ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de la pression d’un gaz parfait

Calcul de la Pression d’un Gaz Parfait en Thermodynamique

Calcul de la Pression d’un Gaz Parfait en Thermodynamique

Comprendre la Pression d'un Gaz Parfait

La pression exercée par un gaz est une conséquence des collisions incessantes de ses molécules avec les parois du récipient qui le contient. Pour un gaz parfait, un modèle idéalisé où les interactions intermoléculaires sont négligeables et le volume des molécules elles-mêmes est infime par rapport au volume du récipient, la relation entre la pression (\(P\)), le volume (\(V\)), la quantité de matière (\(n\)) et la température absolue (\(T\)) est décrite par la loi des gaz parfaits : \(PV = nRT\). Cette équation fondamentale permet de calculer l'une de ces grandeurs si les autres sont connues. La pression est une grandeur intensive importante qui caractérise l'état d'un système thermodynamique gazeux.

Données de l'étude : Gaz Parfait dans un Récipient

Un récipient rigide de volume \(V = 10.0 \, \text{L}\) contient \(n = 0.500 \, \text{mol}\) d'un gaz parfait. La température du gaz est maintenue à \(T = 27.0 \, ^{\circ}\text{C}\).

Constantes et informations :

  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • Conversion de volume : \(1 \, \text{L} = 10^{-3} \, \text{m}^3\)
  • Conversion de température : \(T(\text{K}) = T(^{\circ}\text{C}) + 273.15\)
  • Conversion de pression : \(1 \, \text{atm} \approx 1.013 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
Schéma : Gaz Parfait dans un Récipient Fermé
V, T, n constants P ? Gaz parfait exerçant une pression P.

Un gaz parfait contenu dans un récipient rigide à une température donnée.

Questions à traiter

  1. Convertir le volume du récipient de Litres (L) en mètres cubes (m³).
  2. Convertir la température du gaz de degrés Celsius (°C) en Kelvins (K).
  3. En utilisant la loi des gaz parfaits, calculer la pression (\(P\)) du gaz dans le récipient en Pascals (Pa).
  4. Convertir la pression calculée en atmosphères (atm).
  5. Si la quantité de gaz était doublée (passant à \(1.00 \, \text{mol}\)) tout en maintenant le volume et la température constants, quelle serait la nouvelle pression ?

Correction : Calcul de la Pression d’un Gaz Parfait

Question 1 : Conversion du volume

Principe :

Pour utiliser la constante des gaz parfaits \(R\) avec des unités SI (Joules, Pascals, mètres cubes), le volume doit être exprimé en m³.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ 1 \, \text{L} = 10^{-3} \, \text{m}^3 \]
Données spécifiques :
  • \(V = 10.0 \, \text{L}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V (\text{m}^3) &= 10.0 \, \text{L} \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{L} \\ &= 0.0100 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le volume du récipient est \(V = 0.0100 \, \text{m}^3\).

Question 2 : Conversion de la température

Principe :

La loi des gaz parfaits utilise la température absolue, exprimée en Kelvins (K).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T(\text{K}) = T(^{\circ}\text{C}) + 273.15 \]
Données spécifiques :
  • \(T = 27.0 \, ^{\circ}\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T(\text{K}) &= 27.0 + 273.15 \\ &= 300.15 \, \text{K} \end{aligned} \]

Pour simplifier les calculs courants, on utilise souvent \(273\) au lieu de \(273.15\). Si l'énoncé ne précise pas, \(300 \, \text{K}\) est acceptable pour \(27 \, ^{\circ}\text{C}\). Utilisons \(300.15 \, \text{K}\) pour plus de précision ici.

Résultat Question 2 : La température du gaz est \(T = 300.15 \, \text{K}\).

Question 3 : Calcul de la pression (\(P\)) du gaz en Pascals (Pa)

Principe :

On utilise la loi des gaz parfaits \(PV = nRT\) pour calculer la pression \(P\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ PV = nRT \Rightarrow P = \frac{nRT}{V} \]
Données spécifiques :
  • \(n = 0.500 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • \(T = 300.15 \, \text{K}\)
  • \(V = 0.0100 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= \frac{(0.500 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (300.15 \, \text{K})}{0.0100 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{1247.8221 \, \text{J}}{0.0100 \, \text{m}^3} \\ &\approx 124782 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Note : \(1 \, \text{J} = 1 \, \text{N} \cdot \text{m}\), et \(1 \, \text{Pa} = 1 \, \text{N/m}^2\), donc \(\text{J/m}^3 = \text{N} \cdot \text{m} / \text{m}^3 = \text{N/m}^2 = \text{Pa}\).

Résultat Question 3 : La pression du gaz dans le récipient est \(P \approx 1.248 \times 10^5 \, \text{Pa}\) (ou \(124.8 \, \text{kPa}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le volume d'un gaz parfait est doublé à température et quantité de matière constantes, sa pression :

Question 4 : Conversion de la pression en atmosphères (atm)

Principe :

On utilise le facteur de conversion entre Pascals et atmosphères.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P (\text{atm}) = \frac{P (\text{Pa})}{1.013 \times 10^5 \, \text{Pa/atm}} \]
Données spécifiques :
  • \(P \approx 124782 \, \text{Pa}\)
  • \(1 \, \text{atm} \approx 1.013 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P (\text{atm}) &= \frac{124782 \, \text{Pa}}{1.013 \times 10^5 \, \text{Pa/atm}} \\ &\approx 1.2318 \, \text{atm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La pression du gaz est d'environ \(1.23 \, \text{atm}\).

Question 5 : Nouvelle pression si la quantité de gaz est doublée

Principe :

Selon la loi des gaz parfaits (\(P = \frac{nRT}{V}\)), si \(n\) est doublé et que \(R, T, V\) restent constants, la pression \(P\) doublera également.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P' = \frac{n'RT}{V} \quad \text{avec} \quad n' = 2n \] \[ P' = \frac{(2n)RT}{V} = 2 \left(\frac{nRT}{V}\right) = 2P \]
Données spécifiques :
  • Pression initiale \(P \approx 1.2318 \, \text{atm}\) (ou \(124782 \, \text{Pa}\))
  • Nouvelle quantité de matière \(n' = 2 \times 0.500 \, \text{mol} = 1.00 \, \text{mol}\)
Calcul :

Nouvelle pression \(P'\) :

\[ \begin{aligned} P' &= 2 \times P \\ &\approx 2 \times 124782 \, \text{Pa} \\ &\approx 249564 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En atmosphères :

\[ \begin{aligned} P' &\approx 2 \times 1.2318 \, \text{atm} \\ &\approx 2.4636 \, \text{atm} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Si la quantité de gaz est doublée, la nouvelle pression sera d'environ \(2.496 \times 10^5 \, \text{Pa}\) ou \(2.46 \, \text{atm}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La constante des gaz parfaits R :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi des gaz parfaits relie :

2. Pour utiliser la constante \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) dans \(PV=nRT\), la pression doit être en :

3. Si la température d'un gaz parfait dans un récipient rigide (volume constant) augmente, sa pression :

Glossaire

Gaz Parfait (ou Idéal)
Modèle théorique d'un gaz où les particules sont considérées comme ponctuelles (sans volume propre) et n'exerçant aucune interaction entre elles à distance (forces intermoléculaires négligeables), sauf lors de collisions parfaitement élastiques.
Loi des Gaz Parfaits
Équation d'état qui relie la pression (\(P\)), le volume (\(V\)), la quantité de matière (\(n\)) et la température absolue (\(T\)) d'un gaz parfait : \(PV = nRT\).
Pression (\(P\))
Force exercée par unité de surface. Pour un gaz, elle résulte des collisions des molécules du gaz avec les parois du récipient. Unité SI : Pascal (Pa).
Volume (\(V\))
Espace occupé par une substance. Unité SI : mètre cube (m³).
Température Absolue (\(T\))
Mesure de l'énergie cinétique moyenne des particules d'un système. Doit être exprimée en Kelvins (K) dans la loi des gaz parfaits.
Quantité de Matière (\(n\))
Nombre de moles d'une substance. Unité : mole (mol).
Constante des Gaz Parfaits (\(R\))
Constante universelle apparaissant dans la loi des gaz parfaits. Sa valeur est approximativement \(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) ou \(0.08206 \, \text{L} \cdot \text{atm} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
Pascal (Pa)
Unité SI de la pression, équivalente à un Newton par mètre carré (\(\text{N/m}^2\)).
Atmosphère (atm)
Unité de pression non-SI, historiquement définie comme la pression atmosphérique moyenne au niveau de la mer. \(1 \, \text{atm} \approx 1.01325 \times 10^5 \, \text{Pa}\).
Calcul de la Pression d’un Gaz Parfait - Exercice d'Application

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