Calcul de la masse d’un trou noir supermassif

Contexte : Le Trou Noir Supermassif (Sgr A*)Le trou noir supermassif au centre de notre galaxie, la Voie Lactée..

Au cœur de notre propre galaxie, la Voie Lactée, se trouve une source radio intense nommée Sagittarius A* (Sgr A*). Pendant des décennies, les astronomes ont observé des étoiles orbitant à très grande vitesse autour de ce point invisible. Ces orbites, en particulier celle de l'étoile S2, fournissent la preuve la plus directe de l'existence d'un objet extraordinairement massif et compact : un trou noir supermassif.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la troisième loi de Kepler, dans sa version généralisée par Newton, pour "peser" cet objet central en utilisant simplement les paramètres orbitaux de l'étoile S2.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre comment les lois de Kepler s'appliquent aux orbites stellaires autour d'un trou noir.
Calculer la masse d'un objet central (Sgr A*) à partir de paramètres orbitaux observés.
Manipuler les unités astronomiques courantes (parsec, année, masse solaire, arcseconde).
Justifier l'approximation de la masse ponctuelle dans un système à deux corps.

Données de l'étude : L'étoile S2

Nous utilisons les données observationnelles de l'étoile S2 (parfois appelée S0-2), l'une des étoiles les plus proches de Sgr A*, collectées sur plusieurs décennies.

Fiche Technique de l'Observation

Caractéristique	Valeur
Étoile observée	S2 (ou S0-2)
Centre orbital	Sagittarius A* (Sgr A*)
Distance Terre ↔ Sgr A* (D)	8.2 kiloparsecs (kpc)

Orbite de l'étoile S2 autour de Sgr A*

Paramètre Orbital	Symbole	Valeur	Unité
Période orbitale	\(T\)	16.05	années
Demi-grand axe (angulaire)	\(a_{\text{ang}}\)	0.125	arcsecondes (")

Questions à traiter

Convertir le demi-grand axe angulaire \(a_{\text{ang}}\) d'arcsecondes en sa taille physique \(a\) en mètres (m), en utilisant la distance \(D\).
Convertir la période orbitale \(T\) d'années en secondes (s).
En utilisant la 3ème loi de Kepler, calculer la masse totale du système (\(M_{\text{total}} = M_{\text{SgrA*}} + M_{\text{S2}}\)) en kilogrammes (kg).
Justifier pourquoi nous pouvons approximer \(M_{\text{total}} \approx M_{\text{SgrA*}}\).
Convertir la masse calculée de Sgr A* en masses solaires (\(M_☉\)).

Les bases sur la Mécanique Céleste

Pour "peser" un objet central comme Sgr A*, nous utilisons la gravité. La loi de la gravitation universelle de Newton généralise la troisième loi de Kepler, qui décrit la relation entre l'orbite d'un objet et la masse de l'objet central.

1. La Troisième Loi de Kepler (version Newton)
Pour deux corps de masses \(M_1\) (l'objet central) et \(M_2\) (l'objet en orbite), la relation entre la période orbitale \(T\) et le demi-grand axe \(a\) est : \[ T^2 = \left( \frac{4\pi^2}{G \cdot (M_1 + M_2)} \right) a^3 \] Où \(G\) est la constante gravitationnelle (\(\approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ N(m/kg)}^2\)).

2. Taille Angulaire et Taille Physique
Nous ne pouvons pas mesurer directement la taille de l'orbite en mètres. Nous mesurons un angle (en arcsecondes). Pour convertir cet angle (\(\alpha\)) en une distance physique (\(d\)), nous avons besoin de la distance (\(D\)) qui nous sépare de l'objet, via la relation de trigonométrie (pour les petits angles) : \[ d = D \times \alpha_{\text{radians}} \]

Correction : Calcul de la Masse du Trou Noir Supermassif (Sgr A*)

Question 1 : Convertir le demi-grand axe 'a' d'arcsecondes en mètres (m).

Principe

L'observation au télescope nous donne un angle (le demi-grand axe angulaire \(a_{\text{ang}}\)), pas une distance. Pour convertir cet angle en une distance physique (\(a_{\text{m}}\)), nous devons connaître la distance (\(D\)) qui nous sépare de l'objet. En utilisant la trigonométrie pour les petits angles, nous pouvons "projeter" cet angle sur la distance pour trouver la taille réelle de l'orbite.

Mini-Cours

Trigonométrie des Petits Angles : Pour un angle \(\alpha\) très petit exprimé en radians, on a l'approximation \(\tan(\alpha) \approx \alpha\). Dans le triangle rectangle formé par la Terre, Sgr A* (sommet de l'angle) et l'extrémité de l'orbite, on a \(\tan(a_{\text{rad}}) = a_{\text{m}} / D\). Avec l'approximation, cela devient \(a_{\text{rad}} \approx a_{\text{m}} / D\), que l'on réarrange en \(a_{\text{m}} \approx D \times a_{\text{rad}}\).

Remarque Pédagogique

La conversion d'angle est la clé. Les astronomes mesurent en degrés ou arcsecondes par commodité, mais tous les calculs de physique (comme celui-ci) exigent que les angles soient en radians. Oublier cette conversion est l'erreur la plus fréquente.

Normes

L'Union Astronomique Internationale (UAI) définit le parsec (pc) comme l'unité de distance standard pour les échelles interstellaires. L'arcseconde (") est une subdivision du degré, et le radian (rad) est l'unité d'angle standard du Système International (SI).

Formule(s)

Taille physique

a_{\text{m}} = D_{\text{m}} \times a_{\text{rad}}

Conversions

1 \text{ kpc} = 1000 \text{ pc} \] \[ 1 \text{ pc} \approx 3.086 \times 10^{16} \text{ m} \] \[ 1 \text{ arcseconde (")} = \frac{\pi}{180 \times 3600} \text{ radians}

Hypothèses

Nous supposons que l'angle \(a_{\text{ang}}\) est très petit, ce qui justifie l'approximation \(\tan(\alpha) \approx \alpha\). (0.125 arcsecondes est *extrêmement* petit, donc l'hypothèse est parfaitement valide).

L'orbite est vue "de face", ou \(a_{\text{ang}}\) représente déjà le demi-grand axe réel projeté.

Donnée(s)

Les données d'entrée pour ce calcul proviennent directement de l'énoncé de l'exercice (Fiche Technique).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance Sgr A*	\(D\)	8.2	kpc
Demi-grand axe angulaire	\(a_{\text{ang}}\)	0.125	arcsecondes

Astuces

La conversion d'arcsecondes en radians est cruciale. Une arcseconde est \(\approx 4.848 \times 10^{-6}\) radians. Mémoriser cet ordre de grandeur (\(\approx 5 \times 10^{-6}\)) permet de vérifier rapidement ses calculs.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre la relation trigonométrique. Nous connaissons l'angle \(a_{\text{ang}}\) et la distance \(D\). Nous cherchons la taille physique \(a_{\text{m}}\).

Conversion Angle → Distance

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la distance \(D\) en mètres

\begin{aligned} D &= 8.2 \text{ kpc} = 8.2 \times 10^3 \text{ pc} \\ &= 8200 \times (3.086 \times 10^{16} \text{ m}) \\ &\approx 2.53 \times 10^{20} \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Conversion de l'angle \(a\) en radians

\begin{aligned} a_{\text{rad}} &= 0.125 \text{ arcsec} \times \left( \frac{\pi}{180 \times 3600} \right) \\ &\approx 0.125 \times (4.848 \times 10^{-6} \text{ rad/arcsec}) \\ &\approx 6.06 \times 10^{-7} \text{ radians} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul du demi-grand axe \(a\) en mètres

\begin{aligned} a_{\text{m}} &= D_{\text{m}} \times a_{\text{rad}} \\ &= (2.53 \times 10^{20} \text{ m}) \times (6.06 \times 10^{-7} \text{ rad}) \\ &\approx 1.53 \times 10^{14} \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pour donner un sens au résultat (\(1.53 \times 10^{14} \text{ m}\)), comparons-le à notre Système Solaire. L'orbite de Neptune est à environ \(4.5 \times 10^{12} \text{ m}\) du Soleil. L'orbite de S2 est donc environ 34 fois plus grande que celle de Neptune.

Comparaison de Taille d'Orbite

Réflexions

Le demi-grand axe de S2 est immense, plus de 1000 fois la distance Terre-Soleil (UA). C'est cette large orbite, combinée à une période "courte" de 16 ans, qui trahit la présence d'une masse centrale gigantesque. Un objet de la masse du Soleil ne pourrait pas retenir une étoile sur une orbite aussi large et rapide.

Points de vigilance

Trois conversions sont nécessaires : kpc → pc → m pour la distance, et arcsecondes → radians pour l'angle. Une erreur dans l'une d'elles faussera tout le calcul final. Vérifiez les puissances de 10 !

Points à retenir

La conversion d'une taille angulaire en taille physique nécessite de connaître la distance à l'objet.
La formule clé est \(a_{\text{m}} = D_{\text{m}} \times a_{\text{rad}}\).
1 pc \(\approx 3.086 \times 10^{16}\) m.
1 arcsec \(\approx 4.848 \times 10^{-6}\) rad.

Le saviez-vous ?

Le "Parsec" (Parallaxe-Seconde) tire son nom de cette relation. C'est la distance (D) à laquelle 1 Unité Astronomique (la distance Terre-Soleil) sous-tend un angle (a_ang) de 1 arcseconde. C'est la méthode fondamentale de mesure des distances en astronomie.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le demi-grand axe physique de l'orbite de S2 est d'environ \(1.53 \times 10^{14} \text{ m}\).

A vous de jouer

Que deviendrait \(a_{\text{m}}\) (en m) si la distance \(D\) n'était que de 4.1 kpc (la moitié) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Angle angulaire → taille physique.
Formule Essentielle : \(a_{\text{m}} = D_{\text{m}} \times a_{\text{rad}}\).
Points de Vigilance : Convertir kpc en m ET arcsec en rad.

Question 2 : Convertir la période orbitale 'T' d'années en secondes (s).

Principe

Pour utiliser la 3ème loi de Kepler avec la constante G (qui est en m, kg, s), nous devons convertir toutes nos unités dans le Système International. La période de 16.05 années doit être convertie en secondes.

Mini-Cours

La conversion est simple mais doit être précise. On utilise le nombre de jours dans une année moyenne (365.25 pour compter les années bissextiles), le nombre d'heures par jour (24), et le nombre de secondes par heure (3600).

Remarque Pédagogique

C'est une étape de "bataille navale" des unités. Si une seule conversion est fausse, le résultat final (la masse) sera faux d'un facteur 1000 ou plus. La rigueur est la clé.

Normes

L'unité de temps standard du Système International (SI) est la seconde (s).

Formule(s)

Conversion Années → Secondes

T_{\text{s}} = T_{\text{ans}} \times \frac{365.25 \text{ jours}}{1 \text{ an}} \times \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ jour}} \times \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}}

Hypothèses

Nous utilisons l'année Julienne (365.25 jours) comme moyenne, ce qui est la convention standard en astronomie pour ce type de calcul.

Donnée(s)

La donnée d'entrée pour ce calcul provient directement de l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Période orbitale	\(T\)	16.05	années

Astuces

Pour aller plus vite, mémorisez qu'une année (sidérale) vaut environ \(3.156 \times 10^7\) secondes. Vous pouvez utiliser cette valeur comme raccorci pour vérifier votre ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Cette étape est une pure conversion d'unités et ne nécessite pas de schéma physique. Le schéma conceptuel ci-dessous montre la chaîne de conversion que nous allons suivre.

Chaîne de Conversion (Temps)

Calcul(s)

Calcul de T en secondes

\begin{aligned} T_{\text{s}} &= 16.05 \text{ ans} \times 365.25 \frac{\text{jours}}{\text{an}} \times 24 \frac{\text{h}}{\text{jour}} \times 3600 \frac{\text{s}}{\text{h}} \\ &= 16.05 \times (86400 \times 365.25) \\ &= 16.05 \times (31 557 600) \\ &\approx 5.06 \times 10^8 \text{ s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est visualisé en l'appliquant à l'orbite de S2. Les deux valeurs (années et secondes) décrivent la même durée physique pour une révolution complète.

Période Orbitale T

Réflexions

Le chiffre, environ 506 millions de secondes, est le temps réel que met l'étoile S2 pour faire une révolution complète autour du trou noir. C'est ce temps qui, mis en relation avec la distance (Question 1), va "fixer" la masse du système via la gravité.

Points de vigilance

Ne pas oublier le ".25" pour le jour ! Sur 16 ans, cela représente une différence non négligeable. N'utilisez pas "365" sauf si la précision de l'exercice est faible.

Points à retenir

L'unité de temps du SI est la seconde.
1 année ≈ \(3.156 \times 10^7\) s.

Le saviez-vous ?

L'année "Julienne" (exactement 365.25 jours) est une convention standard en astronomie pour définir la durée d'une année à des fins de calcul, pour éviter les ambiguïtés entre année sidérale, tropicale ou grégorienne.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La période orbitale de S2 est d'environ \(5.06 \times 10^8 \text{ s}\).

A vous de jouer

Combien vaut une période de 100 ans en secondes ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Conversion d'unités de temps vers le SI.
Point de Vigilance : Utiliser 365.25 jours pour la moyenne.
Raccourci : 1 an ≈ \(3.156 \times 10^7\) s.

Question 3 : Calculer la masse totale du système (M_total) en kilogrammes (kg).

Principe

C'est le cœur de l'exercice. Nous utilisons la 3ème loi de Kepler généralisée par Newton, \( T^2 = \frac{4\pi^2}{G (M_1 + M_2)} a^3 \), et nous la réorganisons pour isoler le seul terme inconnu : la masse totale (\(M_{\text{total}} = M_1 + M_2\)).

Mini-Cours

La loi de Kepler originale (\(T^2 \propto a^3\)) était descriptive. Newton a montré que la constante de proportionnalité dépendait de la masse du système et de la constante gravitationnelle \(G\). En mesurant \(T\) (Question 2) et \(a\) (Question 1), on peut "peser" le système.

Remarque Pédagogique

Ce calcul est puissant : il nous permet de connaître la masse d'un objet que nous ne pouvons pas voir et sur lequel nous ne pouvons pas aller, simplement en regardant un autre objet orbiter autour de lui. C'est la base de la "pesée" des planètes, des étoiles et des galaxies.

Normes

Ce calcul est une application directe de la Loi Universelle de la Gravitation de Newton.

Formule(s)

3ème Loi de Kepler (version Newton)

T^2 = \left( \frac{4\pi^2}{G \cdot M_{\text{total}}} \right) a^3

Formule réarrangée pour la Masse

M_{\text{total}} = \frac{4\pi^2 a^3}{G T^2}

Donnée(s)

Les données de cette étape sont les résultats des Questions 1 et 2, ainsi que la constante gravitationnelle (une constante physique universelle).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Demi-grand axe (de Q1)	\(a\)	\(1.53 \times 10^{14}\)	m
Période (de Q2)	\(T\)	\(5.06 \times 10^8\)	s
Constante Gravitationnelle	\(G\)	\(6.674 \times 10^{-11}\)	N·m²/kg² (ou m³·kg⁻¹·s⁻²)

Astuces

Pour éviter les erreurs de calculatrice, calculez \(a^3\), \(T^2\), et le numérateur (\(4\pi^2 a^3\)) et le dénominateur (\(G T^2\)) séparément avant de faire la division finale.

Schéma (Avant les calculs)

Nous réutilisons le schéma de l'énoncé, qui montre les deux variables d'entrée clés pour ce calcul : le demi-grand axe \(a\) (calculé en Q1) et la période \(T\) (calculée en Q2).

Orbite de l'étoile S2 autour de Sgr A*

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer le numérateur (\(4\pi^2 a^3\))

\begin{aligned} a^3 &= (1.53 \times 10^{14})^3 \\ &\approx 3.58 \times 10^{42} \text{ m}^3 \\ 4\pi^2 a^3 &\approx 4 \times (9.87) \times (3.58 \times 10^{42}) \\ &\approx 1.414 \times 10^{44} \end{aligned}

Étape 2 : Calculer le dénominateur (\(G T^2\))

\begin{aligned} T^2 &= (5.06 \times 10^8)^2 \\ &\approx 2.56 \times 10^{17} \text{ s}^2 \\ G T^2 &\approx (6.674 \times 10^{-11}) \times (2.56 \times 10^{17}) \\ &\approx 1.708 \times 10^7 \end{aligned}

Étape 3 : Calculer la masse totale

\begin{aligned} M_{\text{total}} &= \frac{1.414 \times 10^{44}}{1.708 \times 10^7} \\ &\approx 8.28 \times 10^{36} \text{ kg} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre la relation de la 3ème loi de Kepler : la "taille" de l'orbite au cube (\(a^3\)) est équilibrée par la Masse (\(M\)) et le "temps" au carré (\(T^2\)). Si \(a^3\) augmente, M doit augmenter pour garder le même T.

La "Balance" de Kepler

Réflexions

Le résultat est un nombre astronomique : \(8.28 \times 10^{36}\) kg. C'est la masse totale contenue *à l'intérieur* de l'orbite de S2. Pour le Soleil, cette masse est de \(2 \times 10^{30}\) kg. Cet objet est donc des millions de fois plus massif que notre Soleil.

Points de vigilance

Attention à la gestion des exposants ! \((10^{14})^3 = 10^{42}\) (on multiplie les exposants). \((10^8)^2 = 10^{16}\). Et \(10^{42} / 10^7 = 10^{35}\). La gestion des puissances de 10 est cruciale.

Points à retenir

La formule clé est \( M_{\text{total}} = 4\pi^2 a^3 / (G T^2) \).
La masse est proportionnelle au cube du demi-grand axe (\(a^3\)).
La masse est inversement proportionnelle au carré de la période (\(1/T^2\)).

Le saviez-vous ?

Cette même formule est utilisée pour "peser" la matière noire dans les galaxies. En observant la vitesse (et donc la période) des étoiles à la périphérie d'une galaxie (\(a\) très grand), les astronomes ont constaté qu'elles tournaient "trop vite" (T trop court) pour la masse visible. Cela implique une grande quantité de masse invisible : la matière noire.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La masse totale du système (Sgr A* + S2) est d'environ \(8.28 \times 10^{36} \text{ kg}\).

A vous de jouer

Que se passerait-il si la période T était 2 fois plus longue (32.1 ans) ? (Masse en kg)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : 3ème Loi de Kepler pour "peser" un système.
Formule Essentielle : \( M_{\text{total}} = 4\pi^2 a^3 / (G T^2) \).
Point de Vigilance : Gestion des puissances de 10.

Question 4 : Justifier l'approximation \(M_{\text{total}} \approx M_{\text{SgrA*}}\).

Principe

Nous avons calculé \(M_{\text{total}} = M_{\text{SgrA*}} + M_{\text{S2}}\). Pour affirmer que cette masse est celle de Sgr A*, nous devons prouver que la masse de l'étoile S2 (\(M_{\text{S2}}\)) est "négligeable" par rapport à \(M_{\text{SgrA*}}\).

Mini-Cours

L'étoile S2 est une étoile massive de type B, dont la masse est estimée par les modèles d'évolution stellaire à environ 10 à 15 fois la masse de notre Soleil (\(M_☉\)). La masse de Sgr A* que nous avons calculée est de l'ordre de millions de masses solaires. Nous allons comparer ces deux chiffres.

Remarque Pédagogique

En physique, on fait souvent cette approximation du "centre de masse". Si un objet (comme le Soleil) est des milliers de fois plus massif que l'autre (comme la Terre), on peut considérer que l'objet le plus léger orbite autour d'un centre fixe, simplifiant grandement les calculs.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme, mais d'une application du principe de l'approximation d'un système à deux corps où une masse domine largement l'autre (\(M_1 \gg M_2\)).

Formule(s)

Ratio de Masse

\text{Ratio} = \frac{M_{\text{S2}}}{M_{\text{total}}}

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Question 3 (Masse totale) et des données standards de l'astrophysique (masse solaire, masse estimée de S2).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse Totale (de Q3)	\(M_{\text{total}}\)	\(8.28 \times 10^{36}\)	kg
Masse Solaire	\(M_☉\)	\(1.989 \times 10^{30}\)	kg
Masse estimée de S2	\(M_{\text{S2}}\)	~15	\(M_☉\)

Astuces

Il n'est même pas nécessaire de convertir M_total en masses solaires pour faire la comparaison. Il suffit de calculer la masse de S2 en kg (\(15 \times 2 \times 10^{30} = 3 \times 10^{31}\) kg) et de comparer \(10^{31}\) à \(10^{36}\). Le rapport est de \(10^{-5}\), soit 1 pour 100 000, ce qui est négligeable.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul de Kepler nous donne la masse totale (\(M_1 + M_2\)). Physiquement, les deux objets (Sgr A* et S2) orbitent autour de leur centre de masse commun (le barycentre).

Réalité : Orbite autour du Barycentre

Calcul(s)

Étape 1 : Estimer la masse de S2 en kg

\begin{aligned} M_{\text{S2}} &\approx 15 \times M_☉ \\ &\approx 15 \times (1.989 \times 10^{30} \text{ kg}) \\ &\approx 3 \times 10^{31} \text{ kg} \end{aligned}

Étape 2 : Comparer M_S2 à M_total

\begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{M_{\text{S2}}}{M_{\text{total}}} \\ &= \frac{3 \times 10^{31} \text{ kg}}{8.28 \times 10^{36} \text{ kg}} \\ &\approx 3.6 \times 10^{-6} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Puisque le barycentre est à l'intérieur de Sgr A*, nous pouvons simplifier le problème en considérant que Sgr A* est un point fixe, et que S2 orbite autour de lui. Notre calcul de \(M_{\text{total}}\) est donc bien \(M_{\text{SgrA*}}\).

Approximation : Centre de Masse Fixe

Réflexions

La masse de l'étoile S2 représente environ \(0.0000036\) (soit 0.00036%) de la masse totale. C'est comme comparer la masse d'un camion à la masse d'une petite vis sur ce camion. Omettre la masse de S2 ne change le résultat final que de 0.00036%. L'approximation \(M_{\text{total}} \approx M_{\text{SgrA*}}\) est donc parfaitement justifiée.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(M_{\text{total}}\) et \(M_{\text{SgrA*}}\) *avant* d'avoir fait cette justification. Logiquement, on calcule d'abord \(M_{\text{total}}\), puis on prouve qu'elle est presque identique à \(M_{\text{SgrA*}}\).

Points à retenir

L'approximation \(M_{\text{total}} \approx M_{\text{central}}\) est valide si \(M_{\text{satellite}} \ll M_{\text{central}}\).
Dans le cas de Sgr A*, la masse de l'étoile est négligeable.

Le saviez-vous ?

C'est la même approximation que nous faisons pour le système Solaire. La masse du Soleil est 1000 fois celle de Jupiter (la plus grosse planète) et 330 000 fois celle de la Terre. Nous calculons donc l'orbite de la Terre en ne considérant que la masse du Soleil.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

L'approximation est justifiée car la masse de S2 est inférieure à 0.001% de la masse totale.

A vous de jouer

Si Sgr A* n'était qu'une étoile de 100 M☉ (\(2 \times 10^{32}\) kg) et S2 une étoile de 10 M☉ (\(2 \times 10^{31}\) kg), l'approximation \(M_{\text{total}} \approx M_1\) serait-elle bonne ? (Répondez 0 pour Non, 1 pour Oui)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Approximation par domination de masse.
Justification : \(M_{\text{S2}} \ll M_{\text{SgrA*}}\).
Ratio : ~ \(3.6 \times 10^{-6}\) (négligeable).

Question 5 : Convertir la masse de Sgr A* en masses solaires (\(M_☉\)).

Principe

Le résultat en kg (\(8.28 \times 10^{36}\) kg) est un nombre trop grand pour être intuitif. Pour mieux appréhender cette échelle, nous le convertissons en une unité standard en astrophysique : la "masse solaire" (\(M_☉\)), qui est la masse de notre Soleil.

Mini-Cours

La Masse Solaire (\(M_☉ \approx 1.989 \times 10^{30} \text{ kg}\)) est une unité de mesure fondamentale. Elle permet de comparer facilement la masse des étoiles, des nébuleuses, et même des trous noirs et des galaxies, par rapport à notre propre étoile.

Remarque Pédagogique

Les chiffres en astrophysique sont si grands que nous créons constamment de nouvelles échelles pour les comprendre. Nous mesurons les distances en Unités Astronomiques (Terre-Soleil), en Années-Lumière ou en Parsecs, et nous mesurons les masses en Masses Solaires.

Normes

La Masse Solaire (\(M_☉\)) est une unité de masse standard reconnue par l'Union Astronomique Internationale (UAI).

Formule(s)

Conversion kg → \(M_☉\)

M_{\text{(en } M_☉ \text{)}} = \frac{M_{\text{(en kg)}}}{M_☉ \text{ (en kg)}}

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Question 3 (Masse de Sgr A*) et la valeur standard de la masse solaire.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse de Sgr A* (de Q3)	\(M_{\text{SgrA*}}\)	\(8.28 \times 10^{36}\)	kg
Masse Solaire	\(M_☉\)	\(1.989 \times 10^{30}\)	kg

Astuces

Pour une estimation rapide, retenez \(M_☉ \approx 2 \times 10^{30}\) kg. Diviser par \(2 \times 10^{30}\) est plus simple mentalement : \(8.28/2 \approx 4.14\) et \(10^{36} / 10^{30} = 10^6\). Le résultat est donc "environ 4.14 millions".

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul consiste à trouver "combien de Soleils" (\(M_☉\)) il faut pour égaler la masse de Sgr A* en kg. C'est un simple changement d'échelle.

Conversion : kg → \(M_☉\)

Calcul(s)

Conversion en Masses Solaires

\begin{aligned} M_{\text{SgrA*}} \text{ (en } M_☉ \text{)} &= \frac{8.28 \times 10^{36} \text{ kg}}{1.989 \times 10^{30} \text{ kg}} \\ &\approx 4.16 \times 10^6 M_☉ \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat montre que la masse de Sgr A* équivaut à 4.16 millions de masses solaires.

Résultat de la Conversion (en \(M_☉\))

Réflexions

Le trou noir supermassif au centre de notre galaxie a une masse équivalente à environ 4.16 millions de fois la masse de notre propre Soleil. C'est cette valeur qui le classe comme "supermassif" (par opposition aux trous noirs stellaires qui font quelques dizaines de \(M_☉\)). C'est ce calcul qui a valu le prix Nobel de physique 2020 à Reinhard Genzel et Andrea Ghez pour leur découverte.

Points de vigilance

Ne pas diviser dans le mauvais sens ! Si votre résultat est un chiffre minuscule (comme \(10^{-6}\)) ou gigantesque (comme \(10^{66}\)), vous avez probablement multiplié au lieu de diviser, ou inversé le numérateur et le dénominateur.

Points à retenir

La masse de Sgr A* est d'environ 4.16 millions de Masses Solaires.
La conversion d'unités permet de donner un sens aux échelles astronomiques.

Le saviez-vous ?

Bien que 4 millions de \(M_☉\) soit énorme, Sgr A* est un SMBH relativement petit. Le trou noir au centre de la galaxie M87 (celui qui a été "photographié" par l'Event Horizon Telescope) a une masse estimée à 6.5 *milliards* de masses solaires !

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La masse de Sgr A* est d'environ 4.16 millions de masses solaires.

A vous de jouer

Combien pèserait (en \(M_☉\)) un objet de \(8.28 \times 10^{39}\) kg (1000 fois plus massif) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Conversion d'unité (kg vers \(M_☉\)).
Valeur Clé : \(M_☉ \approx 2 \times 10^{30}\) kg.
Résultat : \(M_{\text{SgrA*}} \approx 4.2 \text{ millions } M_☉\).

Outil Interactif : Simulateur de Masse de Trou Noir

Utilisez les curseurs pour voir comment la masse calculée du trou noir change si la période (T) ou le demi-grand axe (a) de l'étoile S2 étaient différents. (La distance D est fixée à 8.2 kpc).

Paramètres d'Entrée

Période (T) (années) 16.05 années

Demi-grand axe (a) (milli-arcsecondes, mas) 125 mas

Résultats Clés

Masse (kg) -

Masse (Millions M☉) -

Glossaire

Trou Noir Supermassif (SMBH): Un trou noir dont la masse est de l'ordre de millions à des milliards de masses solaires. On pense qu'ils résident au centre de la plupart des grandes galaxies.
Sagittarius A* (Sgr A*): La source radio compacte et brillante au centre de la Voie Lactée, coïncidant avec le trou noir supermassif central.
Parsec (pc): Une unité de distance utilisée en astronomie, définie par la parallaxe. 1 parsec équivaut à environ 3.086 × 10¹⁶ mètres, soit environ 3.26 années-lumière.
Arcseconde ("): Une unité de mesure d'angle. Il y a 60 arcsecondes dans une arcminute, 60 arcminutes dans un degré, et donc 3600 arcsecondes dans un degré.
Masse Solaire (\(M_☉\)): Une unité de masse standard en astronomie, égale à la masse du Soleil (environ \(1.989 \times 10^{30} \text{ kg}\)).