ÉTUDE DE PHYSIQUE

Analyse Dynamique du Flux Sanguin

Analyse Dynamique du Flux Sanguin en Biophysique

Analyse Dynamique du Flux Sanguin en Biophysique

Comprendre la Dynamique du Flux Sanguin

La biophysique du système cardiovasculaire étudie les principes physiques qui régissent la circulation sanguine. Le sang, bien que n'étant pas un fluide newtonien simple, peut souvent être modélisé comme tel pour des analyses de base dans les grosses artères. La loi de Poiseuille décrit l'écoulement laminaire d'un fluide visqueux dans un tube cylindrique rigide. Elle relie le débit volumique (\(Q_v\)) à la différence de pression (\(\Delta P\)) entre les extrémités du tube, au rayon (\(r\)) du tube, à sa longueur (\(L\)), et à la viscosité (\(\eta\)) du fluide. Comprendre ces relations est essentiel pour analyser les conditions normales et pathologiques de la circulation, comme l'hypertension ou les sténoses artérielles.

Données de l'étude : Flux Sanguin dans une Artère

On considère une section d'une artère principale assimilée à un tube cylindrique rigide. Le sang s'écoule de manière laminaire.

  • Rayon interne de l'artère (\(r\)) : \(2.5 \, \text{mm}\)
  • Longueur de la section d'artère considérée (\(L\)) : \(10.0 \, \text{cm}\)
  • Différence de pression entre les extrémités de la section (\(\Delta P\)) : \(120 \, \text{Pa}\) (Pascals)
  • Viscosité du sang (\(\eta\)) : \(4.0 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}\) (Pascal-seconde)

Constantes et informations :

  • \(\pi \approx 3.14159\)
  • Conversions : \(1 \, \text{mm} = 10^{-3} \, \text{m}\) ; \(1 \, \text{cm} = 10^{-2} \, \text{m}\)
  • Conversion de débit : \(1 \, \text{L/min} = \frac{10^{-3} \, \text{m}^3}{60 \, \text{s}}\)
Schéma : Flux Sanguin dans une Section d'Artère
P₁ P₂ (P₁>P₂) Flux Sanguin (Qv) Longueur L r Écoulement laminaire dans une artère.

Le sang s'écoule d'une région de haute pression (P₁) vers une région de basse pression (P₂).

Questions à traiter

  1. Convertir le rayon de l'artère en mètres (m) et la longueur de la section en mètres (m).
  2. Calculer le débit volumique (\(Q_v\)) du sang dans cette section de l'artère en \(\text{m}^3/\text{s}\), en utilisant la loi de Poiseuille.
  3. Convertir le débit volumique calculé en Litres par minute (L/min).
  4. Calculer la résistance hydrodynamique (\(R_h\)) de cette section d'artère.
  5. Calculer la vitesse moyenne (\(\bar{v}\)) du sang dans cette section d'artère. (Rappel : \(Q_v = A \cdot \bar{v}\), où \(A\) est l'aire de la section transversale de l'artère).

Correction : Analyse Dynamique du Flux Sanguin

Question 1 : Conversion des dimensions

Principe :

Les dimensions doivent être converties en unités SI de base (mètres) pour les calculs.

Données spécifiques :
  • Rayon (\(r\)) : \(2.5 \, \text{mm}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(10.0 \, \text{cm}\)
Calculs :
\[ \begin{aligned} r (\text{m}) &= 2.5 \, \text{mm} \times 10^{-3} \, \text{m/mm} \\ &= 0.0025 \, \text{m} \\ L (\text{m}) &= 10.0 \, \text{cm} \times 10^{-2} \, \text{m/cm} \\ &= 0.100 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Rayon de l'artère : \(r = 0.0025 \, \text{m}\) (ou \(2.5 \times 10^{-3} \, \text{m}\))
  • Longueur de la section : \(L = 0.100 \, \text{m}\)

Question 2 : Calcul du débit volumique (\(Q_v\)) en \(\text{m}^3/\text{s}\)

Principe :

La loi de Poiseuille pour un écoulement laminaire dans un tube cylindrique est : \(Q_v = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_v = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L} \]
Données spécifiques :
  • \(r = 0.0025 \, \text{m}\)
  • \(\Delta P = 120 \, \text{Pa}\)
  • \(\eta = 4.0 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
  • \(L = 0.100 \, \text{m}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :

Calcul de \(r^4\):

\[ r^4 = (0.0025 \, \text{m})^4 = (2.5 \times 10^{-3} \, \text{m})^4 = 39.0625 \times 10^{-12} \, \text{m}^4 \]
\[ \begin{aligned} Q_v &= \frac{\pi \times (39.0625 \times 10^{-12} \, \text{m}^4) \times (120 \, \text{Pa})}{8 \times (4.0 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}) \times (0.100 \, \text{m})} \\ &= \frac{3.14159 \times 39.0625 \times 120 \times 10^{-12}}{8 \times 4.0 \times 0.100 \times 10^{-3}} \, \frac{\text{m}^4 \cdot \text{Pa}}{\text{Pa} \cdot \text{s} \cdot \text{m}} \\ &= \frac{14726.2}{3.2 \times 10^{-3}} \times 10^{-12} \, \text{m}^3/\text{s} \\ &= \frac{14726.2}{3.2} \times 10^{-9} \, \text{m}^3/\text{s} \\ &\approx 4601.94 \times 10^{-9} \, \text{m}^3/\text{s} \\ &\approx 4.602 \times 10^{-6} \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le débit volumique du sang est \(Q_v \approx 4.60 \times 10^{-6} \, \text{m}^3/\text{s}\).

Question 3 : Conversion du débit volumique en L/min

Principe :

On utilise les facteurs de conversion : \(1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{L}\) et \(1 \, \text{min} = 60 \, \text{s}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_v (\text{L/min}) = Q_v (\text{m}^3/\text{s}) \times \frac{1000 \, \text{L}}{1 \, \text{m}^3} \times \frac{60 \, \text{s}}{1 \, \text{min}} \]
Données spécifiques :
  • \(Q_v \approx 4.60194 \times 10^{-6} \, \text{m}^3/\text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_v (\text{L/min}) &= (4.60194 \times 10^{-6} \, \text{m}^3/\text{s}) \times 1000 \times 60 \, \text{L} \cdot \text{s} / (\text{m}^3 \cdot \text{min}) \\ &= 4.60194 \times 10^{-3} \times 60 \, \text{L/min} \\ &= 0.2761164 \, \text{L/min} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le débit volumique est d'environ \(0.276 \, \text{L/min}\).

Question 4 : Résistance hydrodynamique (\(R_h\))

Principe :

La résistance hydrodynamique (\(R_h\)) est analogue à la résistance électrique dans la loi d'Ohm. Elle est définie par \(R_h = \frac{\Delta P}{Q_v}\). Pour un écoulement de Poiseuille, elle est aussi donnée par \(R_h = \frac{8 \eta L}{\pi r^4}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_h = \frac{\Delta P}{Q_v} \quad \text{ou} \quad R_h = \frac{8 \eta L}{\pi r^4} \]
Données spécifiques :
  • \(\Delta P = 120 \, \text{Pa}\)
  • \(Q_v \approx 4.60194 \times 10^{-6} \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • (Alternativement : \(\eta = 4.0 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}\), \(L = 0.100 \, \text{m}\), \(r = 0.0025 \, \text{m}\), \(\pi r^4 \approx 1.227 \times 10^{-10} \, \text{m}^4\))
Calcul avec \(\Delta P / Q_v\) :
\[ \begin{aligned} R_h &= \frac{120 \, \text{Pa}}{4.60194 \times 10^{-6} \, \text{m}^3/\text{s}} \\ &\approx 26075800 \, \text{Pa} \cdot \text{s} \cdot \text{m}^{-3} \\ &\approx 2.61 \times 10^7 \, \text{Pa} \cdot \text{s} \cdot \text{m}^{-3} \end{aligned} \]

Calcul avec l'autre formule :

\[ \begin{aligned} R_h &= \frac{8 \times (4.0 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}) \times (0.100 \, \text{m})}{\pi \times (39.0625 \times 10^{-12} \, \text{m}^4)} \\ &= \frac{0.0032}{122.718 \times 10^{-12}} \, \text{Pa} \cdot \text{s} \cdot \text{m}^{-3} \\ &\approx 0.026076 \times 10^9 \, \text{Pa} \cdot \text{s} \cdot \text{m}^{-3} \\ &\approx 2.61 \times 10^7 \, \text{Pa} \cdot \text{s} \cdot \text{m}^{-3} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La résistance hydrodynamique de la section d'artère est \(R_h \approx 2.61 \times 10^7 \, \text{Pa} \cdot \text{s} \cdot \text{m}^{-3}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le rayon d'une artère diminue de moitié (sténose), sa résistance à l'écoulement (en supposant un flux de Poiseuille) :

Question 5 : Vitesse moyenne (\(\bar{v}\)) du sang

Principe :

Le débit volumique (\(Q_v\)) est égal au produit de l'aire de la section transversale (\(A = \pi r^2\)) par la vitesse moyenne du fluide (\(\bar{v}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_v = A \cdot \bar{v} \Rightarrow \bar{v} = \frac{Q_v}{A} = \frac{Q_v}{\pi r^2} \]
Données spécifiques :
  • \(Q_v \approx 4.60194 \times 10^{-6} \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • \(r = 0.0025 \, \text{m}\)
Calcul :

Aire de la section transversale :

\[ \begin{aligned} A &= \pi (0.0025 \, \text{m})^2 \\ &= \pi (6.25 \times 10^{-6} \, \text{m}^2) \\ &\approx 19.63495 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \approx 1.963 \times 10^{-5} \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Vitesse moyenne :

\[ \begin{aligned} \bar{v} &= \frac{4.60194 \times 10^{-6} \, \text{m}^3/\text{s}}{1.963495 \times 10^{-5} \, \text{m}^2} \\ &\approx 0.23437 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La vitesse moyenne du sang dans cette section d'artère est \(\bar{v} \approx 0.234 \, \text{m/s}\) (ou \(23.4 \, \text{cm/s}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : La viscosité d'un fluide représente :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Poiseuille s'applique à un écoulement :

2. Si la différence de pression \(\Delta P\) à travers une section d'artère double, le débit sanguin (selon Poiseuille) :

3. La viscosité du sang est principalement due à :

Glossaire

Flux Sanguin
Mouvement du sang à travers le système cardiovasculaire.
Loi de Poiseuille
Loi qui décrit le débit volumique d'un fluide newtonien incompressible s'écoulant de manière laminaire à travers un tube cylindrique de section constante. \(Q_v = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L}\).
Débit Volumique (\(Q_v\))
Volume de fluide qui s'écoule à travers une section transversale par unité de temps. Unité SI : \(\text{m}^3/\text{s}\).
Viscosité (\(\eta\))
Mesure de la résistance interne d'un fluide à l'écoulement (frottement interne). Unité SI : Pascal-seconde (\(\text{Pa} \cdot \text{s}\)).
Pression (\(P\))
Force exercée par unité de surface. Unité SI : Pascal (Pa).
Différence de Pression (\(\Delta P\))
Différence de pression entre deux points, qui est le moteur de l'écoulement du fluide.
Résistance Hydrodynamique (\(R_h\))
Opposition à l'écoulement d'un fluide dans un conduit. \(R_h = \Delta P / Q_v\). Pour un écoulement de Poiseuille, \(R_h = \frac{8 \eta L}{\pi r^4}\).
Écoulement Laminaire
Régime d'écoulement où les couches de fluide glissent les unes sur les autres de manière ordonnée, sans mélange macroscopique.
Vitesse Moyenne (\(\bar{v}\))
Vitesse moyenne des particules de fluide à travers une section transversale du conduit.
Analyse Dynamique du Flux Sanguin - Exercice d'Application

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