ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de l’Altitude pour une Orbite Géosynchrone

Calcul de l’Altitude pour une Orbite Géosynchrone en Astrophysique

Calcul de l’Altitude pour une Orbite Géosynchrone

Comprendre les Orbites Géosynchrones

Une orbite géosynchrone est une orbite autour de la Terre pour laquelle la période orbitale du satellite est égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même (un jour sidéral). Si une telle orbite est également circulaire, équatoriale (dans le plan de l'équateur terrestre), et dans le même sens que la rotation de la Terre, elle est dite géostationnaire. Un satellite en orbite géostationnaire apparaît fixe par rapport à un observateur au sol, ce qui est extrêmement utile pour les télécommunications et l'observation météorologique. Le calcul de l'altitude de ces orbites repose sur les lois de la gravitation universelle de Newton et les lois de Kepler sur le mouvement des planètes.

Données du Problème

On souhaite calculer l'altitude d'un satellite en orbite géosynchrone autour de la Terre.

  • Constante gravitationnelle universelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • Masse de la Terre (\(M_T\)) : \(5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • Période de rotation sidérale de la Terre (\(T\)) : \(23 \, \text{heures} \, 56 \, \text{minutes} \, 4 \, \text{secondes}\)
  • Rayon équatorial moyen de la Terre (\(R_T\)) : \(6378 \, \text{km}\)
Schéma : Satellite en Orbite Géosynchrone
Terre RT Orbite Géosynchrone h r Rotation Terre

Un satellite en orbite géosynchrone maintient une position relative fixe par rapport à la surface de la Terre.

Questions à traiter

  1. Convertir la période de rotation sidérale de la Terre (\(T\)) en secondes.
  2. Rappeler la troisième loi de Kepler sous sa forme généralisée par Newton, reliant la période orbitale (\(T\)), le demi-grand axe de l'orbite (\(a\), qui est le rayon orbital \(r\) pour une orbite circulaire), la constante gravitationnelle (\(G\)), et la masse du corps central (\(M\)).
  3. Réarranger la formule de la troisième loi de Kepler pour exprimer le rayon orbital (\(r\)) en fonction de \(G\), \(M_T\), et \(T\).
  4. Calculer le rayon orbital (\(r\)) d'un satellite en orbite géosynchrone autour de la Terre, en mètres.
  5. Calculer l'altitude (\(h\)) du satellite géosynchrone par rapport à la surface équatoriale de la Terre, en kilomètres.
  6. Quelles sont les conditions spécifiques pour qu'une orbite géosynchrone soit également géostationnaire ?

Correction : Calcul de l’Altitude pour une Orbite Géosynchrone

Question 1 : Conversion de la période de rotation (\(T\)) en secondes

Principe :

Il faut convertir les heures, minutes et secondes en un total de secondes.

Données spécifiques :
  • \(T = 23 \, \text{heures} \, 56 \, \text{minutes} \, 4 \, \text{secondes}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T (\text{s}) &= (23 \, \text{h} \times 3600 \, \text{s/h}) + (56 \, \text{min} \times 60 \, \text{s/min}) + 4 \, \text{s} \\ &= 82800 \, \text{s} + 3360 \, \text{s} + 4 \, \text{s} \\ &= 86164 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La période de rotation sidérale de la Terre est \(T = 86164 \, \text{s}\).

Question 2 : Troisième loi de Kepler généralisée

Principe :

La troisième loi de Kepler, généralisée par Newton pour inclure la masse du corps central, relie la période orbitale au demi-grand axe de l'orbite.

Formule :
\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} a^3 \]

Où :

  • \(T\) est la période orbitale
  • \(G\) est la constante gravitationnelle universelle
  • \(M\) est la masse du corps central (ici, \(M_T\))
  • \(a\) est le demi-grand axe de l'orbite (pour une orbite circulaire, \(a=r\), le rayon orbital)
Résultat Question 2 : La troisième loi de Kepler généralisée est \(T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_T} r^3\) pour une orbite circulaire de rayon \(r\).

Question 3 : Expression du rayon orbital (\(r\))

Principe :

On réarrange la formule de la troisième loi de Kepler pour isoler \(r\).

Dérivation :
\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_T} r^3 \] \[ r^3 = \frac{GM_T T^2}{4\pi^2} \] \[ r = \sqrt[3]{\frac{GM_T T^2}{4\pi^2}} \]
Résultat Question 3 : L'expression du rayon orbital est \(r = \left(\frac{GM_T T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}\).

Question 4 : Calcul du rayon orbital (\(r\))

Principe :

Application de la formule dérivée avec les données fournies.

Données spécifiques :
  • \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(M_T = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • \(T = 86164 \, \text{s}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :

Calcul de \(GM_T T^2\) :

\[ \begin{aligned} GM_T T^2 &\approx (6.674 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24}) \times (86164)^2 \\ &\approx (3.986 \times 10^{14}) \times (7.42423 \times 10^9) \\ &\approx 2.959 \times 10^{24} \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

(Unité : \(\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2 \cdot \text{kg} \cdot \text{s}^2 = (\text{kg} \cdot \text{m/s}^2) \cdot \text{m}^2/\text{kg} \cdot \text{s}^2 = \text{m}^3\))

Calcul de \(4\pi^2\) :

\[ 4\pi^2 \approx 4 \times (3.14159)^2 \approx 4 \times 9.8696 \approx 39.4784 \]

Calcul de \(r^3\) :

\[ r^3 \approx \frac{2.959 \times 10^{24} \, \text{m}^3}{39.4784} \approx 7.4952 \times 10^{22} \, \text{m}^3 \]

Calcul de \(r\) :

\[ \begin{aligned} r &\approx \sqrt[3]{7.4952 \times 10^{22}} \, \text{m} \\ &\approx (74.952 \times 10^{21})^{1/3} \, \text{m} \\ &\approx 4.2164 \times 10^7 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le rayon orbital d'un satellite géosynchrone est \(r \approx 4.216 \times 10^7 \, \text{m}\) (soit \(42160 \, \text{km}\)).

Question 5 : Altitude (\(h\)) du satellite

Principe :

L'altitude (\(h\)) est la différence entre le rayon orbital (\(r\)) et le rayon de la Terre (\(R_T\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h = r - R_T \]
Données spécifiques :
  • \(r \approx 4.2164 \times 10^7 \, \text{m}\)
  • \(R_T = 6378 \, \text{km} = 6.378 \times 10^6 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h &\approx (4.2164 \times 10^7 \, \text{m}) - (0.6378 \times 10^7 \, \text{m}) \\ &= (4.2164 - 0.6378) \times 10^7 \, \text{m} \\ &= 3.5786 \times 10^7 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en kilomètres :

\[ h \approx \frac{3.5786 \times 10^7 \, \text{m}}{1000 \, \text{m/km}} \approx 35786 \, \text{km} \]
Résultat Question 5 : L'altitude d'un satellite géosynchrone est d'environ \(35786 \, \text{km}\).

Question 6 : Conditions pour une orbite géostationnaire

Explication :

Une orbite géosynchrone a une période égale à la période de rotation sidérale de la Terre. Pour qu'elle soit également géostationnaire (c'est-à-dire que le satellite apparaisse immobile depuis un point fixe sur Terre), trois conditions supplémentaires doivent être remplies :

  • Orbite circulaire : L'excentricité de l'orbite doit être nulle (\(e=0\)). Si l'orbite est elliptique, la vitesse du satellite varie le long de son orbite, et il ne peut pas rester au-dessus du même point.
  • Orbite équatoriale : Le plan de l'orbite doit coïncider avec le plan de l'équateur terrestre (inclinaison orbitale \(i=0^\circ\)). Si l'orbite est inclinée, le satellite décrira une figure en forme de "8" (analemme) dans le ciel vu depuis un point fixe au sol, au lieu de rester immobile.
  • Sens de rotation : Le satellite doit orbiter dans le même sens que la rotation de la Terre (d'ouest en est).

L'altitude calculée précédemment (\(\approx 35786 \, \text{km}\)) est donc l'altitude spécifique pour toutes les orbites géosynchrones circulaires, y compris les orbites géostationnaires.

Résultat Question 6 : Pour être géostationnaire, une orbite géosynchrone doit être circulaire, équatoriale (inclinaison de 0°), et dans le même sens que la rotation de la Terre.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un satellite en orbite géosynchrone a une période orbitale de :

2. La troisième loi de Kepler relie la période orbitale (\(T\)) au demi-grand axe (\(a\)) par la relation :

3. L'altitude d'une orbite géostationnaire est d'environ :

4. Pour qu'un satellite apparaisse fixe au-dessus d'un point de l'équateur, son orbite doit être :

Glossaire

Orbite Géosynchrone
Orbite autour de la Terre pour laquelle la période orbitale d'un satellite est égale à la période de rotation sidérale de la Terre.
Orbite Géostationnaire
Cas particulier d'orbite géosynchrone qui est circulaire, située dans le plan de l'équateur terrestre, et parcourue dans le même sens que la rotation de la Terre. Un satellite sur cette orbite apparaît fixe depuis le sol.
Période Orbitale (\(T\))
Temps mis par un objet pour effectuer une orbite complète autour d'un autre objet.
Jour Sidéral
Temps mis par la Terre pour effectuer une rotation complète sur elle-même par rapport aux étoiles fixes (environ 23 heures, 56 minutes, 4 secondes).
Troisième Loi de Kepler
Loi qui établit une relation entre la période orbitale d'une planète (ou satellite) et le demi-grand axe de son orbite. La forme généralisée par Newton est \(T^2 = (4\pi^2/GM)a^3\).
Constante Gravitationnelle (\(G\))
Constante fondamentale de la physique qui apparaît dans la loi de la gravitation universelle de Newton.
Rayon Orbital (\(r\))
Distance entre le centre du corps central (ex: Terre) et le satellite en orbite (pour une orbite circulaire).
Altitude Orbitale (\(h\))
Distance entre la surface du corps central (ex: Terre) et le satellite en orbite. \(h = r - R_{\text{corps central}}\).
Force Électromotrice (FEM)
Terme incorrect dans ce contexte. Il s'agit d'un concept électrique.
Calcul de l’Altitude pour une Orbite Géosynchrone - Exercice d'Application

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