Calcul de l’Énergie Interne d’un Gaz Parfait
Comprendre le Calcul de l’Énergie Interne d’un Gaz Parfait
Dans une usine chimique, un réacteur est utilisé pour synthétiser un composé organique en phase gazeuse. Le réacteur est isolé de manière à fonctionner comme un système fermé. On suppose que le gaz dans le réacteur se comporte comme un gaz parfait. Lors d’une opération, la température initiale du gaz est de 20°C. Afin de favoriser la réaction, la température du gaz est augmentée à 200°C par un chauffage externe. Le volume du réacteur est maintenu constant à 0.5 m³ et la pression initiale est de 100 kPa.
Données:
- Température initiale, \(T_i = 20^\circ\text{C} = 293\text{K}\) (Kelvin = °C + 273)
- Température finale, \(T_f = 200^\circ\text{C} = 473\text{K}\)
- Volume constant, \(V = 0.5\text{ m}^3\)
- Pression initiale, \(P_i = 100\text{ kPa}\)
- Capacité calorifique à volume constant pour le gaz, \(C_v = 0.718\text{ kJ/kg}\cdot\text{K}\)
- Constante des gaz parfaits, \(R = 8.314\text{ J/mol}\cdot\text{K}\)
Hypothèses:
- Le gaz se comporte comme un gaz parfait.
- Les processus de chauffage se font à volume constant.
- Aucune énergie n’est transférée sous forme de travail mécanique.
Question:
Calculer la variation de l’énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz lors de ce chauffage.
Correction : Calcul de l’Énergie Interne d’un Gaz Parfait
1. Calcul du nombre de moles (n)
Pour déterminer la masse du gaz, nous devons d’abord calculer le nombre de moles contenu dans le réacteur en utilisant la loi des gaz parfaits.
Formule :
\[ n = \frac{P \times V}{R \times T_i} \]
Données :
- Pression initiale, \( P = 100\, \text{kPa} = 100000\, \text{Pa} \)
- Volume, \( V = 0.5\, \text{m}^3\)
- Température initiale, \( T_i = 20\, \text{°C} = 293\, \text{K} \) (Kelvin = °C + 273)
- Constante universelle des gaz parfaits, \( R = 8.314\, \text{J/(mol.K)}\)
Calcul :
\[ n = \frac{100\,000\,\text{Pa} \times 0.5\,\text{m}^3}{8.314\,\text{J/(mol.K)} \times 293\,\text{K}} \] \[ n = \frac{50\,000}{8.314 \times 293} \] \[ n \approx \frac{50\,000}{2436.002} \] \[ n \approx 20.52\, \text{moles} \]
2. Calcul de la masse du gaz (m)
Une fois le nombre de moles connu, la masse du gaz est obtenue en multipliant n par la masse molaire du gaz. Ici, le gaz se comportant comme l’air, on utilisera une masse molaire approchée de 28.97 g/mol.
Formule :
\[ m = n \times M \]
Données :
- \( n \approx 20.52\, \text{moles} \)
- Masse molaire de l’air, \( M \approx 28.97\, \text{g/mol} = 0.02897\, \text{kg/mol} \)
Calcul :
\[ m = 20.52\, \text{moles} \times 0.02897\, \text{kg/mol} \] \[ m \approx 0.5948\, \text{kg} \]
3. Calcul de la variation de température (\(\Delta T\))
La variation de température du gaz lors du chauffage est la différence entre la température finale et la température initiale.
Formule :
\[ \Delta T = T_f – T_i \]
Données :
- Température initiale, \(T_i\) = 293 K
- Température finale, \(T_f \)= 200°C = 473 K
Calcul :
\[ \Delta T = 473\,\text{K} – 293\,\text{K} \] \[ \Delta T = 180\,\text{K} \]
4. Calcul de la variation de l’énergie interne (\(\Delta U\))
Pour un gaz parfait chauffé à volume constant, la variation de l’énergie interne se calcule par la formule
\[ \Delta U = m \times C_v \times \Delta T. \]
Attention : La capacité calorifique à volume constant, \( C_v \), est donnée en kJ/(kg·K), il faut donc que l’énergie soit calculée en kJ.
Données :
- Masse, \( m \approx 0.5948\, \text{kg} \)
- Capacité calorifique à volume constant, \(C_v\) = 0.718 kJ/(kg·K)
- Variation de température, \(\Delta T\) = 180 K
Calcul :
\[ \Delta U = 0.5948\, \text{kg} \times 0.718\, \frac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \times 180\, \text{K} \] \[ \Delta U \approx 0.5948 \times 129.24\, \text{kJ} \] \[ \Delta U \approx 76.95\, \text{kJ} \]
Conclusion
La variation de l’énergie interne du gaz lors du chauffage est donc d’environ 77 kJ.
Calcul de l’Énergie Interne d’un Gaz Parfait
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