Contraction des longueurs pour un objet

Contraction des longueurs pour un objet

Comprendre la Contraction des longueurs pour un objet

En relativité restreinte, la longueur d’un objet se déplaçant à une vitesse significative par rapport à un observateur apparaît contractée dans la direction du mouvement par rapport à sa longueur propre. Nous allons étudier cet effet pour un objet dont la longueur au repos (longueur propre) est connue.

Données :

• Longueur propre de l’objet : \( L_0 = 10\,\text{m} \)
• Vitesse de l’objet par rapport à l’observateur : \( v = 0.6\,c \) (avec \( c = 3.0 \times 10^8 \, \text{m/s} \))

Questions :

1. Calculer le facteur de contraction \(\sqrt{1 – \left(\frac{v}{c}\right)^2}\) qui s’applique à la longueur.

2. Déterminer la longueur \( L \) mesurée par l’observateur dans le référentiel où l’objet est en mouvement.

Correction : Contraction des longueurs pour un objet

1. Calcul du facteur de contraction

Le facteur de contraction quantifie le rapport entre la longueur mesurée \( L \) et la longueur propre \( L_0 \) dans le cas d’un objet en mouvement. Il est obtenu en calculant la racine carrée de la différence \( 1 – \left(\frac{v}{c}\right)^2 \).

Formule :

\[ \text{Facteur de contraction} = \sqrt{1 – \left(\frac{v}{c}\right)^2} \]

Données :

• \( v = 0.6\,c \)

Ainsi,

\[ \frac{v}{c} = 0.6 \]

Calcul :

1. Calculer le carré de \( \frac{v}{c} \) :

\[ \left(\frac{v}{c}\right)^2 = (0.6)^2 = 0.36 \]

2. Soustraire ce résultat de 1 :

\[ 1 – \left(\frac{v}{c}\right)^2 = 1 – 0.36 = 0.64 \]

3. Prendre la racine carrée :

\[ \sqrt{0.64} = 0.8 \]

Résultat :
Le facteur de contraction est 0.8.

2. Déterminer la longueur \( L \) mesurée par l’observateur

La longueur \( L \) observée dans le référentiel de l’observateur est obtenue en multipliant la longueur propre \( L_0 \) par le facteur de contraction. Ce facteur traduit l’effet de la contraction des longueurs en relativité restreinte.

Formule :

\[ L = L_0 \times \sqrt{1 – \left(\frac{v}{c}\right)^2} \]

Données :

• \(L_0 = 10\,\text{m}\)
• \(\quad \sqrt{1 – \left(\frac{v}{c}\right)^2} = 0.8\)

Calcul :

Substitution des valeurs dans la formule :

\[ L = 10\,\text{m} \times 0.8 \] \[ L = 8.0\,\text{m} \]

Résultat :
La longueur mesurée par l’observateur est 8.0 m.

Contraction des longueurs pour un objet

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