Calcul de l'Énergie Sombre - Exercice corrigé

Contexte : L'Énergie SombreForme d'énergie hypothétique qui remplit tout l'univers et exerce une pression négative, expliquant l'accélération de l'expansion cosmique. et l'expansion accélérée de l'Univers.

L'une des découvertes les plus surprenantes de l'astrophysique moderne est que l'expansion de l'Univers s'accélère. Cette accélération est attribuée à une composante mystérieuse appelée "Énergie Sombre", qui constituerait environ 70% du contenu énergétique total de l'Univers. Pour étudier cette énergie sombre, les astrophysiciens utilisent des "chandelles standards" cosmiques, comme les Supernovae de Type IaExplosions thermonucléaires d'étoiles naines blanches dans des systèmes binaires, ayant une luminosité intrinsèque maximale très constante.. En mesurant leur luminosité apparente et leur décalage vers le rouge (redshift)Augmentation de la longueur d'onde de la lumière provenant d'objets s'éloignant de l'observateur, due à l'expansion de l'Univers., on peut cartographier l'histoire de l'expansion cosmique et contraindre les propriétés de l'énergie sombre, notamment son paramètre de densitéFraction de la densité totale de l'Univers contribuée par une composante spécifique (matière, rayonnement, énergie sombre). $\Omega_\Lambda$. Cet exercice vous guidera à travers une analyse simplifiée de données de supernovae pour estimer $\Omega_\Lambda$.

Remarque Pédagogique : Comprendre comment estimer les paramètres cosmologiques à partir d'observations est fondamental en astrophysique. Cet exercice simplifie grandement les calculs réels mais illustre les principes clés de la cosmologie observationnelle.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le rôle des Supernovae Ia comme chandelles standards.
Relier le décalage vers le rouge ($z$) et le module de distance ($\mu$) à la distance de luminosité ($d_L$).
Appréhender l'influence des paramètres cosmologiques ($\Omega_M$, $\Omega_\Lambda$) sur la relation distance-redshift.
Estimer le paramètre de densité de l'énergie sombre ($\Omega_\Lambda$) à partir de données simplifiées.
Interpréter la signification physique de $\Omega_\Lambda$.

Données de l'étude

Nous disposons d'un échantillon simplifié de mesures de décalage vers le rouge ($z$) et de module de distance ($\mu$) pour 5 supernovae de Type Ia lointaines.

Données Observées (Simplifiées)

Supernova ID	Redshift ($z$)	Module de Distance ($\mu$)
SN 1	0.2	40.0
SN 2	0.4	41.8
SN 3	0.6	42.9
SN 4	0.8	43.7
SN 5	1.0	44.4

Relation Luminosité-Distance

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur (Approximative)	Unité
Constante de Hubble	$H_0$	70	$\text{km/s/Mpc}$
Vitesse de la lumière	$c$	$3 \times 10^5$	$\text{km/s}$
Parsec	$\text{pc}$	$3.086 \times 10^{13}$	$\text{km}$
Mégaparsec	$\text{Mpc}$	$10^6$	$\text{pc}$

Questions à traiter

Calculer la distance de luminosité $d_L$ (en Mpc) pour la supernova SN 2 ($z=0.4$) en utilisant l'approximation simple de la loi de Hubble : $d_L \approx \frac{c z}{H_0}$.
Exprimer la relation entre le module de distance $\mu$ et la distance de luminosité $d_L$ (en pc). Utiliser cette relation pour calculer $d_L$ (en Mpc) correspondant à $\mu = 41.8$ pour SN 2. Comparer avec le résultat de la question 1.
L'équation de Friedmann relie l'expansion de l'Univers à son contenu. Pour un univers plat ($\Omega_k = 0$), on a $\Omega_M + \Omega_\Lambda = 1$. Expliquer qualitativement comment la présence d'énergie sombre ($\Omega_\Lambda > 0$) affecte la relation entre $d_L$ et $z$ par rapport à un univers contenant uniquement de la matière ($\Omega_M=1, \Omega_\Lambda=0$).
Une relation plus précise pour la distance de luminosité dans un univers plat est donnée (pour de petits $z$) par $d_L(z) \approx \frac{c}{H_0} \left[ z + \frac{1}{2}(1 - q_0) z^2 \right]$, où le paramètre de décélération $q_0 = \frac{1}{2}\Omega_M - \Omega_\Lambda$. En utilisant les données de SN 5 ($z=1.0, \mu=44.4$), estimer la valeur de $q_0$ puis déduire une estimation pour $\Omega_\Lambda$ (en supposant $\Omega_M + \Omega_\Lambda = 1$). Convertir d'abord $\mu$ en $d_L$.
Discuter de la signification du signe de $q_0$ trouvé et de la valeur de $\Omega_\Lambda$ obtenue. Qu'impliquent-ils concernant l'expansion de l'Univers ?

Les bases de la Cosmologie Observationnelle

Pour déterminer les paramètres cosmologiques comme $\Omega_\Lambda$, nous utilisons des observations astronomiques. Les supernovae de Type Ia jouent un rôle crucial.

1. Chandelles Standards (Supernovae Ia)
Les supernovae Ia résultent de l'explosion d'une naine blanche dépassant une masse critique (limite de Chandrasekhar). Ce mécanisme quasi-uniforme leur confère une luminosité intrinsèque maximale (magnitude absolue) remarquablement constante. En comparant cette luminosité intrinsèque connue à la luminosité apparente observée, on peut déterminer leur distance via le module de distanceDifférence entre la magnitude apparente (observée) et la magnitude absolue (intrinsèque) d'un objet. Il est lié au logarithme de la distance..

2. Décalage vers le Rouge et Expansion
La lumière émise par des objets lointains est étirée par l'expansion de l'Univers pendant son trajet vers nous. Ce phénomène, appelé décalage vers le rouge ($z$), est défini par $z = \frac{\lambda_{\text{obs}} - \lambda_{\text{émis}}}{\lambda_{\text{émis}}}$, où $\lambda$ est la longueur d'onde. Pour des vitesses faibles par rapport à $c$, la loi de Hubble relie $z$ à la distance $d$ par $v = H_0 d$, avec $v \approx cz$.

3. Distance de Luminosité et Module de Distance
La distance de luminositéDistance définie telle que le flux reçu $F$ d'une source de luminosité intrinsèque $L$ est $F = L / (4\pi d_L^2)$. Elle tient compte des effets cosmologiques. $d_L$ est définie de sorte que le flux $F$ reçu d'une source de luminosité intrinsèque $L$ soit $F = \frac{L}{4\pi d_L^2}$. Elle diffère de la distance propre à cause de l'expansion. Le module de distance $\mu$ est lié à $d_L$ (en parsecs) par : \[ \mu = m - M = 5 \log_{10}(d_L / 10 \, \text{pc}) \] où $m$ est la magnitude apparente et $M$ la magnitude absolue. Souvent, on exprime $d_L$ en Mégaparsecs (Mpc) : \[ \mu = 5 \log_{10}(d_L \, [\text{Mpc}]) + 25 \]

4. Paramètres Cosmologiques
Le modèle cosmologique standard ($\Lambda$CDM) décrit l'Univers à l'aide de paramètres de densité $\Omega_i = \rho_i / \rho_c$, où $\rho_i$ est la densité d'une composante (matière $\Omega_M$, énergie sombre $\Omega_\Lambda$, courbure $\Omega_k$) et $\rho_c$ est la densité critique. Les observations suggèrent un univers plat ($\Omega_k \approx 0$), donc $\Omega_M + \Omega_\Lambda \approx 1$. La Constante de HubbleTaux actuel d'expansion de l'Univers, reliant la vitesse de récession d'une galaxie lointaine à sa distance. $H_0$ mesure le taux d'expansion actuel. \[ \Omega_{\text{total}} = \Omega_M + \Omega_\Lambda + \Omega_k \]

Correction : Calcul de l'Énergie Sombre via les Supernovae Ia

Question 1 : Calcul de $d_L$ approximatif pour SN 2 ($z=0.4$)

Principe

Utiliser la loi de Hubble simple comme première approximation pour estimer la distance d'un objet à partir de son redshift.

Mini-Cours

La loi de Hubble ($v = H_0 d$) relie la vitesse de récession $v$ d'une galaxie à sa distance $d$. Pour de faibles redshifts, on peut approximer la vitesse par $v \approx cz$ et la distance $d$ par la distance de luminosité $d_L$. Cela donne une estimation rapide mais imprécise à des redshifts non négligeables.

Remarque Pédagogique

Ceci est un calcul "au dos de l'enveloppe". Il est excellent pour obtenir un ordre de grandeur, mais il devient rapidement inexact à mesure que $z$ augmente, car il ne tient pas compte de la dynamique (décélération/accélération) de l'expansion.

Normes

Le Principe Cosmologique : La "norme" fondamentale ici est le Principe Cosmologique, qui postule que l'Univers est homogène et isotrope à grande échelle. C'est ce qui nous permet d'appliquer une seule loi d'expansion (et donc une seule valeur de $H_0$) à l'ensemble de l'Univers observable.

Formule(s)

Loi de Hubble approximative pour $d_L$

d_L \approx \frac{c z}{H_0}

Hypothèses

On suppose que l'approximation linéaire de la loi de Hubble est suffisante à $z=0.4$ (ce qui n'est pas très précis en réalité).

Donnée(s)

Valeurs nécessaires pour le calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Redshift	$z$	0.4	Sans unité
Vitesse de la lumière	$c$	$3 \times 10^5$	$\text{km/s}$
Constante de Hubble	$H_0$	70	$\text{km/s/Mpc}$

Astuces

Les unités s'arrangent parfaitement : $c$ est en [km/s] et $H_0$ en [km/s/Mpc]. Les [km/s] s'annulent, et les [Mpc] (qui sont au dénominateur du dénominateur) remontent au numérateur. Le résultat est directement en Mégaparsecs !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la loi de Hubble $v = H_0 d$ comme une droite passant par l'origine. Plus un objet est loin ($d_L$), plus sa vitesse de récession ($v \approx cz$) est grande.

Schéma de la Loi de Hubble

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} d_L &\approx \frac{(3 \times 10^5 \, \text{km/s}) \times 0.4}{70 \, \text{km/s/Mpc}} \\ &= \frac{1.2 \times 10^5}{70} \, \text{Mpc} \\ &\approx 1714 \, \text{Mpc} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Positionnement de SN 2 ($z=0.4$) sur le graphique linéaire de Hubble, correspondant à la distance calculée.

Position de SN 2 (Approximation Linéaire)

Réflexions

Cette approximation donne une première idée de la distance, environ 1714 Mpc. Cependant, à $z=0.4$, les effets de la courbure de l'espace-temps et du contenu énergétique de l'Univers (matière, énergie sombre) deviennent significatifs et cette formule simple n'est plus très precise.

Points de vigilance

Ne pas utiliser l'approximation $d_L \approx cz/H_0$ pour des redshifts élevés (typiquement $z > 0.1$). Assurer la cohérence des unités (km/s pour $c$, km/s/Mpc pour $H_0$, $d_L$ en Mpc).

Points à retenir

La loi de Hubble est une approximation pour les faibles redshifts.
Elle fournit une relation linéaire simple entre distance et redshift.

Le saviez-vous ?

La valeur de $H_0$ est un point de débat majeur en cosmologie ! Les mesures basées sur l'Univers "jeune" (comme le fond diffus cosmologique) donnent $H_0 \approx 67$ km/s/Mpc, tandis que les mesures basées sur l'Univers "récent" (comme les supernovae Ia) donnent $H_0 \approx 73$ km/s/Mpc. C'est ce qu'on appelle la "tension sur $H_0$"

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

La distance de luminosité approximative pour SN 2 est $d_L \approx 1714$ Mpc.

A vous de jouer

Calculez la distance approximative $d_L$ pour SN 1 ($z=0.2$).

Question 2 : Relation $\mu$-$d_L$ et calcul de $d_L$ pour SN 2 ($\mu=41.8$)

Principe

Le module de distance $\mu$ est une mesure logarithmique de la distance, directement liée à la distance de luminosité $d_L$. On peut inverser la relation pour trouver $d_L$ à partir de $\mu$.

Mini-Cours

La magnitude apparente $m$ est liée au flux $F$ par $m = -2.5 \log_{10}(F) + \text{constante}$. La magnitude absolue $M$ est la magnitude qu'aurait l'objet s'il était à 10 pc. Comme $F \propto 1/d_L^2$, on montre que $m - M = 5 \log_{10}(d_L / 10 \text{ pc})$. C'est la définition du module de distance $\mu$.

Remarque Pédagogique

Pensez aux magnitudes comme aux décibels pour le son. C'est une échelle logarithmique. Une différence de 5 magnitudes correspond exactement à un rapport de 100 en flux (luminosité). C'est la clé pour comprendre d'où vient le facteur '5' dans la formule (car $5 \log_{10}(10) = 5$ et $5 \log_{10}(100) = 5 \times 2 = 10$).

Normes

Définition du Parsec (pc) : La "norme" est la définition astronomique de la distance. Le module de distance est défini par rapport à une distance de référence de 10 parsecs (pc). La formule $\mu = 5 \log_{10}(d_L \, [\text{Mpc}]) + 25$ est une convention d'écriture très utilisée, dérivée de la formule de base en parsecs ($1 \text{ Mpc} = 10^6 \text{ pc}$).

Formule(s)

Relation $\mu$-$d_L$ (en parsecs)

\mu = 5 \log_{10}(d_L / 10 \, \text{pc})

Relation $\mu$-$d_L$ (en Mégaparsecs)

\mu = 5 \log_{10}(d_L \, [\text{Mpc}]) + 25

Formule inverse pour trouver $d_L$ (en Mégaparsecs)

d_L \, [\text{Mpc}] = 10^{(\mu - 25)/5}

Hypothèses

Le module de distance $\mu=41.8$ mesuré pour SN 2 est correct et correspond bien à la distance de luminosité $d_L$ de l'objet.

Donnée(s)

Module de distance observé pour SN 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Module de Distance	$\mu$	41.8	Sans unité (mag)

Astuces

Pour trouver $d_L$ à partir de $\mu$ (en Mpc), retenez : 1. Soustrayez 25. 2. Divisez par 5. 3. Prenez 10 à la puissance de ce résultat. Pour SN 2 : $(41.8 - 25) / 5 = 16.8 / 5 = 3.36$. La distance est $10^{3.36}$ Mpc.

Schéma (Avant les calculs)

Illustration de la relation logarithmique entre le module de distance et la distance. Une augmentation fixe de $\mu$ correspond à une multiplication de $d_L$.

Relation Logarithmique mu vs dL

Calcul(s)

Application de la formule inverse et calcul de l'exposant

\begin{aligned} d_L \, [\text{Mpc}] &= 10^{(\mu - 25)/5} \\ &= 10^{(41.8 - 25)/5} \\ &= 10^{16.8/5} \\ &= 10^{3.36} \end{aligned}

Calcul final de $d_L$

d_L \, [\text{Mpc}] \approx 2291 \, \text{Mpc}

Comparaison avec la Question 1

La valeur obtenue (2291 Mpc) est significativement différente de l'approximation de Hubble (1714 Mpc). Cela montre que l'approximation linéaire n'est pas suffisante à $z=0.4$. La distance réelle est plus grande que ce que prédit la loi de Hubble simple.

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des deux estimations de distance pour SN 2 ($z=0.4$) sur le diagramme de Hubble. La distance dérivée de $\mu$ (point bleu) est plus grande que celle de l'approximation linéaire (point vert).

Comparaison des Distances pour SN 2 (z=0.4)

Réflexions

Le module de distance fournit une mesure de distance plus fiable intégrant la définition correcte de la distance de luminosité. La divergence avec l'approximation de Hubble simple à $z=0.4$ indique que l'expansion de l'Univers n'est pas (ou n'a pas toujours été) linéaire et que la géométrie et le contenu de l'Univers jouent un rôle.

Points de vigilance

Attention aux unités de $d_L$ dans les formules de $\mu$ (pc ou Mpc). Bien utiliser la bonne formule de conversion (+25 pour Mpc, -5 pour pc, voir FAQ). Ne pas confondre $\log_{10}$ (logarithme décimal) et $\ln$ (logarithme népérien).

Points à retenir

Le module de distance $\mu$ est défini par $\mu = 5 \log_{10}(d_L / 10 \, \text{pc})$.
La formule $d_L \, [\text{Mpc}] = 10^{(\mu - 25)/5}$ permet de calculer la distance à partir du module.
La comparaison entre $d_L(\mu)$ et $cz/H_0$ révèle des informations sur la dynamique de l'expansion.

Le saviez-vous ?

Le concept de "magnitude" a été introduit par l'astronome grec Hipparque (vers 190-120 av. J.-C.), qui classait les étoiles visibles de magnitude 1 (les plus brillantes) à 6 (les plus faibles à peine visibles). L'échelle moderne est une formalisation logarithmique de ce système antique.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

La distance de luminosité calculée à partir de $\mu=41.8$ est $d_L \approx 2291$ Mpc. Cette valeur est plus précise que l'approximation de Hubble.

A vous de jouer

Calculez la distance de luminosité $d_L$ (en Mpc) pour SN 1 ($\mu=40.0$).

Question 3 : Influence de $\Omega_\Lambda$ sur la relation $d_L$-$z$

Principe

L'énergie sombre ($\Omega_\Lambda$) affecte l'histoire de l'expansion de l'Univers, et donc la relation entre la distance ($d_L$) et le décalage vers le rouge ($z$) pour les objets lointains.

Mini-Cours

L'équation de Friedmann décrit comment le taux d'expansion $H(z)$ varie avec le temps (ou $z$) en fonction des densités d'énergie $\Omega_M$, $\Omega_\Lambda$, $\Omega_k$ (et rayonnement $\Omega_R$, négligeable aujourd'hui). La distance de luminosité $d_L$ dépend de l'intégrale de $1/H(z)$ sur le trajet de la lumière : $d_L(z) = (1+z) \frac{c}{H_0} \int_0^z \frac{dz'}{E(z')}$, où $E(z) = H(z)/H_0 = \sqrt{\Omega_M(1+z)^3 + \Omega_k(1+z)^2 + \Omega_\Lambda}$. Une valeur de $\Omega_\Lambda > 0$ correspond à une énergie qui ne se dilue pas (ou peu) avec l'expansion, voire qui provoque une accélération ($pression < -\frac{1}{3}\rho c^2$).

Réflexions

Dans un univers contenant uniquement de la matière ($\Omega_M=1, \Omega_\Lambda=0$), l'expansion décélère à cause de l'attraction gravitationnelle mutuelle de la matière. La distance $d_L$ à un redshift $z$ donné est plus petite que dans un univers vide ou en expansion constante.

Dans un univers avec de l'énergie sombre ($\Omega_\Lambda > 0$), cette énergie exerce une sorte de "pression négative" qui contrecarre la gravité et accélère l'expansion, surtout à des époques récentes (faibles $z$). Pour atteindre un certain redshift $z$ dans un univers en accélération, la lumière a dû voyager plus longtemps et donc parcourir une plus grande distance $d_L$ par rapport à un univers qui décélère.

Donc, pour un $z$ fixe, la présence d'énergie sombre ($\Omega_\Lambda > 0$) conduit à une distance de luminosité $d_L$ plus grande que dans un univers sans énergie sombre ($\Omega_\Lambda = 0$). Les objets apparaissent plus lointains (plus faibles) que prévu.

Schéma (Conceptuel)

Comparaison des courbes $d_L(z)$ pour différents modèles cosmologiques. La courbe bleue (avec $\Omega_\Lambda=0.7$) est au-dessus de la courbe rouge ($\Omega_\Lambda=0$) pour $z > 0$.

Distance de Luminosité vs Redshift (Impact de $\Omega_\Lambda$)

Points à retenir

L'énergie sombre accélère l'expansion de l'Univers.
Pour un redshift $z$ donné, $d_L$ est plus grande dans un univers avec énergie sombre.
Les supernovae Ia apparaissent donc plus faibles (plus lointaines) que prévu dans un univers sans énergie sombre.

Le saviez-vous ?

La découverte de l'expansion accélérée grâce aux supernovae Ia a valu le prix Nobel de physique 2011 à Saul Perlmutter, Brian P. Schmidt et Adam G. Riess.

Question 4 : Estimation de $q_0$ et $\Omega_\Lambda$ à partir de SN 5 ($z=1.0, \mu=44.4$)

Principe

Utiliser une formule approximative de $d_L(z)$ qui dépend du paramètre de décélération $q_0$, et relier $q_0$ aux paramètres de densité $\Omega_M$ et $\Omega_\Lambda$ pour estimer ce dernier à partir d'une mesure ($z, \mu$).

Mini-Cours

La formule $d_L(z) \approx \frac{c}{H_0} [ z + \frac{1}{2}(1 - q_0) z^2 ]$ est une "expansion de Taylor" de la distance de luminosité pour de faibles $z$. Le premier terme ($cz/H_0$) est la loi de Hubble simple (Q1). Le second terme ($z^2$) est la première correction due à la dynamique de l'Univers, quantifiée par $q_0$. $q_0$ lui-même est déterminé par la "lutte" entre la matière qui freine l'expansion ($+\Omega_M/2$) et l'énergie sombre qui l'accélère ($-\Omega_\Lambda$).

Remarque Pédagogique

Nous utilisons ici un seul point de données (SN 5 à $z=1.0$) pour contraindre un modèle cosmologique. En réalité, c'est statistiquement très faible. Les cosmologistes utilisent des centaines de supernovae, ainsi que d'autres sondes (CMB, BAO), pour "fitter" les paramètres $H_0$, $\Omega_M$ et $\Omega_\Lambda$ simultanément à l'aide de méthodes statistiques (comme le $\chi^2$).

Normes

La Métrique FLRW : La "norme" ici est le modèle cosmologique standard, basé sur la métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). C'est le cadre mathématique de la relativité générale qui décrit un univers homogène et isotrope en expansion. Les formules pour $d_L(z)$ et $q_0$ sont des solutions de cette métrique.

Formule(s)

Approximation de $d_L(z)$ (pour univers plat)

d_L(z) \approx \frac{c}{H_0} \left[ z + \frac{1}{2}(1 - q_0) z^2 \right]

Relation $q_0$, $\Omega_M$, $\Omega_\Lambda$ (pour univers plat)

q_0 = \frac{1}{2}\Omega_M - \Omega_\Lambda = \frac{1}{2}(1 - \Omega_\Lambda) - \Omega_\Lambda = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\Omega_\Lambda

Conversion $\mu \to d_L$ (en Mégaparsecs)

d_L \, [\text{Mpc}] = 10^{(\mu - 25)/5}

Hypothèses

Univers plat ($\Omega_M + \Omega_\Lambda = 1$). L'approximation de $d_L(z)$ est raisonnablement valide jusqu'à $z=1$. Les valeurs de $c$ et $H_0$ sont connues.

Donnée(s)

Données pour SN 5 et constantes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Redshift SN 5	$z$	1.0	Sans unité
Module Distance SN 5	$\mu$	44.4	Sans unité (mag)
Vitesse de la lumière	$c$	$3 \times 10^5$	$\text{km/s}$
Constante de Hubble	$H_0$	70	$\text{km/s/Mpc}$

Astuces

C'est une simple résolution d'équations. Étape A : Calculer $d_L$ (Q2). Étape B : Calculer $c/H_0$ (Q1). Étape C : Mettre $d_L$, $z=1$, et $c/H_0$ dans la grande formule de $d_L(z)$ pour trouver $q_0$. Étape D : Utiliser $q_0$ dans la petite formule $q_0(\Omega_\Lambda)$ pour trouver $\Omega_\Lambda$.

Schéma (Avant les calculs)

Positionnement de SN 5 sur le diagramme $\mu(z)$ par rapport aux modèles théoriques attendus. Le point se situe nettement au-dessus du modèle décéléré.

Position de SN 5 sur le Diagramme de Hubble

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer $d_L$ pour SN 5

\begin{aligned} d_L \, [\text{Mpc}] &= 10^{(44.4 - 25)/5} \\ &= 10^{19.4/5} \\ &= 10^{3.88} \\ &\approx 7586 \, \text{Mpc} \end{aligned}

Étape 2 : Calculer $c/H_0$

\begin{aligned} \frac{c}{H_0} &= \frac{3 \times 10^5 \, \text{km/s}}{70 \, \text{km/s/Mpc}} \\ &\approx 4286 \, \text{Mpc} \end{aligned}

Étape 3 : Résoudre pour $q_0$

\begin{aligned} d_L &\approx \frac{c}{H_0} \left[ z + \frac{1}{2}(1 - q_0) z^2 \right] \\ 7586 &\approx 4286 \left[ 1.0 + \frac{1}{2}(1 - q_0) (1.0)^2 \right] \\ \frac{7586}{4286} &\approx 1 + 0.5 (1 - q_0) \\ 1.77 &\approx 1 + 0.5 - 0.5 q_0 \\ 1.77 &\approx 1.5 - 0.5 q_0 \\ 0.5 q_0 &\approx 1.5 - 1.77 \\ 0.5 q_0 &\approx -0.27 \\ q_0 &\approx \frac{-0.27}{0.5} \\ q_0 &\approx -0.54 \end{aligned}

Étape 4 : Déduire $\Omega_\Lambda$

\begin{aligned} q_0 &= \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\Omega_\Lambda \\ -0.54 &\approx 0.5 - 1.5 \Omega_\Lambda \\ 1.5 \Omega_\Lambda &\approx 0.5 - (-0.54) \\ 1.5 \Omega_\Lambda &\approx 1.04 \\ \Omega_\Lambda &\approx \frac{1.04}{1.5} \\ \Omega_\Lambda &\approx 0.69 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme que le modèle avec $q_0 \approx -0.54$ (correspondant à $\Omega_\Lambda \approx 0.69$) passe très près du point de donnée SN 5, validant l'observation du schéma précédent.

Ajustement du Modèle à SN 5

Réflexions

L'estimation donne $q_0 \approx -0.54$, une valeur négative, ce qui indique une accélération de l'expansion ($q_0 < 0$ signifie accélération, $q_0 > 0$ signifie décélération). L'estimation pour $\Omega_\Lambda$ est d'environ 0.69, ce qui est très proche de la valeur actuellement acceptée (~0.7). Cela suggère que l'énergie sombre domine la densité énergétique de l'Univers actuel.

Points de vigilance

L'approximation de $d_L(z)$ utilisée est une simplification (une expansion de Taylor). Elle est déjà "limite" à $z=1.0$. Les calculs cosmologiques réels utilisent des intégrales numériques de $1/H(z)$. L'estimation est basée sur un seul point de données, ce qui est très sensible aux incertitudes.

Points à retenir

Le paramètre de décélération $q_0$ quantifie l'accélération ($q_0<0$) ou la décélération ($q_0>0$) de l'expansion.
$q_0$ est lié aux densités $\Omega_M$ et $\Omega_\Lambda$.
Mesurer $d_L(z)$ permet d'estimer $q_0$ et donc $\Omega_\Lambda$.

Le saviez-vous ?

Le paramètre $q_0$ s'appelle le "paramètre de décélération". La grande surprise de 1998 fut de découvrir qu'il était négatif ! Les objets lointains étaient plus faibles (plus loin) que prévu, ce qui impliquait que l'expansion s'était accélérée au lieu de décélérer sous l'effet de la gravité.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

L'estimation basée sur SN 5 donne $q_0 \approx -0.54$ et $\Omega_\Lambda \approx 0.69$.

A vous de jouer

En utilisant $q_0 = -0.54$, quelle serait la valeur approximative de $d_L$ (en Mpc) pour $z=0.5$ avec la même formule ? ($c/H_0 \approx 4286$ Mpc)

Question 5 : Signification de $q_0 < 0$ et $\Omega_\Lambda \approx 0.7$

Principe

Interpréter physiquement les valeurs des paramètres cosmologiques $q_0$ et $\Omega_\Lambda$ obtenues à la question précédente.

Mini-Cours

Le paramètre de décélération $q_0$ décrit la "courbure" actuelle de l'expansion. S'il est positif, la gravité domine et l'expansion ralentit. S'il est négatif, une force "répulsive" (comme l'énergie sombre) domine et l'expansion accélère. La valeur de $q_0 = \Omega_M/2 - \Omega_\Lambda$ montre cette compétition : la matière ($\Omega_M$) contribue positivement (décélération), l'énergie sombre ($\Omega_\Lambda$) contribue négativement (accélération). La valeur $\Omega_\Lambda \approx 0.7$ signifie que l'énergie sombre représente environ 70% de la densité d'énergie totale de l'Univers, surpassant la contribution de la matière ($\Omega_M \approx 0.3$).

Réflexions

Un paramètre de décélération $q_0 \approx -0.54$ négatif signifie que l'expansion de l'Univers, loin de ralentir sous l'effet de la gravité comme on s'y attendait initialement, est en fait en train d'accélérer. C'est le résultat majeur issu des observations de supernovae Ia à la fin des années 1990.

Une valeur de $\Omega_\Lambda \approx 0.69$ signifie que près de 70% de la densité d'énergie totale de l'Univers actuel est sous forme d'énergie sombre. Puisque $\Omega_M + \Omega_\Lambda \approx 1$, cela implique que la matière (ordinaire + noire) ne représente qu'environ 30% ($\Omega_M \approx 0.31$).

L'énergie sombre agit comme une force répulsive à grande échelle, dominant la gravité attractive de la matière et provoquant cette accélération. Sa nature exacte reste l'un des plus grands mystères de la physique moderne.

Points de vigilance

Ne pas conclure trop vite à partir d'une estimation simplifiée. Les valeurs réelles sont obtenues par des analyses statistiques complexes de grands jeux de données (Supernovae, Fond Diffus Cosmologique, Oscillations Acoustiques Baryoniques).

Points à retenir

$q_0 < 0$ : L'expansion de l'Univers accélère.
$\Omega_\Lambda \approx 0.7$ : L'énergie sombre domine le bilan énergétique de l'Univers actuel.
$\Omega_M \approx 0.3$ : La matière (visible et noire) est minoritaire.
La nature de l'énergie sombre est inconnue.

Le saviez-vous ?

L'explication la plus simple pour l'énergie sombre est la Constante CosmologiqueTerme introduit par Einstein dans ses équations de la relativité générale, représentant une densité d'énergie constante du vide. ($\Lambda$) introduite puis abandonnée par Einstein. Cependant, la valeur théorique attendue pour l'énergie du vide est incroyablement plus grande (environ $10^{120}$ fois !) que la valeur observée, un problème majeur connu sous le nom de "problème de la constante cosmologique".

FAQ

Questions fréquentes sur l'interprétation des résultats.

Outil Interactif : Modèle $\mu(z)$

Explorez comment les paramètres $\Omega_M$ (densité de matière) et $H_0$ influencent la relation théorique entre le module de distance $\mu$ et le redshift $z$. L'énergie sombre $\Omega_\Lambda$ est calculée en supposant un univers plat ($\Omega_\Lambda = 1 - \Omega_M$).

Paramètres Cosmologiques

Paramètre de densité de matière ($\Omega_M$) 0.30

Constante de Hubble ($H_0$) 70 km/s/Mpc

Paramètres Dérivés

Énergie Sombre ($\Omega_\Lambda = 1 - \Omega_M$) -

Paramètre Décélération ($q_0 = \Omega_M/2 - \Omega_\Lambda$) -

Glossaire

Constante Cosmologique ($\Lambda$): Terme ajouté par Einstein à la relativité générale, représentant une densité d'énergie intrinsèque du vide spatial, qui produit une force répulsive. C'est la forme la plus simple d'énergie sombre.
Constante de Hubble ($H_0$): Le taux actuel d'expansion de l'Univers. Elle relie la vitesse de récession d'une galaxie lointaine à sa distance ($v = H_0 d$). L'unité est typiquement le $\text{km/s/Mpc}$.
Décalage vers le rouge (Redshift, $z$): Mesure de l'étirement de la longueur d'onde de la lumière provenant d'objets lointains dû à l'expansion de l'Univers. $z = (\lambda_{\text{obs}} - \lambda_{\text{em}}) / \lambda_{\text{em}}$.
Distance de Luminosité ($d_L$): Une définition de la distance en cosmologie, basée sur la relation entre la luminosité intrinsèque d'un objet et le flux observé. Elle tient compte de l'expansion de l'Univers.
Énergie Sombre: Composante hypothétique de l'Univers qui possède une pression négative et cause l'accélération de l'expansion cosmique. Elle représente environ 70% de la densité d'énergie totale.
Module de Distance ($\mu$): Différence entre la magnitude apparente ($m$) et la magnitude absolue ($M$) d'un objet céleste : $\mu = m - M$. Il est lié à la distance de luminosité par $\mu = 5 \log_{10}(d_L / 10 \, \text{pc})$.
Paramètre de Densité ($\Omega_i$): Rapport entre la densité d'une composante $i$ (matière $\Omega_M$, énergie sombre $\Omega_\Lambda$, courbure $\Omega_k$) et la densité critique $\rho_c$ nécessaire pour que l'Univers soit plat. Pour un univers plat, $\Omega_M + \Omega_\Lambda = 1$.
Supernova de Type Ia (SN Ia): Type d'explosion stellaire résultant de l'explosion thermonucléaire d'une naine blanche dans un système binaire. Leur luminosité maximale est très standardisée, ce qui en fait d'excellentes "chandelles standards" pour mesurer les distances cosmologiques.

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur (Approximative)	Unité
Constante de Hubble	\(H_0\)	70	\(\text{km/s/Mpc}\)
Vitesse de la lumière	\(c\)	\(3 \times 10^5\)	\(\text{km/s}\)
Parsec	\(\text{pc}\)	\(3.086 \times 10^{13}\)	\(\text{km}\)
Mégaparsec	\(\text{Mpc}\)	\(10^6\)	\(\text{pc}\)

Calcul de l’Énergie Sombre

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Données Observées (Simplifiées)

Relation Luminosité-Distance

Questions à traiter

Les bases de la Cosmologie Observationnelle

Correction : Calcul de l'Énergie Sombre via les Supernovae Ia

Question 1 : Calcul de \(d_L\) approximatif pour SN 2 (\(z=0.4\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Schéma de la Loi de Hubble

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Position de SN 2 (Approximation Linéaire)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Relation \(\mu\)-\(d_L\) et calcul de \(d_L\) pour SN 2 (\(\mu=41.8\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Relation Logarithmique mu vs dL

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Distances pour SN 2 (z=0.4)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Influence de \(\Omega_\Lambda\) sur la relation \(d_L\)-\(z\)

Principe

Mini-Cours

Réflexions

Schéma (Conceptuel)

Distance de Luminosité vs Redshift (Impact de \(\Omega_\Lambda\))

Points à retenir

Le saviez-vous ?

Question 4 : Estimation de \(q_0\) et \(\Omega_\Lambda\) à partir de SN 5 (\(z=1.0, \mu=44.4\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Position de SN 5 sur le Diagramme de Hubble

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Ajustement du Modèle à SN 5

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 5 : Signification de \(q_0 < 0\) et \(\Omega_\Lambda \approx 0.7\)