ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de la masse d’un trou noir supermassif

Calcul de la Masse d’un Trou Noir Supermassif en Astrophysique

Calcul de la Masse d’un Trou Noir Supermassif

Comprendre les Trous Noirs Supermassifs et leur Masse

Les trous noirs supermassifs (TNSM) sont des objets astronomiques extrêmement denses, avec des masses allant de millions à des milliards de fois la masse de notre Soleil. Ils résident typiquement au centre des galaxies, y compris la nôtre, la Voie Lactée (avec Sagittarius A*). Bien qu'invisibles directement, leur présence et leur masse peuvent être déduites en observant l'effet gravitationnel qu'ils exercent sur les étoiles ou les nuages de gaz orbitant à proximité. En appliquant la troisième loi de Kepler (dans sa forme généralisée par Newton), on peut relier la période orbitale et le demi-grand axe de l'orbite d'un corps test à la masse de l'objet central massif.

Données de l'étude : Étoile S2 orbitant Sagittarius A*

L'étoile S2 est l'une des étoiles les plus proches du trou noir supermassif Sagittarius A* (Sgr A*) au centre de notre galaxie. Ses paramètres orbitaux ont été mesurés avec précision :

  • Période orbitale de S2 (\(T\)) : \(16.05 \, \text{années terrestres}\)
  • Demi-grand axe de l'orbite de S2 (\(a\)) : \(970 \, \text{Unités Astronomiques (UA)}\)

On supposera que la masse de l'étoile S2 est négligeable par rapport à celle de Sgr A*.

Constantes et informations :

  • Constante gravitationnelle universelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\) (ou \(\text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\))
  • Masse du Soleil (\(M_{\text{Soleil}}\)) : \(1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • Unité Astronomique (\(1 \, \text{UA}\)) : \(1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\)
  • Conversion : \(1 \, \text{année terrestre} \approx 3.1557 \times 10^7 \, \text{s}\) (année sidérale moyenne)
Schéma : Étoile en Orbite autour d'un Trou Noir Supermassif
Sgr A* S2 a Étoile S2 orbitant le trou noir Sgr A*.

L'étoile S2 suit une orbite elliptique autour du trou noir supermassif au centre de la galaxie.

Questions à traiter

  1. Convertir la période orbitale (\(T\)) de l'étoile S2 en secondes (s).
  2. Convertir le demi-grand axe (\(a\)) de l'orbite de S2 en mètres (m).
  3. En utilisant la troisième loi de Kepler généralisée par Newton, et en négligeant la masse de l'étoile S2 par rapport à celle du trou noir Sgr A* (\(M_{\text{SgrA*}}\)), écrire la formule permettant de calculer \(M_{\text{SgrA*}}\).
  4. Calculer la masse de Sgr A* (\(M_{\text{SgrA*}}\)) en kilogrammes (kg).
  5. Exprimer la masse de Sgr A* en masses solaires (\(M_{\text{Soleil}}\)).

Correction : Calcul de la Masse d’un Trou Noir Supermassif

Question 1 : Conversion de la période orbitale (\(T\)) en secondes

Principe :

La période est donnée en années terrestres et doit être convertie en secondes pour être utilisée avec la constante gravitationnelle \(G\) en unités SI.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T(\text{s}) = T(\text{années}) \times \text{secondes par année} \]
Données spécifiques :
  • \(T = 16.05 \, \text{années}\)
  • \(1 \, \text{année} \approx 3.1557 \times 10^7 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T(\text{s}) &= 16.05 \times (3.1557 \times 10^7 \, \text{s}) \\ &\approx 50.649 \times 10^7 \, \text{s} \\ &\approx 5.065 \times 10^8 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La période orbitale de S2 est \(T \approx 5.065 \times 10^8 \, \text{s}\).

Question 2 : Conversion du demi-grand axe (\(a\)) en mètres

Principe :

Le demi-grand axe est donné en Unités Astronomiques (UA) et doit être converti en mètres.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ a(\text{m}) = a(\text{UA}) \times \text{valeur de 1 UA en m} \]
Données spécifiques :
  • \(a = 970 \, \text{UA}\)
  • \(1 \, \text{UA} = 1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a(\text{m}) &= 970 \times (1.496 \times 10^{11} \, \text{m}) \\ &= 1451.12 \times 10^{11} \, \text{m} \\ &\approx 1.451 \times 10^{14} \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le demi-grand axe de l'orbite de S2 est \(a \approx 1.451 \times 10^{14} \, \text{m}\).

Question 3 : Formule de la masse de l'objet central (Troisième loi de Kepler)

Principe :

La troisième loi de Kepler, généralisée par Newton, est \(T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_1 + M_2)} a^3\). Si la masse de l'objet en orbite (\(M_2\), ici l'étoile S2) est négligeable par rapport à la masse de l'objet central (\(M_1\), ici Sgr A*), alors \(M_1 + M_2 \approx M_1\). On peut alors réarranger la formule pour isoler \(M_1 = M_{\text{SgrA*}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_{\text{SgrA*}}} a^3 \Rightarrow M_{\text{SgrA*}} = \frac{4\pi^2 a^3}{GT^2} \]
Résultat Question 3 : La formule pour calculer la masse de Sgr A* est \(M_{\text{SgrA*}} = \frac{4\pi^2 a^3}{GT^2}\).

Question 4 : Calcul de la masse de Sgr A* (\(M_{\text{SgrA*}}\)) en kg

Principe :

On utilise la formule dérivée à la question 3 avec les valeurs numériques converties.

Données spécifiques :
  • \(a \approx 1.45112 \times 10^{14} \, \text{m}\) (valeur plus précise)
  • \(T \approx 5.0649 \times 10^8 \, \text{s}\) (valeur plus précise)
  • \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :

Calcul de \(a^3\):

\[ a^3 \approx (1.45112 \times 10^{14} \, \text{m})^3 \approx 3.0558 \times 10^{42} \, \text{m}^3 \]

Calcul de \(T^2\):

\[ T^2 \approx (5.0649 \times 10^8 \, \text{s})^2 \approx 25.653 \times 10^{16} \, \text{s}^2 \approx 2.5653 \times 10^{17} \, \text{s}^2 \]

Calcul de \(4\pi^2\):

\[ 4\pi^2 \approx 4 \times (3.14159)^2 \approx 4 \times 9.8696 \approx 39.4784 \]

Calcul de \(M_{\text{SgrA*}}\):

\[ \begin{aligned} M_{\text{SgrA*}} &= \frac{(39.4784) \times (3.0558 \times 10^{42} \, \text{m}^3)}{(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}) \times (2.5653 \times 10^{17} \, \text{s}^2)} \\ &= \frac{120.63 \times 10^{42}}{17.120 \times 10^6} \, \text{kg} \\ &\approx \frac{1.2063 \times 10^{44}}{1.7120 \times 10^7} \, \text{kg} \\ &\approx 0.7046 \times 10^{37} \, \text{kg} \\ &\approx 7.046 \times 10^{36} \, \text{kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La masse de Sgr A* est \(M_{\text{SgrA*}} \approx 7.05 \times 10^{36} \, \text{kg}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la période orbitale d'une étoile autour d'un trou noir était plus courte (pour un même demi-grand axe), cela indiquerait que la masse du trou noir est :

Question 5 : Masse de Sgr A* en masses solaires

Principe :

On divise la masse de Sgr A* en kg par la masse du Soleil en kg.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M_{\text{SgrA*}} (M_{\text{Soleil}}) = \frac{M_{\text{SgrA*}} (\text{kg})}{M_{\text{Soleil}} (\text{kg})} \]
Données spécifiques :
  • \(M_{\text{SgrA*}} \approx 7.046 \times 10^{36} \, \text{kg}\)
  • \(M_{\text{Soleil}} = 1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{SgrA*}} (M_{\text{Soleil}}) &= \frac{7.046 \times 10^{36} \, \text{kg}}{1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}} \\ &\approx 3.5425 \times 10^6 \, M_{\text{Soleil}} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La masse de Sgr A* est d'environ \(3.54 \times 10^6\) masses solaires (soit environ 3.54 millions de fois la masse du Soleil).

Quiz Intermédiaire 2 : Un trou noir supermassif se trouve typiquement :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La troisième loi de Kepler stipule que le carré de la période orbitale est proportionnel :

2. La masse d'un trou noir supermassif est typiquement de l'ordre de :

3. Si une étoile orbite plus rapidement autour d'un objet central (pour un même demi-grand axe), cela signifie que l'objet central est :

Glossaire

Trou Noir Supermassif (TNSM)
Le plus grand type de trou noir, de l'ordre de centaines de milliers à des milliards de masses solaires. On pense qu'ils se trouvent au centre de la plupart des grandes galaxies.
Loi de Kepler (Troisième)
Le carré de la période orbitale d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite. La forme généralisée par Newton inclut la masse de l'objet central : \(T^2 = (4\pi^2 / GM) a^3\).
Période Orbitale (\(T\))
Temps nécessaire à un corps céleste pour effectuer une orbite complète autour d'un autre corps.
Demi-grand Axe (\(a\))
La moitié du plus grand diamètre d'une ellipse, représentant la taille moyenne de l'orbite.
Constante Gravitationnelle (\(G\))
Constante physique fondamentale qui détermine l'intensité de l'attraction gravitationnelle entre les masses.
Masse Solaire (\(M_{\text{Soleil}}\) ou \(M_{\odot}\))
Unité de masse standard en astronomie, égale à la masse de notre Soleil.
Unité Astronomique (UA)
Unité de distance approximativement égale à la distance moyenne entre la Terre et le Soleil.
Sagittarius A* (Sgr A*)
Source radio astronomique brillante et très compacte au centre de la Voie lactée, considérée comme l'emplacement d'un trou noir supermassif.
Calcul de la Masse d’un Trou Noir Supermassif - Exercice d'Application

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