Calcul de la pression d’un gaz parfait

Contexte : La thermodynamiqueBranche de la physique qui étudie les relations entre la chaleur, le travail et l'énergie. et la loi des gaz parfaitsUn modèle théorique décrivant le comportement des gaz dans des conditions idéales (basses pressions, hautes températures)..

Cet exercice vous guidera à travers le calcul de la pression exercée par une quantité donnée de gaz confinée dans un volume fixe à une certaine température. Nous utiliserons la loi des gaz parfaits, une équation d'état fondamentale qui lie les variables macroscopiques d'un gaz. C'est un calcul essentiel en ingénierie, en chimie et en physique pour concevoir et sécuriser des systèmes contenant des gaz sous pression.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la loi des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) dans un contexte pratique et mettra en évidence l'importance capitale de la cohérence des unités dans les calculs scientifiques.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la loi des gaz parfaits pour déterminer la pression.
Maîtriser les conversions d'unités pour la température (Celsius vers Kelvin) et le volume (Litres vers m³).
Comprendre l'influence de la température et du volume sur la pression d'un gaz.

Données de l'étude

On considère un récipient fermé et indéformable contenant 2 moles de diazote (\(N_2\)), que l'on assimilera à un gaz parfait. Le volume du récipient est de 50 litres et la température du gaz est de 25 °C.

Schéma du système

Paramètre	Symbole	Valeur
Quantité de matière	\(n\)	2 mol
Volume	\(V\)	50 Litres
Température	\(T\)	25 °C
Constante des gaz parfaits	\(R\)	\(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

Convertir la température de l'énoncé en Kelvin (K).
Convertir le volume du récipient en mètres cubes (m³).
Calculer la pression du gaz à l'intérieur du récipient, en Pascals (Pa).
Exprimer cette pression en bars.

Les bases sur la Loi des Gaz Parfaits

La loi des gaz parfaits est une équation d'état qui décrit le comportement des gaz réels à des pressions suffisamment basses. Elle établit une relation de proportionnalité entre la pression, le volume, la quantité de matière et la température.

L'équation d'état du gaz parfait
Elle s'écrit de la manière suivante : \[ P \cdot V = n \cdot R \cdot T \] Où :

\(P\) est la pressionForce exercée par le gaz par unité de surface sur les parois du récipient. Unité SI : Pascal (Pa). du gaz (en \(\text{Pa}\)).
\(V\) est le volumeEspace occupé par le gaz. Unité SI : mètre cube (m³). occupé par le gaz (en \(\text{m}^3\)).
\(n\) est la quantité de matièreNombre de moles de gaz. Unité SI : mole (mol). (en \(\text{mol}\)).
\(R\) est la constante universelle des gaz parfaits (\(R \approx 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)).
\(T\) est la température absolueTempérature mesurée sur l'échelle Kelvin. 0 K correspond au zéro absolu. Unité SI : Kelvin (K). du gaz (en \(\text{K}\)).

Correction : Calcul de la Pression d’un Gaz Parfait

Question 1 : Convertir la température en Kelvin (K)

Principe

Le concept physique fondamental est la différence entre une échelle de température relative (Celsius) et une échelle absolue (Kelvin). Les lois de la thermodynamique, comme celle des gaz parfaits, dépendent de l'énergie cinétique totale des particules, qui n'est proportionnelle qu'à la température absolue. Le zéro absolu (0 K) représente l'état d'énergie minimale, un point de référence physique qui manque à l'échelle Celsius.

Mini-Cours

La température est une mesure de l'agitation thermique des atomes et molécules. L'échelle Kelvin est construite de sorte que 0 K soit le "zéro absolu", la température la plus basse théoriquement possible. L'échelle Celsius, quant à elle, est basée sur les points de congélation (0 °C) et d'ébullition (100 °C) de l'eau. Une augmentation de 1 K est exactement égale à une augmentation de 1 °C, ce qui rend la conversion simple : il s'agit d'un simple décalage de l'origine.

Remarque Pédagogique

Prenez toujours le réflexe de vérifier et de convertir les unités de température en premier dans tout problème de thermodynamique. C'est une étape préliminaire qui conditionne la validité de tous les calculs suivants. Une erreur ici invalidera tout le reste de votre travail.

Normes

La référence réglementaire est le Système International d'unités (SI), qui définit le Kelvin (K) comme l'unité de base pour la température thermodynamique. L'utilisation du Kelvin est obligatoire pour garantir la cohérence des formules physiques.

Formule(s)

Formule de conversion Celsius vers Kelvin

T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15

Hypothèses

Cette conversion est une définition et ne nécessite aucune hypothèse physique. On suppose que la mesure de température initiale est correcte.

Donnée(s)

La seule donnée utilisée pour cette question provient de l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur
Température en Celsius	\(T(^\circ\text{C})\)	25 °C

Astuces

Pour un calcul mental rapide et approximatif, vous pouvez souvent arrondir 273.15 à 273. Cependant, pour des calculs précis comme dans cet exercice, il est essentiel d'utiliser la valeur complète de 273.15.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre la relation entre l'échelle Celsius et l'échelle Kelvin, en montrant la position de la température à convertir.

Comparaison des Échelles de Température

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} T(\text{K}) &= 25 + 273.15 \\ &= 298.15 \, \text{K} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma final montre la valeur convertie sur l'échelle Kelvin, alignée avec sa valeur correspondante en Celsius.

Résultat de la Conversion de Température

Réflexions

Cette conversion est la première étape indispensable. En passant de 25°C à 298.15 K, nous avons maintenant une valeur qui représente directement l'énergie thermique du système et qui peut être utilisée dans les équations physiques de manière cohérente.

Points de vigilance

La principale erreur à éviter est d'utiliser la valeur en Celsius directement dans la loi des gaz parfaits. Une telle erreur donnerait un résultat de pression complètement faux et physiquement absurde. Assurez-vous toujours que toutes vos températures sont en Kelvin.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez la formule de conversion et sa raison d'être : la nécessité d'une échelle de température absolue en physique.

Formule : \( T(K) = T(°C) + 273.15 \)

Le saviez-vous ?

L'échelle Kelvin est nommée d'après l'ingénieur et physicien William Thomson, 1er Baron Kelvin. Il a été le premier à formuler la nécessité d'une échelle de température "absolue" en 1848. Fait intéressant, l'unité est le "kelvin" (sans majuscule) et son symbole est "K" (sans le symbole de degré °).

FAQ

Voici quelques doutes fréquents :

Résultat Final

La température du gaz est de 298.15 K.

A vous de jouer

Pour vérifier votre compréhension, convertissez une température de 100 °C en Kelvin.

Question 2 : Convertir le volume en mètres cubes (m³)

Principe

Le concept ici est l'homogénéité des unités dans une équation physique. La constante des gaz parfaits, \(R\), est généralement exprimée en Joules par mole-kelvin. Un Joule est défini en termes d'unités SI de base (kg, m, s). Pour que l'équation \(PV=nRT\) soit dimensionnellement correcte, le volume \(V\) doit donc être exprimé dans l'unité SI correspondante, le mètre cube (m³).

Mini-Cours

Le mètre cube (m³) est l'unité de volume dérivée du Système International. Il représente le volume d'un cube d'un mètre de côté. Le litre (L) est une unité hors-SI mais couramment utilisée, définie comme étant exactement égale à un décimètre cube (dm³). Puisqu'il y a 10 décimètres dans un mètre, un mètre cube contient \(10 \times 10 \times 10 = 1000\) décimètres cubes, et donc 1000 litres.

Remarque Pédagogique

Visualisez un grand cube d'un mètre de côté (un m³). Imaginez maintenant de le remplir avec des briques de lait d'un litre. Il vous en faudrait 1000 pour le remplir complètement. Cette image mentale peut vous aider à ne jamais oublier le facteur de conversion et le sens de la conversion (de L à m³, on divise).

Normes

Le Système International d'unités (SI) définit le mètre cube (m³) comme l'unité de volume standard. Bien que le litre soit accepté pour l'usage courant, les calculs scientifiques et d'ingénierie qui impliquent d'autres constantes SI (comme R) exigent l'utilisation du m³.

Formule(s)

Formule de conversion Litres vers Mètres Cubes

V(\text{m}^3) = \frac{V(\text{L})}{1000}

Hypothèses

Aucune hypothèse physique n'est nécessaire pour cette conversion mathématique.

Donnée(s)

La donnée de volume provient de l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur
Volume en Litres	\(V(\text{L})\)	50 L

Astuces

Pour convertir des litres en mètres cubes, il suffit de diviser par 1000, ce qui équivaut à décaler la virgule de trois rangs vers la gauche. Pour passer des mètres cubes aux litres, on multiplie par 1000 (on décale la virgule de trois rangs vers la droite).

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma représente visuellement le rapport de conversion : un grand cube (1m³) est rempli par 1000 petits cubes (1L).

Rapport entre Mètre Cube et Litre

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} V(\text{m}^3) &= \frac{50 \, \text{L}}{1000} \\ &= 0.05 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma compare un bidon de 50L à sa représentation équivalente, un petit cube de 0.05 m³.

Équivalence des Volumes

Réflexions

Cette deuxième conversion nous permet d'avoir toutes nos données d'entrée dans les unités du Système International. Le volume est maintenant compatible avec la constante des gaz parfaits \(R\), ce qui rend le calcul de la pression possible et correct.

Points de vigilance

L'erreur classique est de confondre le facteur de conversion et de multiplier par 1000 au lieu de diviser. Rappelez-vous que le mètre cube est une unité beaucoup plus grande que le litre, donc la valeur numérique en m³ doit être plus petite que celle en L.

Points à retenir

La conversion clé à mémoriser est simple et fondamentale pour de nombreux problèmes de physique et de chimie.

Conversion : \(1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{L}\)

Le saviez-vous ?

Le litre a été introduit en France en 1795 comme l'une des nouvelles "mesures républicaines". Il était initialement défini comme un décimètre cube. Bien qu'il ne fasse pas partie du SI, son usage est si répandu qu'il est officiellement accepté pour être utilisé avec le SI.

FAQ

Voici quelques doutes fréquents :

Résultat Final

Le volume du récipient est de 0.05 m³.

A vous de jouer

Pour vérifier votre compréhension, convertissez un volume de 2500 L en m³.

Question 3 : Calculer la pression du gaz en Pascals (Pa)

Principe

Le concept physique ici est que l'agitation thermique des molécules de gaz dans un volume clos génère une force sur les parois du récipient. Cette force répartie sur la surface des parois est ce que nous appelons la pression. La loi des gaz parfaits nous donne une relation mathématique directe pour quantifier cette pression en fonction de la quantité de gaz, du volume et de la température.

Mini-Cours

La loi des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) est une "équation d'état". Elle décrit l'état d'un gaz à l'équilibre. Chaque variable est une propriété macroscopique du système. En isolant la pression (\(P\)), on voit qu'elle est directement proportionnelle à la quantité de gaz (\(n\)) et à la température (\(T\)), mais inversement proportionnelle au volume (\(V\)). Cela signifie que si l'on chauffe un gaz dans une boîte fermée, la pression augmentera car les molécules bougent plus vite et frappent les parois plus fort et plus souvent.

Remarque Pédagogique

Avant tout calcul en physique, prenez l'habitude de poser clairement l'équation littérale que vous allez utiliser. Ensuite, listez chaque variable, vérifiez son unité et convertissez-la si nécessaire. Cette méthode structurée vous évitera 90% des erreurs de calcul. Ce n'est qu'après cette préparation que vous devriez procéder à l'application numérique.

Normes

En science et en ingénierie, la "norme" pour les calculs est l'utilisation du Système International d'unités (SI). Cela garantit que les équations sont cohérentes et que les résultats sont universellement compréhensibles. L'utilisation de la constante \(R\) avec des Joules impose que la pression soit en Pascals, le volume en m³, et la température en Kelvin.

Formule(s)

Formule de la pression isolée

P = \frac{n \cdot R \cdot T}{V}

Hypothèses

Le cadre de notre calcul repose sur une hypothèse fondamentale :

Le diazote (\(N_2\)) se comporte comme un gaz parfait dans les conditions de l'exercice (température et pression modérées). Cela implique que le volume propre des molécules et les forces d'interaction entre elles sont considérés comme négligeables.

Donnée(s)

Les données utilisées ici proviennent de l'énoncé et des résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur (SI)
Quantité de matière	\(n\)	2 mol
Constante des gaz parfaits	\(R\)	8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹
Température absolue	\(T\)	298.15 K
Volume	\(V\)	0.05 m³

Astuces

Pour aller plus vite et vérifier votre ordre de grandeur, souvenez-vous qu'une mole d'un gaz parfait à des conditions standards (0°C et 1 atm) occupe environ 22.4 L. Ici, on a 2 moles dans 50 L (soit 25 L/mol) à une température un peu plus élevée. La pression devrait donc être proche de la pression atmosphérique, soit environ 100 000 Pa.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente le système physique avant le calcul : un volume connu de gaz à une température et une quantité de matière données, dont on cherche à déterminer la pression interne.

Système Thermodynamique Initial

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} P &= \frac{2 \times 8.314 \times 298.15}{0.05} \\ &= \frac{4958.182}{0.05} \\ &\approx 99163.64 \, \text{Pa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Après le calcul, nous pouvons schématiser le résultat à l'aide d'un manomètre (un instrument de mesure de la pression) qui indique la valeur calculée.

Visualisation du Résultat

Réflexions

Le résultat obtenu, environ 99 164 Pa, est légèrement inférieur à la pression atmosphérique normale (environ 101 325 Pa). Ce résultat est tout à fait plausible et confirme notre estimation rapide faite dans la section "Astuces". Il signifie que les forces exercées par le gaz sur les parois internes du récipient sont un peu plus faibles que celles exercées par l'air extérieur.

Points de vigilance

Cohérence des unités : L'erreur la plus fréquente dans ce type de calcul est d'oublier de convertir une des variables (surtout la température en Kelvin et le volume en m³) dans les unités du Système International avant d'appliquer la formule. Cela conduit à un résultat complètement erroné.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez impérativement :

La formule de la pression : \(P = nRT / V\).
La nécessité absolue d'utiliser des unités SI : K pour la température, m³ pour le volume, et mol pour la quantité de matière.

Le saviez-vous ?

L'unité de pression, le Pascal (Pa), est nommée en l'honneur de Blaise Pascal, un mathématicien et physicien français du 17ème siècle. Un Pascal est une très petite pression : c'est la pression exercée par une force de 1 Newton sur une surface de 1 mètre carré. C'est pourquoi on utilise souvent ses multiples, comme le kilopascal (kPa) ou le bar.

FAQ

Voici quelques doutes fréquents :

Résultat Final

La pression du gaz dans le récipient est d'environ 99 164 Pa.

A vous de jouer

Pour vérifier votre compréhension, calculez la nouvelle pression (en Pa) si l'on ajoutait 3 moles de gaz supplémentaires dans le même récipient à la même température (soit 5 moles au total).

Question 4 : Exprimer cette pression en bars

Principe

Le concept est ici la conversion d'unités. Bien que le Pascal soit l'unité fondamentale du SI, d'autres unités comme le bar sont très courantes dans la pratique de l'ingénieur car elles offrent des ordres de grandeur plus faciles à manipuler et à comparer avec la pression atmosphérique.

Mini-Cours

Le bar est une unité de pression définie comme valant exactement 100 000 Pascals. Elle a été créée pour être très proche de la pression atmosphérique moyenne au niveau de la mer (qui est d'environ 101 325 Pa, soit 1.01325 bar). Cette proximité en fait une unité très intuitive pour de nombreuses applications, de la météorologie à la pression des pneus.

Remarque Pédagogique

Un bon ingénieur doit non seulement savoir effectuer le calcul dans les unités SI, mais aussi être capable de présenter le résultat dans l'unité la plus pertinente pour son interlocuteur ou son domaine d'application. Mémorisez les facteurs de conversion les plus courants (\(1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\)).

Normes

Le bar n'est pas une unité du Système International (SI), mais son usage est accepté par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) en raison de son importance pratique. Dans un rapport scientifique formel, il est préférable d'utiliser le Pascal, mais dans un contexte technique ou industriel, le bar est souvent privilégié.

Formule(s)

Formule de conversion Pascals vers Bar

P(\text{bar}) = \frac{P(\text{Pa})}{100 \, 000}

Hypothèses

Aucune hypothèse physique n'est nécessaire pour une simple conversion d'unités.

Donnée(s)

La donnée utilisée est le résultat du calcul précédent.

Paramètre	Symbole	Valeur
Pression en Pascals	\(P(\text{Pa})\)	99 164 Pa

Astuces

Pour convertir rapidement des Pascals en bars, il suffit de décaler la virgule de 5 rangs vers la gauche. C'est une opération mentale rapide qui vous permet d'estimer facilement l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser la conversion comme un changement d'échelle sur un axe gradué, montrant l'équivalence entre les Pascals et les bars.

Échelle de Pression Pa vs Bar

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} P(\text{bar}) &= \frac{99164 \, \text{Pa}}{100000} \\ &\approx 0.99164 \, \text{bar} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma positionne notre résultat sur les deux échelles. La ligne de projection rouge montre la correspondance exacte entre les deux valeurs.

Positionnement du Résultat sur l'Échelle

Réflexions

Le résultat de 0.99 bar est beaucoup plus "parlant" que 99 164 Pa. Il nous informe immédiatement que la pression à l'intérieur du récipient est quasiment identique à la pression atmosphérique standard. Cette simple conversion a donc facilité l'interprétation concrète du résultat physique.

Points de vigilance

Attention à ne pas se tromper dans le nombre de zéros ! Une erreur fréquente est de diviser par 1000 (pour passer en kiloPascals) au lieu de 100 000. Vérifiez toujours la définition de l'unité que vous utilisez.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez ce facteur de conversion fondamental : \(1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\).

Le saviez-vous ?

L'unité "bar" vient du mot grec "βάρος" (baros), qui signifie "poids". Cette même racine a donné des mots comme "baromètre" (l'instrument qui mesure la pression atmosphérique, donc le "poids" de l'air) ou "baryton" (une voix "lourde" ou "grave").

FAQ

Voici quelques doutes fréquents :

Résultat Final

La pression du gaz est d'environ 0.99 bar.

A vous de jouer

Pour vérifier votre compréhension, convertissez une pression de 253 312 Pa en bars.

Outil Interactif : Simulateur de Pression

Utilisez les curseurs pour faire varier la température et le volume du gaz et observez l'impact direct sur la pression. La quantité de gaz est fixée à 2 moles.

Paramètres d'Entrée

Température (°C) 25 °C

Volume (Litres) 50 L

Résultats Clés

Pression (Pascals) -

Pression (bars) -

Gaz Parfait: Modèle thermodynamique décrivant le comportement de gaz réels à basse pression. Il suppose que les particules sont ponctuelles et que les interactions entre elles sont négligeables, sauf lors des collisions élastiques.
Pression (P): Force par unité de surface que le gaz exerce sur les parois du récipient qui le contient. L'unité SI est le Pascal (Pa).
Température Absolue (T): Mesure de l'énergie cinétique moyenne des particules d'un système. Elle est mesurée en Kelvin (K) et son point zéro (0 K) correspond à l'absence totale d'agitation thermique.
Mole (mol): Unité de mesure de la quantité de matière. Une mole contient environ 6,022 x 10²³ entités (nombre d'Avogadro).