Calcul de la masse d’un trou noir supermassif
Comprendre le Calcul de la masse d’un trou noir supermassif
Au cœur de certaines galaxies se trouvent des trous noirs supermassifs. La mesure de la vitesse orbitale d’étoiles proches de ces trous noirs permet de déduire leur masse par la relation de la dynamique orbitale.
Données :
- L’étoile orbite à une distance :
\(r = 1000\,\text{UA}\)
(1 Unité Astronomique \( = 1,496 \times 10^{11}\,\text{m}\)) - Vitesse orbitale mesurée de l’étoile :
\(v = 5000\,\text{km/s}\)
(1 km/s = \(10^3\,\text{m/s}\)) - La constante gravitationnelle :
\(G = 6,67 \times 10^{-11}\,\text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}\)
On utilise la relation de la dynamique circulaire :
\[ v^2 = \frac{G\,M}{r} \] ou de manière équivalente \[ M = \frac{v^2\,r}{G} \]
1. Convertir la distance \( r \) en mètres et la vitesse \( v \) en m/s.
2. Utiliser la relation \( M = \frac{v^2\,r}{G} \) pour déterminer la masse \( M \) du trou noir.
3. Donner la valeur numérique de \( M \) en kilogrammes.
Correction : Calcul de la masse d’un trou noir supermassif
Étape 1 : Conversion de la distance \( r \)
La distance est donnée en unités astronomiques (UA). Il faut convertir 1 UA en mètres.
Formule :
\[ r = 1000 \times 1\,\text{UA} \] où \[ 1\,\text{UA} = 1,496 \times 10^{11}\,\text{m} \]
Données :
- \(1000\,\text{UA}\)
- \(1\,\text{UA} = 1,496 \times 10^{11}\,\text{m}\)
Calcul :
\[ r = 1000 \times 1,496 \times 10^{11}\,\text{m} \] \[ r = 1,496 \times 10^{14}\,\text{m} \]
Étape 2 : Conversion de la vitesse \( v \)
La vitesse est fournie en km/s. La conversion en m/s se fait en multipliant par \(10^3\).
Formule :
\[ v = 5000\,\text{km/s} \times 10^3\,\text{m/km} \]
Données :
- \(5000\,\text{km/s}\)
- \(1\,\text{km/s} = 10^3\,\text{m/s}\)
Calcul :
\[ v = 5000 \times 10^3\,\text{m/s} \] \[ v = 5,0 \times 10^6\,\text{m/s} \]
Étape 3 : Calcul de \( v^2 \)
Il est nécessaire de calculer \( v^2 \) pour l’utilisation dans la formule de la masse.
\[ v^2 = \left(5,0 \times 10^6\,\text{m/s}\right)^2 \]
Données :
- \( v = 5,0 \times 10^6\,\text{m/s} \)
Calcul :
\[ v^2 = 25,0 \times 10^{12}\,\text{m}^2/\text{s}^2 \] \[ v^2 = 2,5 \times 10^{13}\,\text{m}^2/\text{s}^2 \]
Étape 4 : Calcul du numérateur \( v^2 \times r \)
On multiplie \( v^2 \) par \( r \) pour constituer le numérateur de la formule de la masse.
\[ v^2 \times r \]
Données :
- \( v^2 = 2,5 \times 10^{13}\,\text{m}^2/\text{s}^2 \)
- \( r = 1,496 \times 10^{14}\,\text{m} \)
Calcul :
\[ v^2 \times r = 2,5 \times 10^{13}\,\text{m}^2/\text{s}^2 \times 1,496 \times 10^{14}\,\text{m} \] \[ = 3,74 \times 10^{27}\,\text{m}^3/\text{s}^2 \]
Étape 5 : Calcul de la masse \( M \)
En utilisant la relation de la dynamique orbitale, la masse \( M \) se calcule par le rapport du numérateur précédent sur la constante gravitationnelle \( G \).
Formule :
\[ M = \frac{v^2 \times r}{G} \]
Données :
- Numérateur : \( 3,74 \times 10^{27}\,\text{m}^3/\text{s}^2 \)
- \( G = 6,67 \times 10^{-11}\,\text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2} \)
Calcul :
\[ M = \frac{3,74 \times 10^{27}}{6,67 \times 10^{-11}} \] \[ M = \frac{3,74}{6,67} \times 10^{27 – (-11)}\,\text{kg} \] \[ M \approx 0,561 \times 10^{38}\,\text{kg} \] \[ M = 5,61 \times 10^{37}\,\text{kg} \]
Conclusion :
La masse du trou noir supermassif déduite à partir du mouvement de l’étoile est de \( 5,61 \times 10^{37}\,\text{kg} \).
Calcul de la masse d’un trou noir supermassif
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