Vous êtes ingénieur opticien chargé de concevoir un télescope de type CassegrainType de télescope réflecteur utilisant deux miroirs (primaire concave parabolique et secondaire convexe hyperbolique) pour replier le faisceau lumineux. compact pour un observatoire amateur avancé. L'objectif est de définir les paramètres géométriques des miroirs pour obtenir une focale résultante importante dans un tube court. Nous utiliserons l'approximation paraxiale (Gauss) pour ce pré-dimensionnement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de manipuler les formules de conjugaison des miroirs sphériques et de comprendre la notion de grandissement dans les systèmes optiques centrés.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe de fonctionnement d'un système à deux miroirs.
Calculer la distance focale équivalente d'un système optique.
Déterminer le rayon de courbure nécessaire pour le miroir secondaire.

Données de l'étude

Nous souhaitons concevoir un télescope ayant une ouverture de 200 mm et une focale résultante de 2000 mm (f/10). Le miroir primaire (M1) est imposé.

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Valeur
Diamètre du miroir primaire (D1)	200 mm
Distance focale du miroir primaire (f'1)	500 mm
Distance focale résultante visée (F_sys)	2000 mm
Tirage optique (B)Distance entre le sommet du miroir primaire et le plan focal final (arrière du télescope).	150 mm

Schéma de Principe Cassegrain

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Focale Miroir 1	\(f'_1\)	500	\(\text{mm}\)
Focale Système	\(F_{\text{sys}}\)	2000	\(\text{mm}\)
Tirage arrière	\(B\)	150	\(\text{mm}\)

Questions à traiter

Calculer le grandissement secondaire nécessaire (\(\gamma\)).
Déterminer la distance \(p'\) entre le miroir secondaire M2 et le foyer final F'.
Déterminer la distance \(p\) entre le miroir secondaire M2 et le foyer F'1 du miroir primaire.
En déduire le rayon de courbure \(R_2\) du miroir secondaire.
Calculer la distance \(e\) entre les deux sommets des miroirs.

Les bases théoriques

Dans un système optique centré, l'association de deux éléments permet de modifier la focale globale. Le Cassegrain agit comme un "téléobjectif" : une longue focale dans un tube court. Cela est rendu possible grâce au miroir secondaire qui agit comme une Lentille de BarlowDispositif optique divergent permettant d'augmenter artificiellement la focale d'un instrument. (miroir convexe).

Formule du Grandissement Transversal
Le grandissement définit le rapport entre la taille de l'image et celle de l'objet, ou le rapport des focales.

Grandissement du secondaire

\gamma = \frac{F_{\text{sys}}}{f'_1} = \frac{p'}{p}

Où :

\(F_{\text{sys}}\) est la focale équivalente du télescope.
\(f'_1\) est la focale du miroir primaire.

Relation de Conjugaison (Miroir Sphérique)
Relation reliant la position de l'objet, de l'image et la focale (ou le rayon de courbure). Origine au sommet S.

Formule de Descartes (origine au sommet)

\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}} = \frac{1}{f'}

Où :

\(\overline{SA}\) est la distance algébrique Objet-Miroir.
\(\overline{SA'}\) est la distance algébrique Image-Miroir.
\(\overline{SC}\) est le rayon de courbure.

Géométrie du Cassegrain
Les positions relatives des miroirs sont cruciales.

Distance inter-miroirs

\[ e = f'_1 - p \]

Le miroir secondaire est placé "avant" le foyer du primaire pour intercepter les rayons convergents.

Correction : Conception d'un Télescope de Type Cassegrain

Question 1 : Calcul du grandissement (\(\gamma\))

Principe

Le rôle du miroir secondaire est de multiplier la focale du miroir primaire pour atteindre la focale cible. Ce facteur multiplicateur est le grandissement. Dans un système Cassegrain, le miroir secondaire agit comme une lentille divergente qui "étale" le cône de lumière avant qu'il n'atteigne le plan focal, augmentant ainsi artificiellement la distance focale sans augmenter la longueur du tube.

Mini-Cours

Le grandissement \(\gamma\) est strictement positif pour un Cassegrain car l'image finale est inversée (comme pour le Newton), mais l'association M1+M2 se comporte globalement comme une lentille convergente de longue focale. Un grandissement élevé permet d'atteindre des rapports f/D élevés (f/10, f/15) idéaux pour le planétaire.

Remarque Pédagogique

Il est important de noter que plus le grandissement est élevé, plus le miroir secondaire doit être courbe (petit rayon), ce qui augmente la sensibilité à la collimation et les aberrations hors axe si la surface n'est pas parfaitement hyperbolique.

Normes

On utilise la norme ISO 10110 pour les dessins optiques, qui définit les signes et les surfaces. Ici, nous restons dans le cadre de l'optique géométrique classique où la lumière se propage de la gauche vers la droite.

Formule(s)

Formules utilisées

Définition du grandissement

\gamma = \frac{F_{\text{sys}}}{f'_1}

Focale équivalente

F_{\text{sys}} = f'_1 \times \gamma

Hypothèses

Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :

Approximation paraxiale (conditions de Gauss) : rayons proches de l'axe optique.
Système centré parfait : les axes optiques des deux miroirs sont confondus.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Focale Système	\(F_{\text{sys}}\)	2000	\(\text{mm}\)
Focale Primaire	\(f'_1\)	500	\(\text{mm}\)

Astuces

Un grandissement de 4 est typique pour un Cassegrain compact. Si vous trouvez une valeur supérieure à 6 ou inférieure à 2, vérifiez vos données de focale, car cela impliquerait soit une obstruction centrale énorme (faible gamma), soit un champ très réduit (fort gamma).

Schéma - Comparaison des Focales

Calcul(s)

Conversion(s)

Toutes les données sont déjà en millimètres, aucune conversion n'est nécessaire pour ce calcul.

Unités

[\text{mm}] / [\text{mm}] = [\text{sans dimension}]

Le grandissement est une grandeur adimensionnelle.

Calcul intermédiaire

Vérification de l'ouverture du primaire :

Ouverture N1

\[ N_1 = f'_1 / D_1 = 500 / 200 = 2.5 \]

Le miroir primaire est très ouvert (f/2.5), ce qui est classique pour réduire la longueur du tube, mais nécessite un miroir parabolique profond difficile à polir.

Calcul Principal

Application numérique

Nous cherchons le rapport entre la focale finale souhaitée (2000 mm) et celle du miroir primaire disponible (500 mm). On applique simplement le rapport des focales pour déterminer de combien le secondaire doit amplifier la focale initiale. Les unités en mm s'annulent.

Calcul de Gamma

\begin{aligned} \gamma &= \frac{2000 \text{ mm}}{500 \text{ mm}} \\ &= 4 \end{aligned}

Le résultat est 4. Cela signifie que le miroir secondaire agit comme une lentille divergente qui multiplie la focale du primaire par 4. L'angle du cône de lumière final sera donc 4 fois plus aigu que celui sortant du primaire.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Un grandissement de 4 signifie que le télescope final aura une ouverture de f/10 (f/2.5 x 4), ce qui est un excellent compromis : assez lumineux pour le ciel profond, mais avec assez de contraste et de focale pour les planètes.

Points de vigilance

Ne confondez pas le grandissement du secondaire avec le grossissement du télescope (qui dépend de l'oculaire). Le grandissement est une propriété intrinsèque du tube optique, tandis que le grossissement dépend de l'accessoire utilisé.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

\(\gamma = F_{\text{total}} / F_{\text{primaire}}\)
C'est un nombre sans dimension qui dicte la "puissance" du secondaire.

Le saviez-vous ?

Dans un télescope de type Schmidt-Cassegrain commercial (ex: C8), le primaire est généralement à f/2 et le secondaire apporte un grandissement de 5 pour atteindre f/10.

FAQ

Peut-on avoir un grandissement négatif ?

Non, dans une configuration Cassegrain standard, le grandissement longitudinal est positif car l'image reste inversée (le secondaire est convexe). Un grandissement négatif impliquerait un miroir secondaire concave (type Grégorien) placé après le foyer primaire.

Le grandissement est de 4.

A vous de jouer
Si on voulait une focale totale de 3000 mm avec ce même primaire, quel serait le grandissement ?

📝 Mémo
Gamma = F_final / F_prim. C'est le levier optique du système.

Question 2 : Distance M2 - Foyer Final (\(p'\))

Principe

Nous devons déterminer où se forme l'image finale par rapport au sommet du miroir secondaire (M2). C'est le "bras de levier" long du système. Géométriquement, l'image doit se former à l'arrière du télescope, c'est-à-dire après le miroir primaire, à une distance définie par le tirage \(B\) (Backfocus) nécessaire pour placer le porte-oculaire, le renvoi coudé et l'œil ou la caméra.

Mini-Cours

La distance \(p'\) est la distance algébrique \(\overline{S_2 F'}\). Dans le sens de la lumière réfléchie par M2 (de gauche à droite), cette distance est positive car l'image est réelle. Le "tirage" optique (B) est la distance disponible derrière le sommet du primaire.

Remarque Pédagogique

Visualisez le trajet : la lumière part de M2, traverse le trou du primaire (dont l'épaisseur est ici négligée dans l'approche simplifiée), et sort derrière d'une longueur égale au tirage \(B\). \(p'\) est donc la somme de la distance inter-miroirs et du tirage.

Normes

Convention de signe : lumière incidente de gauche à droite positif. Les distances vers la droite sont positives.

Formule(s)

Formules utilisées

Relation des foyers

p' (1 - \frac{1}{\gamma}) = f'_1 + B

Cette formule, fondamentale pour le dimensionnement, est dérivée de la combinaison des équations géométriques : \( p' = e + B \) et la relation de conjugaison ramenée aux foyers.

Décomposition géométrique

\[ p' = e + B \]

Hypothèses

On suppose que l'épaisseur du miroir primaire est négligeable ou incluse dans le tirage mécanique. Le plan focal se situe exactement à la distance B derrière le sommet de M1.

Miroirs minces au sommet.
Alignement parfait sur l'axe optique.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tirage arrière	\(B\)	150	\(\text{mm}\)
Focale Primaire	\(f'_1\)	500	\(\text{mm}\)
Grandissement	\(\gamma\)	4	-

Astuces

Si vous ne vous souvenez plus de la formule complexe, faites un schéma : la distance totale \(p'\) est la distance que la lumière doit parcourir depuis le secondaire pour "rattraper" le plan focal primaire (virtuel) plus le décalage introduit par la divergence.

Schéma - Visualisation de p'

Calcul(s)

Conversion(s)

Pas de conversion nécessaire.

Unité

\text{mm}

Calcul intermédiaire

Calculons d'abord le facteur multiplicatif qui dépend uniquement du grandissement. Ce terme représente l'efficacité géométrique du système.

Terme Facteur

\begin{aligned} 1 - \frac{1}{\gamma} &= 1 - \frac{1}{4} \\ &= 1 - 0.25 \\ &= 0.75 \end{aligned}

Ce facteur de 0.75 nous indique que la distance du secondaire au foyer final représente 75% de la distance équivalente nécessaire si on partait de l'infini.

Calcul Principal

Application numérique

Partons de la relation fondamentale établie plus haut : \(p'(1 - 1/\gamma) = f'_1 + B\). Notre inconnue est \(p'\), la distance physique entre le miroir secondaire et le plan focal final. Nous remplaçons les variables par les valeurs : \(f'_1 = 500\) et \(B = 150\).

\begin{aligned} p' \times \left(1 - \frac{1}{4}\right) &= 500 + 150 \\ p' \times 0.75 &= 650 \end{aligned}

Le terme de droite (650 mm) représente la distance focale du primaire augmentée du tirage nécessaire. Pour trouver \(p'\), nous divisons cette somme par le coefficient d'efficacité géométrique calculé précédemment.

\begin{aligned} p' &= \frac{650}{0.75} \\ &= 866.67 \text{ mm} \end{aligned}

En divisant la somme des longueurs (650 mm) par ce coefficient (0.75), on trouve la distance physique nécessaire de 866.67 mm.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Cette distance de 867 mm est assez grande (près d'un mètre), ce qui montre que le faisceau converge très doucement après le miroir secondaire. Cela permet d'avoir une grande profondeur de champ, facilitant la mise au point.

Points de vigilance

Ne confondez pas \(p'\) avec la longueur du tube ! C'est la distance du trajet lumineux après la réflexion sur le secondaire. Si le tube est trop étroit, ce long trajet conique peut être vignetté par les baffles internes.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

\(p'\) dépend directement du tirage \(B\) souhaité.
Plus on veut de tirage (pour mettre une grosse caméra), plus \(p'\) augmente, ce qui influence ensuite la taille du secondaire.

Le saviez-vous ?

Sur certains télescopes comme les Maksutov-Cassegrain, la mise au point se fait en déplaçant le miroir primaire. Cela change la distance \(p\) et donc \(p'\), permettant de faire varier le tirage sur une plage énorme (plusieurs dizaines de cm).

FAQ

Pourquoi p' est si grand par rapport à f'1 ?

Car le miroir secondaire agit comme une loupe divergente qui "pousse" le foyer très loin en arrière tout en réduisant l'angle du cône de lumière.

La distance M2 - Foyer Final (\(p'\)) est de 866.67 mm.

A vous de jouer
Calculez p' si le tirage B était de 200 mm (pour accommoder une roue à filtres épaisse).

📝 Mémo
p' est la "longue jambe" du trajet lumineux secondaire, définissant la portée arrière.

Question 3 : Distance M2 - Foyer Primaire (\(p\))

Principe

\(p\) représente la distance "objet" pour le miroir secondaire. L'objet pour M2 est en réalité l'image formée par M1 (son foyer F'1). Comme le miroir secondaire M2 est placé avant que les rayons ne convergent en F'1, cet objet est situé "derrière" le miroir. En optique, on dit que c'est un objet virtuel.

Mini-Cours

Dans les formules de grandissement pour un système centré, la relation est simple : le grandissement est le rapport des distances image/objet par rapport au centre optique (ou sommet dans l'approximation de Gauss). \( \gamma = \frac{\text{Image}}{\text{Objet}} = \frac{p'}{p} \). Connaissant le grandissement souhaité et la position de l'image, on en déduit immédiatement la position requise de l'objet virtuel.

Remarque Pédagogique

\(p\) est une distance "virtuelle" car la lumière n'atteint jamais physiquement le point F'1 ; elle est interceptée par M2 juste avant. C'est un concept clé pour comprendre pourquoi le secondaire est plus petit que le primaire.

Normes

Pas de norme spécifique, application stricte de l'optique géométrique paraxiale.

Formule(s)

Formules utilisées

Relation de grandissement

\gamma = \frac{p'}{p} \rightarrow p = \frac{p'}{\gamma}

Hypothèses

Mêmes hypothèses de Gauss : rayons proches de l'axe, angles faibles.

Rayons peu inclinés sur l'axe.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance Image	\(p'\)	866.67	\(\text{mm}\)
Grandissement	\(\gamma\)	4	-

Astuces

Vérifiez toujours que \(p < p'\). Dans un Cassegrain qui "agrandit" l'image, la distance image doit être plus grande que la distance objet (pour \(\gamma > 1\)). C'est le principe du levier optique.

Schéma - Relation p / p'

Calcul(s)

Conversion(s)

Aucune conversion requise, unités homogènes.

Unité

\text{mm}

Calcul intermédiaire

Le calcul est direct.

Calcul Principal

Application numérique

L'image se forme à 866.67 mm (notre \(p'\)). Comme le grandissement est de 4, l'objet (virtuel) doit être 4 fois plus proche du miroir pour respecter les lois de l'optique géométrique. Nous divisons donc la distance image par le facteur de grandissement.

\begin{aligned} p &= \frac{p'}{\gamma} \\ &= \frac{866.67}{4} \\ &= 216.67 \text{ mm} \end{aligned}

Cette distance \(p\) est la distance entre le miroir secondaire et le point où le miroir primaire *aurait* focalisé la lumière s'il n'y avait pas eu d'obstacle. C'est le point de focalisation théorique du miroir primaire.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Cette valeur indique que le miroir secondaire doit être placé environ 21.7 cm avant le foyer théorique du miroir primaire. C'est cette interception précoce qui permet de "replier" le faisceau.

Points de vigilance

Une erreur sur le calcul de \(p\) entraîne une erreur directe sur le positionnement du miroir secondaire dans le tube (\(e\)), rendant potentiellement la mise au point à l'infini impossible (on n'arrive pas à sortir le foyer du tube).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

\(p\) est la distance Objet-Miroir2 (objet virtuel).
Elle est exactement \(\gamma\) fois plus petite que \(p'\).

Le saviez-vous ?

La précision de positionnement du secondaire doit être inférieure au millimètre pour garantir la performance optique. Un décalage de M2 modifie la correction de l'aberration sphérique.

FAQ

Est-ce que p change si je change d'oculaire ?

Non, \(p\) est une caractéristique intrinsèque de la configuration des miroirs. L'oculaire n'intervient qu'après le plan focal F'. Par contre, si on fait la mise au point en bougeant M1, alors \(p\) change légèrement.

La distance M2 - Foyer Primaire (\(p\)) est de 216.67 mm.

A vous de jouer
Si \(\gamma = 5\) et \(p' = 1000\), que vaut \(p\) ?

📝 Mémo
p est le bras de levier court du grandissement, situé à l'intérieur du tube.

Question 4 : Rayon de courbure du secondaire (\(R_2\))

Principe

Le miroir secondaire doit transformer un objet virtuel situé à distance \(p\) en une image réelle située à distance \(p'\). C'est la courbure physique du miroir qui opère cette transformation optique. Nous cherchons le rayon de la sphère (ou de la base de l'hyperbole) qui génère cette vergence.

Mini-Cours

La relation de conjugaison pour un miroir sphérique lie les positions de l'objet et de l'image au rayon de courbure : \(1/\overline{SA'} + 1/\overline{SA} = 2/\overline{SC}\). Pour un miroir convexe (Cassegrain), le rayon est négatif selon la convention usuelle (centre de courbure "derrière" la surface réfléchissante par rapport à la lumière incidente) et il agit comme un élément divergent.

Remarque Pédagogique

Un miroir convexe diverge la lumière incidente. C'est cette divergence qui "repousse" le point de focalisation plus loin en arrière, augmentant la focale effective.

Normes

Signe du rayon : Négatif pour convexe (centre à droite, lumière venant de gauche). C'est la convention standard en optique géométrique (Descartes).

Formule(s)

Formules utilisées

Relation de conjugaison (distances)

\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{2}{R_2}

Convention de signe : Nous utilisons ici une forme adaptée où \(p\) et \(p'\) sont des distances positives absolues. Le signe négatif devant \(1/p\) vient du fait que l'objet est virtuel (situé "après" le miroir). Le résultat de \(R_2\) portera son propre signe.

Calcul direct du Rayon

R_2 = \frac{2 \cdot p \cdot p'}{p - p'}

Hypothèses

Miroir sphérique (approximation de premier ordre). En réalité, pour un vrai Cassegrain, il serait hyperbolique, et pour un Ritchey-Chrétien, les deux miroirs seraient hyperboliques. Mais le rayon de courbure au sommet reste le même (cercle osculateur).

Surface réfléchissante parfaite.
Rayon de courbure constant (sphérique).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance Objet	\(p\)	216.67	\(\text{mm}\)
Distance Image	\(p'\)	866.67	\(\text{mm}\)

Astuces

Le rayon secondaire est souvent proche de la moitié de la focale du primaire en valeur absolue, mais négatif. Si vous trouvez un rayon positif, vous avez conçu un télescope Grégorien (miroir concave) !

Schéma - Rayon de Courbure

Calcul(s)

Conversion(s)

Aucune.

Unité

\text{mm}

Calcul intermédiaire

Pour appliquer la formule du rayon, calculons d'abord le produit des distances (numérateur) et leur différence (dénominateur).

Détail du numérateur (produit des distances) :

\begin{aligned} 2 \times p \times p' &= 2 \times 216.67 \times 866.67 \\ &\approx 375562.22 \end{aligned}

Calculons maintenant le dénominateur. Attention, comme \(p < p'\), ce terme sera négatif.

Détail du dénominateur (différence des distances) :

\begin{aligned} p - p' &= 216.67 - 866.67 \\ &= -650 \end{aligned}

C'est ce signe "moins" au dénominateur, issu du fait que \(p' > p\), qui va donner un rayon négatif (convexe).

Calcul Principal

Application numérique

Il ne reste plus qu'à diviser le double du produit par cette différence pour obtenir le rayon de courbure.

\begin{aligned} R_2 &= \frac{375562.22}{-650} \\ &\approx -577.79 \text{ mm} \end{aligned}

Le signe négatif final est crucial : il indique physiquement que le miroir est bombé vers la lumière (convexe).

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le rayon est négatif, ce qui confirme que le miroir est convexe. Sa valeur (environ 580 mm) est physiquement réalisable par les techniques de polissage standard.

Points de vigilance

Une erreur de signe au dénominateur rendrait le miroir concave (type Grégorien), ce qui changerait toute la conception optique et mécanique (le tube serait beaucoup plus long car le foyer serait réel entre les deux miroirs).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Cassegrain = Miroir secondaire Convexe (R < 0).
Le rayon de courbure est le double de la focale du miroir (\(R = 2f\)).

Le saviez-vous ?

Pour être parfaitement stigmatique (image nette), la combinaison doit être : Primaire Parabolique + Secondaire Hyperbolique. C'est la configuration classique qui élimine l'aberration sphérique sur l'axe.

FAQ

Peut-on utiliser un miroir sphérique ?

Oui, dans un Dall-Kirkham (Primaire Elliptique + Secondaire Sphérique), ce qui est plus facile à fabriquer mais a plus de coma hors axe.

Le rayon de courbure \(R_2\) est de -577.8 mm (Convexe).

A vous de jouer
Calculez la focale \(f'_2 = R_2 / 2\).

📝 Mémo
R2 détermine la puissance divergente du secondaire.

Question 5 : Distance inter-miroirs (\(e\))

Principe

Ce paramètre définit la longueur physique du tube optique. C'est la distance séparant le sommet du miroir primaire de celui du miroir secondaire. C'est un paramètre critique pour la mécanique (longueur des barres ou du tube) et pour le calcul du vignetage.

Mini-Cours

Dans un Cassegrain, le miroir secondaire intercepte le cône de lumière avant qu'il n'atteigne le foyer primaire F'1. La distance \(e\) est donc nécessairement inférieure à la focale du miroir primaire \(f'_1\). C'est ce repliement qui fait la force du système.

Remarque Pédagogique

Observez la compacité du système : pour obtenir une focale équivalente de 2 mètres (2000 mm), le tube sera beaucoup plus court que la focale réelle.

Normes

Distance mécanique toujours positive. Elle se mesure entre les sommets optiques des surfaces réfléchissantes.

Formule(s)

Formules utilisées

Géométrie axiale

\[ e = f'_1 - p \]

Le secondaire est placé à une distance \(p\) "en avant" du foyer du primaire (F'1). La distance totale du primaire au foyer est \(f'_1\), on retranche \(p\) pour trouver la position du secondaire.

Hypothèses

Alignement coaxial parfait.

Structure mécanique infiniment rigide (pas de flexion faisant varier \(e\)).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Focale Primaire	\(f'_1\)	500	\(\text{mm}\)
Distance M2-F1	\(p\)	216.67	\(\text{mm}\)

Astuces

L'encombrement total du télescope sera environ égal à \(e\) + l'épaisseur du barillet + le porte-oculaire. C'est très compact ! Pour un Newton de même focale, le tube ferait 2 mètres de long.

Schéma - Distance e

Calcul(s)

Conversion(s)

Aucune.

Unité

\text{mm}

Calcul intermédiaire

Soustraction simple.

Calcul Principal

Application numérique

La lumière parcourt la focale du primaire (\(f'_1\)) sauf la dernière partie (\(p\)) qui est 'coupée' par l'interposition du secondaire.

\begin{aligned} e &= 500 - 216.67 \\ &= 283.33 \text{ mm} \end{aligned}

On soustrait simplement la distance \(p\) calculée précédemment à la focale native du miroir primaire.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Pour une focale de 2000 mm, le tube fait moins de 30 cm de long. C'est spectaculaire comparé à une lunette astronomique de même focale qui mesurerait 2 mètres ! Cela permet d'utiliser une monture plus légère et moins coûteuse.

Points de vigilance

Si \(e\) est trop petit (secondaire trop proche du primaire), le miroir secondaire devra être plus grand pour intercepter tout le cône de lumière, ce qui augmente l'obstruction centrale et réduit le contraste.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

\(e\) est la longueur mécanique.
\(e < f'_1\).
C'est le compromis encombrement / obstruction.

Le saviez-vous ?

Le tube d'un Schmidt-Cassegrain 8 pouces (2000 mm de focale) mesure typiquement environ 430 mm hors tout, incluant le barillet et la lame, ce qui est cohérent avec notre calcul optique pur de 283 mm auquel s'ajoute la mécanique.

FAQ

Peut-on modifier e ?

Oui, en tournant la molette de mise au point sur un SC, on déplace le miroir primaire, ce qui change \(e\) et permet de focaliser à différentes distances (de quelques mètres à l'infini).

La distance inter-miroirs est de 283.33 mm.

A vous de jouer
Si le tube mesurait 300 mm, quelle serait la valeur de \(p\) ?

📝 Mémo
Le Cassegrain : un géant optique dans un corps de nain mécanique.

Schéma Bilan du Cassegrain

Récapitulatif des dimensions calculées.

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Voici la synthèse des points clés pour la conception Cassegrain :

🔑
Point Clé 1 : Compacité
Le Cassegrain replie le trajet optique, permettant une grande focale (grossissement) dans un tube très court.
📐
Point Clé 2 : Grandissement du Secondaire
\(\gamma\) définit le facteur multiplicateur de la focale primaire. C'est le cœur du design.
⚠️
Point Clé 3 : Obstruction Centrale
Le miroir secondaire bloque une partie de la lumière entrant dans M1, ce qui réduit le contraste (contrairement aux lunettes).
💡
Point Clé 4 : Miroirs non sphériques
Pour corriger l'aberration sphérique, M1 est souvent parabolique et M2 hyperbolique.

"Un petit miroir pour un grand voyage dans l'univers."

🎛️ Simulateur : Impact de la position du secondaire

Modifiez la distance entre les miroirs pour voir l'effet sur le tirage (Backfocus) et la focale résultante.

Paramètres

Distance Inter-Miroirs (e) en mm : 283

Focale Primaire (f'1) Fixe : 500

Tirage Arrière (B) : -

Focale Résultante : -

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la forme typique du miroir secondaire d'un Cassegrain classique ?

Convexe Hyperbolique
Concave Parabolique
Plan

2. Si on rapproche les deux miroirs (diminution de e), la focale résultante...

Diminue
Augmente (le plan focal recule)

📚 Glossaire

Backfocus: Distance disponible à l'arrière du télescope pour placer les accessoires (porte-oculaire, caméra, renvoi coudé).
Obstruction: Pourcentage du diamètre (ou de la surface) du miroir primaire caché par le miroir secondaire.
Focale: Distance entre le centre optique et le foyer où convergent les rayons parallèles.
Collimation: Procédure d'alignement précis des axes optiques des miroirs.
Défocalisation: Action de déplacer le plan focal, souvent utilisée pour la mise au point.

Le Saviez-vous ?

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Conception d’un Télescope de Type Cassegrain

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Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma de Principe Cassegrain

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Conception d'un Télescope de Type Cassegrain

Question 1 : Calcul du grandissement (\(\gamma\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma - Comparaison des Focales

Calcul(s)

Conversion(s)

Calcul intermédiaire

Calcul Principal

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Distance M2 - Foyer Final (\(p'\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma - Visualisation de p'

Calcul(s)

Conversion(s)

Calcul intermédiaire

Calcul Principal

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Distance M2 - Foyer Primaire (\(p\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma - Relation p / p'

Calcul(s)

Conversion(s)

Calcul intermédiaire

Calcul Principal

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Rayon de courbure du secondaire (\(R_2\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces