Compression Adiabatique d'un Gaz Parfait

Contexte : La thermodynamique des gaz.

Cet exercice explore l'un des processus fondamentaux en thermodynamique : la transformation adiabatiqueTransformation thermodynamique réalisée sans aucun échange de chaleur avec le milieu extérieur (Q=0).. Nous allons étudier le comportement d'un gaz parfaitModèle théorique d'un gaz où les particules sont considérées comme ponctuelles et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il suit la loi PV=nRT. lorsqu'il est comprimé rapidement, comme l'air dans une pompe à vélo ou dans le cylindre d'un moteur diesel. Cette compression rapide empêche tout échange de chaleur avec l'extérieur, ce qui entraîne une augmentation significative de la température et de la pression du gaz.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer concrètement les lois de la thermodynamique (loi des gaz parfaits, premier principe, loi de Laplace) pour quantifier l'évolution des grandeurs d'état d'un système (pression, température, volume) et calculer les transferts d'énergie (travail).

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la loi des gaz parfaits pour déterminer un état initial.
Utiliser la loi de LaplaceEnsemble de relations (ex: P·V^γ = Cte) qui décrivent l'évolution des variables d'état d'un gaz parfait lors d'une transformation adiabatique réversible. pour calculer la pression et la température finales.
Calculer le travail des forces de pressionÉnergie transférée à un système par l'action mécanique de la pression extérieure. Pour une compression, le travail est reçu par le système (W > 0). (W) reçu par le gaz.
Vérifier la cohérence des calculs à l'aide du premier principe de la thermodynamique.

Données de l'étude

On s'intéresse à une mole de diazote (N₂), considéré comme un gaz parfait, contenue dans un cylindre vertical muni d'un piston. L'ensemble est calorifugé. L'état initial du gaz est défini par une pression \(P_1\) et un volume \(V_1\). On comprime le gaz de manière réversible jusqu'à un volume final \(V_2\).

Fiche Technique du Système

Caractéristique	Valeur
Gaz étudié	Diazote (N₂), modèle de gaz parfait diatomique
Coefficient adiabatique	\(\gamma = 1,4\)
Constante des gaz parfaits	\(R = 8,314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Schéma de la compression

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	\(n\)	1	mol
Pression initiale	\(P_1\)	1	bar
Volume initial	\(V_1\)	20	L
Volume final	\(V_2\)	5	L

Questions à traiter

Calculer la température initiale \(T_1\) du gaz en Kelvin (K).
Calculer la pression finale \(P_2\) du gaz en bar après la compression.
Calculer la température finale \(T_2\) du gaz en Kelvin (K).
Calculer le travail \(W\) (en Joules) reçu par le gaz lors de cette compression.
Vérifier la cohérence de vos résultats à l'aide du premier principe de la thermodynamique.

Les bases de la Thermodynamique Appliquée

Pour résoudre cet exercice, plusieurs concepts clés doivent être maîtrisés. Ils constituent le fondement de l'étude des transformations de gaz.

1. Loi des Gaz Parfaits
Elle relie la pression, le volume, la quantité de matière et la température d'un gaz parfait. \[ P \cdot V = n \cdot R \cdot T \] Où P est en Pascals (Pa), V en mètres cubes (m³), n en moles (mol), R est la constante des gaz parfaits, et T en Kelvin (K).

2. Transformation Adiabatique Réversible (Loi de Laplace)
Une transformation sans échange de chaleur (\(Q=0\)) et réversible suit les lois de Laplace. Pour un gaz parfait, on a les relations suivantes : \[ P \cdot V^\gamma = \text{constante} \quad \Rightarrow \quad P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma \] \[ T \cdot V^{\gamma-1} = \text{constante} \quad \Rightarrow \quad T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1} \]

3. Premier Principe de la Thermodynamique
Il énonce que la variation de l'énergie interneÉnergie totale contenue dans un système thermodynamique. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température. (\(\Delta U\)) d'un système est égale à la somme du travail (\(W\)) et de la chaleur (\(Q\)) échangés avec l'extérieur : \[ \Delta U = W + Q \] Pour un gaz parfait, \(\Delta U = n \cdot C_v \cdot \Delta T\), où \(C_v\) est la capacité thermique molaire à volume constant. Pour un gaz diatomique, \(C_v = \frac{5}{2}R\).

Correction : Compression Adiabatique d'un Gaz Parfait

Question 1 : Calculer la température initiale \(T_1\) du gaz

Principe

L'état initial du gaz est un état d'équilibre thermodynamique. Ses variables d'état (Pression, Volume, Température) sont donc liées par une équation d'état. Pour un gaz parfait, cette équation est la loi des gaz parfaits.

Mini-Cours

La loi des gaz parfaits, \(PV=nRT\), est une synthèse des lois de Boyle-Mariotte, Charles et Avogadro. Elle décrit le comportement macroscopique d'un gaz dont les particules sont supposées sans volume et sans interaction à distance. C'est le modèle le plus simple pour décrire un gaz.

Remarque Pédagogique

Face à un problème de thermodynamique, la première étape est presque toujours de caractériser complètement les états d'équilibre initiaux et finaux. Si une variable d'état manque (ici, \(T_1\)), la loi des gaz parfaits est votre premier réflexe.

Normes

Le calcul se base sur les principes fondamentaux de la thermodynamique et n'est pas régi par une norme de construction spécifique (comme l'Eurocode). La validité repose sur l'application correcte du modèle du gaz parfait.

Formule(s)

Équation d'état des gaz parfaits résolue pour T₁

T_1 = \frac{P_1 V_1}{n R}

Hypothèses

L'application de cette formule repose sur une hypothèse majeure stipulée dans l'énoncé :

Le diazote (N₂) est modélisé comme un gaz parfait.

Donnée(s)

Les données sont issues de l'énoncé. On procède aux conversions nécessaires pour utiliser le Système International (SI).

Conversion de la Pression

P_1 = 1 \text{ bar} = 1 \times 10^5 \text{ Pa}

Conversion du Volume

V_1 = 20 \text{ L} = 20 \times 10^{-3} \text{ m}^3

Tableau récapitulatif des données en unités SI

Paramètre	Symbole	Valeur (SI)	Unité
Pression	\(P_1\)	\(1 \times 10^5\)	Pa
Volume	\(V_1\)	\(20 \times 10^{-3}\)	m³
Quantité	\(n\)	1	mol
Constante	\(R\)	8,314	J·mol⁻¹·K⁻¹

Astuces

Pour vérifier l'ordre de grandeur, souvenez-vous que dans des conditions proches de la normale (1 atm, 0°C), une mole de gaz parfait occupe environ 22,4 L. Ici, on a 20 L à 1 bar, on s'attend donc à une température proche de 273 K.

Schéma (Avant les calculs)

État Initial du Système

Calcul(s)

Calcul de la température initiale

\begin{aligned} T_1 &= \frac{(1 \times 10^5 \text{ Pa}) \times (20 \times 10^{-3} \text{ m}^3)}{1 \text{ mol} \times 8,314 \text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}} \\ &= \frac{2000}{8,314} \text{ K} \\ &\approx 240,56 \text{ K} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

État Initial Caractérisé

Réflexions

Le résultat de 240,6 K correspond à -32,6 °C. C'est une température plausible pour un gaz stocké dans des conditions standards. L'ordre de grandeur est cohérent avec notre estimation.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est l'oubli de conversion des unités. Si vous calculez avec des bars et des litres, le résultat sera incorrect de plusieurs ordres de grandeur. Toujours passer par le SI : Pascals et Mètres cubes.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, il faut retenir :

La formule des gaz parfaits : \(PV=nRT\).
La nécessité absolue d'utiliser les unités du Système International (K, Pa, m³).

Le saviez-vous ?

La notion de "zéro absolu" (-273,15 °C ou 0 K), la température la plus basse possible, a été extrapolée pour la première fois par Guillaume Amontons en 1702 en observant la relation linéaire entre la pression et la température d'un gaz à volume constant.

FAQ

Pourquoi doit-on utiliser le Kelvin ?

L'échelle Kelvin est une échelle de température absolue. Elle est directement proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne des particules. Les équations de la thermodynamique comme \(PV=nRT\) ne sont valables qu'avec une température absolue.

Résultat Final

La température initiale du gaz est \(T_1 \approx 240,6 \text{ K}\).

A vous de jouer

Calculez \(T_1\) si le volume initial était de 30 L à 1.2 bar.

Question 2 : Calculer la pression finale \(P_2\) du gaz

Principe

La transformation est explicitement décrite comme "adiabatique" et "réversible". Dans ce cas précis, les états du gaz sont régis par les lois de Laplace, qui lient les variables d'état entre l'instant initial et l'instant final.

Mini-Cours

La loi de Laplace \(P \cdot V^\gamma = \text{constante}\) découle du premier principe de la thermodynamique pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait. Le coefficient \(\gamma\) (gamma), appelé indice adiabatique, est le rapport des capacités thermiques \(\gamma = C_p / C_v\). Il dépend de la nature du gaz (monoatomique, diatomique...).

Remarque Pédagogique

Il existe trois lois de Laplace (liant P-V, T-V, et T-P). Le choix de la "bonne" loi dépend des données connues et de la variable recherchée. Ici, on connaît \(P_1, V_1, V_2\) et on cherche \(P_2\), la loi en P et V est donc la plus directe.

Normes

Les lois de Laplace sont des conséquences directes des principes de la thermodynamique appliqués au modèle du gaz parfait. Ce ne sont pas des normes réglementaires mais des lois physiques fondamentales pour ce modèle.

Formule(s)

Loi de Laplace (relation P-V) résolue pour P₂

P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma

Hypothèses

Pour appliquer cette loi, deux hypothèses sont cruciales :

La transformation est adiabatique (pas d'échange de chaleur, \(Q=0\)).
La transformation est réversible (suffisamment lente pour que le gaz soit à tout instant dans un état d'équilibre interne).

Donnée(s)

Les données sont issues de l'énoncé. Le calcul du rapport \(V_1/V_2\) rend inutile la conversion des volumes, à condition d'utiliser la même unité pour les deux.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression initiale	\(P_1\)	1	bar
Volume initial	\(V_1\)	20	L
Volume final	\(V_2\)	5	L
Coefficient adiabatique	\(\gamma\)	1,4	-

Astuces

Calculez d'abord le rapport de compression \(V_1/V_2\). C'est un nombre sans dimension qui simplifie le calcul. Ici, ce rapport est \(20/5 = 4\). L'équation devient \(P_2 = P_1 \times 4^{1,4}\).

Schéma (Avant les calculs)

Transformation de l'État 1 à l'État 2

Calcul(s)

Calcul de la pression finale

\begin{aligned} P_2 &= 1 \text{ bar} \times \left( \frac{20 \text{ L}}{5 \text{ L}} \right)^{1,4} \\ &= 1 \text{ bar} \times (4)^{1,4} \\ &\approx 6,964 \text{ bar} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Clapeyron (P-V)

Réflexions

Comme prévu lors d'une compression, la pression finale est bien plus élevée que la pression initiale. L'augmentation est non-linéaire, ce que montre la courbe (une adiabatique) dans le diagramme P-V, qui est plus pentue qu'une isotherme.

Points de vigilance

Une erreur courante est d'oublier l'exposant \(\gamma\) ou de mal le calculer. Assurez-vous que votre calculatrice gère correctement les puissances non entières. Une autre erreur serait d'appliquer cette loi à une transformation non-adiabatique ou non-réversible.

Points à retenir

Retenez la forme de la loi de Laplace et son domaine d'application strict : \(P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma\) pour les processus adiabatiques réversibles de gaz parfaits.

Le saviez-vous ?

Pierre-Simon de Laplace a utilisé cette relation pour corriger le calcul de la vitesse du son dans l'air par Newton. Newton avait supposé la transformation isotherme, mais Laplace a compris que les compressions/détentes de l'onde sonore étaient trop rapides pour échanger de la chaleur, et donc adiabatiques.

FAQ

Que représente physiquement le coefficient \(\gamma\) ?

\(\gamma = C_p/C_v\) représente le rapport de la capacité thermique à pression constante sur celle à volume constant. Il est lié aux degrés de liberté des molécules du gaz. Pour un gaz diatomique comme N₂, \(\gamma=1,4\). Pour un gaz monoatomique comme l'Hélium, \(\gamma \approx 1,67\).

Résultat Final

La pression finale du gaz est \(P_2 \approx 6,96 \text{ bar}\).

A vous de jouer

Quelle serait la pression finale \(P_2\) si le gaz était comprimé jusqu'à \(V_2 = 2\) L ?

Question 3 : Calculer la température finale \(T_2\) du gaz

Principe

La température finale peut être trouvée de deux manières : soit en utilisant une autre loi de Laplace (liant T et V), soit en appliquant la loi des gaz parfaits à l'état final, puisque \(P_2\) et \(V_2\) sont maintenant connus.

Mini-Cours

La loi de Laplace \(T \cdot V^{\gamma-1} = \text{constante}\) est particulièrement utile car elle ne dépend pas de la pression. Elle montre directement comment le volume et la température évoluent en sens inverse lors d'une transformation adiabatique : si le volume diminue (compression), la température augmente.

Remarque Pédagogique

Utiliser la loi de Laplace liant T et V est plus élégant et direct. Utiliser la loi des gaz parfaits (\(T_2 = P_2V_2/nR\)) est une excellente méthode de vérification pour confirmer que vos calculs de \(P_2\) et \(T_2\) sont cohérents entre eux.

Normes

Même principe que pour la question 2, le calcul est régi par les lois de la thermodynamique pour le modèle du gaz parfait.

Formule(s)

Méthode 1 : Loi de Laplace (T-V)

T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}

Méthode 2 : Loi des Gaz Parfaits

T_2 = \frac{P_2 V_2}{n R}

Hypothèses

Les mêmes que pour la question 2 : transformation adiabatique et réversible.

Schéma (Avant les calculs)

Transformation de l'État 1 à l'État 2

Calcul(s)

Méthode 1 : Loi de Laplace (T-V)

Les données sont issues du résultat de la question 1 et de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Température initiale	\(T_1\)	240,56	K
Volume initial	\(V_1\)	20	L
Volume final	\(V_2\)	5	L
Coefficient adiabatique	\(\gamma\)	1,4	-

\begin{aligned} T_2 &= T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} \\ &= 240,56 \text{ K} \times \left( \frac{20}{5} \right)^{1,4-1} \\ &= 240,56 \text{ K} \times (4)^{0,4} \\ &\approx 240,56 \times 1,7411 \text{ K} \\ &\approx 418,81 \text{ K} \end{aligned}

Méthode 2 : Loi des Gaz Parfaits (Vérification)

Les données proviennent de l'énoncé et du résultat de la question 2. On convertit les unités en SI.

Conversion de la Pression

P_2 = 6,964 \text{ bar} = 6,964 \times 10^5 \text{ Pa}

Conversion du Volume

V_2 = 5 \text{ L} = 5 \times 10^{-3} \text{ m}^3

\begin{aligned} T_2 &= \frac{P_2 V_2}{n R} \\ &= \frac{(6,964 \times 10^5 \text{ Pa}) \times (5 \times 10^{-3} \text{ m}^3)}{1 \text{ mol} \times 8,314 \text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}} \\ &= \frac{3482}{8,314} \text{ K} \\ &\approx 418,81 \text{ K} \end{aligned}

Les deux méthodes donnent un résultat identique, ce qui confirme la cohérence de nos calculs.

Schéma (Après les calculs)

Diagramme Température-Volume (T-V)

Réflexions

La température a presque doublé (en Kelvin), passant de -33°C à +146°C. Cette forte augmentation de température due à une simple compression mécanique est le principe de base de l'allumage dans les moteurs diesel, qui n'ont pas besoin de bougies.

Points de vigilance

Ne jamais faire ce calcul avec des températures en degrés Celsius ! Les lois de la thermodynamique ne sont valables qu'avec des températures absolues (Kelvin).

Points à retenir

Une compression adiabatique chauffe un gaz, une détente adiabatique le refroidit. C'est un principe fondamental avec de nombreuses applications (moteurs, réfrigérateurs, météorologie).

Le saviez-vous ?

Le "piston de feu" est un dispositif ancien, redécouvert au 19ème siècle, qui utilise ce principe. En comprimant très rapidement l'air dans un cylindre, on atteint une température si élevée qu'un petit morceau d'amadou (matière inflammable) placé à l'intérieur s'enflamme spontanément.

FAQ

Pourquoi la température augmente-t-elle s'il n'y a pas d'apport de chaleur ?

L'augmentation de température n'est pas due à la chaleur (\(Q=0\)), mais au travail (\(W\)) fourni au gaz. L'énergie mécanique du piston est transférée aux molécules du gaz, augmentant leur agitation (énergie cinétique), ce qui se traduit macroscopiquement par une hausse de température.

Résultat Final

La température finale du gaz est \(T_2 \approx 418,8 \text{ K}\).

A vous de jouer

Si la température initiale était de 300 K, quelle serait la température finale \(T_2\) (avec le même rapport de compression de 4) ?

Question 4 : Calculer le travail \(W\) reçu par le gaz

Principe

Le travail des forces de pression est l'énergie échangée entre le système (le gaz) et l'extérieur (le piston) par action mécanique. Pour une transformation adiabatique, ce travail est directement lié à la variation de l'énergie interne du gaz.

Mini-Cours

Le travail \(W\) reçu par un système lors d'une transformation est défini par \(W = -\int P_{\text{ext}} dV\). Pour une transformation réversible, \(P_{\text{ext}} = P_{\text{int}} = P\). Le calcul de l'intégrale \(\int P dV\) pour une loi de Laplace mène à la formule \(\frac{P_2V_2 - P_1V_1}{\gamma-1}\). En utilisant \(PV=nRT\), on arrive à la seconde formule \(W=nC_v(T_2-T_1)\).

Remarque Pédagogique

La convention de signe en thermodynamique est cruciale. Ici, on calcule le travail reçu par le gaz. Puisque le volume diminue (compression), le travail sera positif. Si le gaz se détendait, il fournirait du travail à l'extérieur, et W serait négatif.

Normes

Le calcul du travail est une application directe du premier principe de la thermodynamique.

Formule(s)

Formule du travail (en fonction des températures)

W = n C_v (T_2 - T_1) \quad \text{avec} \quad C_v = \frac{R}{\gamma-1}

Hypothèses

Le calcul de W avec cette formule suppose que le gaz est parfait (pour que \(\Delta U\) ne dépende que de T) et que la transformation est réversible (pour pouvoir utiliser la relation \(W=\Delta U\)).

Donnée(s)

Les données sont issues de l'énoncé et des résultats des questions 1 et 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	\(n\)	1	mol
Constante des gaz parfaits	\(R\)	8,314	J·mol⁻¹·K⁻¹
Coefficient adiabatique	\(\gamma\)	1,4	-
Température initiale	\(T_1\)	240,56	K
Température finale	\(T_2\)	418,81	K

Astuces

La relation \(C_v = R/(\gamma-1)\) est une conséquence de la relation de Mayer (\(C_p-C_v=R\)) et de la définition de \(\gamma=C_p/C_v\). Elle permet de calculer \(C_v\) très rapidement si \(\gamma\) est connu.

Schéma (Avant les calculs)

Travail comme aire sous la courbe

Calcul(s)

Calcul de la capacité thermique Cᵥ

\begin{aligned} C_v &= \frac{R}{\gamma-1} \\ &= \frac{8,314}{1,4 - 1} \\ &= 20,785 \text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \end{aligned}

Calcul du travail reçu par le gaz

\begin{aligned} W &= n C_v (T_2 - T_1) \\ &= 1 \text{ mol} \times 20,785 \frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \times (418,81 - 240,56) \text{ K} \\ &= 20,785 \times 178,25 \text{ J} \\ &\approx 3704,9 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de l'Énergie Interne

Réflexions

Le travail est positif, ce qui confirme que de l'énergie a été transférée de l'extérieur vers le gaz. Cette valeur de 3,7 kJ est l'énergie mécanique qu'il a fallu fournir pour réaliser la compression.

Points de vigilance

Attention au signe du travail. Dans la convention la plus courante, ce qui est reçu par le système est compté positivement. Une compression est un travail reçu (+W), une détente est un travail fourni (-W).

Points à retenir

Le travail échangé lors d'une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait est égal à la variation de son énergie interne : \(W = \Delta U = nC_v\Delta T\).

Le saviez-vous ?

James Prescott Joule a démontré dans les années 1840 l'équivalence entre travail et chaleur. Ses expériences, notamment celle avec des palettes tournant dans l'eau, ont permis d'établir que l'énergie mécanique pouvait être convertie en énergie thermique, jetant les bases du premier principe de la thermodynamique.

FAQ

Quelle est la différence entre travail et chaleur ?

Ce sont deux modes de transfert d'énergie. La chaleur est un transfert "désordonné" lié à une différence de température (agitation microscopique). Le travail est un transfert "ordonné" lié au déplacement d'une force macroscopique (comme un piston).

Résultat Final

Le travail reçu par le gaz est \(W \approx +3705 \text{ J}\).

A vous de jouer

Quel serait le travail reçu si la température finale n'était que de 350 K ?

Question 5 : Vérifier la cohérence avec le premier principe

Principe

Cette dernière question est une étape de vérification. Le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = W + Q\), est une loi universelle de conservation de l'énergie. Pour notre cas, elle doit être respectée.

Mini-Cours

Pour une transformation adiabatique, il n'y a par définition aucun échange de chaleur, donc \(Q=0\). Le premier principe se simplifie alors drastiquement en \(\Delta U = W\). Cela signifie que la variation de l'énergie interne du gaz doit être exactement égale au travail qu'il a reçu.

Remarque Pédagogique

Cette vérification est fondamentale. Si vous trouvez \(\Delta U \neq W\), cela signifie qu'il y a une erreur dans l'un de vos calculs précédents (T₁, T₂, W, ou P₂). C'est un filet de sécurité pour valider votre démarche.

Normes

Le premier principe de la thermodynamique est l'une des lois les plus fondamentales de la physique.

Formule(s)

Variation de l'énergie interne pour un gaz parfait

\Delta U = n C_v (T_2 - T_1)

Hypothèses

L'expression de \(\Delta U\) est valable pour tout processus subi par un gaz parfait (pas seulement adiabatique).

Donnée(s)

Les données sont issues des résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Variation d'énergie interne	\(\Delta U\)	À calculer	J
Travail reçu (calculé en Q4)	\(W\)	≈ 3705	J

Schéma (Avant les calculs)

Premier Principe en Adiabatique

Calcul(s)

Calcul de la variation d'énergie interne

\begin{aligned} \Delta U &= n C_v (T_2 - T_1) \\ &= 1 \text{ mol} \times 20,785 \frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \times (418,81 - 240,56) \text{ K} \\ &= 20,785 \times 178,25 \text{ J} \\ &\approx 3704,9 \text{ J} \end{aligned}

Comparaison :

Variation d'énergie interne calculée : \(\Delta U \approx 3705\) J.
Travail calculé à la question 4 : \(W \approx 3705\) J.

Schéma (Après les calculs)

Bilan Énergétique : La Balance

Réflexions

L'égalité \(\Delta U = W\) est parfaitement vérifiée aux arrondis de calcul près. Cela confirme la validité de notre démarche et de nos résultats. L'énergie mécanique fournie par le piston a bien été intégralement stockée sous forme d'énergie interne dans le gaz.

Points de vigilance

Il n'y a pas de piège de calcul ici, seulement un raisonnement à appliquer. L'erreur serait de ne pas comprendre pourquoi \(Q=0\) et pourquoi, par conséquent, \(\Delta U\) doit être égal à \(W\).

Points à retenir

Le premier principe est un outil puissant, non seulement pour calculer des grandeurs, mais aussi pour vérifier la cohérence d'une résolution complète. Pour une transformation adiabatique, retenez l'équation simplifiée : \(\Delta U = W\).

Le saviez-vous ?

Le premier principe de la thermodynamique est souvent attribué à Rudolf Clausius (1850) et William Thomson (Lord Kelvin). Il a mis fin aux théories du "calorique", un fluide supposé être la substance de la chaleur, en établissant que la chaleur est une forme de transfert d'énergie.

FAQ

Pourquoi \(Q\) n'est pas toujours nul ?

Si la transformation est lente et que le cylindre n'est pas isolé (non calorifugé), le gaz a le temps d'échanger de la chaleur avec l'extérieur. S'il est en contact avec un thermostat qui maintient sa température constante, la transformation est isotherme, et dans ce cas \(\Delta U = 0\), donc \(W = -Q\).

Résultat Final

La cohérence est validée : \(\Delta U \approx +3705 \text{ J} = W\).

A vous de jouer

Si la transformation n'était pas adiabatique et que le gaz avait perdu 500 J sous forme de chaleur (\(Q=-500\) J), quelle aurait été la variation d'énergie interne \(\Delta U\) (en gardant le même travail \(W\)) ?

Outil Interactif : Simulateur de Compression

Utilisez les curseurs pour faire varier le volume initial du gaz et le taux de compression (\(V_1/V_2\)). Observez en temps réel l'impact sur la température finale et le travail nécessaire pour la compression (pour 1 mole de gaz à \(P_1=1\) bar).

Paramètres d'Entrée

Volume Initial \(V_1\) (L) 20 L

Taux de Compression (\(V_1/V_2\)) 4

Résultats Clés

Température Finale \(T_2\) (K) -

Pression Finale \(P_2\) (bar) -

Travail Reçu \(W\) (kJ) -

Glossaire

Transformation Adiabatique: Une transformation thermodynamique qui s'effectue sans aucun échange de chaleur entre le système et son environnement (\(Q=0\)).
Gaz Parfait: Un modèle idéal de gaz dont les molécules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas entre elles. Il suit la loi d'état \(PV=nRT\).
Loi de Laplace: Un ensemble de relations (\(P V^\gamma = \text{constante}\), \(T V^{\gamma-1} = \text{constante}\)) qui décrivent l'évolution des variables d'état (P, V, T) d'un gaz parfait lors d'une transformation adiabatique réversible.
Énergie Interne (U): La somme de toutes les énergies cinétiques et potentielles des particules constituant un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.

Compression Adiabatique d’un Gaz Parfait

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique du Système

Schéma de la compression

Questions à traiter

Les bases de la Thermodynamique Appliquée

Correction : Compression Adiabatique d'un Gaz Parfait

Question 1 : Calculer la température initiale \(T_1\) du gaz

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

État Initial du Système

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

État Initial Caractérisé

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Calculer la pression finale \(P_2\) du gaz

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Transformation de l'État 1 à l'État 2

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Clapeyron (P-V)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Calculer la température finale \(T_2\) du gaz

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Schéma (Avant les calculs)

Transformation de l'État 1 à l'État 2

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Diagramme Température-Volume (T-V)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : Calculer le travail \(W\) reçu par le gaz

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Travail comme aire sous la courbe