ÉTUDE DE PHYSIQUE

Analyse d’un Cycle de Brayton pour Turbine à Gaz

Analyse d'un Cycle de Brayton pour une Turbine à Gaz

Analyse d'un Cycle de Brayton pour Turbine à Gaz

Comprendre le Cycle de Brayton

Le cycle de Brayton est le cycle thermodynamique qui modélise le fonctionnement de la plupart des turbines à gaz, utilisées dans les centrales électriques et la propulsion des avions. Dans sa version idéale, le cycle se compose de quatre processus réversibles : une compression isentropique de l'air ambiant, un ajout de chaleur à pression constante (combustion), une détente isentropique des gaz chauds dans une turbine, et enfin un rejet de chaleur à pression constante pour ramener le fluide à son état initial. L'analyse de ce cycle permet de déterminer des indicateurs de performance clés comme le travail net produit et le rendement thermique.

Données de l'étude

On étudie un cycle de Brayton idéal fonctionnant à l'air.

Conditions de fonctionnement et propriétés du fluide :

  • L'air entre dans le compresseur à \(P_1 = 100 \, \text{kPa}\) et \(T_1 = 300 \, \text{K}\).
  • Le rapport de pression du cycle est de 8 (c'est-à-dire \(P_2/P_1 = 8\)).
  • La température maximale du cycle, à l'entrée de la turbine, est \(T_3 = 1300 \, \text{K}\).
  • L'air est modélisé comme un gaz parfait avec des chaleurs massiques constantes :
    • \(c_p = 1.005 \, \text{kJ} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
    • Rapport des chaleurs massiques : \(\gamma = 1.4\)
Diagramme T-s
s T 1 2 3 4 Compression Chauffe Détente Refroidissement

Questions à traiter

  1. Calculer la température de l'air à la sortie du compresseur (\(T_2\)).
  2. Calculer la température de l'air à la sortie de la turbine (\(T_4\)).
  3. Déterminer le travail spécifique consommé par le compresseur (\(w_c\)).
  4. Déterminer le travail spécifique produit par la turbine (\(w_t\)).
  5. Calculer la chaleur spécifique ajoutée dans la chambre de combustion (\(q_{\text{in}}\)).
  6. Calculer le rendement thermique (\(\eta_{\text{th}}\)) du cycle.

Correction : Analyse du Cycle de Brayton

Question 1 : Température à la Sortie du Compresseur (\(T_2\))

Principe :

Le processus 1-2 est une compression isentropique (adiabatique et réversible). Pour un gaz parfait subissant un tel processus, les températures et les pressions sont liées par la loi de Laplace.

Formule(s) :
\[ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\gamma-1}{\gamma} &= \frac{1.4-1}{1.4} = \frac{0.4}{1.4} \approx 0.2857 \\ T_2 &= T_1 \times \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{0.2857} \\ &= (300 \, \text{K}) \times (8)^{0.2857} \\ &= 300 \times 1.811 \\ &\approx 543.4 \, \text{K} \end{aligned} \]

Question 2 : Température à la Sortie de la Turbine (\(T_4\))

Principe :

Le processus 3-4 est une détente isentropique. On utilise la même loi de Laplace. Le rapport de pression pour la détente est l'inverse de celui de la compression, puisque \(P_3=P_2\) et \(P_4=P_1\).

Formule(s) :
\[ \frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{P_4}{P_3}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_4 &= T_3 \times \left(\frac{1}{8}\right)^{0.2857} \\ &= (1300 \, \text{K}) \times 0.552 \\ &\approx 717.8 \, \text{K} \end{aligned} \]

Question 3 : Travail du Compresseur (\(w_c\))

Principe :

Le travail du compresseur est la variation d'enthalpie du fluide entre l'entrée et la sortie. Pour un gaz parfait à chaleurs massiques constantes, \(\Delta h = c_p \Delta T\). Le travail est consommé, donc on le compte souvent positivement par convention (\(w_c = h_2 - h_1\)).

Formule(s) :
\[ w_c = c_p (T_2 - T_1) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_c &= (1.005 \, \text{kJ/kg} \cdot \text{K}) \times (543.4 \, \text{K} - 300 \, \text{K}) \\ &= 1.005 \times 243.4 \, \text{kJ/kg} \\ &\approx 244.6 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]

Question 4 : Travail de la Turbine (\(w_t\))

Principe :

Similaire au compresseur, le travail produit par la turbine est égal à la variation d'enthalpie du fluide qui la traverse (\(w_t = h_3 - h_4\)).

Formule(s) :
\[ w_t = c_p (T_3 - T_4) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_t &= (1.005 \, \text{kJ/kg} \cdot \text{K}) \times (1300 \, \text{K} - 717.8 \, \text{K}) \\ &= 1.005 \times 582.2 \, \text{kJ/kg} \\ &\approx 585.1 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]

Question 5 : Chaleur Ajoutée (\(q_{\text{in}}\))

Principe :

La chaleur est ajoutée à pression constante dans la chambre de combustion (processus 2-3). La chaleur ajoutée par unité de masse est donc la variation d'enthalpie.

Formule(s) :
\[ q_{\text{in}} = c_p (T_3 - T_2) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_{\text{in}} &= (1.005 \, \text{kJ/kg} \cdot \text{K}) \times (1300 \, \text{K} - 543.4 \, \text{K}) \\ &= 1.005 \times 756.6 \, \text{kJ/kg} \\ &\approx 760.4 \, \text{kJ/kg} \end{aligned} \]

Question 6 : Rendement Thermique (\(\eta_{\text{th}}\))

Principe :

Le rendement thermique est le rapport entre le travail net produit par le cycle et la chaleur fournie. Le travail net est la différence entre le travail produit par la turbine et celui consommé par le compresseur.

Formule(s) :
\[ \eta_{\text{th}} = \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}} = \frac{w_t - w_c}{q_{\text{in}}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_{\text{net}} &= 585.1 - 244.6 = 340.5 \, \text{kJ/kg} \\ \eta_{\text{th}} &= \frac{340.5 \, \text{kJ/kg}}{760.4 \, \text{kJ/kg}} \\ &\approx 0.448 \end{aligned} \]

Alternativement, pour un cycle de Brayton idéal, le rendement ne dépend que du rapport de pression : \(\eta_{\text{th}} = 1 - \frac{1}{(P_2/P_1)^{(\gamma-1)/\gamma}} = 1 - \frac{1}{8^{0.2857}} \approx 1 - 0.552 = 0.448\).

Résultat Question 6 : Le rendement thermique du cycle est d'environ 44.8%.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Que se passe-t-il si on augmente le rapport de pression d'un cycle de Brayton idéal ?

2. Le travail net d'un cycle de Brayton est :

3. Un processus isentropique est un processus qui est à la fois :

Glossaire

Cycle de Brayton
Cycle thermodynamique décrivant le fonctionnement des turbines à gaz. Il est composé de quatre processus : compression isentropique, ajout de chaleur isobare, détente isentropique, et rejet de chaleur isobare.
Rendement thermique (\(\eta_{\text{th}}\))
Rapport entre le travail net fourni par un cycle moteur et la quantité de chaleur qui lui a été fournie. \(\eta_{\text{th}} = W_{\text{net}} / Q_{\text{in}}\).
Processus isentropique
Transformation thermodynamique réversible et adiabatique (sans échange de chaleur), au cours de laquelle l'entropie du système reste constante.
Processus isobare
Transformation thermodynamique qui se déroule à pression constante.
Rapport de pression
Rapport entre la pression maximale et la pression minimale dans un cycle de Brayton (\(P_2/P_1\)). C'est un paramètre clé qui influence fortement le rendement du cycle.
Analyse d'un Cycle de Brayton - Exercice d'Application

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