ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de la Masse d’une Exoplanète

Calcul de la Masse d’une Exoplanète en Astrophysique

Calcul de la Masse d’une Exoplanète

Comprendre la Détermination de la Masse des Exoplanètes

La découverte de milliers d'exoplanètes a ouvert une nouvelle ère en astrophysique. Déterminer la masse d'une exoplanète est crucial pour comprendre sa nature (rocheuse, gazeuse), sa densité, et potentiellement son habitabilité. Bien que les exoplanètes ne soient généralement pas observées directement, leur masse peut être estimée par des méthodes indirectes. L'une des méthodes les plus courantes est la méthode des vitesses radiales, qui détecte l'oscillation d'une étoile due à l'influence gravitationnelle d'une planète en orbite. Une autre méthode, applicable si la planète a des lunes ou si plusieurs planètes interagissent dans le système, utilise la troisième loi de Kepler généralisée par Newton. Cette loi relie la période orbitale et le demi-grand axe d'un corps orbitant à la masse totale du système (étoile + planète, ou planète + lune).

Données de l'étude : Exoplanète "Alpha Centauri Bb" (Données Ajustées)

Imaginons qu'une exoplanète, nommée "Alpha Centauri Bb", orbite autour de l'étoile Alpha Centauri B. Les observations astronomiques ont permis de déterminer les paramètres suivants pour l'orbite de cette exoplanète :

  • Période orbitale de l'exoplanète (\(T_p\)) : **\(3.06 \, \text{jours terrestres}\)** (Valeur ajustée pour la cohérence)
  • Demi-grand axe de l'orbite de l'exoplanète (\(a_p\)) : \(0.040 \, \text{Unités Astronomiques (UA)}\)
  • Masse de l'étoile Alpha Centauri B (\(M_{\text{étoile}}\)) : \(0.907 \, M_{\text{Soleil}}\)

Constantes et informations :

  • Constante gravitationnelle universelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\)
  • Masse du Soleil (\(M_{\text{Soleil}}\)) : \(1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • Masse de la Terre (\(M_{\text{Terre}}\)) : \(5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • Unité Astronomique (\(1 \, \text{UA}\)) : \(1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\)
  • Conversion : \(1 \, \text{jour terrestre} = 86400 \, \text{s}\)
Schéma : Exoplanète en Orbite autour de son Étoile
Étoile Exoplanète a Exoplanète orbitant son étoile hôte.

Une exoplanète en orbite elliptique (ici simplifiée) autour de son étoile.

Questions à traiter

  1. Convertir la période orbitale (\(T_p\)) de l'exoplanète en secondes (s).
  2. Convertir le demi-grand axe (\(a_p\)) de l'orbite de l'exoplanète en mètres (m).
  3. Convertir la masse de l'étoile (\(M_{\text{étoile}}\)) en kilogrammes (kg).
  4. Énoncer la troisième loi de Kepler sous sa forme généralisée par Newton, reliant la période orbitale (\(T_p\)), le demi-grand axe (\(a_p\)), la masse de l'étoile (\(M_{\text{étoile}}\)), la masse de la planète (\(m_p\)) et la constante gravitationnelle (\(G\)).
  5. Réarranger la formule de la question 4 pour isoler la masse totale du système (\(M_{\text{étoile}} + m_p\)).
  6. Calculer la masse totale du système (\(M_{\text{étoile}} + m_p\)) en kilogrammes.
  7. Calculer la masse de l'exoplanète (\(m_p\)) en kilogrammes.
  8. Exprimer la masse de l'exoplanète en masses terrestres (\(M_{\text{Terre}}\)).

Correction : Calcul de la Masse d’une Exoplanète

Question 1 : Conversion de la période orbitale (\(T_p\)) en secondes

Principe :

La période est donnée en jours terrestres et doit être convertie en secondes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_p(\text{s}) = T_p(\text{jours}) \times 86400 \, \text{s/jour} \]
Données spécifiques :
  • \(T_p = 3.06 \, \text{jours}\) (valeur ajustée)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_p(\text{s}) &= 3.06 \times 86400 \, \text{s} \\ &= 264384 \, \text{s} \\ &\approx 2.644 \times 10^5 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La période orbitale de l'exoplanète est \(T_p \approx 2.644 \times 10^5 \, \text{s}\).

Question 2 : Conversion du demi-grand axe (\(a_p\)) en mètres

Principe :

Le demi-grand axe est donné en Unités Astronomiques (UA) et doit être converti en mètres.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ a_p(\text{m}) = a_p(\text{UA}) \times (1.496 \times 10^{11} \, \text{m/UA}) \]
Données spécifiques :
  • \(a_p = 0.040 \, \text{UA}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a_p(\text{m}) &= 0.040 \times (1.496 \times 10^{11} \, \text{m}) \\ &= 0.05984 \times 10^{11} \, \text{m} \\ &= 5.984 \times 10^9 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le demi-grand axe de l'orbite de l'exoplanète est \(a_p = 5.984 \times 10^9 \, \text{m}\).

Question 3 : Conversion de la masse de l'étoile (\(M_{\text{étoile}}\)) en kg

Principe :

La masse de l'étoile est donnée en masses solaires et doit être convertie en kilogrammes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M_{\text{étoile}}(\text{kg}) = M_{\text{étoile}}(M_{\text{Soleil}}) \times (1.989 \times 10^{30} \, \text{kg/}M_{\text{Soleil}}) \]
Données spécifiques :
  • \(M_{\text{étoile}} = 0.907 \, M_{\text{Soleil}}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{étoile}}(\text{kg}) &= 0.907 \times (1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}) \\ &\approx 1.804123 \times 10^{30} \, \text{kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La masse de l'étoile Alpha Centauri B est \(M_{\text{étoile}} \approx 1.804 \times 10^{30} \, \text{kg}\).

Question 4 : Troisième loi de Kepler généralisée

Principe :

La troisième loi de Kepler, dans sa forme généralisée par Newton, relie le carré de la période orbitale (\(T\)) au cube du demi-grand axe (\(a\)) de l'orbite, et aux masses des deux corps (\(M_1\) et \(M_2\)) ainsi qu'à la constante gravitationnelle (\(G\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_p^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_{\text{étoile}} + m_p)} a_p^3 \]
Résultat Question 4 : La troisième loi de Kepler généralisée est \(T_p^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_{\text{étoile}} + m_p)} a_p^3\).

Question 5 : Formule pour la masse totale du système (\(M_{\text{étoile}} + m_p\))

Principe :

On réarrange la formule de la troisième loi de Kepler pour isoler la somme des masses.

Formule(s) dérivée(s) :
\[ M_{\text{étoile}} + m_p = \frac{4\pi^2 a_p^3}{GT_p^2} \]
Résultat Question 5 : La formule pour la masse totale du système est \(M_{\text{total}} = M_{\text{étoile}} + m_p = \frac{4\pi^2 a_p^3}{GT_p^2}\).

Question 6 : Calcul de la masse totale du système (\(M_{\text{étoile}} + m_p\))

Principe :

On utilise la formule dérivée avec les valeurs numériques converties.

Données spécifiques :
  • \(a_p \approx 5.984 \times 10^9 \, \text{m}\)
  • \(T_p \approx 2.64384 \times 10^5 \, \text{s}\) (valeur plus précise)
  • \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :

Calcul de \(a_p^3\):

\[ a_p^3 \approx (5.984 \times 10^9 \, \text{m})^3 \approx 2.1429 \times 10^{29} \, \text{m}^3 \]

Calcul de \(T_p^2\):

\[ T_p^2 \approx (2.64384 \times 10^5 \, \text{s})^2 \approx 6.98989 \times 10^{10} \, \text{s}^2 \]

Calcul de \(4\pi^2\):

\[ 4\pi^2 \approx 39.4784 \]

Calcul de \(M_{\text{total}}\):

\[ \begin{aligned} M_{\text{total}} &= \frac{(39.4784) \times (2.1429 \times 10^{29} \, \text{m}^3)}{(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}) \times (6.98989 \times 10^{10} \, \text{s}^2)} \\ &= \frac{8.4598 \times 10^{30}}{4.6650 \times 10^0} \, \text{kg} \\ &\approx 1.81346 \times 10^{30} \, \text{kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La masse totale du système (étoile + exoplanète) est \(M_{\text{total}} \approx 1.813 \times 10^{30} \, \text{kg}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si une exoplanète est très massive par rapport à son étoile, peut-on encore négliger sa masse dans la troisième loi de Kepler pour calculer la masse de l'étoile ?

Question 7 : Calcul de la masse de l'exoplanète (\(m_p\)) en kg

Principe :

La masse de l'exoplanète est la différence entre la masse totale du système et la masse de l'étoile.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ m_p = M_{\text{total}} - M_{\text{étoile}} \]
Données spécifiques :
  • \(M_{\text{total}} \approx 1.81346 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • \(M_{\text{étoile}} \approx 1.804123 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} m_p &\approx (1.81346 \times 10^{30} \, \text{kg}) - (1.804123 \times 10^{30} \, \text{kg}) \\ &\approx 0.009337 \times 10^{30} \, \text{kg} \\ &\approx 9.337 \times 10^{27} \, \text{kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La masse de l'exoplanète est \(m_p \approx 9.34 \times 10^{27} \, \text{kg}\).

Question 8 : Masse de l'exoplanète en masses terrestres

Principe :

On divise la masse de l'exoplanète en kg par la masse de la Terre en kg.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ m_p (M_{\text{Terre}}) = \frac{m_p (\text{kg})}{M_{\text{Terre}} (\text{kg})} \]
Données spécifiques :
  • \(m_p \approx 9.337 \times 10^{27} \, \text{kg}\)
  • \(M_{\text{Terre}} = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} m_p (M_{\text{Terre}}) &= \frac{9.337 \times 10^{27} \, \text{kg}}{5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}} \\ &\approx 0.001563 \times 10^{3} \, M_{\text{Terre}} \\ &\approx 1.563 \, M_{\text{Terre}} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : La masse de l'exoplanète est d'environ \(1.56\) masses terrestres. Il s'agirait donc d'une super-Terre ou d'une mini-Neptune.

Quiz Intermédiaire 2 : La méthode des vitesses radiales pour détecter les exoplanètes mesure :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La troisième loi de Kepler stipule que le carré de la période orbitale est proportionnel :

2. Une Unité Astronomique (UA) est définie comme :

3. Pour calculer la masse d'une exoplanète en utilisant la troisième loi de Kepler et les paramètres orbitaux, il est nécessaire de connaître :

Glossaire

Exoplanète
Planète qui orbite autour d'une étoile autre que le Soleil.
Période Orbitale (\(T\))
Temps nécessaire à un corps céleste pour effectuer une orbite complète autour d'un autre corps.
Demi-grand Axe (\(a\))
La moitié du plus grand diamètre d'une ellipse, représentant la taille moyenne de l'orbite.
Loi de Kepler (Troisième)
Le carré de la période orbitale d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite. La forme généralisée par Newton inclut la masse des corps en interaction : \(T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_1 + M_2)} a^3\).
Constante Gravitationnelle (\(G\))
Constante physique fondamentale qui détermine l'intensité de l'attraction gravitationnelle entre les masses.
Masse Solaire (\(M_{\text{Soleil}}\) ou \(M_{\odot}\))
Unité de masse couramment utilisée en astronomie, égale à la masse de notre Soleil.
Masse Terrestre (\(M_{\text{Terre}}\) ou \(M_{\oplus}\))
Unité de masse parfois utilisée pour les planètes, égale à la masse de la Terre.
Unité Astronomique (UA)
Unité de distance approximativement égale à la distance moyenne entre la Terre et le Soleil.
Calcul de la Masse d’une Exoplanète - Exercice d'Application

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