Calcul de la distance parcourue par la voiture

Comprendre le Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)

En mécanique classique, un mouvement est dit rectiligne uniformément accéléré (MRUA) si la trajectoire est une droite et si l'accélération (\(a\)) de l'objet est constante et non nulle. La vitesse (\(v\)) varie alors linéairement avec le temps (\(t\)), et la position (\(x\)) varie de manière quadratique.

Les équations horaires pour un MRUA partant de l'origine (\(x_0=0\)) avec une vitesse initiale \(v_0\) sont :

Accélération : \(a(t) = a = \text{constante}\)
Vitesse : \(v(t) = a t + v_0\)
Position : \(x(t) = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t\)

La distance parcourue pendant un intervalle de temps \(\Delta t = t_f - t_i\) est \(d = x(t_f) - x(t_i)\).

Données

Une voiture initialement au repos (\(v_0 = 0\)) démarre avec une accélération constante \(a\). Elle atteint une vitesse de \(108 \, \text{km/h}\) après \(10 \, \text{secondes}\).

Conditions initiales et finales :

Position initiale : \(x_0 = 0 \, \text{m}\) (on choisit l'origine au point de départ)
Vitesse initiale : \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)
Temps initial : \(t_0 = 0 \, \text{s}\)
Temps final pour atteindre la vitesse : \(t_1 = 10 \, \text{s}\)
Vitesse finale : \(v_1 = 108 \, \text{km/h}\)

Conversions utiles :

Pour convertir km/h en m/s : diviser par 3.6

Schéma : Mouvement de la Voiture

Questions

Convertir la vitesse finale \(v_1\) en mètres par seconde (m/s).
Calculer l'accélération constante \(a\) de la voiture en m/s².
Calculer la distance \(d\) parcourue par la voiture pendant ces 10 premières secondes.

Correction : Calcul de Distance en Mécanique Classique

Question 1 : Conversion de la Vitesse Finale

Principe :

Pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3.6 (car 1 km = 1000 m et 1 h = 3600 s).

Formule :

v \, (\text{m/s}) = \frac{v \, (\text{km/h})}{3.6}

Données :

\(v_1 = 108 \, \text{km/h}\)

Calcul :

v_1 \, (\text{m/s}) = \frac{108}{3.6} = 30 \, \text{m/s}

Résultat Question 1 : La vitesse finale de la voiture est \(v_1 = 30 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Calcul de l'Accélération (\(a\))

Principe :

On utilise l'équation horaire de la vitesse pour un MRUA : \(v(t) = a t + v_0\). Connaissant \(v_0\), \(v_1\) et \(t_1\), on peut isoler \(a\).

Formule :

v_1 = a t_1 + v_0 \Rightarrow a = \frac{v_1 - v_0}{t_1}

Données :

\(v_1 = 30 \, \text{m/s}\)
\(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)
\(t_1 = 10 \, \text{s}\)

Calcul :

a = \frac{30 \, \text{m/s} - 0 \, \text{m/s}}{10 \, \text{s}} \] \[a = \frac{30}{10} = 3 \, \text{m/s}^2

Résultat Question 2 : L'accélération constante de la voiture est \(a = 3 \, \text{m/s}^2\).

Question 3 : Calcul de la Distance Parcourue (\(d\))

Principe :

On utilise l'équation horaire de la position pour un MRUA : \(x(t) = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0\). La distance parcourue entre \(t_0=0\) et \(t_1=10\)s est \(d = x(t_1) - x(t_0)\).

Formule :

Comme \(x_0 = 0\) et \(v_0 = 0\), l'équation se simplifie :

x(t) = \frac{1}{2} a t^2

La distance parcourue à \(t_1\) est :

d = x(t_1) = \frac{1}{2} a t_1^2

Autre formule possible (relation indépendante du temps) : \(v_1^2 - v_0^2 = 2 a (x_1 - x_0) = 2 a d\).

Données :

\(a = 3 \, \text{m/s}^2\)
\(t_1 = 10 \, \text{s}\)
\(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)

Calcul (avec l'équation de position) :

d = \frac{1}{2} \times (3 \, \text{m/s}^2) \times (10 \, \text{s})^2\] \[d = \frac{1}{2} \times 3 \times 100 \] \[d = 1.5 \times 100 = 150 \, \text{m}

Calcul (avec la relation indépendante du temps) :

v_1^2 - v_0^2 = 2 a d\] \[(30)^2 - (0)^2 = 2 \times 3 \times d\] \[900 = 6 d\] \[d = \frac{900}{6} = 150 \, \text{m}

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Résultat Question 3 : La distance parcourue par la voiture pendant les 10 premières secondes est \(d = 150 \, \text{m}\).

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