ÉTUDE DE PHYSIQUE

Analyse Quantique des Électrons dans un Métal

Analyse Quantique des Électrons dans un Métal en Physique Quantique

Analyse Quantique des Électrons dans un Métal : Modèle de Fermi

Comprendre le Modèle du Gaz d'Électrons Libres et l'Énergie de Fermi

En physique de la matière condensée, le modèle du gaz d'électrons libres (ou modèle de Drude-Sommerfeld) est une approche simplifiée pour décrire le comportement des électrons de valence dans un métal. Dans ce modèle, les électrons de valence sont considérés comme des particules libres se déplaçant dans un potentiel constant créé par les ions positifs du réseau cristallin. En raison du principe d'exclusion de Pauli, les électrons remplissent les niveaux d'énergie disponibles jusqu'à une énergie maximale appelée énergie de Fermi (\(E_F\)) à la température du zéro absolu. L'énergie de Fermi est un concept crucial car elle détermine de nombreuses propriétés électroniques et thermiques des métaux, telles que leur conductivité électrique et leur capacité calorifique.

Données de l'étude

On considère le cuivre (Cu) comme un exemple de métal dont les électrons de valence peuvent être décrits par le modèle du gaz d'électrons libres.

Caractéristiques du cuivre et constantes physiques :

  • Masse volumique du cuivre (\(\rho_{\text{Cu}}\)) : \(8.96 \, \text{g/cm}^3\)
  • Masse molaire atomique du cuivre (\(M_{\text{Cu}}\)) : \(63.546 \, \text{g/mol}\)
  • Nombre d'électrons de valence par atome de cuivre : 1 (le cuivre est monovalent)
  • Nombre d'Avogadro (\(N_A\)) : \(6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
  • Masse de l'électron (\(m_e\)) : \(9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
  • Constante de Planck réduite (\(\hbar\)) : \(1.054 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • Conversion d'énergie : \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
Schéma de la Mer d'Électrons et du Niveau de Fermi
E États occupés Niveau de Fermi (EF) États vides

Représentation des niveaux d'énergie électroniques dans un métal, remplis jusqu'à l'énergie de Fermi.

Questions à traiter

  1. Calculer le nombre d'atomes de cuivre par unité de volume (\(N_{\text{atomes}}\)) en atomes/m³.
  2. Calculer la densité d'électrons de valence (électrons libres, \(n_e\)) dans le cuivre en électrons/m³.
  3. Calculer l'énergie de Fermi (\(E_F\)) du cuivre en Joules (J).
  4. Convertir l'énergie de Fermi en électron-volts (eV).
  5. Calculer la vitesse de Fermi (\(v_F\)) des électrons.
  6. Calculer la température de Fermi (\(T_F\)). (Constante de Boltzmann \(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\))

Correction : Analyse Quantique des Électrons dans un Métal

Question 1 : Nombre d'Atomes de Cuivre par Unité de Volume (\(N_{\text{atomes}}\))

Principe :

Le nombre d'atomes par unité de volume peut être calculé à partir de la masse volumique (\(\rho\)), de la masse molaire (\(M\)) et du nombre d'Avogadro (\(N_A\)). D'abord, convertir la masse volumique en kg/m³.

Conversion de la masse volumique :
\[ \rho_{\text{Cu}} = 8.96 \, \text{g/cm}^3 = 8.96 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \times \left(\frac{100 \, \text{cm}}{1 \, \text{m}}\right)^3 \times \frac{1 \, \text{kg}}{1000 \, \text{g}} = 8.96 \times 10^6 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}^3 = 8960 \, \text{kg/m}^3 \]
Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{\text{atomes}} = \frac{\rho_{\text{Cu}} \times N_A}{M_{\text{Cu}}}\]

(Assurez-vous que les unités de masse de \(\rho\) et \(M\) sont cohérentes, par exemple g/m³ et g/mol, ou kg/m³ et kg/mol).

Données spécifiques :
  • \(\rho_{\text{Cu}} = 8.96 \, \text{g/cm}^3 = 8.96 \times 10^6 \, \text{g/m}^3\)
  • \(N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
  • \(M_{\text{Cu}} = 63.546 \, \text{g/mol}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_{\text{atomes}} &= \frac{(8.96 \times 10^6 \, \text{g/m}^3) \times (6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1})}{63.546 \, \text{g/mol}} \\ &\approx \frac{53.95952 \times 10^{29}}{63.546} \, \text{atomes/m}^3 \\ &\approx 0.84914 \times 10^{29} \, \text{atomes/m}^3 \\ &\approx 8.49 \times 10^{28} \, \text{atomes/m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le nombre d'atomes de cuivre par unité de volume est \(N_{\text{atomes}} \approx 8.49 \times 10^{28} \, \text{atomes/m}^3\).

Question 2 : Densité d'Électrons de Valence (\(n_e\))

Principe :

Puisque chaque atome de cuivre contribue par un électron de valence, la densité d'électrons libres (\(n_e\)) est égale au nombre d'atomes de cuivre par unité de volume.

Calcul :
\[ n_e = N_{\text{atomes}} \approx 8.49 \times 10^{28} \, \text{électrons/m}^3 \]
Résultat Question 2 : La densité d'électrons de valence est \(n_e \approx 8.49 \times 10^{28} \, \text{électrons/m}^3\).

Question 3 : Calcul de l'Énergie de Fermi (\(E_F\)) en Joules

Principe :

L'énergie de Fermi pour un gaz d'électrons libres tridimensionnel est donnée par la formule : \(E_F = \frac{\hbar^2}{2m_e} (3\pi^2 n_e)^{2/3}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_F = \frac{\hbar^2}{2m_e} (3\pi^2 n_e)^{2/3}\]
Données spécifiques et calculées :
  • \(\hbar = 1.054 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • \(m_e = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
  • \(n_e \approx 8.4914 \times 10^{28} \, \text{m}^{-3}\) (valeur non arrondie pour précision)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul intermédiaire \(3\pi^2 n_e\) :
\[ \begin{aligned} 3\pi^2 n_e &\approx 3 \times (3.14159)^2 \times (8.4914 \times 10^{28}) \\ &\approx 3 \times 9.8696 \times 8.4914 \times 10^{28} \\ &\approx 251.65 \times 10^{28} \approx 2.5165 \times 10^{30} \, \text{m}^{-3} \end{aligned} \]
Calcul de \((3\pi^2 n_e)^{2/3}\) :
\[ \begin{aligned} (2.5165 \times 10^{30})^{2/3} &= ((2.5165 \times 10^{30})^{1/3})^2 \\ &\approx (1.360 \times 10^{10})^2 \\ &\approx 1.8496 \times 10^{20} \, \text{m}^{-2} \end{aligned} \]
Calcul de \(E_F\) :
\[ \begin{aligned} E_F &= \frac{(1.054 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s})^2}{2 \times (9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg})} \times (1.8496 \times 10^{20} \, \text{m}^{-2}) \\ &= \frac{1.110916 \times 10^{-68} \, \text{J}^2 \cdot \text{s}^2}{1.8218 \times 10^{-30} \, \text{kg}} \times (1.8496 \times 10^{20} \, \text{m}^{-2}) \\ &\approx (0.60979 \times 10^{-38} \, \text{J}^2 \cdot \text{s}^2/\text{kg}) \times (1.8496 \times 10^{20} \, \text{m}^{-2}) \\ &\text{Rappel : J = kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2 \text{ donc J} \cdot \text{s}^2/\text{kg} = \text{m}^2 \\ &\approx (0.60979 \times 10^{-38} \, \text{J} \cdot \text{m}^2) \times (1.8496 \times 10^{20} \, \text{m}^{-2}) \\ &\approx 1.1278 \times 10^{-18} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'énergie de Fermi du cuivre est \(E_F \approx 1.13 \times 10^{-18} \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 1 : L'énergie de Fermi représente, à T=0K :

Question 4 : Conversion de l'Énergie de Fermi en eV

Principe :

Utiliser le facteur de conversion entre Joules et électron-volts.

Relation :
\[1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\]
Données calculées :
  • \(E_F \approx 1.1278 \times 10^{-18} \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_F (\text{eV}) &= \frac{1.1278 \times 10^{-18} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \\ &\approx 7.0399... \, \text{eV} \\ &\approx 7.04 \, \text{eV} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'énergie de Fermi du cuivre est \(E_F \approx 7.04 \, \text{eV}\).

Question 5 : Calcul de la Vitesse de Fermi (\(v_F\))

Principe :

L'énergie de Fermi peut être reliée à la vitesse de Fermi (vitesse des électrons au niveau de Fermi) par la relation de l'énergie cinétique : \(E_F = \frac{1}{2} m_e v_F^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_F = \sqrt{\frac{2E_F}{m_e}}\]
Données spécifiques et calculées :
  • \(E_F \approx 1.1278 \times 10^{-18} \, \text{J}\)
  • \(m_e = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_F &= \sqrt{\frac{2 \times (1.1278 \times 10^{-18} \, \text{J})}{9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}}} \\ &= \sqrt{\frac{2.2556 \times 10^{-18}}{9.109 \times 10^{-31}}} \, \text{m/s} \\ &= \sqrt{0.24763 \times 10^{13}} \, \text{m/s} \\ &= \sqrt{2.4763 \times 10^{12}} \, \text{m/s} \\ &\approx 1.5736 \times 10^6 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La vitesse de Fermi est \(v_F \approx 1.57 \times 10^6 \, \text{m/s}\).

Question 6 : Calcul de la Température de Fermi (\(T_F\))

Principe :

La température de Fermi est une température caractéristique reliée à l'énergie de Fermi par \(E_F = k_B T_F\), où \(k_B\) est la constante de Boltzmann.

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_F = \frac{E_F}{k_B}\]
Données spécifiques et calculées :
  • \(E_F \approx 1.1278 \times 10^{-18} \, \text{J}\)
  • \(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_F &= \frac{1.1278 \times 10^{-18} \, \text{J}}{1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}} \\ &\approx 0.8172 \times 10^5 \, \text{K} \\ &\approx 81720 \, \text{K} \\ &\approx 8.17 \times 10^4 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La température de Fermi est \(T_F \approx 8.17 \times 10^4 \, \text{K}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La température de Fermi est typiquement :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le modèle du gaz d'électrons libres suppose que les électrons de valence dans un métal :

2. L'énergie de Fermi dépend principalement de :

3. La vitesse de Fermi (\(v_F\)) est :

Glossaire

Gaz d'Électrons Libres
Modèle quantique simplifiant le comportement des électrons de valence dans un métal, les considérant comme des particules non-interagissantes se déplaçant librement dans un potentiel constant.
Énergie de Fermi (\(E_F\))
À la température du zéro absolu (0 K), c'est l'énergie du niveau quantique le plus élevé occupé par les électrons dans un solide. C'est une énergie caractéristique des métaux.
Densité d'Électrons (\(n_e\))
Nombre d'électrons libres par unité de volume dans un matériau.
Principe d'Exclusion de Pauli
Principe de la mécanique quantique stipulant que deux fermions identiques (comme les électrons) ne peuvent occuper simultanément le même état quantique.
Constante de Planck Réduite (\(\hbar\))
Constante de Planck (\(h\)) divisée par \(2\pi\). \(\hbar = h / (2\pi)\).
Vitesse de Fermi (\(v_F\))
Vitesse des électrons qui possèdent l'énergie de Fermi.
Température de Fermi (\(T_F\))
Température caractéristique reliée à l'énergie de Fermi par la relation \(E_F = k_B T_F\), où \(k_B\) est la constante de Boltzmann. Elle donne une échelle de l'énergie des électrons dans le métal.
Analyse Quantique des Électrons dans un Métal - Exercice d'Application en Physique Quantique

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