Interférences Constructives et Destructives

Comprendre les Interférences par les Fentes d'Young

L'expérience des fentes d'Young, réalisée par Thomas Young au début du XIXe siècle, est une démonstration fondamentale de la nature ondulatoire de la lumière. Elle met en évidence le phénomène d'interférence, qui se produit lorsque deux (ou plusieurs) ondes se superposent. Lorsque la lumière issue d'une source unique passe à travers deux fentes très fines et rapprochées, chaque fente agit comme une source secondaire d'ondes. Sur un écran placé à une certaine distance, ces ondes se rencontrent et interfèrent :

Interférence constructive : Lorsque les crêtes (ou les creux) des ondes coïncident, leurs amplitudes s'additionnent, créant des zones de forte intensité lumineuse appelées franges brillantes (maxima d'intensité).
Interférence destructive : Lorsque la crête d'une onde coïncide avec le creux d'une autre, leurs amplitudes s'annulent (ou se réduisent fortement), créant des zones de faible intensité lumineuse appelées franges sombres (minima d'intensité).

La position de ces franges dépend de la longueur d'onde de la lumière ($\lambda$), de la distance entre les fentes ($d$), et de la distance entre les fentes et l'écran ($D$).

Données de l'étude

On réalise une expérience d'interférences lumineuses avec le dispositif des fentes d'Young. Une lumière monochromatique éclaire deux fentes parallèles $S_1$ et $S_2$, très fines et séparées par une petite distance. Les interférences sont observées sur un écran placé à une grande distance des fentes.

Caractéristiques du dispositif et de la lumière :

Longueur d'onde de la lumière monochromatique ($\lambda$) : $500 \, \text{nm}$ (nanomètres)
Distance entre les centres des deux fentes ($d$) : $0.1 \, \text{mm}$ (millimètres)
Distance entre le plan des fentes et l'écran d'observation ($D$) : $2.0 \, \text{m}$ (mètres)

Hypothèses : On supposera que les angles sont suffisamment petits pour utiliser les approximations usuelles ($\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$, où $\theta$ est en radians). La lumière incidente est cohérente.

Schéma du Dispositif des Fentes d'Young

Schéma du dispositif des fentes d'Young montrant les fentes $S_1, S_2$, l'écran, et les paramètres clés.

Questions à traiter

Exprimer la différence de marche $\delta$ entre les deux ondes issues de $S_1$ et $S_2$ qui arrivent en un point $P$ de l'écran, situé à une distance $y$ de l'axe optique central. Utiliser l'approximation des petits angles.
Donner la condition sur $\delta$ pour observer une interférence constructive (frange brillante) au point $P$. En déduire la formule donnant la position $y_{\text{m}}$ de la $m$-ième frange brillante (où $m$ est un entier, appelé ordre d'interférence).
Calculer la position de la frange brillante centrale ($m=0$) et de la première frange brillante ($m=1$) par rapport au centre de l'écran.
Donner la condition sur $\delta$ pour observer une interférence destructive (frange sombre) au point $P$. En déduire la formule donnant la position $y'_{\text{m}}$ de la $m$-ième frange sombre.
Calculer la position de la première frange sombre ($m=0$) la plus proche du centre.
Définir et calculer l'interfrange $i$ (distance entre deux franges brillantes consécutives ou deux franges sombres consécutives).
Comment l'interfrange $i$ est-elle modifiée si :
a) La longueur d'onde $\lambda$ de la lumière est augmentée ?
b) La distance $d$ entre les fentes est augmentée ?
c) La distance $D$ à l'écran est augmentée ?

Correction : Interférences par les Fentes d'Young

Question 1 : Différence de Marche ($\delta$)

Principe :

La différence de marche $\delta$ est la différence des distances parcourues par les ondes lumineuses issues des fentes $S_1$ et $S_2$ pour atteindre un même point $P$ sur l'écran. C'est cette différence qui détermine si les ondes arrivent en phase (constructive) ou en opposition de phase (destructive) au point $P$.

Dans l'approximation où la distance à l'écran $D$ est très grande devant la séparation des fentes $d$ et la position $y$ du point $P$ (petits angles), la différence de marche est donnée par $\delta = S_2P - S_1P \approx d \sin\theta$. Avec $\sin\theta \approx \tan\theta = y/D$, on obtient une expression simplifiée.

Formule(s) dérivée(s) :

\delta \approx d \sin\theta\] \[\text{Pour des petits angles, } \sin\theta \approx \tan\theta = \frac{y}{D}\] \[\text{Donc, } \delta \approx \frac{d \cdot y}{D}

Résultat Question 1 : La différence de marche est $\delta \approx \frac{d \cdot y}{D}$.

Question 2 : Condition d'Interférence Constructive et Position des Franges Brillantes ($y_{\text{m}}$)

Principe :

Une interférence constructive se produit lorsque la différence de marche $\delta$ est un multiple entier de la longueur d'onde $\lambda$. Cela signifie que les ondes arrivent en phase au point $P$.

Formule(s) utilisée(s) :

\text{Condition pour interférence constructive: } \delta = m \lambda \quad (m \in \mathbb{Z})\] \[\text{En utilisant } \delta \approx \frac{d \cdot y}{D} \text{, on a: } \frac{d \cdot y_{\text{m}}}{D} = m \lambda\] \[y_{\text{m}} = \frac{m \lambda D}{d}

Où $y_{\text{m}}$ est la position de la $m$-ième frange brillante par rapport au centre de l'écran, et $m$ est l'ordre d'interférence ($m=0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Résultat Question 2 : La condition pour une interférence constructive est $\delta = m\lambda$, et la position des franges brillantes est $y_{\text{m}} = \frac{m \lambda D}{d}$.

Question 3 : Positions de la Frange Centrale ($m=0$) et de la Première Frange Brillante ($m=1$)

Principe :

On utilise la formule $y_{\text{m}} = \frac{m \lambda D}{d}$ avec les valeurs de $m$ correspondantes et les données de l'énoncé.

Données spécifiques :

$\lambda = 500 \, \text{nm} = 500 \times 10^{-9} \, \text{m}$
$d = 0.1 \, \text{mm} = 0.1 \times 10^{-3} \, \text{m}$
$D = 2.0 \, \text{m}$

Calcul :

Pour la frange brillante centrale ($m=0$) :

y_{0} = \frac{0 \cdot \lambda D}{d} = 0 \, \text{m}

La frange centrale est située à l'origine $y=0$, sur l'axe optique.

Pour la première frange brillante ($m=1$) :

\begin{aligned} y_{1} &= \frac{1 \cdot (500 \times 10^{-9} \, \text{m}) \cdot (2.0 \, \text{m})}{0.1 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= \frac{1000 \times 10^{-9} \, \text{m}^2}{0.1 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= \frac{10^{-6}}{10^{-4}} \, \text{m} \\ &= 10^{-2} \, \text{m} = 1.0 \, \text{cm} \end{aligned}

Résultat Question 3 :
- Position de la frange brillante centrale ($m=0$) : $y_{0} = 0 \, \text{cm}$.
- Position de la première frange brillante ($m=1$) : $y_{1} = 1.0 \, \text{cm}$.

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'ordre d'interférence $m$ augmente, la distance $y_{\text{m}}$ de la frange brillante à l'axe central :

Diminue.
Augmente.
Reste la même.
Dépend uniquement de $\lambda$.

Question 4 : Condition d'Interférence Destructive et Position des Franges Sombres ($y'_{\text{m}}$)

Principe :

Une interférence destructive se produit lorsque la différence de marche $\delta$ est un multiple demi-entier impair de la longueur d'onde $\lambda$. Cela signifie que les ondes arrivent en opposition de phase au point $P$.

Formule(s) utilisée(s) :

\text{Condition pour interférence destructive: } \delta = (m + \frac{1}{2}) \lambda \quad (m \in \mathbb{Z})\] \[\text{En utilisant } \delta \approx \frac{d \cdot y}{D} \text{, on a: } \frac{d \cdot y'_{\text{m}}}{D} = (m + \frac{1}{2}) \lambda\] \[y'_{\text{m}} = \frac{(m + \frac{1}{2}) \lambda D}{d}

Où $y'_{\text{m}}$ est la position de la $m$-ième frange sombre par rapport au centre de l'écran ($m=0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Résultat Question 4 : La condition pour une interférence destructive est $\delta = (m + 1/2)\lambda$, et la position des franges sombres est $y'_{\text{m}} = \frac{(m + 1/2) \lambda D}{d}$.

Question 5 : Position de la Première Frange Sombre ($m=0$)

Principe :

On utilise la formule $y'_{\text{m}} = \frac{(m + 1/2) \lambda D}{d}$ avec $m=0$ pour la première frange sombre la plus proche du centre.

Données spécifiques :

$\lambda = 500 \times 10^{-9} \, \text{m}$
$d = 0.1 \times 10^{-3} \, \text{m}$
$D = 2.0 \, \text{m}$

Calcul :

Pour la première frange sombre ($m=0$) :

\begin{aligned} y'_{0} &= \frac{(0 + \frac{1}{2}) \lambda D}{d} \\ &= \frac{1}{2} \frac{\lambda D}{d} \\ &= \frac{1}{2} \frac{(500 \times 10^{-9} \, \text{m}) \cdot (2.0 \, \text{m})}{0.1 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= \frac{1}{2} \times (1.0 \times 10^{-2} \, \text{m}) \\ &= 0.5 \times 10^{-2} \, \text{m} = 0.5 \, \text{cm} \end{aligned}

Les premières franges sombres sont donc à $y = \pm 0.5 \, \text{cm}$ du centre.

Résultat Question 5 : Position de la première frange sombre ($m=0$) : $y'_{0} = \pm 0.5 \, \text{cm}$.

Question 6 : Interfrange ($i$)

Principe :

L'interfrange $i$ est la distance entre les centres de deux franges brillantes consécutives (ou deux franges sombres consécutives). Elle caractérise l'espacement du motif d'interférence.

Formule(s) utilisée(s) :

\begin{aligned} i &= y_{\text{m}+1} - y_{\text{m}} \quad \text{(pour les franges brillantes)} \\ &= \frac{(m+1)\lambda D}{d} - \frac{m\lambda D}{d} \\ &= \frac{\lambda D}{d} \end{aligned}

Alternativement, pour les franges sombres : $i = y'_{\text{m}+1} - y'_{\text{m}} = \frac{((m+1) + 1/2)\lambda D}{d} - \frac{(m + 1/2)\lambda D}{d} = \frac{\lambda D}{d}$.

Données spécifiques :

$\lambda = 500 \times 10^{-9} \, \text{m}$
$d = 0.1 \times 10^{-3} \, \text{m}$
$D = 2.0 \, \text{m}$

Calcul :

\begin{aligned} i &= \frac{(500 \times 10^{-9} \, \text{m}) \cdot (2.0 \, \text{m})}{0.1 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= \frac{1000 \times 10^{-9}}{0.1 \times 10^{-3}} \, \text{m} \\ &= 10^{-2} \, \text{m} = 1.0 \, \text{cm} \end{aligned}

Résultat Question 6 : L'interfrange est $i = 1.0 \, \text{cm}$.

Quiz Intermédiaire 2 : L'interfrange $i$ est la distance entre :

Une frange brillante et la frange sombre adjacente.
La frange centrale et la première frange brillante.
Deux franges brillantes consécutives.
La première et la dernière frange visible.

Question 7 : Influence des Paramètres sur l'Interfrange ($i$)

Principe :

L'interfrange est donnée par la formule $i = \frac{\lambda D}{d}$. Nous analysons comment $i$ varie en fonction de $\lambda$, $d$, et $D$.

Analyse :

a) Si la longueur d'onde $\lambda$ augmente :

Comme $i$ est directement proportionnelle à $\lambda$ (avec $D$ et $d$ constants), si $\lambda$ augmente, l'interfrange $i$ augmente. Les franges s'écartent.

b) Si la distance $d$ entre les fentes augmente :

Comme $i$ est inversement proportionnelle à $d$ (avec $\lambda$ et $D$ constants), si $d$ augmente, l'interfrange $i$ diminue. Les franges se resserrent.

c) Si la distance $D$ à l'écran augmente :

Comme $i$ est directement proportionnelle à $D$ (avec $\lambda$ et $d$ constants), si $D$ augmente, l'interfrange $i$ augmente. Les franges s'écartent.

Résultat Question 7 :
a) Si $\lambda \uparrow \Rightarrow i \uparrow$ (les franges s'écartent).
b) Si $d \uparrow \Rightarrow i \downarrow$ (les franges se resserrent).
c) Si $D \uparrow \Rightarrow i \uparrow$ (les franges s'écartent).

Glossaire

Interférence: Phénomène résultant de la superposition de deux ou plusieurs ondes (lumineuses, sonores, etc.). L'amplitude de l'onde résultante peut être augmentée (interférence constructive) ou diminuée (interférence destructive) selon la phase relative des ondes.
Fentes d'Young: Dispositif expérimental comportant deux fentes fines et parallèles, utilisées pour démontrer l'interférence et la nature ondulatoire de la lumière.
Lumière monochromatique: Lumière composée d'une seule longueur d'onde (ou d'une bande très étroite de longueurs d'onde).
Longueur d'onde ($\lambda$): Distance spatiale sur laquelle la forme d'une onde se répète. Caractéristique de la couleur pour la lumière visible.
Différence de marche ($\delta$): Différence des distances parcourues par deux ondes issues de sources distinctes (ou de points distincts d'une même source étendue) jusqu'à un point d'observation commun.
Interférence constructive: Se produit lorsque les ondes se superposent en phase (crête avec crête), résultant en une amplitude maximale. Pour les fentes d'Young, $\delta = m\lambda$.
Interférence destructive: Se produit lorsque les ondes se superposent en opposition de phase (crête avec creux), résultant en une amplitude minimale (voire nulle). Pour les fentes d'Young, $\delta = (m + 1/2)\lambda$.
Franges d'interférence: Série de bandes claires (brillantes) et sombres observées sur un écran dans une expérience d'interférence, résultant des interférences constructives et destructives.
Interfrange ($i$): Distance entre les centres de deux franges brillantes consécutives (ou deux franges sombres consécutives). $i = \lambda D / d$.
Cohérence (lumineuse): Propriété d'une source lumineuse dont les ondes émises maintiennent une relation de phase constante dans le temps et dans l'espace, nécessaire pour observer des interférences stables.

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Données de l'étude

Schéma du Dispositif des Fentes d'Young

Questions à traiter

Correction : Interférences par les Fentes d'Young

Question 1 : Différence de Marche (\(\delta\))

Principe :

Formule(s) dérivée(s) :

Question 2 : Condition d'Interférence Constructive et Position des Franges Brillantes (\(y_{\text{m}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Question 3 : Positions de la Frange Centrale (\(m=0\)) et de la Première Frange Brillante (\(m=1\))

Principe :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 4 : Condition d'Interférence Destructive et Position des Franges Sombres (\(y'_{\text{m}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Question 5 : Position de la Première Frange Sombre (\(m=0\))

Principe :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 6 : Interfrange (\(i\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 7 : Influence des Paramètres sur l'Interfrange (\(i\))

Principe :

Analyse :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Glossaire

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