (naines blanches, étoiles à neutrons, trous noirs) ont un rapport M/R très élevé et produisent des effets de courbure extrêmes. Les planètes comme la Terre ont un très faible rapport M/R.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Un calcul d'ordre de grandeur est un outil essentiel pour un scientifique. Il ne s'agit pas de trouver la valeur exacte, mais de déterminer si un effet est de l'ordre du millionième, de l'unité ou du million, ce qui permet de savoir s'il faut en tenir compte ou si on peut le négliger en toute sécurité dans un modèle plus large.
Normes (la référence réglementaire)
Il n'y a pas de norme, mais une règle de bonne pratique en physique : on peut négliger un effet si sa magnitude est inférieure de plusieurs ordres de grandeur à la précision des mesures ou à d'autres effets dominants (comme ici, la turbulence atmosphérique).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
- On modélise la Terre comme une sphère parfaite.
- On calcule la déviation maximale pour un rayon lumineux frôlant la surface terrestre.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de la Terre | \(M_T\) | \(5.97 \times 10^{24}\) | \(\text{kg}\) |
| Rayon de la Terre | \(R_T\) | \(6.37 \times 10^{6}\) | \(\text{m}\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Vous pouvez faire un calcul de ratio. Le rapport de compacité Soleil/Terre est \(\frac{(M_S/R_S)}{(M_T/R_T)}\). L'angle pour la Terre sera l'angle pour le Soleil divisé par ce facteur. \(\frac{1.989 \cdot 10^{30}}{6.963 \cdot 10^8} / \frac{5.97 \cdot 10^{24}}{6.37 \cdot 10^6} \approx 3050\). L'effet terrestre est donc environ 3000 fois plus faible.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison de la courbure (Soleil vs Terre)
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la déviation terrestre
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un angle de 0.00057" (ou 570 microsecondes d'arc) est une valeur extrêmement faible. Elle est bien inférieure aux effets de la turbulence atmosphérique terrestre (le "seeing", de l'ordre de 1") et n'est mesurable qu'avec des instruments spatiaux de très haute précision. Pour la plupart des applications, elle est donc totalement négligeable.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Veillez à bien utiliser les données de la Terre (\(M_T, R_T\)) et non celles du Soleil. Une erreur d'inattention est vite arrivée lors de la substitution des valeurs dans la formule.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'effet de lentille gravitationnelle dépend fortement de la compacité de l'objet (rapport M/R).
- Pour des objets de masse planétaire, l'effet est généralement trop faible pour être observé facilement.
- Un calcul d'ordre de grandeur permet de juger si un effet physique est significatif ou négligeable.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'astrométrie (la science de la mesure de la position des étoiles) est devenue si précise que les scientifiques qui analysent les données du satellite Gaia doivent tenir compte de la déviation de la lumière non seulement par le Soleil, mais aussi par la planète Jupiter, l'objet le plus massif du système solaire après le Soleil !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Jupiter est environ 318 fois plus massive que la Terre et a un rayon environ 11.2 fois plus grand. Par quel facteur la déviation par Jupiter est-elle plus grande que celle par la Terre ? (Astuce : calculez le rapport des \(M/R\)).
Outil Interactif : Simulateur de Déviation
Utilisez ce simulateur pour voir comment l'angle de déviation change en fonction de la masse de l'objet et de la distance à laquelle le rayon lumineux passe.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle théorie physique a prédit en premier la valeur correcte de la déviation de la lumière par le Soleil ?
2. Si la masse du Soleil était deux fois plus grande, comment l'angle de déviation changerait-il ?
Glossaire
- Relativité Générale
- Théorie de la gravitation d'Einstein décrivant la gravité comme une courbure de l'espace-temps causée par la masse et l'énergie.
- Espace-temps
- Cadre à quatre dimensions (trois d'espace, une de temps) dans lequel tous les événements de l'univers se produisent.
- Seconde d'arc (")
- Unité de mesure d'angle. Un degré est divisé en 60 minutes d'arc, et une minute d'arc est divisée en 60 secondes d'arc. Il y a donc 3600 secondes d'arc dans un degré.
- Lentille gravitationnelle
- Phénomène où la lumière provenant d'une source distante est courbée par le champ gravitationnel d'un objet massif situé entre la source et l'observateur.
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