ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de la période orbitale d’une exoplanète

Calcul de la Période Orbitale d’une Exoplanète en Astrophysique

Calcul de la Période Orbitale d’une Exoplanète

Comprendre la Période Orbitale des Exoplanètes

La découverte et la caractérisation des exoplanètes (planètes orbitant autour d'étoiles autres que notre Soleil) constituent un domaine majeur de l'astrophysique moderne. L'une des caractéristiques fondamentales d'une exoplanète est sa période orbitale, c'est-à-dire le temps qu'elle met pour effectuer une révolution complète autour de son étoile hôte. La troisième loi de Kepler, généralisée par Newton, relie la période orbitale (\(T\)) d'un corps au demi-grand axe (\(a\)) de son orbite et à la masse (\(M\)) de l'objet central (l'étoile). Cette loi est cruciale pour estimer les masses des exoplanètes et comprendre la dynamique des systèmes planétaires extrasolaires.

Données de l'étude : Exoplanète Kepler-X

On étudie une exoplanète fictive, "Kepler-X", qui orbite autour d'une étoile de type solaire. Les observations ont permis de déterminer les caractéristiques suivantes :

  • Masse de l'étoile hôte (\(M_{\text{étoile}}\)) : \(1.10 \, M_{\text{Soleil}}\) (masses solaires)
  • Demi-grand axe de l'orbite de Kepler-X (\(a\)) : \(0.050 \, \text{UA}\) (Unités Astronomiques)

On supposera que la masse de l'exoplanète est négligeable par rapport à celle de l'étoile.

Constantes et informations :

  • Constante gravitationnelle universelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\) (ou \(\text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\))
  • Masse du Soleil (\(M_{\text{Soleil}}\)) : \(1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • Unité Astronomique (\(1 \, \text{UA}\)) : \(1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\)
  • Conversion : \(1 \, \text{jour terrestre} \approx 86400 \, \text{s}\)
Schéma : Exoplanète en Orbite autour de son Étoile
Étoile Kepler-X a Exoplanète orbitant son étoile hôte.

Une exoplanète en orbite elliptique (ici simplifiée) autour de son étoile.

Questions à traiter

  1. Convertir la masse de l'étoile hôte en kilogrammes (kg).
  2. Convertir le demi-grand axe de l'orbite de l'exoplanète en mètres (m).
  3. Énoncer la troisième loi de Kepler sous sa forme généralisée par Newton, reliant la période orbitale (\(T\)), le demi-grand axe (\(a\)), la masse de l'étoile (\(M_{\text{étoile}}\)) et la constante gravitationnelle (\(G\)). (On néglige la masse de la planète devant celle de l'étoile).
  4. Calculer la période orbitale (\(T\)) de Kepler-X en secondes (s).
  5. Convertir cette période orbitale en jours terrestres.

Correction : Calcul de la Période Orbitale d’une Exoplanète

Question 1 : Conversion de la masse de l'étoile

Principe :

La masse de l'étoile est donnée en masses solaires. Il faut la convertir en kilogrammes en utilisant la masse du Soleil comme facteur de conversion.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M_{\text{étoile}} (\text{kg}) = M_{\text{étoile}} (M_{\text{Soleil}}) \times M_{\text{Soleil}} (\text{kg}/M_{\text{Soleil}}) \]
Données spécifiques :
  • \(M_{\text{étoile}} = 1.10 \, M_{\text{Soleil}}\)
  • \(M_{\text{Soleil}} = 1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{étoile}} (\text{kg}) &= 1.10 \times (1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}) \\ &= 2.1879 \times 10^{30} \, \text{kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La masse de l'étoile hôte est \(M_{\text{étoile}} \approx 2.188 \times 10^{30} \, \text{kg}\).

Question 2 : Conversion du demi-grand axe

Principe :

Le demi-grand axe est donné en Unités Astronomiques (UA). Il faut le convertir en mètres.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ a (\text{m}) = a (\text{UA}) \times \text{valeur de 1 UA en m} \]
Données spécifiques :
  • \(a = 0.050 \, \text{UA}\)
  • \(1 \, \text{UA} = 1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a (\text{m}) &= 0.050 \times (1.496 \times 10^{11} \, \text{m}) \\ &= 0.0748 \times 10^{11} \, \text{m} \\ &= 7.48 \times 10^9 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le demi-grand axe de l'orbite de Kepler-X est \(a = 7.48 \times 10^9 \, \text{m}\).

Question 3 : Troisième loi de Kepler généralisée

Principe :

La troisième loi de Kepler, dans sa forme généralisée par Newton, relie le carré de la période orbitale (\(T\)) au cube du demi-grand axe (\(a\)) de l'orbite, à la masse de l'objet central (\(M\)) et à la constante gravitationnelle (\(G\)). Si la masse de la planète (\(m_p\)) est négligeable par rapport à la masse de l'étoile (\(M_{\text{étoile}}\)), la loi s'écrit :

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_{\text{étoile}} + m_p)} a^3 \]

Puisque \(m_p \ll M_{\text{étoile}}\), on peut approximer \(M_{\text{étoile}} + m_p \approx M_{\text{étoile}}\). Donc :

\[ T^2 \approx \frac{4\pi^2}{GM_{\text{étoile}}} a^3 \]
Résultat Question 3 : La troisième loi de Kepler généralisée (en négligeant la masse de la planète) est \(T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_{\text{étoile}}} a^3\).

Question 4 : Calcul de la période orbitale (\(T\)) en secondes

Principe :

On utilise la formule de la question 3 pour calculer \(T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T = \sqrt{\frac{4\pi^2 a^3}{GM_{\text{étoile}}}} \]
Données spécifiques :
  • \(a = 7.48 \times 10^9 \, \text{m}\)
  • \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\)
  • \(M_{\text{étoile}} \approx 2.1879 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :

Calcul de \(a^3\):

\[ a^3 = (7.48 \times 10^9 \, \text{m})^3 \approx 418.51 \times 10^{27} \, \text{m}^3 \approx 4.185 \times 10^{29} \, \text{m}^3 \]

Calcul de \(GM_{\text{étoile}}\):

\[ \begin{aligned} GM_{\text{étoile}} &= (6.674 \times 10^{-11}) \times (2.1879 \times 10^{30}) \\ &\approx 14.602 \times 10^{19} \, \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-2} \\ &\approx 1.460 \times 10^{20} \, \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-2} \end{aligned} \]

Calcul de \(T^2\):

\[ \begin{aligned} T^2 &= \frac{4\pi^2 (4.185 \times 10^{29} \, \text{m}^3)}{1.460 \times 10^{20} \, \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-2}} \\ &= \frac{4 \times (3.14159)^2 \times 4.185 \times 10^{29}}{1.460 \times 10^{20}} \, \text{s}^2 \\ &= \frac{39.478 \times 4.185 \times 10^{29}}{1.460 \times 10^{20}} \, \text{s}^2 \\ &= \frac{165.21 \times 10^{29}}{1.460 \times 10^{20}} \, \text{s}^2 \\ &\approx 113.157 \times 10^9 \, \text{s}^2 \\ &\approx 1.1316 \times 10^{11} \, \text{s}^2 \end{aligned} \]

Calcul de \(T\):

\[ \begin{aligned} T &= \sqrt{1.1316 \times 10^{11} \, \text{s}^2} \\ &\approx 336390 \, \text{s} \\ &\approx 3.364 \times 10^5 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La période orbitale de Kepler-X est \(T \approx 3.36 \times 10^5 \, \text{s}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le demi-grand axe d'une orbite augmente, la période orbitale (en gardant la masse de l'étoile constante) :

Question 5 : Conversion de la période orbitale en jours terrestres

Principe :

On utilise le facteur de conversion entre secondes et jours terrestres.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T (\text{jours}) = \frac{T (\text{s})}{\text{secondes par jour}} \]
Données spécifiques :
  • \(T \approx 336390 \, \text{s}\)
  • \(1 \, \text{jour} \approx 86400 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T (\text{jours}) &= \frac{336390 \, \text{s}}{86400 \, \text{s/jour}} \\ &\approx 3.8934 \, \text{jours} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La période orbitale de Kepler-X est d'environ \(3.89 \, \text{jours terrestres}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La troisième loi de Kepler, \(T^2 \propto a^3\), signifie que :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La troisième loi de Kepler relie la période orbitale d'une planète à :

2. Une Unité Astronomique (UA) est définie comme :

3. Si la masse de l'étoile centrale double (et que le demi-grand axe reste le même), la période orbitale de la planète :

Glossaire

Exoplanète
Planète qui orbite autour d'une étoile autre que le Soleil.
Période Orbitale (\(T\))
Temps nécessaire à un corps céleste pour effectuer une orbite complète autour d'un autre corps.
Demi-grand Axe (\(a\))
La moitié du plus grand diamètre d'une ellipse. Pour une orbite planétaire, c'est une mesure de la taille moyenne de l'orbite.
Lois de Kepler
Ensemble de trois lois décrivant le mouvement des planètes autour du Soleil (ou d'autres corps en orbite). La troisième loi relie la période orbitale au demi-grand axe.
Constante Gravitationnelle Universelle (\(G\))
Constante physique fondamentale qui apparaît dans la loi de la gravitation de Newton, reliant la force gravitationnelle entre deux corps à leurs masses et à la distance qui les sépare.
Unité Astronomique (UA)
Unité de distance approximativement égale à la distance moyenne entre la Terre et le Soleil (environ 149.6 millions de kilomètres).
Masse Solaire (\(M_{\text{Soleil}}\) ou \(M_{\odot}\))
Unité de masse couramment utilisée en astronomie, égale à la masse du Soleil (environ \(1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)).
Calcul de la Période Orbitale d’une Exoplanète - Exercice d'Application

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