Étude de la Réfraction et de la Transmission
Comprendre l’Étude de la Réfraction et de la Transmission
Un faisceau lumineux monocouleur se propage dans l’air et atteint la surface d’un prisme en verre. Le prisme a une forme triangulaire avec un angle au sommet \( A = 60^\circ \). L’indice de réfraction de l’air est \( n_{\text{air}} = 1.00 \) et celui du verre est \( n_{\text{verre}} = 1.52 \). Le faisceau lumineux incident fait un angle de \( 30^\circ \) avec la normale à la surface d’entrée du prisme.
Données supplémentaires:
- Le faisceau lumineux incident a une longueur d’onde de \( 550 \, \text{nm} \).
- Analyser également la dépendance de l’angle de réfraction et de la réflexion totale interne en fonction de la longueur d’onde de la lumière incidente.
- Considérer l’effet de la dispersion due à la variation de l’indice de réfraction avec la longueur d’onde, où \( n_{\text{verre}}(\lambda) = 1.45 + \frac{0.007}{\lambda^2} \) (où \( \lambda \) est la longueur d’onde en micromètres).
Question:
Calculer l’angle de réfraction à l’intérieur du prisme au point d’entrée, l’angle d’incidence sur la deuxième face du prisme et déterminer si la lumière subit une réflexion totale interne à cette deuxième face.
Correction : Étude de la Réfraction et de la Transmission
1. Calcul de l’angle de réfraction à l’entrée du prisme
Données
- Indice de l’air : \( n_{\text{air}} = 1.00 \)
- Indice du verre (cas sans dispersion initial) : \( n_{\text{verre}} = 1.52 \)
- Angle d’incidence sur la face d’entrée : \( i_1 = 30^\circ \)
Formule de Snell-Descartes :
\[ n_{\text{air}} \sin i_1 = n_{\text{verre}} \sin r_1 \]
Calcul
On calcule l’angle \( r_1 \) (l’angle de réfraction à l’entrée) :
1. Isoler \( \sin r_1 \) :
\[ \sin r_1 = \frac{n_{\text{air}}}{n_{\text{verre}}} \sin i_1 = \frac{1.00}{1.52} \sin 30^\circ \]
2. Rappel : \( \sin 30^\circ = 0.5 \), donc
\[ \sin r_1 = \frac{0.5}{1.52} \approx 0.329 \]
3. En déduire \( r_1 \) :
\[ r_1 = \arcsin(0.329) \approx 19.2^\circ \]
2. Calcul de l’angle d’incidence sur la deuxième face
Données et explication géométrique
Le prisme est de forme triangulaire avec un angle au sommet \( A = 60^\circ \). Une fois le faisceau réfracté à l’entrée, il se propage dans le verre et atteint la deuxième face. Par la géométrie du prisme, la relation entre l’angle \( r_1 \) à l’entrée et l’angle \( r_2 \) (angle de réfraction interne relatif à la normale sur la seconde face) est donnée par :
\[ r_1 + r_2 = A \]
D’où :
\[ r_2 = A – r_1 \]
Calcul
En substituant les valeurs :
\[ r_2 = 60^\circ – 19.2^\circ \approx 40.8^\circ \]
Ce \( r_2 \) correspond à l’angle d’incidence \( i_2 \) sur la deuxième face (lorsque le faisceau va du verre vers l’air).
3. Vérification de la réflexion totale interne
Formule de l’angle critique
Pour la transition verre \(\rightarrow\) air, la réflexion totale interne se produit si l’angle d’incidence \( i_2 \) est supérieur à l’angle critique \( \theta_c \), défini par :
\[ \sin \theta_c = \frac{n_{\text{air}}}{n_{\text{verre}}} \]
Avec \( n_{\text{air}} = 1.00 \) et \( n_{\text{verre}} = 1.52 \) :
\[ \sin \theta_c = \frac{1}{1.52} \approx 0.6579 \quad \Rightarrow \quad \theta_c = \arcsin(0.6579) \approx 41.1^\circ \]
Analyse
- L’angle d’incidence sur la deuxième face est \( i_2 \approx 40.8^\circ \).
- Puisque \( 40.8^\circ < 41.1^\circ \), la condition de réflexion totale interne n’est pas remplie ; le faisceau subira donc une réfraction en sortant du prisme.
4. Analyse de la dépendance en fonction de la longueur d’onde (dispersion)
a. Expression de l’indice du verre
En tenant compte de la dispersion, l’indice du verre varie selon la longueur d’onde \( \lambda \) (exprimée en micromètres) selon :
\[ n_{\text{verre}}(\lambda) = 1.45 + 0.007 \lambda^2 \]
Pour la longueur d’onde \( \lambda = 550\,\text{nm} \) (soit \( \lambda = 0.55\,\mu\text{m} \)) :
1. Calcul de \( n_{\text{verre}}(0.55) \) :
\[ n_{\text{verre}}(0.55) = 1.45 + 0.007 \times (0.55)^2 \] \[ n_{\text{verre}}(0.55) \approx 1.45 + 0.00212 = 1.4521 \]
b. Nouveau calcul de \( r_1 \)
En appliquant la loi de Snell-Descartes avec \( n_{\text{verre}}(0.55) \) :
1. Formule :
\[ \sin r_1 = \frac{1.00}{1.4521} \sin 30^\circ = \frac{0.5}{1.4521} \approx 0.3446 \]
2. On obtient :
\[ r_1 \approx \arcsin(0.3446) \approx 20.2^\circ \]
c. Calcul de \( r_2 \) (angle d’incidence sur la deuxième face)
Toujours par la relation géométrique :
\[ r_2 = A – r_1 \] \[ r_2 = 60^\circ – 20.2^\circ \approx 39.8^\circ \]
d. Nouveau calcul de l’angle critique
Avec \( n_{\text{verre}}(0.55) = 1.4521 \) :
\[ \sin \theta_c = \frac{1}{1.4521} \approx 0.6889 \quad \Rightarrow \quad \theta_c \approx \arcsin(0.6889) \approx 43.4^\circ \]
e. Conclusion sur l’effet de la dispersion
- Angle de réfraction à l’entrée : L’augmentation de \( n_{\text{verre}} \) (même légère) conduit à un angle \( r_1 \) plus grand (passant de \( 19.2^\circ \) à environ \( 20.2^\circ \) pour \( \lambda=550\,\text{nm} \)).
- Angle sur la deuxième face : Il devient légèrement plus faible (\( 60^\circ – 20.2^\circ = 39.8^\circ \)).
- Réflexion totale interne : L’angle critique augmente (passant de \( 41.1^\circ \) à \( 43.4^\circ \)). Ainsi, pour \( \lambda=550\,\text{nm} \), l’angle d’incidence (\( 39.8^\circ \)) reste bien inférieur au nouvel angle critique, et il n’y a donc toujours pas de réflexion totale interne.
De manière générale, la dispersion (variation de \( n_{\text{verre}} \) avec \( \lambda \)) induit des modifications très faibles des angles de réfraction pour de petites variations de \( \lambda \). Toutefois, pour des longueurs d’onde très différentes, l’indice (et donc les angles) variera davantage, modifiant ainsi la condition de réflexion totale interne.
Étude de la Réfraction et de la Transmission
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