Particule Confinée dans une Boîte à Puits Infini

Comprendre la Particule dans une Boîte

Le modèle de la "particule dans une boîte" (ou puits de potentiel infini) est l'un des problèmes les plus fondamentaux et les plus simples de la mécanique quantique. Il décrit une particule (par exemple, un électron) confinée dans une région de l'espace de longueur finie, avec des barrières de potentiel infinies à ses extrémités. À l'intérieur de la boîte, le potentiel est nul. Ce modèle, bien qu'idéalisé, permet d'illustrer des concepts clés de la physique quantique tels que la quantification de l'énergie, l'existence d'un état fondamental d'énergie non nulle, et la nature ondulatoire des particules décrite par des fonctions d'onde. Il a des applications pour comprendre le comportement des électrons dans les conducteurs, les boîtes quantiques (utilisées en optoélectronique et photonique), et d'autres systèmes confinés.

Données du Problème

On considère un électron confiné dans une boîte unidimensionnelle de longueur \(L\).

Longueur de la boîte (\(L\)) : \(0.50 \, \text{nm}\)
Masse de l'électron (\(m_e\)) : \(9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)

Constantes utiles :

Constante de Planck (\(h\)) : \(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
Constante de Planck réduite (\(\hbar = h/2\pi\)) : \(1.05457 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
Conversion d'énergie : \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)

Le potentiel \(V(x)\) est défini comme : \(V(x) = 0\) pour \(0 < x < L\), et \(V(x) = \infty\) pour \(x \le 0\) et \(x \ge L\).

Schéma : Puits de Potentiel Infini et Niveaux d'Énergie

Puits de potentiel infini unidimensionnel avec les premiers niveaux d'énergie et fonctions d'onde.

Questions à traiter

Écrire l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour la particule à l'intérieur de la boîte (\(0 < x < L\)).
Quelles sont les conditions aux limites pour la fonction d'onde \(\psi(x)\) aux bords de la boîte (en \(x=0\) et \(x=L\)) ? Justifiez.
En appliquant les conditions aux limites, dériver l'expression des fonctions d'onde normalisées \(\psi_n(x)\) pour la particule dans la boîte.
Dériver l'expression des niveaux d'énergie quantifiés (\(E_n\)) pour la particule dans la boîte.
Calculer l'énergie de l'état fondamental (\(n=1\)) de l'électron dans la boîte de longueur \(L = 0.50 \, \text{nm}\). Exprimer le résultat en Joules (J) puis en électronvolts (eV).
Calculer l'énergie des deux premiers états excités (\(n=2\) et \(n=3\)) en eV.
Calculer la longueur d'onde (\(\lambda_{\text{photon}}\)) d'un photon émis lorsque l'électron effectue une transition du niveau \(n=3\) au niveau \(n=2\). Dans quelle partie du spectre électromagnétique se situe cette longueur d'onde ?

Correction : Particule Confinée dans une Boîte à Puits Infini

Question 1 : Équation de Schrödinger indépendante du temps

Principe :

L'équation de Schrödinger indépendante du temps décrit les états stationnaires d'une particule quantique.

Formule :

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)

À l'intérieur de la boîte (\(0 < x < L\)), le potentiel \(V(x) = 0\). L'équation se simplifie donc en :

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)

Ou, réarrangée :

\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + \frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x) = 0

Résultat Question 1 : À l'intérieur de la boîte, l'équation de Schrödinger est \(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)\).

Question 2 : Conditions aux limites pour \(\psi(x)\)

Principe :

La fonction d'onde \(\psi(x)\) doit être continue. Puisque le potentiel est infini à l'extérieur de la boîte (\(x \le 0\) et \(x \ge L\)), la probabilité de trouver la particule à l'extérieur est nulle, donc \(\psi(x) = 0\) à l'extérieur. Par continuité, la fonction d'onde doit aussi être nulle aux bords de la boîte.

Conditions :

\(\psi(0) = 0\)
\(\psi(L) = 0\)

Résultat Question 2 : Les conditions aux limites sont \(\psi(0) = 0\) et \(\psi(L) = 0\).

Question 3 : Fonctions d'onde normalisées \(\psi_n(x)\)

Principe :

L'équation différentielle \( \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + k^2\psi(x) = 0 \) (avec \(k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}\)) a pour solution générale \(\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)\).

Dérivation :

Application de \(\psi(0) = 0\) :

A \sin(0) + B \cos(0) = 0 \Rightarrow A \cdot 0 + B \cdot 1 = 0 \Rightarrow B = 0

Donc, \(\psi(x) = A \sin(kx)\).

Application de \(\psi(L) = 0\) :

A \sin(kL) = 0

Puisque \(A \neq 0\) (sinon \(\psi(x)=0\) partout, ce qui n'est pas physique), on doit avoir \(\sin(kL) = 0\). Cela implique que \(kL = n\pi\), où \(n\) est un entier positif (\(n=1, 2, 3, \dots\)). (n=0 donnerait \(\psi(x)=0\), et les n négatifs ne donnent pas de solutions physiquement distinctes).

Donc, \(k = \frac{n\pi}{L}\), et \(\psi_n(x) = A \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\).

Condition de normalisation : \(\int_0^L |\psi_n(x)|^2 dx = 1\)

\int_0^L A^2 \sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = 1

A^2 \int_0^L \frac{1 - \cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right)}{2} dx = 1

A^2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{L}{4n\pi} \sin\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right]_0^L = 1

A^2 \left( \frac{L}{2} - 0 - (0 - 0) \right) = 1 \Rightarrow A^2 \frac{L}{2} = 1 \Rightarrow A = \sqrt{\frac{2}{L}}

Les fonctions d'onde normalisées sont donc :

\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \quad \text{pour } n=1, 2, 3, \dots

Résultat Question 3 : \(\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\) pour \(n=1, 2, 3, \dots\).

Question 4 : Niveaux d'énergie quantifiés (\(E_n\))

Principe :

De la relation \(k = \frac{n\pi}{L}\) et \(k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}\), on peut déduire l'expression de l'énergie \(E_n\).

Dérivation :

\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 = \frac{2mE_n}{\hbar^2} \Rightarrow \frac{n^2\pi^2}{L^2} = \frac{2mE_n}{\hbar^2}

E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}

En utilisant \(\hbar = h/2\pi\), on a \(\hbar^2 = h^2/(4\pi^2)\) :

E_n = \frac{n^2\pi^2 (h^2/4\pi^2)}{2mL^2} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}

Résultat Question 4 : Les niveaux d'énergie quantifiés sont \(E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}\) pour \(n=1, 2, 3, \dots\).

Question 5 : Énergie de l'état fondamental (\(n=1\))

Principe :

On applique la formule de \(E_n\) avec \(n=1\).

Données spécifiques :

\(n=1\)
\(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
\(m_e = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
\(L = 0.50 \, \text{nm} = 0.50 \times 10^{-9} \, \text{m} = 5.0 \times 10^{-10} \, \text{m}\)
\(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)

Calcul en Joules :

\begin{aligned} E_1 &= \frac{(1)^2 \times (6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s})^2}{8 \times (9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}) \times (5.0 \times 10^{-10} \, \text{m})^2} \\ &= \frac{4.39037 \times 10^{-67} \, \text{J}^2 \cdot \text{s}^2}{8 \times (9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}) \times (2.5 \times 10^{-19} \, \text{m}^2)} \\ &= \frac{4.39037 \times 10^{-67}}{1.8218 \times 10^{-48}} \, \text{J} \quad (\text{car } \text{J} = \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2) \\ &\approx 2.4099 \times 10^{-19} \, \text{J} \end{aligned}

Calcul en électronvolts :

E_1 (\text{eV}) \approx \frac{2.4099 \times 10^{-19} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \approx 1.504 \, \text{eV}

Résultat Question 5 : L'énergie de l'état fondamental est \(E_1 \approx 2.41 \times 10^{-19} \, \text{J} \approx 1.50 \, \text{eV}\).

Question 6 : Énergies des deux premiers états excités (\(n=2, n=3\))

Principe :

L'énergie des niveaux est \(E_n = n^2 E_1\).

Données spécifiques :

\(E_1 \approx 1.504 \, \text{eV}\)

Calculs :

Pour \(n=2\) :

E_2 = 2^2 \times E_1 = 4 \times E_1 \approx 4 \times 1.504 \, \text{eV} \approx 6.016 \, \text{eV}

Pour \(n=3\) :

E_3 = 3^2 \times E_1 = 9 \times E_1 \approx 9 \times 1.504 \, \text{eV} \approx 13.536 \, \text{eV}

Résultat Question 6 : \(E_2 \approx 6.02 \, \text{eV}\) et \(E_3 \approx 13.54 \, \text{eV}\).

Question 7 : Longueur d'onde du photon émis (\(n=3 \rightarrow n=2\))

Principe :

Lors d'une transition d'un niveau d'énergie supérieur \(E_i\) à un niveau inférieur \(E_f\), un photon est émis avec une énergie \(E_{\text{photon}} = E_i - E_f\). L'énergie du photon est aussi \(E_{\text{photon}} = hc/\lambda_{\text{photon}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

\Delta E = E_3 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_{\text{photon}}} \Rightarrow \lambda_{\text{photon}} = \frac{hc}{E_3 - E_2}

Données spécifiques :

\(E_3 \approx 13.536 \, \text{eV}\)
\(E_2 \approx 6.016 \, \text{eV}\)
\(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
\(c = 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
\(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)

Calcul :

Énergie de la transition en Joules :

\begin{aligned} \Delta E &= E_3 - E_2 \approx (13.536 - 6.016) \, \text{eV} \\ &= 7.520 \, \text{eV} \\ &\approx 7.520 \times (1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}) \\ &\approx 1.2047 \times 10^{-18} \, \text{J} \end{aligned}

Longueur d'onde du photon :

\begin{aligned} \lambda_{\text{photon}} &\approx \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \times (2.998 \times 10^8 \, \text{m/s})}{1.2047 \times 10^{-18} \, \text{J}} \\ &\approx \frac{1.9864748 \times 10^{-25}}{1.2047 \times 10^{-18}} \, \text{m} \\ &\approx 1.649 \times 10^{-7} \, \text{m} \end{aligned}

Conversion en nanomètres : \(1.649 \times 10^{-7} \, \text{m} = 164.9 \, \text{nm}\).

Cette longueur d'onde se situe dans le domaine de l'ultraviolet (UV).

Résultat Question 7 : La longueur d'onde du photon émis est \(\lambda_{\text{photon}} \approx 165 \, \text{nm}\), ce qui correspond au domaine ultraviolet.

Glossaire

Particule dans une Boîte (Puits de Potentiel Infini): Modèle quantique simple décrivant une particule confinée dans une région de l'espace par des barrières de potentiel infinies.
Équation de Schrödinger: Équation fondamentale de la mécanique quantique qui décrit comment l'état quantique d'un système physique change avec le temps (dépendante du temps) ou les états stationnaires (indépendante du temps).
Fonction d'Onde (\(\psi(x)\)): Fonction mathématique en mécanique quantique qui décrit l'état quantique d'une particule. Le carré de son module (\(|\psi(x)|^2\)) représente la densité de probabilité de trouver la particule en une position \(x\).
Conditions aux Limites: Contraintes imposées à la fonction d'onde aux frontières d'une région, basées sur la nature physique du potentiel.
Normalisation: Processus consistant à s'assurer que la probabilité totale de trouver la particule quelque part dans l'espace est égale à 1 (\(\int |\psi(x)|^2 dx = 1\)).
Quantification de l'Énergie: Phénomène quantique selon lequel une particule confinée ne peut posséder que certaines valeurs discrètes d'énergie, appelées niveaux d'énergie.
État Fondamental: Niveau d'énergie le plus bas possible pour un système quantique (correspondant à \(n=1\) pour la particule dans une boîte).
État Excité: Tout niveau d'énergie supérieur à l'état fondamental.
Nombre Quantique Principal (\(n\)): Nombre entier positif (\(n=1, 2, 3, \dots\)) qui indexe les niveaux d'énergie et les fonctions d'onde quantifiés.
Photon: Quantum de rayonnement électromagnétique, porteur d'une énergie \(E=h\nu\).
Transition Électronique: Passage d'un électron d'un niveau d'énergie à un autre, souvent accompagné de l'émission ou de l'absorption d'un photon.
Boîte Quantique (Quantum Dot): Nanocristal semi-conducteur dont les excitons sont confinés dans les trois dimensions spatiales. Leurs propriétés optiques et électroniques diffèrent de celles des matériaux massifs en raison des effets de confinement quantique, similaires à ceux de la particule dans une boîte.

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Questions à traiter

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Question 1 : Équation de Schrödinger indépendante du temps

Principe :

Formule :

Question 2 : Conditions aux limites pour \(\psi(x)\)

Principe :

Conditions :

Question 3 : Fonctions d'onde normalisées \(\psi_n(x)\)

Principe :

Dérivation :

Question 4 : Niveaux d'énergie quantifiés (\(E_n\))

Principe :

Dérivation :

Question 5 : Énergie de l'état fondamental (\(n=1\))

Principe :

Données spécifiques :

Calcul en Joules :

Question 6 : Énergies des deux premiers états excités (\(n=2, n=3\))

Principe :

Données spécifiques :

Calculs :

Question 7 : Longueur d'onde du photon émis (\(n=3 \rightarrow n=2\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Glossaire

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