Calcul de la Dilatation du Temps pour un Voyageur Interstellaire
Comprendre la Dilatation du Temps en Relativité Restreinte
La théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein a bouleversé notre compréhension de l'espace et du temps. L'un de ses résultats les plus fascinants est la dilatation du temps : le temps ne s'écoule pas au même rythme pour tous les observateurs. Plus précisément, une horloge en mouvement par rapport à un observateur semblera fonctionner plus lentement que l'horloge de cet observateur.
Ce phénomène devient significatif uniquement à des vitesses approchant celle de la lumière (\(c\)). Il est quantifié par le facteur de Lorentz (\(\gamma\)). Si un intervalle de temps \(\Delta t_0\) est mesuré dans le référentiel en mouvement (le "temps propre"), un observateur dans un référentiel fixe mesurera un intervalle de temps plus long, \(\Delta t\), donné par la relation \(\Delta t = \gamma \Delta t_0\). Comme \(\gamma \ge 1\), on a toujours \(\Delta t \ge \Delta t_0\). Le temps s'écoule donc plus lentement pour le voyageur.
Données de l'étude
- Distance Terre - Proxima Centauri (mesurée depuis la Terre) : \(D = 4.24\) années-lumière.
- Vitesse du vaisseau spatial (constante) : \(v = 0.8c\) (soit 80% de la vitesse de la lumière).
- Vitesse de la lumière : \(c \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\). Une année-lumière (a.l.) est la distance parcourue par la lumière en une année.
Schéma : Voyage Interstellaire
Un voyageur quitte la Terre pour une étoile lointaine à une vitesse relativiste.
Questions à traiter
- Calculer la valeur du facteur de Lorentz (\(\gamma\)) pour le vaisseau spatial.
- Calculer la durée du voyage \(\Delta t\) mesurée par un observateur sur Terre.
- Calculer la durée du voyage \(\Delta t_0\) vécue par l'astronaute à bord du vaisseau.
- Si l'astronaute faisait un voyage aller-retour dans les mêmes conditions, quelle serait la différence d'âge entre l'astronaute et son jumeau resté sur Terre à son retour ?
Correction : Dilatation du Temps en Relativité
Question 1 : Calcul du Facteur de Lorentz (\(\gamma\))
Principe :
Le facteur de Lorentz est un nombre sans dimension qui caractérise l'intensité des effets relativistes. Il dépend uniquement de la vitesse \(v\) de l'objet par rapport à la vitesse de la lumière \(c\).
Formule :
Données spécifiques :
- Vitesse du vaisseau \(v = 0.8c\)
Calcul :
Question 2 : Durée du Voyage Mesurée sur Terre (\(\Delta t\))
Principe :
Pour un observateur sur Terre, le temps de parcours est simplement la distance à parcourir divisée par la vitesse du vaisseau. Comme la distance est donnée en années-lumière et la vitesse en fraction de \(c\), le calcul est direct.
Formule :
Données spécifiques :
- \(D = 4.24\) a.l.
- \(v = 0.8c\)
Calcul :
Question 3 : Durée du Voyage Vécue par l'Astronaute (\(\Delta t_0\))
Principe :
La durée vécue par l'astronaute, \(\Delta t_0\), est le temps propre. Elle est liée à la durée mesurée sur Terre, \(\Delta t\), par la formule de la dilatation du temps : \(\Delta t = \gamma \Delta t_0\). On doit donc isoler \(\Delta t_0\).
Formule :
Données spécifiques :
- \(\Delta t = 5.3\) ans
- \(\gamma \approx 1.667\)
Calcul :
Le temps s'est donc écoulé beaucoup plus lentement pour l'astronaute en mouvement.
Quiz Intermédiaire 1 : Si la vitesse du vaisseau augmente et se rapproche de \(c\), le facteur de Lorentz \(\gamma\) :
Question 4 : Différence d'Âge après un Aller-Retour
Principe :
Pour un voyage aller-retour, la durée totale pour chaque observateur est simplement le double de la durée d'un aller simple. La différence d'âge est la différence entre ces deux durées totales.
Calcul :
Durée totale du voyage pour le jumeau sur Terre :
Durée totale du voyage pour l'astronaute :
Différence d'âge :
Au retour de son voyage, l'astronaute sera plus jeune de 4.24 ans que son jumeau resté sur Terre.
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. La dilatation du temps signifie que, pour un observateur externe, une horloge en mouvement rapide...
2. Le temps propre (\(\Delta t_0\)) est le temps mesuré...
3. Le "paradoxe" des jumeaux n'est pas un vrai paradoxe car...
Glossaire
- Relativité Restreinte
- Théorie développée par Albert Einstein qui décrit la physique du mouvement en l'absence de gravité. Elle repose sur deux postulats : les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels, et la vitesse de la lumière dans le vide est la même pour tous les observateurs, quelle que soit leur vitesse.
- Dilatation du Temps
- Phénomène prédit par la relativité restreinte où le temps mesuré entre deux événements par un observateur en mouvement est plus long que le temps mesuré par un observateur pour qui les événements se produisent au même endroit.
- Temps Propre (\(\Delta t_0\))
- Intervalle de temps entre deux événements mesuré par une horloge située au même endroit que les événements. C'est la durée la plus courte qui puisse être mesurée pour cet intervalle.
- Facteur de Lorentz (\(\gamma\))
- Facteur par lequel le temps, la longueur et la masse relativiste changent pour un objet en mouvement. Il est toujours supérieur ou égal à 1 et augmente avec la vitesse.
- Référentiel Inertiel
- Système de coordonnées dans lequel un corps non soumis à des forces extérieures est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. La relativité restreinte s'applique dans ces référentiels.
- Année-Lumière (a.l.)
- Unité de distance utilisée en astronomie, correspondant à la distance que la lumière parcourt dans le vide en une année julienne (environ 9 461 milliards de kilomètres).
D’autres exercices de Rélativité:
0 commentaires