ÉTUDE DE PHYSIQUE

Analyse de la Lumière Polarisée Circulairement

Optique : Analyse de la Lumière Polarisée Circulairement à l'aide d'une Lame Quart d'Onde

Analyse de la Lumière Polarisée Circulairement à l'aide d'une Lame Quart d'Onde

Contexte : Révéler la Nature de la Lumière

La polarisation est une propriété fondamentale de la lumière décrivant l'orientation de l'oscillation de son champ électrique. Si la lumière non polarisée oscille dans toutes les directions, la lumière polarisée a une direction d'oscillation privilégiée. Un cas particulier fascinant est la lumière polarisée circulairementLumière où le vecteur champ électrique tourne à une vitesse constante dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation, décrivant un cercle., où le vecteur champ électrique tourne en décrivant un cercle. Cet état ne peut être distingué d'une lumière non polarisée avec un simple polariseur linéaire. Pour l'analyser, on utilise une lame quart d'ondeUn composant optique qui introduit un déphasage de 90° (ou π/2 radians) entre deux composantes orthogonales de la lumière polarisée., qui a la propriété de transformer la lumière polarisée circulairement en lumière polarisée linéairement, facilement identifiable.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est au cœur de la manipulation et de l'analyse des états de polarisation. Le formalisme des vecteurs et matrices de Jones est un outil mathématique puissant et élégant pour suivre la transformation de la lumière à travers des composants optiques. Maîtriser cette technique permet de prédire et de comprendre le fonctionnement de nombreux dispositifs, des lunettes de soleil 3D aux systèmes de communication par fibre optique.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et utiliser le formalisme des vecteurs de JonesUne représentation mathématique (vecteur colonne à deux éléments complexes) de l'état de polarisation de la lumière. pour décrire la lumière polarisée.
  • Comprendre le rôle et la représentation matricielle d'une lame quart d'onde.
  • Appliquer le calcul matriciel pour déterminer l'effet d'un composant optique sur un état de polarisation.
  • Analyser un vecteur de Jones résultant pour identifier l'état de polarisation final (linéaire, circulaire, elliptique).
  • Vérifier expérimentalement (par la pensée) comment identifier une lumière polarisée circulairement.

Données de l'étude

Un faisceau de lumière polarisée circulairement droite se propage le long de l'axe z. Ce faisceau traverse une lame quart d'onde dont l'axe rapide est orienté horizontalement (le long de l'axe x).

Schéma de l'Expérience
Lumière Circulaire Droite Lame λ/4 Axe Rapide Lumière Polarisée Linéairement 45°

Données :

  • Le vecteur de Jones normalisé pour une lumière polarisée circulairement droite est : \( \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \).
  • La matrice de Jones pour une lame quart d'onde avec son axe rapide horizontal est : \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \).

Questions à traiter

  1. Écrire le vecteur de Jones \(V_{\text{in}}\) de la lumière incidente.
  2. Calculer le vecteur de Jones \(V_{\text{out}}\) de la lumière après son passage à travers la lame quart d'onde.
  3. Analyser le vecteur \(V_{\text{out}}\) et décrire l'état de polarisation de la lumière sortante (type et orientation).

Correction : Analyse de la Lumière Polarisée Circulairement à l'aide d'une Lame Quart d'Onde

Question 1 : Vecteur de Jones de la Lumière Incidente

Principe :
ExEy

Le vecteur de Jones est un vecteur colonne qui décrit l'état de polarisation de la lumière. Ses deux composantes complexes représentent l'amplitude et la phase des composantes du champ électrique le long des axes x et y. Pour une lumière polarisée circulairement droite, les amplitudes sur x et y sont égales, et la composante y est en retard de phase de 90° (\(-i\)) par rapport à la composante x.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le facteur de normalisation \(1/\sqrt{2}\) assure que l'intensité du faisceau est égale à 1 (\(|E_x|^2 + |E_y|^2 = 1\)). C'est une convention qui simplifie les calculs d'intensité, mais l'état de polarisation est entièrement contenu dans le rapport et le déphasage des composantes.

Formule(s) utilisée(s) :

La forme générale d'un vecteur de Jones est :

\[ V = \begin{pmatrix} E_{0x} e^{i\phi_x} \\ E_{0y} e^{i\phi_y} \end{pmatrix} \]
Donnée(s) :

L'énoncé fournit directement le vecteur de Jones normalisé pour la lumière polarisée circulairement droite.

Calcul(s) :

Il n'y a pas de calcul à effectuer, il s'agit simplement de retranscrire la donnée de l'énoncé.

\[ V_{\text{in}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \]
Points de vigilance :

Droite vs. Gauche : Attention à ne pas confondre la polarisation circulaire droite (\(-i\)) et gauche (\(+i\)). Le signe du déphasage détermine le sens de rotation du champ électrique pour un observateur qui reçoit la lumière.

Le saviez-vous ?

Certains animaux, comme les crevettes-mantes, possèdent une vision capable de distinguer directement la lumière polarisée circulairement. Leurs yeux contiennent des photorécepteurs qui agissent comme des lames quart d'onde miniatures.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi utiliser des nombres complexes ?

Les nombres complexes sont un moyen très compact de représenter à la fois une amplitude (le module) et une phase (l'argument). Le terme \(e^{i\phi}\) contient toute l'information sur le déphasage d'une onde, ce qui est beaucoup plus simple à manipuler que de travailler avec des fonctions cosinus et sinus.

Résultat : Le vecteur de Jones de la lumière incidente est \(V_{\text{in}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}\).

Question 2 : Calcul du Vecteur de Jones de Sortie

Principe :
V_in M_qwp V_out = M_qwp * V_in

L'effet d'un composant optique sur l'état de polarisation de la lumière est modélisé par une multiplication matricielle. Le vecteur de Jones de la lumière sortante, \(V_{\text{out}}\), est obtenu en multipliant la matrice de Jones du composant (ici, la lame quart d'onde \(M_{\text{QWP}}\)) par le vecteur de Jones de la lumière entrante, \(V_{\text{in}}\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'ordre de la multiplication est crucial ! La lumière "traverse" les matrices de droite à gauche. Si on avait plusieurs composants, \(M_1\) puis \(M_2\), le calcul serait \(V_{\text{out}} = M_2 \times M_1 \times V_{\text{in}}\). C'est une convention standard en optique matricielle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_{\text{out}} = M_{\text{QWP}} \times V_{\text{in}} \]
Donnée(s) :
  • Vecteur incident \(V_{\text{in}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}\)
  • Matrice de la lame \(M_{\text{QWP}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} V_{\text{out}} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} (1 \times 1) + (0 \times -i) \\ (0 \times 1) + (i \times -i) \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i^2 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -(-1) \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Algèbre complexe : La principale difficulté ici est de se souvenir des règles de base de l'algèbre complexe, en particulier que \(i^2 = -1\). Une erreur sur ce point change complètement la nature de la polarisation de sortie.

Le saviez-vous ?

Le formalisme de Jones a été inventé par le physicien américain Robert C. Jones en 1941. Il a développé cette méthode élégante alors qu'il travaillait pour la société Polaroid, qui était à la pointe de la technologie de la polarisation à l'époque.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passerait-il si la lame était tournée ?

Si l'axe rapide de la lame était tourné d'un angle \(\theta\), il faudrait appliquer une matrice de rotation \(R(\theta)\) avant la matrice de la lame, et une rotation inverse \(R(-\theta)\) après. La matrice totale serait \(M = R(-\theta) M_{\text{QWP}} R(\theta)\). Le résultat final serait différent, produisant en général une lumière polarisée elliptiquement.

Résultat : Le vecteur de Jones de la lumière sortante est \(V_{\text{out}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Question 3 : Analyse de la Polarisation de Sortie

Principe :
ExEy E_out 45°

L'analyse du vecteur de Jones de sortie permet d'identifier l'état de polarisation. Si les deux composantes sont réelles (pas de terme en \(i\)), la lumière est polarisée linéairement. L'angle de cette polarisation par rapport à l'horizontale est donné par l'arc tangente du rapport des composantes \(E_y / E_x\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la confirmation du principe. Une lame quart d'onde transforme bien une polarisation circulaire en une polarisation linéaire. L'orientation de cette polarisation linéaire (ici 45°) dépend de l'orientation de l'axe rapide de la lame et du sens de la polarisation circulaire (droite ou gauche).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Angle d'orientation } \theta = \arctan\left(\frac{E_y}{E_x}\right) \]
Donnée(s) :
  • Vecteur de sortie \(V_{\text{out}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Calcul(s) :

1. Identification du type : Les composantes \(E_x = 1/\sqrt{2}\) et \(E_y = 1/\sqrt{2}\) sont toutes les deux réelles. Il n'y a donc pas de déphasage entre elles. La lumière est polarisée linéairement.

2. Calcul de l'orientation :

\[ \begin{aligned} \theta &= \arctan\left(\frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\right) \\ &= \arctan(1) \\ &= 45^{\circ} \text{ ou } \frac{\pi}{4} \, \text{rad} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Interprétation du vecteur : Il est crucial de bien interpréter le vecteur final. Si une composante est complexe, la polarisation est elliptique (ou circulaire si le déphasage est de \(\pm 90^\circ\) et les amplitudes sont égales). Si les deux sont réelles, elle est linéaire.

Le saviez-vous ?

Les lunettes utilisées pour le cinéma 3D moderne (type RealD) utilisent des polariseurs circulaires. Chaque œil reçoit une lumière polarisée circulairement dans un sens opposé (droite pour un œil, gauche pour l'autre). La lame quart d'onde intégrée aux lunettes transforme ces lumières en deux polarisations linéaires orthogonales, permettant de séparer les images destinées à chaque œil.

FAQ en rapport avec la question :
Et si la lumière incidente était circulaire gauche ?

Si la lumière était circulaire gauche, son vecteur serait \(V_{\text{in}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}\). Après la lame, on aurait \(V_{\text{out}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). C'est une lumière polarisée linéairement, mais cette fois à -45°.

Résultat : La lumière sortante est polarisée linéairement à 45° par rapport à l'horizontale.

Simulation Interactive de la Lame d'Onde

Faites varier l'angle de l'axe rapide de la lame quart d'onde et observez comment l'état de polarisation de la lumière en sortie est modifié. La lumière incidente est toujours polarisée circulairement droite.

Paramètres de la Lame
Type de Polarisation
Orientation
Visualisation de la Polarisation de Sortie

Pour Aller Plus Loin : Lame Demi-Onde

Faire tourner la polarisation : Une lame demi-onde (\(\lambda/2\)) introduit un déphasage de 180° (\(\pi\) radians). Sa matrice de Jones est \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\). Si on fait passer une lumière polarisée linéairement à un angle \(\theta\) à travers une lame demi-onde, la lumière en sortie sera toujours polarisée linéairement, mais à un angle \(-\theta\). Si la lame elle-même est tournée d'un angle \(\alpha\), elle fait tourner le plan de polarisation de la lumière d'un angle de \(2\alpha\). C'est un outil essentiel pour contrôler précisément l'orientation de la polarisation.

Le Saviez-Vous ?

Les écrans LCD (Liquid Crystal Display) de vos téléphones, moniteurs et téléviseurs fonctionnent grâce à la polarisation. Chaque pixel contient des cristaux liquides qui, sous l'effet d'une tension électrique, peuvent faire tourner le plan de polarisation de la lumière. En plaçant ces pixels entre deux polariseurs croisés, on peut contrôler la quantité de lumière qui passe, et donc créer une image.

Foire Aux Questions (FAQ)

Peut-on transformer une lumière non polarisée en lumière circulaire ?

Oui, mais cela nécessite deux étapes. Il faut d'abord utiliser un polariseur linéaire pour créer une lumière polarisée linéairement. Ensuite, on fait passer cette lumière à travers une lame quart d'onde dont l'axe rapide est orienté à 45° par rapport à la direction de la polarisation linéaire. Cela divise la lumière en deux composantes d'amplitudes égales et les déphase de 90°, créant ainsi une lumière polarisée circulairement.

Qu'est-ce qu'un "axe rapide" et un "axe lent" ?

Une lame à retard (comme une lame quart d'onde) est fabriquée dans un matériau biréfringent. Cela signifie que l'indice de réfraction n'est pas le même dans toutes les directions. La lumière polarisée parallèlement à "l'axe rapide" se propage plus vite (indice de réfraction plus faible) que la lumière polarisée parallèlement à "l'axe lent". C'est cette différence de vitesse qui crée un déphasage entre les deux composantes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si une lumière polarisée linéairement à 45° traverse une lame quart d'onde avec son axe rapide horizontal, la lumière sortante sera :

2. Pour analyser une lumière dont on ignore si elle est non polarisée ou polarisée circulairement, la meilleure méthode est de :

Glossaire

Vecteur de Jones
Une représentation mathématique (vecteur colonne à deux éléments complexes) de l'état de polarisation de la lumière, décrivant l'amplitude et la phase des composantes du champ électrique.
Lame Quart d'Onde (λ/4)
Un composant optique biréfringent qui introduit un déphasage de 90° (π/2 radians) entre les composantes de la lumière polarisées le long de son axe rapide et de son axe lent.
Lumière Polarisée Circulairement
Un état de polarisation où le vecteur champ électrique de la lumière tourne en décrivant un cercle dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation.
Lumière Polarisée Linéairement
Un état de polarisation où le champ électrique oscille le long d'une seule et même direction.
Axe Rapide
L'axe d'un matériau biréfringent pour lequel l'indice de réfraction est le plus faible, et donc la vitesse de la lumière polarisée selon cet axe est la plus élevée.
Analyse de la Lumière Polarisée Circulairement à l'aide d'une Lame Quart d'Onde

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