Calcul de l’Absorption des Rayons X par les Tissus
Comprendre le Calcul de l’Absorption des Rayons X par les Tissus
Les rayons X sont utilisés en médecine pour obtenir des images de l’intérieur du corps, principalement des os et de certains tissus. La différence d’absorption des rayons X par différents tissus permet de créer des images contrastées. L’absorption des rayons X par un tissu peut être décrite par la loi de Beer-Lambert, qui est une expression mathématique reliant l’absorption de la lumière à des propriétés du matériau traversé.
Données:
- Coefficient d’atténuation linéaire (\(\mu\)) du tissu considéré : \(0.15\, \text{cm}^{-1}\)
- Épaisseur (\(d\)) du tissu traversé par les rayons X : \(10\, \text{cm}\)
- Intensité initiale (\(I_0\)) des rayons X avant de traverser le tissu : \(100\, \text{mW/cm}^2\)
Questions:
1. Calculer l’intensité finale (I) des rayons X après avoir traversé l’épaisseur du tissu, en utilisant la loi de Beer-Lambert.
2. Déterminer le pourcentage d’absorption des rayons X par le tissu.
3. Discuter de l’effet d’une augmentation de l’épaisseur du tissu sur l’intensité finale des rayons X et le pourcentage d’absorption.
Correction : Calcul de l’Absorption des Rayons X par les Tissus
1. Calcul de l’intensité finale \(I\)
Visualisons les rayons X comme un groupe de promeneurs traversant une forêt épaisse. Chaque arbre représente une particule de tissu qui peut retenir un promeneur. À mesure que le groupe avance, certains sont arrêtés, et seuls quelques-uns atteignent la clairière de l’autre côté.
Formule :
\[ I = I_0 \exp\bigl(-\mu\,d\bigr) \]
Définition des symboles :
- \(I_0\) : intensité initiale, équivalent au nombre de promeneurs au départ.
- \(I\) : intensité après le trajet, nombre de promeneurs arrivant à la clairière.
- \(\mu\) : coefficient d’atténuation, indique la facilité avec laquelle le tissu arrête les rayons X (forêt plus dense = valeur plus élevée).
- \(d\) : épaisseur du tissu, distance parcourue dans la forêt (en cm).
Données :
- \(\mu = 0{,}15\ \mathrm{cm^{-1}}\) – chaque centimètre de tissu arrête proportionnellement une part des rayons.
- \(d = 10\ \mathrm{cm}\) – longueur de la « forêt » traversée.
- \(I_0 = 100\ \mathrm{mW/cm^2}\) – intensité initiale des rayons.
Étapes détaillées :
- Calcul de l’exposant (\(-\mu d\)) :
\[ -\mu\,d = -0{,}15 \times 10 = -1{,}5 \]
- Ici, « –1,5 » signifie que l’intensité est réduite d’un facteur lié à \(e^{1{,}5}\). - Compréhension de l’exponentielle :
\[ e^{-1{,}5} = \frac{1}{e^{1{,}5}} \approx 0{,}2231 \]
- Exponentielle négative : plus la valeur est éloignée de zéro, plus la réduction est forte. - Calcul de l’intensité finale :
\[ I = I_0 \times 0{,}2231 \] \[ I = 100 \times 0{,}2231 \] \[ I = 22{,}31\ \mathrm{mW/cm^2} \]
- Résultat : seuls 22,31 % des rayons initiaux émergent après 10 cm de tissu.
Résultat :
\[
I \approx 22{,}31\ \mathrm{mW/cm^2}
\]
2. Détermination du pourcentage d’absorption
Le pourcentage d’absorption correspond à la part des rayons arrêtés pendant la traversée de la « forêt ». C’est la proportion de promeneurs qui n’arrivent pas à la clairière.
Formule :
\[ \%A = \frac{I_0 - I}{I_0} \times 100 \]
Données :
- \(I_0 = 100\)
- \(I = 22{,}31\)
Étapes détaillées :
- Calcul de la perte : \(100 - 22{,}31 = 77{,}69\) rayons stoppés.
- Fraction absorbée : \[77{,}69 / 100 = 0{,}7769\].
- Conversion en pourcentage : \[0{,}7769 \times 100 = 77{,}69\%\].
Résultat :
\[
\%A \approx 77{,}69\ \%
\]
3. Effet de l’augmentation de l’épaisseur \(d\)
Si la forêt s’allonge, les promeneurs ont plus de chances d’être arrêtés. Mathématiquement, la réduction de l’intensité est exponentielle par rapport à l’épaisseur.
Formules générales :
\[ I(d) = I_0 \,e^{-\mu d}, \quad \%A(d) = (1 - e^{-\mu d})\times100 \]
Points clés :
- Lorsque \(d\) double, l’exposant \(-\mu d\) double, et la fraction \(e^{-\mu d}\) devient encore plus petite.
- Pour des épaisseurs très grandes, \(e^{-\mu d}\) → \(0\) et \(%A\) → \(100\%\) : presque aucun rayon ne passe.
Exemples comparatifs :
- d = 20 cm : \(I \approx 4{,}98\), absorption ≈ 95 % – très peu de rayons traversent.
- d = 5 cm : \(I \approx 47{,}24\), absorption ≈ 53 % – un peu plus de la moitié traverse.
Conclusion :
Cette compréhension est essentielle pour ajuster la dose de rayons X en imagerie médicale et limiter l’exposition inutile des tissus.
Calcul de l’Absorption des Rayons X par les Tissus
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