ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de la Longueur Contractée d’une Sonde

Calcul de la Longueur Contractée d’une Sonde en Relativité Restreinte

Calcul de la Longueur Contractée d’une Sonde

Comprendre la Contraction des Longueurs en Relativité Restreinte

La relativité restreinte, formulée par Albert Einstein en 1905, a révolutionné notre compréhension de l'espace et du temps. L'un de ses postulats fondamentaux est que la vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) est la même pour tous les observateurs inertiels. Une conséquence surprenante de cette théorie est la contraction des longueurs : la longueur d'un objet en mouvement, mesurée par un observateur au repos par rapport auquel l'objet se déplace, est plus courte que sa longueur propre (la longueur mesurée dans le référentiel où l'objet est au repos). Cette contraction ne se produit que dans la direction du mouvement. Ce phénomène, bien que contre-intuitif à notre échelle quotidienne, est crucial pour décrire correctement les objets se déplaçant à des vitesses proches de celle de la lumière.

Données du Problème

Une sonde spatiale, de forme cylindrique, voyage à une vitesse relativiste par rapport à la Terre.

  • Longueur propre de la sonde (\(L_0\)) (mesurée dans son propre référentiel) : \(100.0 \, \text{m}\)
  • Vitesse de la sonde par rapport à la Terre (\(v\)) : \(0.80c\) (où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide)

Constante utile :

  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Schéma : Contraction des Longueurs d'une Sonde Spatiale
Observateur (Terre) Sonde au repos (Référentiel propre) L0 = 100 m v = 0.8c Sonde en mouvement (Vue de la Terre) L = ?

Illustration de la contraction des longueurs pour une sonde se déplaçant à une vitesse relativiste.

Questions à traiter

  1. Calculer le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) pour la sonde se déplaçant à \(v = 0.80c\).
  2. Calculer la longueur (\(L\)) de la sonde mesurée par un observateur sur Terre.
  3. Si la sonde émet un signal lumineux toutes les \(1.0 \, \text{seconde}\) selon une horloge à bord de la sonde (temps propre, \(\Delta t_0\)), quel est l'intervalle de temps (\(\Delta t\)) entre la réception de deux signaux successifs mesuré par l'observateur sur Terre (en ignorant l'effet Doppler pour cet exercice, on se concentre sur la dilatation du temps) ?
  4. Quelle distance la sonde parcourt-elle, selon l'observateur terrestre, pendant cet intervalle de temps \(\Delta t\) ?
  5. Si la vitesse de la sonde était de \(0.99c\), quelle serait sa nouvelle longueur contractée ? Commenter brièvement l'effet de l'augmentation de la vitesse sur la contraction des longueurs.

Correction : Calcul de la Longueur Contractée d’une Sonde

Question 1 : Calcul du facteur de Lorentz (\(\gamma\))

Principe :

Le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) est un élément central de la relativité restreinte, qui apparaît dans les formules de la contraction des longueurs et de la dilatation du temps.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
Données spécifiques :
  • \(v = 0.80c\)
Calcul :
\[ \frac{v^2}{c^2} = \frac{(0.80c)^2}{c^2} = (0.80)^2 = 0.64 \]
\[ \begin{aligned} \gamma &= \frac{1}{\sqrt{1 - 0.64}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{0.36}} \\ &= \frac{1}{0.60} \\ &= \frac{5}{3} \approx 1.666... \end{aligned} \]

On arrondit à \(\gamma \approx 1.667\).

Résultat Question 1 : Le facteur de Lorentz est \(\gamma \approx 1.667\).

Question 2 : Longueur contractée (\(L\)) de la sonde

Principe :

La longueur \(L\) d'un objet en mouvement, mesurée par un observateur, est contractée dans la direction du mouvement par rapport à sa longueur propre \(L_0\) (mesurée dans le référentiel de l'objet).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L = \frac{L_0}{\gamma} \]
Données spécifiques :
  • \(L_0 = 100.0 \, \text{m}\)
  • \(\gamma = 5/3 \approx 1.6667\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L &= \frac{100.0 \, \text{m}}{5/3} \\ &= 100.0 \, \text{m} \times \frac{3}{5} \\ &= 60.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La longueur de la sonde mesurée par un observateur sur Terre est \(L = 60.0 \, \text{m}\).

Question 3 : Dilatation du temps (\(\Delta t\))

Principe :

La dilatation du temps est un autre effet de la relativité restreinte. Un intervalle de temps propre \(\Delta t_0\) mesuré dans un référentiel en mouvement apparaît plus long (\(\Delta t\)) lorsqu'il est mesuré par un observateur dans un référentiel fixe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta t = \gamma \Delta t_0 \]
Données spécifiques :
  • \(\Delta t_0 = 1.0 \, \mu\text{s} = 1.0 \times 10^{-6} \, \text{s}\)
  • \(\gamma = 5/3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta t &= \left(\frac{5}{3}\right) \times (1.0 \times 10^{-6} \, \text{s}) \\ &\approx 1.6667 \times 10^{-6} \, \text{s} \\ &\approx 1.67 \, \mu\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'intervalle de temps mesuré par l'observateur sur Terre est \(\Delta t \approx 1.67 \, \mu\text{s}\).

Question 4 : Distance parcourue par la sonde selon l'observateur terrestre

Principe :

Pour l'observateur terrestre, la sonde se déplace à la vitesse \(v\) pendant un temps \(\Delta t\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ d = v \Delta t \]
Données spécifiques :
  • \(v = 0.80c = 0.80 \times 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s} \approx 2.3984 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(\Delta t \approx 1.6667 \times 10^{-6} \, \text{s}\) (valeur plus précise)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d &\approx (2.3984 \times 10^8 \, \text{m/s}) \times (1.6667 \times 10^{-6} \, \text{s}) \\ &\approx 399.74 \, \text{m} \end{aligned} \]

En arrondissant à trois chiffres significatifs : \(d \approx 400 \, \text{m}\).

Résultat Question 4 : La sonde parcourt environ \(400 \, \text{m}\) selon l'observateur terrestre pendant cet intervalle.

Question 5 : Longueur contractée à \(v = 0.99c\)

Principe :

On recalcule d'abord le facteur de Lorentz pour \(v = 0.99c\), puis la longueur contractée.

Calcul du nouveau facteur de Lorentz (\(\gamma'\)) :
\[ \frac{v^2}{c^2} = (0.99)^2 = 0.9801 \]
\[ \begin{aligned} \gamma' &= \frac{1}{\sqrt{1 - 0.9801}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{0.0199}} \\ &\approx \frac{1}{0.141067} \\ &\approx 7.0888 \end{aligned} \]
Calcul de la nouvelle longueur contractée (\(L'\)) :
\[ \begin{aligned} L' &= \frac{L_0}{\gamma'} \\ &\approx \frac{100.0 \, \text{m}}{7.0888} \\ &\approx 14.107 \, \text{m} \end{aligned} \]

En arrondissant : \(L' \approx 14.1 \, \text{m}\).

Commentaire :

Lorsque la vitesse de la sonde augmente de \(0.80c\) à \(0.99c\), le facteur de Lorentz \(\gamma\) augmente significativement (de \(1.667\) à environ \(7.089\)). En conséquence, la longueur contractée diminue de manière drastique (de \(60.0 \, \text{m}\) à environ \(14.1 \, \text{m}\)). Cela illustre que l'effet de contraction des longueurs devient de plus en plus prononcé à mesure que la vitesse s'approche de celle de la lumière.

Résultat Question 5 : Pour \(v = 0.99c\), la longueur contractée est \(L' \approx 14.1 \, \text{m}\). L'augmentation de la vitesse accentue fortement la contraction des longueurs.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La contraction des longueurs se produit :

2. Le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) est toujours :

3. La longueur propre (\(L_0\)) d'un objet est sa longueur mesurée :

4. Si un objet se déplace à la vitesse de la lumière (\(v=c\)), sa longueur contractée serait théoriquement :

Glossaire

Relativité Restreinte
Théorie physique proposée par Albert Einstein qui décrit le mouvement en l'absence de gravité. Elle est basée sur deux postulats : le principe de relativité et la constance de la vitesse de la lumière dans le vide.
Contraction des Longueurs (Contraction de Lorentz-FitzGerald)
Phénomène prédit par la relativité restreinte selon lequel la longueur d'un objet en mouvement est mesurée comme étant plus courte que sa longueur propre, dans la direction de son mouvement.
Longueur Propre (\(L_0\))
Longueur d'un objet mesurée dans le référentiel où l'objet est au repos.
Longueur Contractée (\(L\))
Longueur d'un objet mesurée par un observateur qui est en mouvement par rapport à l'objet.
Facteur de Lorentz (\(\gamma\))
Facteur qui apparaît dans les équations de la relativité restreinte, défini par \(\gamma = 1 / \sqrt{1 - v^2/c^2}\), où \(v\) est la vitesse relative et \(c\) est la vitesse de la lumière.
Dilatation du Temps
Phénomène prédit par la relativité restreinte selon lequel le temps s'écoule plus lentement pour un observateur en mouvement par rapport à un observateur fixe. Un intervalle de temps propre \(\Delta t_0\) est mesuré comme \(\Delta t = \gamma \Delta t_0\) par l'observateur fixe.
Temps Propre (\(\Delta t_0\))
Intervalle de temps mesuré par une horloge au repos dans le même référentiel que l'événement mesuré.
Référentiel Inertiel
Référentiel dans lequel les lois du mouvement de Newton sont valides ; c'est un référentiel qui n'est pas en accélération.
Vitesse de la Lumière (\(c\))
Vitesse de la lumière dans le vide, une constante universelle valant approximativement \(2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\).
Calcul de la Longueur Contractée d’une Sonde - Exercice d'Application

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