Analyse d'un Cycle de Brayton pour Turbine à Gaz

Contexte : Le Cycle de BraytonLe cycle thermodynamique idéal qui décrit le fonctionnement des turbines à gaz..

Les turbines à gaz sont des moteurs thermiques essentiels utilisés dans de nombreux domaines, de la propulsion des aéronefs à la production d'électricité. Leur fonctionnement est modélisé, dans le cas idéal, par le Cycle de Brayton. Comprendre ce cycle est fondamental pour analyser la performance, le rendement et le travail net produits par ces machines.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers l'analyse thermodynamiqueLa branche de la physique qui étudie les relations entre la chaleur, le travail, la température et l'énergie. complète d'un cycle de Brayton idéal. Vous appliquerez les principes du premier et du second principe de la thermodynamique pour calculer les températures, les travaux et le rendement.

Objectifs Pédagogiques

Identifier et modéliser les quatre transformations d'un cycle de Brayton idéal.
Appliquer les relations isentropiquesSe dit d'une transformation qui se produit sans changement d'entropie (adiabatique et réversible). pour la compression et la détente.
Calculer le travail spécifique du compresseur et de la turbine.
Déterminer la chaleur fournie, le travail net et le rendement thermiqueRapport entre le travail utile fourni par un moteur thermique et la quantité de chaleur qui lui a été fournie. du cycle.

Données de l'étude

On étudie une turbine à gaz fonctionnant selon un cycle de Brayton idéal. Le fluide de travail est de l'air, considéré comme un gaz parfait.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Fluide de travail	Air (Gaz Parfait)
Coefficient isentropique (\(k\))	1.4
Chaleur massique à pression constante (\(C_p\))	1.005 kJ/kg·K

Schéma de principe du Cycle de Brayton

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(P_1\)	Pression d'entrée du compresseur	100	kPa
\(T_1\)	Température d'entrée du compresseur	300	K
\(r_p\)	Taux de compression (\(P_2/P_1\))	8	-
\(T_3\)	Température d'entrée de la turbine	1300	K

Questions à traiter

Calculer la température en sortie de compresseur (\(T_2\)).
Calculer le travail spécifique absorbé par le compresseur (\(w_c\)).
Calculer la température en sortie de turbine (\(T_4\)).
Calculer le travail spécifique produit par la turbine (\(w_t\)) et le travail net du cycle (\(w_{\text{net}}\)).
Calculer la chaleur spécifique fournie (\(q_{\text{in}}\)) et le rendement thermique (\(\eta_{\text{th}}\)) du cycle.

Les bases du Cycle de Brayton

Le cycle de Brayton idéal est composé de quatre processus réversibles :

1-2 : Compression isentropiqueTransformation sans échange de chaleur et sans création d'entropie. La température augmente. dans le compresseur.
2-3 : Ajout de chaleur à pression constante (isobareSe dit d'une transformation qui se produit à pression constante.) dans la chambre de combustion.
3-4 : Détente isentropiqueTransformation sans échange de chaleur et sans création d'entropie. La température chute. dans la turbine.
4-1 : Rejet de chaleur à pression constante (isobareSe dit d'une transformation qui se produit à pression constante.) vers l'atmosphère.

1. Processus Isentropiques (Compression 1-2 et Détente 3-4)
Pour un gaz parfait subissant un processus isentropique, les températures et les pressions sont liées par : \[ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}} \quad \text{et} \quad \frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{P_4}{P_3}\right)^{\frac{k-1}{k}} \] Comme \(r_p = P_2/P_1 = P_3/P_4\), on peut écrire : \( T_2 = T_1 \cdot (r_p)^{\frac{k-1}{k}} \) et \( T_4 = T_3 / (r_p)^{\frac{k-1}{k}} \).

2. Bilan d'énergie (Travail et Chaleur)
Pour un gaz parfait avec \(C_p\) constant, les bilans d'énergie (par unité de masse) sont :

Travail compresseur (absorbé) : \(w_{\text{c}} = C_p (T_2 - T_1)\)
Chaleur fournie (ajoutée) : \(q_{\text{in}} = C_p (T_3 - T_2)\)
Travail turbine (produit) : \(w_{\text{t}} = C_p (T_3 - T_4)\)
Chaleur rejetée : \(q_{\text{out}} = C_p (T_4 - T_1)\)

Correction : Analyse d'un Cycle de Brayton pour Turbine à Gaz

Question 1 : Calculer la température en sortie de compresseur (\(T_2\))

Principe

La transformation 1-2 est une compression isentropique (adiabatique et réversible). Puisque le fluide (air) est modélisé comme un gaz parfait, nous pouvons utiliser les lois de Laplace (relations isentropiques) pour lier l'état 1 (entrée) et l'état 2 (sortie) en utilisant les pressions et les températures.

Mini-Cours

Pour un gaz parfait subissant une transformation isentropique, la relation entre la température (T) et la pression (P) est : \(\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}\). L'exposant \(k\) est le coefficient isentropique (ou rapport des capacités thermiques, \(C_p/C_v\)). Le terme \((P_2/P_1)\) est le taux de compression \(r_p\).

Remarque Pédagogique

L'objectif ici est de trouver la température finale après compression. Cette température est cruciale car elle détermine la quantité de chaleur qui devra être fournie par le carburant dans l'étape suivante (la chambre de combustion). Une température \(T_2\) plus élevée signifie un travail de compression plus important.

Normes

Ce calcul est basé sur le modèle thermodynamique du "Cycle de Brayton idéal". Ce modèle suppose des transformations parfaites (isentropiques pour la compression/détente, isobares pour les échanges de chaleur) et un fluide "gaz parfait".

Formule(s)

Relation isentropique T-P

T_2 = T_1 \cdot \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}} = T_1 \cdot (r_p)^{\frac{k-1}{k}}

Hypothèses

Nous appliquons les hypothèses du cycle idéal :

La compression est isentropique (adiabatique + réversible).
L'air se comporte comme un gaz parfait.
Les capacités thermiques (\(C_p\)) et \(k\) sont constantes quelle que soit la température.

Donnée(s)

Les données proviennent directement de l'énoncé de l'exercice (Fiche Technique et Tableau de Données).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Temp. entrée compresseur	\(T_1\)	300	K
Taux de compression	\(r_p\)	8	-
Coeff. isentropique	\(k\)	1.4	-

Astuces

Calculez d'abord l'exposant \((k-1)/k\). Cela évite les erreurs de parenthèses sur la calculatrice. \((1.4 - 1) / 1.4 = 0.4 / 1.4 \approx 0.2857\).

Schéma (Avant les calculs)

Nous nous concentrons sur la première transformation (1-2) du cycle.

Diagramme T-s (Température-Entropie) - Processus 1-2

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de l'exposant

\frac{k-1}{k} = \frac{1.4 - 1}{1.4} = \frac{0.4}{1.4} \approx 0.285714

Étape 2 : Calcul de \(T_2\)

\begin{aligned} T_2 &= 300 \text{K} \cdot (8)^{0.285714} \\ &= 300 \text{K} \cdot 1.81136 \\ \Rightarrow T_2 &\approx 543.4 \text{K} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma T-s est maintenant complété avec la valeur de \(T_2\) calculée.

Diagramme T-s - Résultat Q1

Réflexions

La température de l'air a augmenté de \(243.4 \text{K}\) (ou \(243.4 \text{°C}\)) uniquement à cause de la compression. C'est le principe même d'une compression adiabatique : le travail fourni au gaz se transforme en augmentation d'énergie interne (et donc de température).

Points de vigilance

Assurez-vous toujours que les températures sont en KelvinL'unité de base de la température dans le Système International (SI). 0°C = 273.15K. Les calculs thermodynamiques doivent toujours utiliser les Kelvins. (\(\text{K}\)) pour les calculs thermodynamiques. Si l'énoncé donne des degrés Celsius (\(\text{°C}\)), convertissez-les (\(\text{K} = \text{°C} + 273.15\)).

Points à retenir

Compression isentropique \(\rightarrow\) Loi de Laplace.
La température augmente pendant la compression.
Toujours utiliser les températures en Kelvin.

Le saviez-vous ?

Dans une turbine réelle, la compression n'est pas parfaitement isentropique à cause des frottements. Le rendement isentropiqueLe rapport entre le travail isentropique idéal et le travail réel consommé par un compresseur. (Ex: 85% = 0.85) du compresseur (souvent 80-90%) est utilisé pour calculer la température de sortie réelle, qui sera encore plus élevée que les \(543.4 \text{K}\) calculés ici.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La température en sortie de compresseur est \(T_2 \approx 543.4 \text{K}\).

A vous de jouer

Recalculez \(T_2\) si le taux de compression \(r_p\) est augmenté à 10.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept : Compression isentropique.
Formule : \(T_2 = T_1 \cdot (r_p)^{(k-1)/k}\).
Résultat : \(T_2 \approx 543.4 \text{K}\).

Question 2 : Calculer le travail spécifique absorbé par le compresseur (\(w_{\text{c}}\))

Principe

Le travail du compresseur est calculé en effectuant un bilan d'énergie (premier principe de la thermodynamique) sur le volume de contrôle du compresseur. Pour un processus adiabatique en système ouvert, le travail massique (\(w_{\text{c}}\)) est égal à la variation d'enthalpieUne fonction d'état thermodynamique (H = U + PV) qui représente l'énergie totale d'un système. Sa variation est égale à la chaleur échangée à pression constante. massique (\(h_2 - h_1\)).

Mini-Cours

Pour un gaz parfait à \(C_p\) constant, la variation d'enthalpie massique (\(\Delta h\)) est directement proportionnelle à la variation de température (\(\Delta T\)) : \(\Delta h = C_p \cdot \Delta T\). Le travail du compresseur est donc \(w_{\text{c}} = h_2 - h_1 = C_p (T_2 - T_1)\). C'est un travail "absorbé" ou "consommé" par le cycle.

Remarque Pédagogique

Ce calcul quantifie le "coût" énergétique pour faire fonctionner le compresseur. Chaque kilogramme d'air qui traverse le système nécessite \(w_{\text{c}}\) kilojoules d'énergie mécanique (généralement fournie par la turbine).

Normes

Application du Premier Principe de la Thermodynamique pour un système ouvert en régime permanent, en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle.

Formule(s)

Travail du compresseur

w_{\text{c}} = h_2 - h_1 = C_p (T_2 - T_1)

Hypothèses

Nous continuons avec les hypothèses du gaz parfait :

Processus adiabatique (pas de transfert de chaleur).
\(C_p\) est constant.
Variations d'énergie cinétique et potentielle négligeables.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé (\(C_p\), \(T_1\)) et le résultat de la Question 1 (\(T_2\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Chaleur massique	\(C_p\)	1.005	kJ/kg·K
Temp. entrée	\(T_1\)	300	K
Temp. sortie (Q1)	\(T_2\)	543.4	K

Astuces

Assurez-vous que les unités sont cohérentes. Si \(C_p\) est en \(\text{kJ/kg·K}\) et \(\Delta T\) est en \(\text{K}\), le résultat \(w_{\text{c}}\) sera directement en \(\text{kJ/kg}\).

Schéma (Avant les calculs)

On isole le compresseur. Le travail \(w_{\text{c}}\) entre dans le système.

Bilan sur le Compresseur

Calcul(s)

Application de la formule

\begin{aligned} w_{\text{c}} &= 1.005 \text{ kJ/kg·K} \cdot (543.4 \text{K} - 300 \text{K}) \\ &= 1.005 \text{ kJ/kg·K} \cdot (243.4 \text{K}) \\ \Rightarrow w_{\text{c}} &\approx 244.6 \text{ kJ/kg} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le bilan sur le volume de contrôle du compresseur est mis à jour avec la valeur calculée.

Bilan Énergétique du Compresseur

Réflexions

Ce résultat représente l'énergie (par kg d'air) que le cycle doit "dépenser" pour faire fonctionner le compresseur. C'est un travail absorbé, donc une "perte" ou un "coût" pour le cycle.

Points de vigilance

Le travail \(w_{\text{c}}\) est une valeur positive par convention (on parle de "travail absorbé"). Si on appliquait strictement le 1er principe \(\Delta h = w_{\text{c}}\), \(w_{\text{c}}\) serait négatif (travail reçu par le fluide). L'ingénierie utilise \(w_{\text{c}} = |\Delta h|\) pour simplifier.

Points à retenir

Le travail d'un compresseur adiabatique est \(w_{\text{c}} = C_p (T_{\text{sortie}} - T_{\text{entrée}})\).
C'est un travail "coûteux" pour le cycle.

Le saviez-vous ?

Dans les grandes turbines à gaz, le compresseur peut consommer plus de 50% de tout le travail produit par la turbine ! C'est le "Back Work Ratio" (ratio de travail retourné).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le travail spécifique absorbé par le compresseur est \(w_{\text{c}} \approx 244.6 \text{ kJ/kg}\).

A vous de jouer

En utilisant votre réponse de la Q1 (pour \(r_p = 10\), où \(T_2 \approx 579.2 \text{K}\)), quel serait le nouveau travail du compresseur ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept : Travail de compression (1er Principe).
Formule : \(w_{\text{c}} = C_p (T_2 - T_1)\).
Résultat : \(w_{\text{c}} \approx 244.6 \text{ kJ/kg}\).

Question 3 : Calculer la température en sortie de turbine (\(T_4\))

Principe

La transformation 3-4 est une détente isentropique dans la turbine. C'est le processus inverse de la compression. On utilise la même relation isentropique (Loi de Laplace) pour trouver \(T_4\) à partir de \(T_3\).

Mini-Cours

La relation est \(\frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{P_4}{P_3}\right)^{\frac{k-1}{k}}\). Comme les processus 2-3 et 4-1 sont isobares, nous avons \(P_2 = P_3\) et \(P_1 = P_4\). Par conséquent, le rapport de détente \((P_3/P_4)\) est égal au rapport de compression \((P_2/P_1) = r_p\). La formule devient \(\frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{1}{r_p}\right)^{\frac{k-1}{k}}\).

Remarque Pédagogique

Cette étape calcule la température des gaz d'échappement. C'est cette température qui détermine l'énergie rejetée dans l'atmosphère, et donc l'efficacité globale du cycle.

Normes

Modèle du "Cycle de Brayton idéal" (détente isentropique).

Formule(s)

Relation isentropique T-P (Détente)

T_4 = T_3 \cdot \left(\frac{1}{r_p}\right)^{\frac{k-1}{k}} = \frac{T_3}{(r_p)^{\frac{k-1}{k}}}

Hypothèses

Identiques à la Q1, mais pour la détente :

Détente isentropique.
Gaz parfait à \(C_p\) et \(k\) constants.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé (\(T_3\), \(r_p\)) et le facteur \((r_p)^{(k-1)/k}\) calculé à la Question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Temp. entrée turbine	\(T_3\)	1300	K
Taux de compression	\(r_p\)	8	-
Facteur de compression (de Q1)	\((r_p)^{\frac{k-1}{k}}\)	1.81136	-

Astuces

Vous avez déjà calculé le terme \((r_p)^{(k-1)/k} \approx 1.81136\) à la question 1. Il n'y a pas besoin de le recalculer ! Il suffit de diviser \(T_3\) par ce facteur.

Schéma (Avant les calculs)

Nous nous concentrons sur la transformation 3-4.

Diagramme T-s - Processus 3-4

Calcul(s)

Application de la formule

\begin{aligned} T_4 &= \frac{1300 \text{K}}{1.81136} \\ \Rightarrow T_4 &\approx 717.8 \text{K} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma T-s est complété avec la valeur de \(T_4\) calculée.

Diagramme T-s - Résultat Q3

Réflexions

La température \(T_4\) est la température des gaz d'échappement. Elle est encore très élevée (plus de \(440 \text{°C}\)), ce qui représente une perte d'énergie importante. C'est pourquoi de nombreux cycles réels tentent de récupérer cette chaleur (cycles combinés ou régénération).

Points de vigilance

Ne mélangez pas \(T_1\) et \(T_3\). La compression (1-2) et la détente (3-4) ont le même *rapport* de pression, mais elles ne se produisent pas entre les mêmes températures ! La détente commence à la température la plus élevée du cycle (\(T_3\)).

Points à retenir

Détente isentropique \(\rightarrow\) Loi de Laplace.
\(T_4 = T_3 / (r_p)^{(k-1)/k}\).
La température chute drastiquement pendant la détente.

Le saviez-vous ?

La température \(T_3\) (appelée "Turbine Inlet Temperature" ou TIT) est le facteur limitant le plus critique d'une turbine à gaz. Elle est limitée par la résistance des matériaux (alliages) des premières ailettes de la turbine, qui sont soumises à des contraintes thermiques et mécaniques extrêmes.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La température en sortie de turbine est \(T_4 \approx 717.8 \text{K}\).

A vous de jouer

Si la température d'entrée turbine (\(T_3\)) est augmentée à \(1500 \text{K}\) (avec \(r_p = 8\)), quelle serait la nouvelle température \(T_4\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept : Détente isentropique.
Formule : \(T_4 = T_3 / (r_p)^{(k-1)/k}\).
Résultat : \(T_4 \approx 717.8 \text{K}\).

Question 4 : Calculer le travail de la turbine (\(w_{\text{t}}\)) et le travail net (\(w_{\text{net}}\))

Principe

Similairement au compresseur, le travail produit par la turbine (\(w_{\text{t}}\)) est la variation d'enthalpie entre son entrée (3) et sa sortie (4). Le travail net (\(w_{\text{net}}\)) est le "profit" du cycle : ce que la turbine produit, moins ce que le compresseur consomme.

Mini-Cours

Travail turbine (produit) : \(w_{\text{t}} = h_3 - h_4 = C_p (T_3 - T_4)\). Notez l'ordre (\(T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}}\)) pour obtenir une valeur positive.
Travail net : \(w_{\text{net}} = w_{\text{t}} - w_{\text{c}}\). C'est le travail mécanique réellement disponible en sortie d'arbre.

Remarque Pédagogique

C'est le cœur du bilan énergétique. Un cycle n'est utile que si \(w_{\text{t}} > w_{\text{c}}\), ce qui implique que la détente (qui produit du travail) doit se faire à une température moyenne plus élevée que la compression (qui en consomme).

Normes

Application du Premier Principe de la Thermodynamique (Bilan d'énergie).

Formule(s)

Travail de la turbine

w_{\text{t}} = h_3 - h_4 = C_p (T_3 - T_4)

Travail net du cycle

w_{\text{net}} = w_{\text{t}} - w_{\text{c}}

Hypothèses

Identiques à la Q2 :

Processus de détente adiabatique.
\(C_p\) constant.
Variations d'énergie cinétique et potentielle négligeables.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé (\(C_p\), \(T_3\)), le résultat de la Question 2 (\(w_{\text{c}}\)), et le résultat de la Question 3 (\(T_4\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Chaleur massique	\(C_p\)	1.005	kJ/kg·K
Temp. entrée turbine	\(T_3\)	1300	K
Temp. sortie turbine (Q3)	\(T_4\)	717.8	K
Travail compresseur (Q2)	\(w_{\text{c}}\)	244.6	kJ/kg

Astuces

Assurez-vous d'utiliser la valeur \(w_{\text{c}}\) calculée à la Q2 et la valeur \(T_4\) de la Q3. Les questions s'enchaînent logiquement.

Schéma (Avant les calculs)

Le travail net est la différence entre la sortie (turbine) et l'entrée (compresseur).

Bilan de Travail

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(w_{\text{t}}\)

\begin{aligned} w_{\text{t}} &= 1.005 \text{ kJ/kg·K} \cdot (1300 \text{K} - 717.8 \text{K}) \\ &= 1.005 \text{ kJ/kg·K} \cdot (582.2 \text{K}) \\ \Rightarrow w_{\text{t}} &\approx 585.1 \text{ kJ/kg} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(w_{\text{net}}\)

\begin{aligned} w_{\text{net}} &= w_{\text{t}} - w_{\text{c}} \\ &= 585.1 \text{ kJ/kg} - 244.6 \text{ kJ/kg} \\ \Rightarrow w_{\text{net}} &\approx 340.5 \text{ kJ/kg} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le bilan de travail global du moteur est mis à jour avec les valeurs calculées pour le compresseur, la turbine et le travail net.

Bilan de Travail Net

Réflexions

Le travail de la turbine (\(w_{\text{t}} \approx 585.1 \text{ kJ/kg}\)) est bien supérieur à celui consommé par le compresseur (\(w_{\text{c}} \approx 244.6 \text{ kJ/kg}\)). La différence, \(w_{\text{net}}\), est le travail utile que l'on peut récupérer, par exemple pour entraîner un alternateur ou une hélice.

Points de vigilance

Ne vous trompez pas dans la soustraction ! Le travail net est toujours \(w_{\text{t}} - w_{\text{c}}\). Si vous obtenez un résultat négatif, vous avez probablement inversé les termes.

Points à retenir

Le travail de la turbine est \(w_{\text{t}} = C_p (T_3 - T_4)\).
Le travail net est la différence entre ce qui est produit (turbine) et ce qui est consommé (compresseur).

Le saviez-vous ?

Pour les turboréacteurs d'avion, le \(w_{\text{net}}\) n'est pas (entièrement) utilisé pour un arbre de sortie, mais est converti en énergie cinétique des gaz d'échappement pour créer la poussée !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le travail produit par la turbine est \(w_{\text{t}} \approx 585.1 \text{ kJ/kg}\) et le travail net du cycle est \(w_{\text{net}} \approx 340.5 \text{ kJ/kg}\).

A vous de jouer

Si une turbine produit \(w_{\text{t}} = 600 \text{ kJ/kg}\) et son compresseur consomme \(w_{\text{c}} = 250 \text{ kJ/kg}\), quel est le travail net ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept : Bilan de travail.
Formules : \(w_{\text{t}} = C_p (T_3 - T_4)\) et \(w_{\text{net}} = w_{\text{t}} - w_{\text{c}}\).
Résultats : \(w_{\text{t}} \approx 585.1 \text{ kJ/kg}\), \(w_{\text{net}} \approx 340.5 \text{ kJ/kg}\).

Question 5 : Calculer la chaleur fournie (\(q_{\text{in}}\)) et le rendement (\(\eta_{\text{th}}\))

Principe

La chaleur \(q_{\text{in}}\) est l'énergie thermique (issue du carburant) ajoutée au cycle dans la chambre de combustion (processus 2-3, isobare). Le rendement thermique (\(\eta_{\text{th}}\)) est le rapport fondamental de l'efficacité : ce qu'on gagne (le travail net) divisé par ce qu'on "paie" (la chaleur fournie).

Mini-Cours

Pour un processus isobare (pression constante 2-3) en système ouvert, l'échange de chaleur massique \(q_{\text{in}}\) est égal à la variation d'enthalpie massique \(\Delta h = h_3 - h_2\). Pour un gaz parfait, cela devient \(q_{\text{in}} = C_p (T_3 - T_2)\).
Le rendement est la définition universelle : \(\eta = \frac{\text{Ce qui est utile}}{\text{Ce qui est coûteux}}\).

Remarque Pédagogique

Cette étape conclut l'analyse. Le rendement est le chiffre le plus important pour juger de la performance thermodynamique d'un moteur.

Normes

Définition du rendement thermique (Premier Principe).

Formule(s)

Chaleur fournie (isobare)

q_{\text{in}} = h_3 - h_2 = C_p (T_3 - T_2)

Rendement thermique

\eta_{\text{th}} = \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}}

Hypothèses

...

Processus d'ajout de chaleur isobare.
\(C_p\) constant.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes : \(T_2\) (Q1), \(w_{\text{net}}\) (Q4), ainsi que \(C_p\) et \(T_3\) de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Chaleur massique	\(C_p\)	1.005	kJ/kg·K
Temp. entrée turbine	\(T_3\)	1300	K
Temp. sortie compresseur (Q1)	\(T_2\)	543.4	K
Travail net (Q4)	\(w_{\text{net}}\)	340.5	kJ/kg

Astuces

Pour un cycle de Brayton *idéal*, le rendement ne dépend que du taux de compression et de \(k\) : \(\eta_{\text{th,idéal}} = 1 - \frac{1}{(r_p)^{(k-1)/k}}\).
Vérification : \(\eta_{\text{th}} = 1 - \frac{1}{(8)^{0.2857}} = 1 - \frac{1}{1.81136} \approx 1 - 0.552 = 0.448\). C'est un excellent moyen de vérifier l'ensemble de vos calculs !

Schéma (Avant les calculs)

Bilan énergétique global du cycle.

Bilan Global du Cycle

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(q_{\text{in}}\)

\begin{aligned} q_{\text{in}} &= 1.005 \text{ kJ/kg·K} \cdot (1300 \text{K} - 543.4 \text{K}) \\ &= 1.005 \text{ kJ/kg·K} \cdot (756.6 \text{K}) \\ \Rightarrow q_{\text{in}} &\approx 760.4 \text{ kJ/kg} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(\eta_{\text{th}}\)

\begin{aligned} \eta_{\text{th}} &= \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}} \\ &= \frac{340.5 \text{ kJ/kg}}{760.4 \text{ kJ/kg}} \\ \Rightarrow \eta_{\text{th}} &\approx 0.4478 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant visualiser le cycle complet sur un diagramme T-s.

Diagramme T-s Complet (Cycle de Brayton)

Réflexions

Un rendement de \(44.8\%\) est un bon résultat pour un cycle idéal. Dans la réalité, à cause des irréversibilités (frottements, pertes de chaleur), le rendement d'une turbine à gaz simple est plutôt de l'ordre de \(30-35\%\). Augmenter \(r_p\) et \(T_3\) sont les leviers principaux pour améliorer la performance.

Points de vigilance

Ne confondez pas le rendement \(\eta_{\text{th}} = w_{\text{net}} / q_{\text{in}}\) avec le "Back Work Ratio" \(bwr = w_{\text{c}} / w_{\text{t}}\). Le BWR mesure la fraction du travail de la turbine qui est consommée par le compresseur (ici : \(244.6 / 585.1 \approx 41.8\%\)).

Points à retenir

La chaleur est fournie à pression constante : \(q_{\text{in}} = C_p (T_3 - T_2)\).
Le rendement est le gain net divisé par le coût : \(\eta_{\text{th}} = w_{\text{net}} / q_{\text{in}}\).
Pour un cycle idéal, \(\eta_{\text{th}} = 1 - 1 / (r_p)^{(k-1)/k}\).

Le saviez-vous ?

Pour augmenter le rendement au-delà de 45%, les ingénieurs utilisent des "cycles combinés". La chaleur des gaz d'échappement (\(q_{\text{out}}\) à \(T_4\)) n'est pas rejetée dans l'air, mais utilisée pour faire bouillir de l'eau et entraîner une seconde turbine à vapeur (cycle de RankineLe cycle thermodynamique idéal pour les turbines à vapeur, utilisant un changement de phase (eau/vapeur) pour produire du travail.). Ces centrales à cycle combiné peuvent dépasser \(60\%\) de rendement !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La chaleur fournie est \(q_{\text{in}} \approx 760.4 \text{ kJ/kg}\) et le rendement thermique est \(\eta_{\text{th}} \approx 44.8\%\).

A vous de jouer

Si un cycle produit \(w_{\text{net}} = 300 \text{ kJ/kg}\) en consommant \(q_{\text{in}} = 600 \text{ kJ/kg}\), quel est son rendement (en %) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept : Bilan de chaleur et Rendement.
Formules : \(q_{\text{in}} = C_p (T_3 - T_2)\) et \(\eta_{\text{th}} = w_{\text{net}} / q_{\text{in}}\).
Résultats : \(q_{\text{in}} \approx 760.4 \text{ kJ/kg}\), \(\eta_{\text{th}} \approx 44.8\%\).

Outil Interactif : Simulateur de Cycle de Brayton

Utilisez les curseurs pour modifier le taux de compression (\(r_p\)) et la température d'entrée de la turbine (\(T_3\)). Observez comment le rendement et le travail net sont affectés.

Paramètres d'Entrée

Taux de compression (\(r_p\)) 8

Temp. Entrée Turbine (\(T_3\)) (K) 1300 K

Résultats Clés

Rendement Thermique (\(\eta_{\text{th}}\)) - %

Travail Net (\(w_{\text{net}}\)) - kJ/kg

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le processus 1-2 dans un cycle de Brayton idéal est :

Une détente isobare
Une compression isentropique
Un ajout de chaleur isentropique

2. Le processus 2-3 (chambre de combustion) est modélisé comme :

Un ajout de chaleur à pression constante (isobare)
Un ajout de chaleur à volume constant (isochore)
Une compression adiabatique

3. Pour un cycle de Brayton idéal, si le taux de compression (\(r_p\)) augmente, le rendement thermique :

Diminue
Reste le même
Augmente

4. Pour un cycle de Brayton idéal, si on augmente seulement la température d'entrée turbine (\(T_3\)), le rendement thermique :

Augmente
Reste le même
Diminue

5. Que se passe-t-il pour le travail net (\(w_{\text{net}}\)) si on augmente \(T_3\) (en gardant \(r_p\) constant) ?

Il augmente (car \(w_{\text{t}}\) augmente et \(w_{\text{c}}\) reste fixe)
Il diminue (car la chaleur rejetée augmente)
Il reste le même (car le rendement est le même)

Glossaire

Cycle de Brayton: Cycle thermodynamique idéal modélisant le fonctionnement des turbines à gaz. Il est composé de deux transformations isentropiques et deux isobares.
Processus Isentropique: Une transformation thermodynamique qui est à la fois adiabatique (sans échange de chaleur) et réversible (sans création d'entropie).
Processus Isobare: Une transformation thermodynamique qui se produit à pression constante.
Taux de compression (\(r_p\)): Le rapport de la pression la plus élevée (\(P_2\)) sur la pression la plus basse (\(P_1\)) du cycle.
Rendement Thermique (\(\eta_{\text{th}}\)): Le rapport entre le travail net produit par le cycle et la quantité de chaleur fournie. Il mesure l'efficacité de la conversion de chaleur en travail.

Analyse d’un Cycle de Brayton pour Turbine à Gaz

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma de principe du Cycle de Brayton

Questions à traiter

Les bases du Cycle de Brayton

Correction : Analyse d'un Cycle de Brayton pour Turbine à Gaz

Question 1 : Calculer la température en sortie de compresseur (\(T_2\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme T-s (Température-Entropie) - Processus 1-2

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Diagramme T-s - Résultat Q1

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer le travail spécifique absorbé par le compresseur (\(w_{\text{c}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Bilan sur le Compresseur

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Bilan Énergétique du Compresseur

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer la température en sortie de turbine (\(T_4\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme T-s - Processus 3-4

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Diagramme T-s - Résultat Q3

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer le travail de la turbine (\(w_{\text{t}}\)) et le travail net (\(w_{\text{net}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)