Calcul de l’Énergie Interne d’un Gaz Parfait

Contexte : La thermodynamique et le gaz parfaitUn modèle théorique décrivant le comportement des gaz réels à basse pression. Les particules sont considérées comme ponctuelles et n'interagissent pas entre elles, sauf lors de collisions élastiques..

L'énergie interne (notée \(U\)) d'un système thermodynamique est l'énergie totale contenue dans ce système. Elle correspond à la somme des énergies cinétiques et potentielles de ses particules au niveau microscopique. Pour un gaz parfait, une simplification majeure s'applique : son énergie interne ne dépend que de sa température. Cet exercice vise à calculer la variation de cette énergie lors d'un processus de chauffage simple.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la première loi de Joule et à calculer concrètement la variation d'énergie interne pour un gaz parfait monoatomique, un cas fondamental en thermodynamique.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la relation directe entre l'énergie interne et la température pour un gaz parfait.
Appliquer la formule de la variation de l'énergie interne : \(\Delta U = n \cdot C_{v,m} \cdot \Delta T\).
Maîtriser le calcul de la capacité thermique molaire à volume constant (\(C_{v,m}\)) pour un gaz monoatomique.
Gérer correctement les unités : Joules, Kelvin et moles.

Données de l'étude

On s'intéresse à un système fermé contenant de l'argon (Ar), considéré comme un gaz parfait monoatomique. Ce système subit une transformation isochore (à volume constant) où sa température augmente suite à un apport de chaleur.

Fiche Technique du Système

Caractéristique	Valeur
Nature du gaz	Argon (Ar), gaz parfait monoatomique
Type de transformation	Isochore (volume constant)
Constante des gaz parfaits (R)	\(8,314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Schéma de la transformation isochore

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	\(n\)	2	mol
Température initiale	\(T_1\)	298.15	K
Température finale	\(T_2\)	498.15	K

Questions à traiter

Calculer la variation de température \(\Delta T\) du système en Kelvin.
Déterminer la valeur de la capacité thermique molaire à volume constant (\(C_{v,m}\)) de l'argon.
Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz en Joules (J).
Exprimer ce résultat en kiloJoules (kJ).
Si le gaz avait été du diazote (\(N_2\), gaz parfait diatomique), quelle aurait été la nouvelle variation d'énergie interne \(\Delta U'\) pour la même variation de température ?

Les bases sur l'Énergie Interne

En thermodynamique, l'énergie interne d'un système est une fonction d'état extensive. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température, c'est la première loi de Joule.

1. Variation de l'énergie interne (\(\Delta U\))
La variation d'énergie interne d'un système contenant \(n\) moles d'un gaz parfait subissant une variation de température \(\Delta T\) est donnée par la relation : \[ \Delta U = n \cdot C_{v,m} \cdot \Delta T \] Où \(C_{v,m}\) est la capacité thermique molaire à volume constant.

2. Capacité thermique molaire (\(C_{v,m}\))
Cette valeur dépend de la nature du gaz (de son atomicité) :

Pour un gaz parfait monoatomique (He, Ne, Ar...) : \(C_{v,m} = \frac{3}{2} R\)
Pour un gaz parfait diatomique (\(O_2, N_2, H_2\)...) : \(C_{v,m} = \frac{5}{2} R\)

Avec \(R \approx 8,314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).

Correction : Calcul de l’Énergie Interne d’un Gaz Parfait

Question 1 : Calculer la variation de température \(\Delta T\).

Principe

Le concept physique ici est la définition même de la "variation" en physique. Il s'agit de quantifier un changement entre un état final et un état initial. Pour la température, cela mesure l'ampleur du réchauffement ou du refroidissement subi par le système.

Mini-Cours

La température est une mesure de l'agitation thermique moyenne des particules d'un système. Le Kelvin (K) est l'unité du Système International pour la température thermodynamique. Son zéro (0 K) correspond au zéro absolu, l'état de plus basse énergie. Une variation de 1 K est équivalente à une variation de 1°C.

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de toujours calculer la variation (\(\Delta\)) comme "Final - Initial". Cela garantit que le signe de votre résultat a un sens physique direct : positif pour une augmentation, négatif pour une diminution.

Normes

L'utilisation du Kelvin comme unité de température est la norme dans toutes les sciences fondamentales et est définie par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) dans le cadre du Système International d'unités (SI).

Formule(s)

Formule de la variation de température

\Delta T = T_{\text{finale}} - T_{\text{initiale}}

Hypothèses

Nous supposons que les thermomètres utilisés pour mesurer \(T_1\) et \(T_2\) sont parfaitement calibrés et que les mesures représentent bien la température moyenne du gaz à l'équilibre thermique.

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé pour les températures initiale et finale.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Température initiale	\(T_1\)	298.15	K
Température finale	\(T_2\)	498.15	K

Astuces

Pour vérifier rapidement, si la température finale est plus grande que l'initiale, le résultat doit être positif. C'est un bon réflexe pour éviter les erreurs de signe.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation des températures initiale et finale

Calcul(s)

Calcul de la variation de température

\begin{aligned} \Delta T &= T_2 - T_1 \\ &= 498,15 \text{ K} - 298,15 \text{ K} \\ &= 200 \text{ K} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la variation de température

Réflexions

Une variation de 200 K est significative. Cela indique que le système a reçu une quantité d'énergie importante. Le signe positif confirme qu'il s'agit bien d'un échauffement.

Points de vigilance

La température doit impérativement être en Kelvin pour les calculs d'énergie. Bien qu'ici une variation en degrés Celsius donnerait le même résultat numérique (200), utiliser des températures absolues en °C dans d'autres formules thermodynamiques (comme la loi des gaz parfaits \(PV=nRT\)) conduirait à des erreurs grossières.

Points à retenir

La maîtrise de cette question passe par la compréhension que \(\Delta T\) représente l'écart de température et que son signe indique le sens de l'évolution (chauffage ou refroidissement).

Le saviez-vous ?

L'échelle Kelvin a été proposée par William Thomson, plus connu sous le nom de Lord Kelvin, en 1848. Il a basé son échelle sur le principe que le volume d'un gaz diminue linéairement avec la température, extrapolant ainsi la température à laquelle le volume deviendrait nul : le zéro absolu.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La variation de température du système est de 200 K.

A vous de jouer

Si le gaz était refroidi de 350 K à 250 K, quelle serait la valeur de \(\Delta T\) ?

Question 2 : Déterminer la valeur de \(C_{v,m}\) de l'argon.

Principe

Le concept physique est que l'énergie fournie à un gaz peut être stockée de différentes manières (translation, rotation, vibration). La capacité thermique mesure l'aptitude d'un gaz à stocker cette énergie sous forme de chaleur. Pour un gaz monoatomique, seule l'énergie de translation compte.

Mini-Cours

Le théorème de l'équipartition de l'énergie stipule que, à l'équilibre thermique, l'énergie est répartie également entre tous les degrés de liberté accessibles. Chaque degré de liberté (translation, rotation) contribue pour \(\frac{1}{2}kT\) à l'énergie moyenne par molécule, ce qui mène à une contribution de \(\frac{1}{2}R\) à la capacité thermique molaire.

Remarque Pédagogique

Associez "monoatomique" à 3 degrés de liberté (translation en x, y, z) et donc à un facteur de \(\frac{3}{2}\). Associez "diatomique" à 5 degrés de liberté (3 de translation + 2 de rotation) et donc à un facteur de \(\frac{5}{2}\). C'est un moyen mnémotechnique efficace.

Normes

Les valeurs théoriques des capacités thermiques pour les gaz parfaits sont des piliers de la thermodynamique statistique et sont validées par des mesures expérimentales standardisées (par ex. par le NIST aux USA).

Formule(s)

Formule pour un gaz parfait monoatomique

C_{v,m} = \frac{3}{2} R

Hypothèses

On fait l'hypothèse que l'argon se comporte comme un gaz parfait monoatomique idéal. Cela signifie qu'on néglige les forces interatomiques et le volume propre des atomes.

Donnée(s)

On utilise la valeur de la constante des gaz parfaits R donnée dans l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Constante des gaz parfaits	\(R\)	8.314	\( \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Schéma (Avant les calculs)

Degrés de liberté d'un atome (monoatomique)

Calcul(s)

Calcul de la capacité thermique

\begin{aligned} C_{v,m} &= \frac{3}{2} R \\ &= 1,5 \times 8,314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \\ &= 12,471 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Contribution à la Capacité Thermique

Réflexions

Cette valeur est une constante pour tous les gaz parfaits monoatomiques. Elle représente la quantité d'énergie (en Joules) qu'il faut fournir à une mole de ce gaz pour augmenter sa température d'un Kelvin, si son volume ne change pas.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(C_{v,m}\) (capacité thermique molaire à volume constant) et \(C_{p,m}\) (capacité thermique molaire à pression constante). Pour un gaz parfait, elles sont liées par la relation de Mayer : \(C_{p,m} - C_{v,m} = R\).

Points à retenir

Pour réussir, il est crucial de mémoriser la formule \(C_{v,m} = \frac{3}{2} R\) et de savoir qu'elle s'applique spécifiquement aux gaz parfaits monoatomiques.

Le saviez-vous ?

La théorie cinétique des gaz, développée par des physiciens comme James Clerk Maxwell et Ludwig Boltzmann au 19ème siècle, a permis de donner une justification microscopique (basée sur le mouvement des atomes) à ces lois macroscopiques de la thermodynamique.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La capacité thermique molaire à volume constant de l'argon est de \(12,471 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).

A vous de jouer

En utilisant la relation de Mayer, calculez la capacité thermique molaire à pression constante (\(C_{p,m}\)) de l'argon.

Question 3 : Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) en Joules.

Principe

Le concept est la première loi de Joule : pour un gaz parfait, l'énergie interne est une fonction exclusive de la température. Toute variation de température induit donc une variation proportionnelle de l'énergie interne, le coefficient de proportionnalité étant la capacité thermique.

Mini-Cours

Le premier principe de la thermodynamique s'écrit \(\Delta U = Q + W\), où \(Q\) est la chaleur échangée et \(W\) le travail des forces de pression. Dans une transformation isochore (volume constant), le travail \(W = -\int P dV\) est nul. Donc, \(\Delta U = Q_v\). La formule \(\Delta U = n \cdot C_{v,m} \cdot \Delta T\) est donc le moyen de calculer la chaleur échangée à volume constant.

Remarque Pédagogique

Voyez cette formule comme une recette : pour connaître l'énergie ajoutée, multipliez la "quantité d'ingrédient" (\(n\)) par la "capacité du récipient à chauffer" (\(C_{v,m}\)) et par "l'intensité du chauffage" (\(\Delta T\)).

Formule(s)

Formule de la variation d'énergie interne

\Delta U = n \cdot C_{v,m} \cdot \Delta T

Hypothèses

On suppose que la capacité thermique \(C_{v,m}\) est constante sur l'intervalle de température considéré, ce qui est une excellente approximation pour un gaz parfait.

Donnée(s)

On rassemble la quantité de matière de l'énoncé, et les résultats des questions 1 (\(\Delta T\)) et 2 (\(C_{v,m}\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	\(n\)	2	mol
Capacité thermique	\(C_{v,m}\)	12.471	\( \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Variation de température	\(\Delta T\)	200	K

Astuces

Avant de calculer, vérifiez la cohérence des unités. Ici : \(\text{mol} \times (\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}}) \times \text{K}\). Les moles et les Kelvin se simplifient bien, il restera des Joules. C'est une vérification qui sauve des points !

Schéma (Avant les calculs)

Schéma du processus de chauffage

Calcul(s)

Calcul de la variation d'énergie interne

\begin{aligned} \Delta U &= n \cdot C_{v,m} \cdot \Delta T \\ &= 2 \text{ mol} \times 12,471 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \times 200 \text{ K} \\ &= 4988,4 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Bilan Énergétique

Réflexions

Le résultat est positif (environ 5000 J), ce qui est physiquement cohérent : l'augmentation de la température de 2 moles de gaz a nécessité un apport d'énergie qui a été stockée dans le système, augmentant ainsi son énergie interne.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici serait d'oublier une des grandeurs dans la multiplication ou d'utiliser une mauvaise valeur pour \(C_{v,m}\) (par exemple, celle d'un gaz diatomique). Soyez méthodique.

Points à retenir

La formule \(\Delta U = n \cdot C_{v,m} \cdot \Delta T\) est centrale. Il faut la connaître et savoir que \(C_{v,m}\) dépend de la nature du gaz. C'est le point clé de la question.

Le saviez-vous ?

James Prescott Joule a démontré expérimentalement vers 1845 (détente de Joule-Gay-Lussac) que l'énergie interne d'un gaz ne dépendait pas de son volume, mais uniquement de sa température. Cette découverte expérimentale a fondé l'une des lois les plus importantes pour le modèle du gaz parfait.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La variation d'énergie interne du gaz est de 4988,4 J.

A vous de jouer

Quelle serait la variation d'énergie interne \(\Delta U\) si on ne chauffait que 0.5 mole d'argon dans les mêmes conditions ?

Question 4 : Exprimer ce résultat en kiloJoules (kJ).

Principe

Le principe est l'utilisation des préfixes du Système International pour représenter des ordres de grandeur. Cela permet d'écrire les nombres de manière plus concise et lisible, en évitant les longues séries de zéros.

Mini-Cours

Les préfixes SI sont des multiplicateurs décimaux. Pour les plus courants : kilo (k) = \(10^3\), Méga (M) = \(10^6\), Giga (G) = \(10^9\). Pour les sous-multiples : milli (m) = \(10^{-3}\), micro (µ) = \(10^{-6}\), nano (n) = \(10^{-9}\). Pour passer d'une unité de base à une unité "kilo", on divise par 1000.

Remarque Pédagogique

En ingénierie et en sciences, il est courant de choisir une unité qui place la valeur numérique entre 0.1 et 1000 pour une meilleure lisibilité. 4988,4 J est correct, mais 4,9884 kJ est souvent préféré.

Normes

L'utilisation des préfixes (comme kilo-) est standardisée au niveau mondial par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) pour assurer l'uniformité des communications scientifiques.

Formule(s)

Formule de conversion J vers kJ

\text{Valeur en kJ} = \frac{\text{Valeur en J}}{1000}

Hypothèses

Aucune hypothèse physique n'est nécessaire. Il s'agit d'une pure conversion mathématique basée sur une définition.

Donnée(s)

On utilise le résultat de la variation d'énergie interne calculé à la question 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Variation d'énergie interne	\(\Delta U\)	4988,4	J

Astuces

Retenez simplement "kilo = mille". Donc, il y a 1000 Joules dans 1 kiloJoule. Pour trouver le nombre de "paquets de 1000", il faut diviser.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation de la valeur en Joules

Calcul(s)

Calcul de la conversion

\begin{aligned} \Delta U (\text{en kJ}) &= \frac{\Delta U (\text{en J})}{1000} \\ &= \frac{4988,4}{1000} \\ &= 4,9884 \text{ kJ} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Représentation de la valeur en KiloJoules

Réflexions

Le résultat de ~5 kJ est une valeur d'énergie courante à l'échelle d'une expérience de laboratoire. C'est par exemple l'énergie nécessaire pour élever d'environ 1.2°C la température d'un litre d'eau.

Points de vigilance

L'erreur classique est de multiplier par 1000 au lieu de diviser. Rappelez-vous : on passe d'une petite unité (Joule) à une plus grande (kiloJoule), donc la valeur numérique doit diminuer.

Points à retenir

La conversion entre unités et ses multiples/sous-multiples (en particulier le facteur 1000 pour "kilo") est une compétence de base en sciences qu'il faut maîtriser parfaitement.

Le saviez-vous ?

Le Joule (J) a été nommé en l'honneur du physicien anglais James Prescott Joule. Cependant, dans le domaine de la nutrition, on utilise encore très souvent l'ancienne unité, la calorie (cal). 1 calorie "alimentaire" (en réalité une kilocalorie) vaut environ 4,184 kJ.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La variation d'énergie interne est de 4,9884 kJ.

A vous de jouer

Convertissez 8314 Joules en kiloJoules.

Question 5 : Calculer \(\Delta U'\) pour du diazote (\(N_2\)).

Principe

Le concept physique est que la structure interne des molécules affecte la manière dont elles stockent l'énergie. Une molécule diatomique, contrairement à un atome seul, peut tourner sur elle-même. Cette rotation représente des degrés de liberté supplémentaires pour stocker de l'énergie.

Mini-Cours

Une molécule diatomique possède 3 degrés de liberté en translation et 2 degrés de liberté en rotation (la rotation autour de l'axe de la molécule est négligeable). Au total, cela fait 5 degrés de liberté. Chacun contribuant pour \(\frac{1}{2}R\) à la capacité thermique molaire, on obtient \(C_{v,m} = \frac{5}{2}R\). Les modes de vibration n'apparaissent qu'à plus haute température.

Remarque Pédagogique

C'est une question de comparaison. Le but est de vous faire réaliser que la "nature du gaz" n'est pas une simple information contextuelle, mais un paramètre crucial qui change la valeur de \(C_{v,m}\) et donc le résultat final.

Normes

Les valeurs de capacité thermique basées sur les degrés de liberté sont des résultats fondamentaux de la thermodynamique statistique, applicables à tous les gaz se comportant de manière idéale.

Formule(s)

Formule de la capacité thermique pour un gaz parfait diatomique

C'_{v,m} = \frac{5}{2} R

Formule de la variation d'énergie interne

\Delta U' = n \cdot C'_{v,m} \cdot \Delta T

Hypothèses

On suppose que le diazote se comporte comme un gaz parfait diatomique idéal et que la température n'est pas assez élevée pour exciter les modes de vibration de la molécule \(N_2\).

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé (\(n\), \(R\)) et le résultat de la question 1 (\(\Delta T\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	\(n\)	2	mol
Constante des gaz parfaits	\(R\)	8,314	\( \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Variation de température	\(\Delta T\)	200	K

Astuces

Puisque \(n\) et \(\Delta T\) sont inchangés, on peut voir que le nouveau \(\Delta U'\) sera simplement l'ancien \(\Delta U\) multiplié par le rapport des capacités thermiques : \(\Delta U' = \Delta U \times \frac{5/2 R}{3/2 R} = \Delta U \times \frac{5}{3}\).

Schéma (Avant les calculs)

Degrés de liberté d'une molécule diatomique

Une molécule diatomique possède 3 translations (comme un atome) et 2 rotations, pour un total de 5 degrés de liberté.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la nouvelle capacité thermique \(C'_{v,m}\)

\begin{aligned} C'_{v,m} &= \frac{5}{2} R \\ &= 2,5 \times 8,314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \\ &= 20,785 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la nouvelle variation d'énergie interne \(\Delta U'\)

\begin{aligned} \Delta U' &= n \cdot C'_{v,m} \cdot \Delta T \\ &= 2 \text{ mol} \times 20,785 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \times 200 \text{ K} \\ &= 8314 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Variations d'Énergie Interne

Réflexions

Le résultat (\(\approx 8,3\) kJ) est significativement plus élevé que pour l'argon (\(\approx 5\) kJ). Le rapport des deux énergies est \(\frac{8314}{4988,4} \approx 1,667\), ce qui est très proche du rapport théorique des capacités thermiques \(\frac{5/2 R}{3/2 R} = \frac{5}{3} \approx 1,667\). Il faut donc plus d'énergie pour chauffer un gaz diatomique qu'un gaz monoatomique pour la même élévation de température.

Points de vigilance

L'erreur principale est de se tromper dans la formule de la capacité thermique. Il est crucial d'utiliser \(\frac{5}{2}R\) pour un gaz diatomique et non \(\frac{3}{2}R\). Assurez-vous également de bien reprendre les valeurs de \(n\) et \(\Delta T\) des questions précédentes, comme demandé par l'énoncé.

Points à retenir

L'atomicité d'un gaz (mono-, di-, polyatomique) a un impact direct et quantifiable sur ses propriétés thermiques. Vous devez savoir choisir la bonne formule pour \(C_{v,m}\) en fonction de la description du gaz.

Le saviez-vous ?

À des températures très élevées (plus de 1000 K), les molécules diatomiques comme \(N_2\) commencent à vibrer. Cela "active" deux degrés de liberté supplémentaires (un cinétique et un potentiel), faisant passer \(C_{v,m}\) à \(\frac{7}{2}R\). C'est un phénomène quantique : l'énergie doit être suffisante pour atteindre le premier niveau d'énergie de vibration.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La variation d'énergie interne pour le diazote aurait été de 8314 J (soit 8,314 kJ).

A vous de jouer

Le méthane (\(CH_4\)) est un gaz polyatomique. Sa capacité thermique molaire \(C_{v,m}\) est d'environ \(3R\). Calculez \(\Delta U\) pour 2 moles de méthane chauffées de 200 K.

Outil Interactif : Simulateur d'Énergie Interne

Utilisez les curseurs pour faire varier la quantité de matière et la variation de température, et observez en temps réel l'impact sur la variation d'énergie interne pour un gaz monoatomique et diatomique.

Paramètres d'Entrée

Quantité de matière (\(n\)) 2 mol

Variation de température (\(\Delta T\)) 200 K

Résultats de \(\Delta U\) (en kJ)

Gaz Monoatomique -

Gaz Diatomique -

Énergie Interne (U): Somme des énergies cinétiques et d'interaction de toutes les particules constituant un système thermodynamique. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température.
Gaz Parfait: Modèle idéalisé d'un gaz où les particules sont supposées n'avoir aucun volume et aucune interaction entre elles. C'est une bonne approximation des gaz réels à basse pression et haute température.
Capacité Thermique Molaire à Volume Constant (\(C_{v,m}\)): Quantité de chaleur à fournir à une mole d'un corps pour élever sa température d'un Kelvin, lorsque le volume est maintenu constant.

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