Calcul de la Section Efficace de Diffusion pour un Potentiel Yukawa
Contexte : Modélisation des forces nucléaires.
En physique subatomique, le potentiel de Coulomb ne suffit pas à décrire toutes les interactions. L'interaction forte, qui lie les protons et les neutrons dans le noyau, est une force de courte portée. Le potentiel de YukawaProposé par Hideki Yukawa en 1935, ce potentiel de la forme V(r) = -g²(e⁻ᵐʳ/r) décrit l'interaction entre nucléons via l'échange de mésons massifs., \(V(r) = V_0 \frac{e^{-\mu r}}{r}\), est un modèle simple mais puissant pour de telles forces. Le terme exponentiel \(e^{-\mu r}\) assure que la force s'atténue rapidement avec la distance, contrairement au potentiel coulombien. Le calcul de la section efficace de diffusionQuantité qui mesure la probabilité qu'une particule incidente soit déviée par une cible. Elle a la dimension d'une surface et représente la "taille" effective de la cible vue par le projectile. pour ce potentiel est un exercice classique qui permet de sonder la structure des interactions à courte portée en utilisant la théorie des collisions.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la puissance de la transformée de Fourier en mécanique quantique. Nous allons voir que le calcul de la diffusion, qui semble complexe dans l'espace des positions, devient beaucoup plus simple dans l'espace des impulsions. C'est une application directe de l'approximation de BornMéthode de la théorie des collisions qui traite le potentiel de diffusion comme une petite perturbation. Elle est valide à haute énergie ou pour des potentiels faibles., un outil essentiel pour les physiciens des particules.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer l'approximation de Born du premier ordre.
- Calculer la transformée de Fourier tridimensionnelle d'un potentiel à symétrie sphérique.
- Relier l'amplitude de diffusion à la transformée de Fourier du potentiel.
- Dériver l'expression de la section efficace différentielle.
- Analyser les limites physiques du résultat et le connecter à la diffusion de Rutherford.
Données de l'étude
Schéma de la Diffusion
Questions à traiter
- Calculer la transformée de Fourier du potentiel de Yukawa, \(\tilde{V}(\mathbf{k}) = \int V(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} d^3\mathbf{r}\).
- En utilisant le résultat de la question 1 avec \(\mathbf{k} = \mathbf{q}/\hbar\), dériver l'expression de l'amplitude de diffusion \(f(\theta)\).
- À partir de l'amplitude de diffusion, trouver la section efficace différentielle \(\frac{d\sigma}{d\Omega}\).
- Analyser le résultat dans la limite où la portée devient infinie (\(\mu \to 0\)). Quel résultat bien connu retrouvez-vous ? Interprétez physiquement cette limite.
Les bases de la Théorie de la Diffusion
1. L'Approximation de Born :
La théorie de la diffusion vise à prédire comment un faisceau de particules est dévié par un potentiel. Le calcul exact est souvent impossible. L'approximation de Born suppose que la particule incidente est très peu perturbée par le potentiel (ce qui est vrai à haute énergie). Dans ce cas, l'onde diffusée est directement proportionnelle à la "force" du potentiel dans l'espace des impulsions, c'est-à-dire sa transformée de Fourier. Chaque transfert d'impulsion \(\mathbf{q}\) correspond à une déviation dans une direction donnée.
2. Transformée de Fourier et Coordonnées Sphériques :
Le calcul de la transformée de Fourier d'un potentiel à symétrie sphérique \(V(r)\) est une technique standard. On passe en coordonnées sphériques pour l'intégrale sur \(\mathbf{r}\). En choisissant astucieusement l'axe \(z\) le long du vecteur \(\mathbf{k}\), le produit scalaire \(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\) se simplifie en \(kr\cos\alpha\), ce qui rend l'intégrale sur les angles facile à calculer.
\[ \tilde{V}(\mathbf{k}) = \int_0^\infty r^2 dr \int_0^\pi \sin\alpha \, d\alpha \int_0^{2\pi} d\beta \, V(r) e^{-ikr\cos\alpha} = \frac{4\pi}{k} \int_0^\infty r V(r) \sin(kr) dr \]
3. Section Efficace de Rutherford :
La diffusion d'une particule chargée par un potentiel coulombien \(V(r) \propto 1/r\) est un problème fondamental. Le résultat, connu sous le nom de formule de diffusion de Rutherford, a été historiquement crucial pour découvrir la structure de l'atome. La section efficace différentielle est :
\[ \left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{\text{Rutherford}} \propto \frac{1}{\sin^4(\theta/2)} \]
Cette forte dépendance en \(\sin^{-4}(\theta/2)\) est la signature d'une interaction à longue portée de type \(1/r\).
Correction : Calcul de la Section Efficace de Diffusion pour un Potentiel Yukawa
Question 1 : Transformée de Fourier du Potentiel de Yukawa
Principe (le concept physique)
La transformée de Fourier décompose une fonction (ici, le potentiel dans l'espace des positions) en une somme de ses fréquences spatiales (ici, les vecteurs d'onde \(\mathbf{k}\) dans l'espace des impulsions). En diffusion, cela revient à se demander "quelle est l'intensité de chaque composante du potentiel capable de provoquer un transfert d'impulsion \(\hbar\mathbf{k}\) ?".
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation entre l'amplitude de diffusion et la transformée de Fourier du potentiel est un résultat central de l'approximation de Born. Elle montre que les particules de haute énergie (grand \(\mathbf{p}\)) sondent les petites distances du potentiel (grand \(\mathbf{q}\)), tandis que les particules de basse énergie sondent les grandes distances (petit \(\mathbf{q}\)). C'est une manifestation du principe d'incertitude d'Heisenberg.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul de cette intégrale tridimensionnelle peut paraître intimidant. La clé est de toujours exploiter la symétrie du problème. Le potentiel ne dépend que de \(r\), il est donc à symétrie sphérique. Cela nous incite à utiliser les coordonnées sphériques et à orienter notre système d'axes intelligemment pour simplifier le produit scalaire dans l'exponentielle.
Cadre Théorique (les conventions)
Nous utilisons la convention de la transformée de Fourier en physique, \(\tilde{f}(\mathbf{k}) = \int f(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} d^3\mathbf{r}\). Les conventions peuvent varier (placement des facteurs \(2\pi\), signe de l'exponentielle), mais le résultat physique final reste le même.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour un potentiel à symétrie sphérique \(V(r)\), la transformée de Fourier se simplifie en une intégrale unidimensionnelle :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le potentiel s'annule suffisamment vite à l'infini pour que l'intégrale converge, ce qui est le cas pour le potentiel de Yukawa grâce au terme exponentiel.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Potentiel : \(V(r) = V_0 \frac{e^{-\mu r}}{r}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
L'intégrale \(\int_0^\infty e^{-ax}\sin(bx)dx = b/(a^2+b^2)\) est un résultat classique. Reconnaître cette forme après simplification permet de conclure le calcul très rapidement sans avoir à refaire l'intégration par parties deux fois.
Schéma (Avant les calculs)
Potentiel de Yukawa vs Coulomb
Calcul(s) (l'application numérique)
On insère le potentiel de Yukawa dans la formule simplifiée :
On utilise le résultat d'intégrale connu \(\int_0^\infty e^{-ax}\sin(bx)dx = b/(a^2+b^2)\) avec \(a=\mu\) et \(b=k\) :
Schéma (Après les calculs)
Transformée de Fourier (Lorentzienne)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La transformée de Fourier d'un potentiel de Yukawa est une Lorentzienne. Cela montre que le potentiel est principalement composé de basses fréquences spatiales (petits \(k\)), et que les hautes fréquences diminuent rapidement. La largeur de cette Lorentzienne est déterminée par \(\mu\), ce qui est logique : un potentiel de courte portée (grand \(\mu\)) nécessite plus de hautes fréquences pour être décrit.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est de mal gérer le passage en coordonnées sphériques, notamment le facteur \(r^2 \sin\alpha\) du volume élémentaire \(d^3\mathbf{r}\), ou de mal simplifier le produit scalaire \(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\). Utiliser directement la formule pour les potentiels à symétrie sphérique permet d'éviter ces pièges.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La transformée de Fourier relie l'espace des positions à l'espace des impulsions.
- Pour un potentiel à symétrie sphérique, l'intégrale 3D se réduit à une intégrale 1D.
- Yukawa (exponentielle décroissante) \(\Leftrightarrow\) Lorentzienne.
Le saviez-vous ? (la culture du physicien)
En théorie quantique des champs, le potentiel de Yukawa émerge naturellement du calcul de l'interaction entre deux fermions via l'échange d'une particule médiatrice massive (un boson, comme le méson \(\pi\)). La masse \(m\) de cette particule est directement liée au paramètre de portée via la relation \(\mu = mc/\hbar\). Le photon, médiateur de l'électromagnétisme, a une masse nulle, d'où \(\mu=0\) et une portée infinie.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le potentiel était une simple constante \(V_0\) (non nul partout), que vaudrait sa transformée de Fourier ? (Pensez à la fonction Delta de Dirac)
Question 2 : Amplitude de Diffusion \(f(\theta)\)
Principe (le concept physique)
L'amplitude de diffusion \(f(\theta)\) est un nombre complexe dont le carré du module donnera la probabilité de diffusion dans la direction \(\theta\). L'approximation de Born nous donne une recette directe pour la calculer : elle est proportionnelle à la transformée de Fourier du potentiel, évaluée au transfert d'impulsion spécifique \(\mathbf{q}/\hbar\) correspondant à cet angle \(\theta\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Dans la solution asymptotique de l'équation de Schrödinger pour un problème de diffusion, la fonction d'onde loin de la cible s'écrit comme la somme d'une onde plane incidente et d'une onde sphérique sortante : \(\psi(\mathbf{r}) \to e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} + f(\theta, \phi) \frac{e^{ikr}}{r}\). L'amplitude \(f(\theta, \phi)\) est précisément l'objet que nous calculons. Elle représente l'amplitude de l'onde diffusée dans chaque direction.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Considérez cette étape comme une simple "traduction". Nous avons calculé la réponse du potentiel à n'importe quelle "sollicitation" \(k\) à la question 1. Maintenant, nous regardons la sollicitation spécifique qui nous intéresse pour la diffusion, qui est \(k = q/\hbar\), et nous lisons la réponse correspondante dans notre résultat précédent.
Cadre Théorique (les conventions)
La formule de l'amplitude de diffusion dans l'approximation de Born est un résultat standard de la théorie de la diffusion quantique non-relativiste. Le facteur pré-intégral \(-m/(2\pi\hbar^2)\) assure que l'amplitude a les bonnes unités (une longueur) et la bonne phase.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Nous partons de la formule de l'approximation de Born et y insérons le résultat de la question 1 :
Hypothèses (le cadre du calcul)
La validité de ce calcul repose entièrement sur la validité de l'approximation de Born (haute énergie ou potentiel faible). On suppose aussi que la diffusion est élastique, ce qui nous permet d'utiliser la relation simple pour \(q\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(\tilde{V}(k) = \frac{4\pi V_0}{\mu^2 + k^2}\)
- Relation : \(k = |\mathbf{k}| = |\mathbf{q}|/\hbar = q/\hbar\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le calcul est une substitution directe. La seule petite manipulation est de multiplier le numérateur et le dénominateur par \(\hbar^2\) pour éliminer le \((q/\hbar)^2\) et obtenir une expression plus élégante.
Schéma (Avant les calculs)
Substitution dans la Formule de Born
Calcul(s) (l'application numérique)
On remplace \(k\) par \(q/\hbar\) dans l'expression de \(\tilde{V}(k)\) :
Schéma (Après les calculs)
Amplitude de Diffusion vs Transfert d'Impulsion
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons maintenant l'amplitude de diffusion en fonction du module du transfert d'impulsion, \(q\). Comme \(q\) dépend de l'angle de diffusion \(\theta\), nous avons bien une expression pour l'amplitude en fonction de l'angle. L'amplitude est réelle et négative (si \(V_0>0\)), ce qui est typique pour un potentiel répulsif dans cette approximation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas confondre \(k\) (la variable de la transformée de Fourier) avec le nombre d'onde de la particule incidente, qui serait \(k_{\text{particule}} = p/\hbar\). Ici, la variable de Fourier \(k\) est spécifiquement égale au module du transfert d'impulsion divisé par \(\hbar\), soit \(q/\hbar\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'amplitude de diffusion \(f\) est directement proportionnelle à la transformée de Fourier du potentiel \(\tilde{V}\).
- La variable de Fourier \(k\) doit être évaluée au transfert d'impulsion : \(k = q/\hbar\).
Le saviez-vous ? (la culture du physicien)
L'amplitude de diffusion peut avoir des pôles (des valeurs où elle devient infinie) pour des énergies négatives. Ces pôles ne sont pas des états de diffusion physiques, mais ils correspondent mathématiquement aux énergies des états liés du potentiel ! La théorie de la diffusion contient donc aussi des informations sur les états liés.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'intensité du potentiel \(V_0\) est doublée, par quel facteur la section efficace (calculée à la prochaine question) sera-t-elle multipliée ?
Question 3 : Section Efficace Différentielle
Principe (le concept physique)
La section efficace différentielle, \(\frac{d\sigma}{d\Omega}\), est la quantité que l'on mesure expérimentalement. Elle représente le nombre de particules diffusées par unité de temps dans un angle solide \(d\Omega\) donné, divisé par le flux de particules incidentes. Théoriquement, elle est simplement le carré du module de l'amplitude de diffusion.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La section efficace différentielle est une densité de probabilité angulaire de diffusion. L'intégrer sur un certain angle solide donne la probabilité totale de diffusion dans cette région du détecteur. L'intégrer sur tous les angles (\(4\pi\) stéradians) donne la section efficace totale, \(\sigma_{\text{tot}}\), qui représente la surface effective totale de la cible pour la diffusion.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à l'analogie de l'arrosage d'une petite bille avec un tuyau d'arrosage. L'amplitude de diffusion \(f(\theta)\) serait comme l'amplitude des vaguelettes de l'eau dans chaque direction après avoir heurté la bille. La section efficace \(|f(\theta)|^2\) serait l'intensité des éclaboussures, ce que vous voyez et mesurez réellement. C'est toujours une quantité positive et réelle.
Cadre Théorique (les conventions)
La relation \(\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta, \phi)|^2\) est la connexion fondamentale entre la quantité théorique calculée (l'amplitude \(f\)) et la quantité mesurable en laboratoire (la section efficace). C'est le pont entre la théorie des ondes de la mécanique quantique et les comptages de particules dans un détecteur.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise aussi la relation pour la diffusion élastique :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le détecteur est situé très loin de la cible (approximation du champ lointain), de sorte que les ondes arrivant au détecteur peuvent être traitées comme des ondes planes. C'est dans cette limite que la relation \(\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f|^2\) est valide.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(f(q) = -\frac{2mV_0}{\mu^2\hbar^2 + q^2}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Puisque notre amplitude de diffusion \(f(q)\) est une quantité purement réelle, le calcul du module au carré est simple : \(|f|^2 = f^2\). Il suffit de mettre au carré l'expression obtenue à la question précédente et d'y substituer l'expression de \(q^2\).
Schéma (Avant les calculs)
De l'Amplitude à la Section Efficace
Calcul(s) (l'application numérique)
On calcule le carré du module de \(f(q)\) :
On remplace \(q^2\) par son expression en fonction de l'angle \(\theta\) :
Schéma (Après les calculs)
Section Efficace Différentielle (Polaire)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette formule est le résultat principal de notre calcul. Elle prédit comment la probabilité de diffusion varie avec l'angle \(\theta\) et l'énergie de la particule incidente (via \(p\)). On voit que pour \(\theta=0\), le dénominateur est minimal, donc la diffusion est maximale vers l'avant, ce qui est typique de la plupart des potentiels. Lorsque \(\theta\) augmente, la section efficace diminue, ce qui signifie que la diffusion à grand angle est moins probable.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus courante est d'oublier de substituer l'expression de \(q\) en fonction de \(\theta\). La section efficace est une fonction de l'angle de diffusion \(\theta\) et de l'énergie incidente \(p\), qui sont les quantités contrôlées en laboratoire, et non du transfert d'impulsion \(q\) qui est une quantité théorique intermédiaire.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La section efficace différentielle est le carré du module de l'amplitude de diffusion : \(\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f|^2\).
- Elle dépend de l'énergie incidente et de l'angle de diffusion.
- Pour le potentiel de Yukawa, la diffusion est fortement piquée vers l'avant (\(\theta=0\)).
Le saviez-vous ? (la culture du physicien)
L'unité standard de la section efficace en physique des particules est le "barn", où \(1 \, \text{barn} = 10^{-28} \, \text{m}^2\). Ce nom a été inventé pendant le projet Manhattan. Les physiciens, travaillant sur la diffusion de neutrons par des noyaux d'uranium, ont trouvé que la section efficace était bien plus grande que prévu, et l'un d'eux s'est exclamé qu'elle était "aussi grande qu'une grange" ("as big as a barn"). Le nom est resté.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'énergie de la particule incidente est très élevée (\(p \to \infty\)), comment se comporte la section efficace pour un angle \(\theta\) fixe et non nul ?
Question 4 : Limite de Rutherford (\(\mu \to 0\))
Principe (le concept physique)
Faire tendre \(\mu\) vers zéro revient à faire tendre la portée \(1/\mu\) vers l'infini. Le terme exponentiel \(e^{-\mu r}\) tend vers 1 pour tout \(r\). Le potentiel de Yukawa se transforme alors en un potentiel de type \(1/r\), qui a la même forme que le potentiel de Coulomb. On s'attend donc à retrouver la célèbre formule de diffusion de Rutherford.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le concept de théories effectives et de limites est central en physique. Le potentiel de Yukawa peut être vu comme une théorie plus générale décrivant l'échange de médiateurs massifs. Le potentiel de Coulomb est la limite de cette théorie lorsque la masse du médiateur (le photon) tend vers zéro. Vérifier que les formules se comportent correctement dans ces limites est un test de cohérence crucial.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est comme vérifier que la théorie de la relativité d'Einstein se réduit bien à la mécanique de Newton pour les faibles vitesses. Si ce n'était pas le cas, la nouvelle théorie serait en contradiction avec des résultats bien établis. Ici, nous vérifions que notre résultat pour la force nucléaire (courte portée) se réduit bien au résultat pour la force électromagnétique (longue portée) lorsque nous "éteignons" l'aspect de courte portée.
Cadre Théorique (les conventions)
La formule de diffusion de Rutherford est un résultat fondamental de la physique atomique et nucléaire. Elle a été initialement dérivée de manière classique par Ernest Rutherford, mais la dérivation quantique dans l'approximation de Born donne (remarquablement) le même résultat, ce qui est une particularité du potentiel en \(1/r\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
On prend la limite \(\mu \to 0\) dans l'expression de la section efficace :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la limite \(\mu \to 0\) est physiquement pertinente et que le potentiel \(V_0/r\) qui en résulte peut encore être traité dans l'approximation de Born. En réalité, l'approximation de Born n'est pas strictement valide pour le potentiel de Coulomb à cause de sa longue portée, mais elle donne fortuitement le bon résultat.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Résultat de la question 3.
- Limite à prendre : \(\mu \to 0\).
Astuces(Pour aller plus vite)
Lorsque l'on prend une limite, il suffit d'identifier le terme qui devient négligeable dans une somme. Ici, dans le dénominateur \(\mu^2\hbar^2 + 4p^2 \sin^2(\theta/2)\), le premier terme tend vers zéro, ne laissant que le second (sauf si \(\theta=0\)).
Schéma (Avant les calculs)
Limite du Potentiel
Calcul(s) (l'application numérique)
Si l'on identifie le potentiel de Coulomb entre deux charges \(Z_1e\) et \(Z_2e\) avec notre potentiel en posant \(V_0 = Z_1Z_2e^2/(4\pi\epsilon_0)\), et en utilisant l'énergie cinétique \(E = p^2/(2m)\), on retrouve exactement la formule de Rutherford :
Schéma (Après les calculs)
Section Efficace de Rutherford (Polaire)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Retrouver la formule de Rutherford est une vérification de cohérence très importante. Cela montre que le potentiel de Coulomb est un cas particulier de potentiel de Yukawa pour une particule médiatrice de masse nulle (le photon). La divergence en \(\sin^4(\theta/2)\) pour les petits angles est caractéristique des potentiels à longue portée : même les particules passant très loin de la cible sont légèrement déviées.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La divergence à \(\theta=0\) est une caractéristique du potentiel coulombien idéal. Dans un matériau réel, les charges environnantes créent un effet d'écran qui "coupe" la portée du potentiel à grande distance, ce qui régularise la section efficace à très petit angle. Le potentiel réel est donc plus proche d'un potentiel de Yukawa avec un très petit \(\mu\) que d'un pur potentiel coulombien.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le potentiel de Coulomb est la limite du potentiel de Yukawa pour une portée infinie (\(\mu \to 0\)).
- La section efficace de Yukawa tend vers la section efficace de Rutherford dans cette limite.
- La dépendance en \(\frac{1}{\sin^4(\theta/2)}\) est la signature d'une diffusion par un potentiel en \(1/r\).
Le saviez-vous ? (la culture du physicien)
L'interaction faible, responsable de certaines désintégrations radioactives, est aussi médiée par des particules massives (les bosons W et Z). Son potentiel peut aussi être modélisé par un potentiel de Yukawa, mais avec un \(\mu\) très grand car les bosons W et Z sont très lourds. C'est pourquoi la force faible a une portée extrêmement courte, bien plus courte encore que la force forte.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour un angle fixe \(\theta \neq 0\), que devient la section efficace si l'énergie de la particule est très élevée (\(p \to \infty\)) ? Elle tend vers...
Le Saviez-Vous ?
L'expérience de Rutherford en 1909, où des particules alpha étaient projetées sur une fine feuille d'or, a montré que quelques particules étaient déviées à de très grands angles. C'est en analysant cette dépendance en \(\sin^{-4}(\theta/2)\) qu'il a déduit que la charge positive de l'atome devait être concentrée dans un tout petit noyau, réfutant le modèle du "pain aux raisins" de Thomson et donnant naissance au modèle planétaire de l'atome.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quand l'approximation de Born est-elle valide ?
L'approximation de Born est généralement valide lorsque l'énergie cinétique de la particule incidente est beaucoup plus grande que l'énergie potentielle d'interaction (\(E \gg |V_0|\)), ou lorsque le potentiel est globalement "faible". Physiquement, cela signifie que la trajectoire de la particule est à peine déviée de sa ligne droite initiale, et que l'onde diffusée est beaucoup moins intense que l'onde incidente.
Que représente la section efficace totale ?
La section efficace totale, \(\sigma_{\text{tot}}\), est obtenue en intégrant la section efficace différentielle sur tous les angles solides : \(\sigma_{\text{tot}} = \int (d\sigma/d\Omega) d\Omega\). Elle représente la surface "totale" de la cible qui intercepte le faisceau incident pour provoquer une diffusion dans n'importe quelle direction. Pour la diffusion de Rutherford, cette intégrale diverge, ce qui est une autre conséquence de la portée infinie du potentiel coulombien.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on augmente la portée de l'interaction (en diminuant \(\mu\)), la diffusion à un angle donné \(\theta > 0\) va :
2. La formule de Rutherford prédit une section efficace qui devient infinie pour \(\theta=0\). Ceci est dû au fait que :
- Section Efficace
- Mesure de la probabilité d'interaction lors d'une collision. La section efficace différentielle (\(d\sigma/d\Omega\)) donne cette probabilité par unité d'angle solide.
- Approximation de Born
- Méthode perturbative en théorie de la diffusion où l'amplitude de diffusion est liée à la transformée de Fourier du potentiel d'interaction.
- Potentiel de Yukawa
- Potentiel de la forme \(V_0 e^{-\mu r}/r\), utilisé pour modéliser les interactions à courte portée comme la force nucléaire forte.
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Analyse Quantique des Électrons dans un Métal Analyse Quantique des Électrons dans un Métal Contexte : Le comportement étrange des électrons dans les solides. En physique du solide, comprendre pourquoi un matériau est un conducteur, un isolant ou un semi-conducteur...
Étude du Condensat dans Piège Harmonique
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Oscillations de Rabi dans un système à deux niveaux
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Précession de Larmor d’un Spin
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Commutation des opérateurs de moment cinétique
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Application du principe d’incertitude de Heisenberg
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Exercice : Portes Quantiques et Opérateurs de Spin Représentation Matricielle des Opérateurs de Spin et Portes Quantiques Contexte : Le QubitUnité de base de l'information quantique, analogue au bit classique, mais qui peut exister dans une superposition de ses deux...
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Modèle de Kronig-Penney et Bandes d'Énergie Modèle de Kronig-Penney et Bandes d'Énergie Contexte : Le comportement des électrons dans un cristal. En physique du solide, comprendre pourquoi certains matériaux sont des conducteurs et d'autres des isolants est...
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Symétrisation de Fonctions d'Onde pour Deux Fermions Symétrisation des Fonctions d'Onde pour Deux Fermions Contexte : Le Principe d'Exclusion de Pauli, fondement de la matière. En mécanique quantique, les particules identiques sont fondamentalement indiscernables....
Superposition d’états dans un puits infini
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Résolution de l'équation de Schrödinger pour un rotateur rigide Résolution de l'équation de Schrödinger pour un rotateur rigide Contexte : La rotation des molécules, une fenêtre sur le monde quantique. En physique quantique, le rotateur rigideModèle idéalisé de deux...
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