Calcul du Temps dans l’Espace
Comprendre le Calcul du Temps dans l’Espace
Imaginez que deux vaisseaux spatiaux, Vaisseau A et Vaisseau B, voyagent dans l’espace. Le Vaisseau A se dirige vers une étoile lointaine à une vitesse proche de celle de la lumière, tandis que le Vaisseau B reste en orbite autour de la Terre. Les deux vaisseaux sont équipés de dispositifs horloges synchronisées avant le départ du Vaisseau A.
Objectif:
Utiliser les postulats d’Einstein pour analyser les effets relativistes observés à bord des deux vaisseaux, en particulier l’effet de la dilatation du temps dû à la vitesse relative du Vaisseau A par rapport au Vaisseau B.
Données:
- Vitesse du Vaisseau A par rapport à la Terre: \( v = 0.8c \)
- Distance de la Terre à l’étoile: \( d = 4.0 \times 10^{16} \) mètres (environ 4.2 années-lumière)
- Vitesse de la lumière \( c = 3.0 \times 10^8 \) m/s
Postulats d’Einstein
- Les lois de la physique sont identiques dans tous les systèmes de référence inertiels.
- La vitesse de la lumière dans le vide est la même pour tous les observateurs, quelle que soit la vitesse de la source ou de l’observateur.
Questions:
1. Calcul de la durée du voyage selon le Vaisseau A (temps propre):
Utilisez la transformation de Lorentz pour le temps afin de déterminer le temps propre \(\tau\) pour les occupants du Vaisseau A.
2. Calcul de la durée du voyage selon le Vaisseau B:
Déterminez le temps \(t\) que les observateurs sur Terre et dans le Vaisseau B mesurent pour le voyage du Vaisseau A à l’étoile.
3. Comparaison et analyse:
Comparez les durées du voyage mesurées par le Vaisseau A et le Vaisseau B. Discutez des implications de la différence dans le contexte des postulats d’Einstein sur la relativité.
Correction : Calcul du Temps dans l’Espace
1. Calcul de la durée du voyage selon le Vaisseau A (temps propre)
Données et rappels:
- Vitesse du Vaisseau A : \( v = 0.8\,c \)
- Distance Terre-Étoile : \( d = 4.0 \times 10^{16}\, \text{m} \)
- Vitesse de la lumière : \( c = 3.0 \times 10^{8}\, \text{m/s} \)
Rappel :
La transformation de Lorentz pour le temps propre (\( \tau \)) est donnée par :
\[ \tau = t \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \]
où \( t \) est le temps mesuré dans le référentiel de la Terre (ou Vaisseau B).
a. Calcul du temps mesuré par le Vaisseau B
Le temps \( t \) mesuré par un observateur terrestre est le temps mis par le vaisseau pour parcourir la distance \( d \) à la vitesse \( v \) :
\[ t = \frac{d}{v} \]
En substituant :
\[ t = \frac{4.0 \times 10^{16}\, \text{m}}{0.8 \times 3.0 \times 10^{8}\, \text{m/s}} \] \[ t = \frac{4.0 \times 10^{16}}{2.4 \times 10^{8}} \] \[ t \approx 1.67 \times 10^{8}\, \text{s} \]
Pour donner un ordre de grandeur plus parlant, convertissons ce temps en années. Sachant que :
\[ 1\, \text{an} \approx 3.16 \times 10^{7}\, \text{s} \]
on obtient :
\[ t \approx \frac{1.67 \times 10^{8}}{3.16 \times 10^{7}} \approx 5.3\, \text{ans} \]
b. Calcul du temps propre (\( \tau \)) pour le Vaisseau A
D’abord, calculons le facteur de dilatation (\( \gamma \)). Pour \( v = 0.8\,c \) :
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} \] \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – (0.8)^2}} \] \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – 0.64}} \] \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{0.36}} \] \[ \gamma \approx \frac{1}{0.6} \approx 1.67 \]
La relation entre le temps mesuré dans le référentiel de la Terre (\( t \)) et le temps propre (\( \tau \)) est :
\[ \tau = \frac{t}{\gamma} \]
En substituant la valeur de \( t \) et \( \gamma \) :
\[ \tau = \frac{1.67 \times 10^{8}\, \text{s}}{1.67} \approx 1.0 \times 10^{8}\, \text{s} \]
Convertissons ce résultat en années :
\[ \tau \approx \frac{1.0 \times 10^{8}\, \text{s}}{3.16 \times 10^{7}\, \text{s/an}} \approx 3.17\, \text{ans} \]
2. Calcul de la durée du voyage selon le Vaisseau B (observateur terrestre)
Comme nous l’avons vu précédemment, le temps mesuré par un observateur sur Terre (ou à bord du Vaisseau B) est directement donné par :
\[ t = \frac{d}{v} \approx 1.67 \times 10^{8}\, \text{s} \] \[ t \approx 5.3\, \text{ans} \]
3. Comparaison et analyse
- Résultat pour le Vaisseau A (temps propre) : \(\tau \approx 3.17\, \text{ans}\)
- Résultat pour le Vaisseau B (temps coordonné) : \(t \approx 5.3\, \text{ans}\)
Analyse :
La différence entre ces deux durées illustre l’effet de dilatation du temps prédit par la relativité restreinte d’Einstein. Dans le référentiel du Vaisseau A (en mouvement à une vitesse proche de celle de la lumière), le temps s’écoule plus lentement par rapport au référentiel terrestre (ou Vaisseau B). C’est pourquoi les occupants du Vaisseau A constatent que leur voyage dure environ 3.17 ans, alors qu’un observateur sur Terre mesure environ 5.3 ans.
Implications :
-
Postulat de l’invariance de la vitesse de la lumière :
La vitesse de la lumière étant constante dans tous les référentiels inertiels, la dilatation du temps est une conséquence directe pour les objets se déplaçant à des vitesses relativistes. -
Uniformité des lois physiques :
Même si les lois de la physique restent les mêmes dans tous les référentiels inertiels, les mesures des intervalles de temps diffèrent selon la vitesse relative des observateurs. -
Paradoxe des jumeaux :
Ce type de calcul rappelle le fameux paradoxe des jumeaux, où l’un des jumeaux voyageant à grande vitesse vieillit moins que celui resté sur Terre.
Conclusion
Le calcul détaillé ci-dessus montre clairement que :
- Pour le Vaisseau A, le temps propre mesuré est d’environ 3.17 ans.
- Pour le Vaisseau B, le temps mesuré est d’environ 5.3 ans.
- La différence entre ces temps illustre l’effet de dilatation du temps, conséquence des postulats d’Einstein, confirmant que le temps est relatif et dépend du référentiel de l’observateur.
Calcul du Temps dans l’Espace
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