Calcul de l'Expansion Exponentielle

Contexte : L'Expansion de l'UniversL'observation que l'espace entre les objets astronomiques (comme les galaxies) augmente avec le temps..

L'Univers n'est pas statique ; il est en expansion. Les observations montrent que les galaxies lointaines s'éloignent de nous, et ce d'autant plus vite qu'elles sont loin. Dans certains modèles cosmologiques simplifiés, notamment pendant des phases comme l'inflation cosmiqueUne période d'expansion exponentielle extrêmement rapide postulée juste après le Big Bang. ou dans un univers dominé par l'énergie sombreUne forme d'énergie hypothétique qui imprègne tout l'espace et tend à accélérer l'expansion de l'univers., l'expansion peut être modélisée comme étant exponentielle. Cet exercice explore comment calculer les caractéristiques de cette expansion.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de comprendre et d'appliquer les concepts mathématiques de la croissance exponentielle à un phénomène astrophysique fondamental : l'expansion de l'Univers. Vous apprendrez à manipuler le facteur d'échelleUn paramètre qui décrit comment les distances relatives dans l'univers changent avec le temps en raison de l'expansion. et la constante de HubbleLe taux auquel l'univers s'étend à un moment donné. Sa valeur actuelle est notée H₀..

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le concept de facteur d'échelle et son évolution dans un modèle d'expansion exponentielle.
Appliquer la loi de Hubble dans le contexte d'une expansion exponentielle.
Calculer le facteur d'échelle à différents instants.
Déterminer la vitesse de récession d'une galaxie en fonction du temps.
Relier le décalage vers le rouge (redshift)L'augmentation de la longueur d'onde de la lumière provenant d'objets s'éloignant de l'observateur, due à l'expansion de l'espace. au facteur d'échelle.

Données de l'étude

Nous considérons un modèle d'univers simplifié où l'expansion est purement exponentielle, décrite par un paramètre de Hubble \(H\) constant dans le temps. Nous prenons comme référence \(t=0\) un instant où le facteur d'échelle est \(a_0 = 1\).

Paramètres du Modèle

Caractéristique	Symbole	Valeur	Unité
Facteur d'échelle initial	\(a_0\)	1	(sans dimension)
Paramètre de Hubble (constant)	\(H\)	\(2 \times 10^{-18}\)	\(\text{s}^{-1}\)
Temps initial	\(t_0\)	0	\(\text{s}\)

Schéma de l'Expansion Exponentielle

Représentation : les galaxies (cercles) s'éloignent les unes des autres car l'espace lui-même (la grille) s'étend.

Questions à traiter

Calculer la valeur du facteur d'échelle \(a(t)\) après \(t_1 = 10 \, \text{Gyr}\) (\(1 \, \text{Gyr} \approx 3.15 \times 10^{16} \, \text{s}\)).
Une galaxie se trouve aujourd'hui (\(t_1\)) à une distance propre \(d_1 = 500 \, \text{Mpc}\) de nous (\(1 \, \text{Mpc} \approx 3.086 \times 10^{22} \, \text{m}\)). Quelle était sa distance propre \(d_0\) à \(t=0\) ?
Quelle est la vitesse de récession \(v_1\) de cette galaxie aujourd'hui (\(t_1\)) ? Exprimez-la en \(\text{km/s}\).
Quel est le décalage vers le rouge (redshift) \(z\) de la lumière émise par cette galaxie à \(t=0\) et reçue par nous aujourd'hui (\(t_1\)) ?
À quel instant \(t_2\) le facteur d'échelle sera-t-il le double de sa valeur à \(t_1\) ? Exprimez le résultat en milliards d'années (\(\text{Gyr}\)).

Les bases sur l'Expansion Exponentielle

Dans un modèle d'univers en expansion exponentielle avec un paramètre de Hubble \(H\) constant, l'évolution du facteur d'échelle \(a(t)\) est décrite par une fonction exponentielle. Le facteur d'échelle représente l'étirement relatif de l'espace au cours du temps.

1. Facteur d'Échelle \(a(t)\)
Le facteur d'échelle \(a(t)\) quantifie l'expansion. Si \(d_0\) est la distance entre deux points comobiles (\(\text{qui ne bougent que par l'effet de l'expansion}\)) à un temps de référence \(t_0\) où \(a(t_0)=a_0\), alors leur distance propre \(d(t)\) au temps \(t\) est \(d(t) = d_0 \frac{a(t)}{a_0}\). Dans notre modèle exponentiel : \[ a(t) = a_0 e^{H (t - t_0)} \] Comme nous posons \(t_0=0\) et \(a_0=1\), cela se simplifie en : \[ a(t) = e^{H t} \]

2. Loi de Hubble
La loi de Hubble relie la vitesse de récession \(v(t)\) d'un objet distant à sa distance propre \(d(t)\) via le paramètre de Hubble \(H(t)\). Dans notre modèle simplifié, \(H\) est constant : \[ v(t) = H \cdot d(t) \] La vitesse \(v(t)\) est la vitesse à laquelle la distance propre entre nous et l'objet augmente en raison de l'expansion de l'espace.

3. Décalage vers le Rouge (Redshift) \(z\)
Le redshift cosmologique \(z\) est dû à l'étirement de la longueur d'onde de la lumière pendant son trajet dans un univers en expansion. Il est directement lié au rapport des facteurs d'échelle entre l'émission (\(t_{\text{e}}\)) et la réception (\(t_{\text{r}}\)) : \[ 1 + z = \frac{a(t_{\text{r}})}{a(t_{\text{e}})} \]

Correction : Calcul de l’Expansion Exponentielle

Question 1 : Calculer \(a(t_1)\) après \(t_1 = 10 \, \text{Gyr}\).

Principe

Il s'agit d'appliquer directement la formule de l'évolution du facteur d'échelle dans un modèle d'expansion exponentielle, en utilisant le temps \(t_1\) donné.

Mini-Cours

Le facteur d'échelle \(a(t)\) décrit l'expansion relative de l'univers. Pour une expansion exponentielle, il croît de manière exponentielle avec le temps, selon \(a(t) = a_0 e^{H(t-t_0)}\). Avec nos conditions initiales (\(a_0=1, t_0=0\)), cela devient \(a(t)=e^{Ht}\). Le paramètre \(H\) (constant ici) détermine la rapidité de cette croissance exponentielle.

Remarque Pédagogique

L'important ici est de bien identifier la formule correcte pour l'évolution du facteur d'échelle dans CE modèle précis (exponentiel avec H constant). D'autres modèles cosmologiques auront des formules différentes.

Normes

En cosmologie, les calculs reposent sur les équations de la relativité générale d'Einstein (équations de Friedmann). Ce modèle exponentiel est une solution exacte de ces équations dans le cas d'un univers vide dominé par une constante cosmologique (énergie sombre).

Formule(s)

Formule du facteur d'échelle :

a(t) = e^{H t}

Hypothèses

Les hypothèses sous-jacentes à ce calcul sont :

Le principe cosmologique : l'Univers est homogène et isotrope à grande échelle.
Le paramètre de Hubble \(H\) est constant dans le temps (ce qui est une simplification forte, valable seulement dans certains régimes).
La relativité générale décrit correctement la gravitation à l'échelle cosmologique.
\(a_0=1\) à \(t_0=0\).

Donnée(s)

Données issues de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Paramètre de Hubble	\(H\)	\(2 \times 10^{-18}\)	\(\text{s}^{-1}\)
Temps écoulé	\(t_1\)	10	\(\text{Gyr}\)
Conversion Gyr en s		\(1 \, \text{Gyr} \approx 3.15 \times 10^{16}\)	\(\text{s}\)

Astuces

Vérifiez bien les unités ! Le produit \(H \times t\) doit être sans dimension pour être l'exposant d'une exponentielle. L'unité de \(H\) (\(\text{s}^{-1}\)) est l'inverse d'un temps, et \(t\) est un temps (\(\text{s}\)), donc \(H \times t\) est bien sans dimension.

Schéma (Avant les calculs)

Courbe Exponentielle a(t)

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion du temps \(t_1\) en secondes

\begin{aligned} t_1 &= 10 \, \text{Gyr} \\ &= 10 \times (3.15 \times 10^{16} \, \text{s/Gyr}) \\ &= 3.15 \times 10^{17} \, \text{s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du facteur d'échelle \(a(t_1)\)

\begin{aligned} a(t_1) &= e^{H t_1} \\ &= e^{(2 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1}) \times (3.15 \times 10^{17} \, \text{s})} \\ &= e^{0.63} \\ &\approx 1.8776 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Courbe Exponentielle a(t) avec Valeur Calculée

Réflexions

Après 10 milliards d'années dans ce modèle, les distances dans l'Univers ont été multipliées par un facteur d'environ 1.88 par rapport à \(t=0\).

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir le temps \(t_1\) en secondes avant de le multiplier par \(H\) qui est en \(\text{s}^{-1}\).

Points à retenir

Pour une expansion exponentielle, le facteur d'échelle \(a(t)\) suit la loi \(a(t) = a_0 e^{H(t-t_0)}\). La croissance est d'autant plus rapide que \(H\) est grand.

Le saviez-vous ?

Un modèle d'univers en expansion exponentielle pure est appelé "Univers de Sitter". Il représente un univers dominé par une constante cosmologique positive (énergie sombre), ce vers quoi notre propre Univers semble tendre dans le futur lointain.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul :

Résultat Final

Le facteur d'échelle après 10 milliards d'années est \(a(t_1) \approx 1.88\).

A vous de jouer

Calculez le facteur d'échelle si le temps écoulé était de \(t = 5 \, \text{Gyr}\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

Concept Clé : Expansion exponentielle.
Formule Essentielle : \(a(t) = e^{H t}\).
Point de Vigilance Majeur : Cohérence des unités (temps en secondes).

Question 2 : Calculer la distance initiale \(d_0\) pour \(d_1 = 500 \, \text{Mpc}\).

Principe

La distance propre évolue proportionnellement au facteur d'échelle. Connaissant la distance actuelle \(d_1\) et les facteurs d'échelle \(a(t_1)\) et \(a(t_0)\), on peut retrouver la distance initiale \(d_0\).

Mini-Cours

La distance propre \(d(t)\) entre deux objets comobiles (\(\text{qui suivent l'expansion}\)) est liée à leur distance comobile \(d_c\) (\(\text{qui reste constante}\)) par \(d(t) = a(t) \times d_c\). Si on prend comme référence \(t_0\) où \(a(t_0)=a_0\), alors \(d_0 = a_0 \times d_c\). En combinant, on trouve \(d(t) = d_0 \times (a(t)/a_0)\). Cette relation montre comment les distances physiques sont "étirées" par le facteur d'échelle.

Remarque Pédagogique

Visualisez l'expansion comme le gonflement d'un ballon sur lequel sont dessinés des points. La distance "sur le caoutchouc" (distance propre) entre les points augmente, même si les points eux-mêmes ne bougent pas "sur" le caoutchouc (position comobile).

Normes

Ce calcul découle directement de la définition du facteur d'échelle dans la métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, qui est la base des modèles cosmologiques standards.

Formule(s)

Relation distance propre / facteur d'échelle :

d(t) = d_0 \frac{a(t)}{a_0}

Application à \(t_1\) (avec \(a_0 = 1\)) :

d_1 = d_0 \times a(t_1)

Formule pour \(d_0\) :

d_0 = \frac{d_1}{a(t_1)}

Hypothèses

On utilise les mêmes hypothèses que pour la question 1 (principe cosmologique, modèle exponentiel, \(a_0=1\)). On suppose également que la galaxie est suffisamment lointaine pour que ses mouvements propres (dus à la gravitation locale) soient négligeables par rapport à l'expansion cosmologique (mouvement comobile).

Donnée(s)

Données issues de l'énoncé et du calcul précédent (Q1) :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Facteur d'échelle à \(t_1\)	\(a(t_1)\)	\(\approx 1.8776\)	(sans dimension)
Distance propre à \(t_1\)	\(d_1\)	500	\(\text{Mpc}\)
Facteur d'échelle initial	\(a_0\)	1	(sans dimension)

Astuces

La formule peut se réécrire \(d_0 = d_1 / a(t_1)\). Comme \(a(t_1) > a_0\) (expansion), on s'attend logiquement à ce que \(d_0 < d_1\). C'est un bon moyen de vérifier le sens du calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Distance Propre et Facteur d'Échelle

Calcul(s)

Calcul de la distance initiale \(d_0\)

\begin{aligned} d_0 &= \frac{d_1}{a(t_1)} \\ &= \frac{500 \, \text{Mpc}}{1.8776} \\ &\approx 266.29 \, \text{Mpc} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Distance Propre et Facteur d'Échelle (avec valeurs)

Réflexions

La galaxie, qui est aujourd'hui à 500 Mpc, était beaucoup plus proche (environ 266 Mpc) à \(t=0\) dans ce modèle. L'espace entre nous et elle s'est étiré.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser le bon rapport des facteurs d'échelle. Pour trouver une distance passée à partir d'une distance actuelle, on divise par le facteur d'échelle actuel (normalisé à \(a_0=1\)).

Points à retenir

Les distances propres évoluent avec le temps proportionnellement au facteur d'échelle \(a(t)\). La distance comobile reste constante.

Le saviez-vous ?

La notion de "distance" en cosmologie est complexe. La distance propre est celle mesurée à un instant \(t\). D'autres distances, comme la distance de diamètre angulaire ou la distance de luminosité, sont utilisées pour relier les observations (taille apparente, flux reçu) aux propriétés physiques des objets lointains, et elles ont des dépendances différentes par rapport au facteur d'échelle et au redshift.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul :

Résultat Final

La distance propre initiale de la galaxie était \(d_0 \approx 266 \, \text{Mpc}\).

A vous de jouer

Quelle serait la distance initiale \(d_0\) si la distance actuelle \(d_1\) était de 1000 Mpc ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

Concept Clé : Dilution des distances par l'expansion.
Formule Essentielle : \(d(t) = d_0 \frac{a(t)}{a_0}\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser les bons facteurs d'échelle aux bons instants.

Question 3 : Calculer la vitesse de récession \(v_1\) à \(t_1\).

Principe

La vitesse de récession d'une galaxie est donnée par la loi de Hubble, qui relie la vitesse à la distance propre via le paramètre de Hubble.

Mini-Cours

La loi de Hubble \(v(t) = H(t) d(t)\) décrit la vitesse à laquelle la distance propre entre deux objets comobiles augmente en raison de l'expansion. Ce n'est pas une vitesse "à travers l'espace" au sens classique, mais plutôt la vitesse d'étirement de l'espace lui-même entre les objets. Dans notre modèle, \(H\) est constant, donc \(v(t) = H d(t)\).

Remarque Pédagogique

La loi de Hubble est une conséquence directe de l'expansion homogène et isotrope. Imaginez à nouveau le ballon qui gonfle : un point voit tous les autres points s'éloigner de lui, et ce d'autant plus vite qu'ils sont loin initialement sur le caoutchouc.

Normes

La loi de Hubble est une loi phénoménologique observationnelle (proposée par Lemaître et Hubble) qui trouve sa justification théorique dans le cadre de la métrique FLRW de la relativité générale.

Formule(s)

Loi de Hubble (H constant) :

v(t) = H \cdot d(t)

Application à \(t_1\) :

v_1 = v(t_1) = H \cdot d_1

Hypothèses

Mêmes hypothèses que Q1 et Q2 (principe cosmologique, modèle exponentiel, H constant, galaxie comobile). La loi \(v=Hd\) est une approximation valide pour des redshifts pas trop grands dans un univers plus réaliste, mais elle est exacte dans ce modèle exponentiel.

Donnée(s)

Données issues de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Paramètre de Hubble	\(H\)	\(2 \times 10^{-18}\)	\(\text{s}^{-1}\)
Distance propre à \(t_1\)	\(d_1\)	500	\(\text{Mpc}\)
Conversion Mpc en m		\(1 \, \text{Mpc} \approx 3.086 \times 10^{22}\)	\(\text{m}\)
Conversion m en km		\(1 \, \text{km} = 1000\)	\(\text{m}\)

Astuces

Le paramètre de Hubble \(H\) est souvent donné en \((\text{km/s})/\text{Mpc}\). Notre valeur est en \(\text{s}^{-1}\). Pour convertir \(H\) en \((\text{km/s})/\text{Mpc}\) : \(H_{(\text{km/s})/\text{Mpc}} = H_{\text{s}^{-1}} \times \frac{1 \, \text{Mpc}}{1 \, \text{km}} \approx H_{\text{s}^{-1}} \times (3.086 \times 10^{19})\). Cela donne \(H \approx 61.7 \, (\text{km/s})/\text{Mpc}\). On peut alors calculer \(v_1 = H_{(\text{km/s})/\text{Mpc}} \times d_{1 (\text{Mpc})}\). C'est une excellente façon de vérifier le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Vitesse de Récession

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la distance \(d_1\) en mètres

\begin{aligned} d_1 &= 500 \, \text{Mpc} \\ &= 500 \times (3.086 \times 10^{22} \, \text{m/Mpc}) \\ &= 1.543 \times 10^{25} \, \text{m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la vitesse \(v_1\) en m/s

\begin{aligned} v_1 &= H \cdot d_1 \\ &= (2 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1}) \times (1.543 \times 10^{25} \, \text{m}) \\ &= 3.086 \times 10^{7} \, \text{m/s} \end{aligned}

Étape 3 : Conversion de \(v_1\) en \(\text{km/s}\)

\begin{aligned} v_1 &= (3.086 \times 10^{7} \, \text{m/s}) / (1000 \, \text{m/km}) \\ &= 30860 \, \text{km/s} \end{aligned}

Vérification avec l'astuce (H en \((\text{km/s})/\text{Mpc}\)) :

\begin{aligned} v_1 &\approx (61.7 \, (\text{km/s})/\text{Mpc}) \times (500 \, \text{Mpc}) \\ &\approx 30850 \, \text{km/s} \end{aligned}

Les résultats concordent (la petite différence vient des arrondis de conversion).

Schéma (Après les calculs)

Vitesse de Récession (avec valeurs)

Réflexions

La galaxie s'éloigne de nous à une vitesse d'environ 30 860 km/s, ce qui représente environ 10% de la vitesse de la lumière (\(c \approx 300\,000 \, \text{km/s}\)). Cette vitesse est due à l'expansion de l'espace lui-même. Pour des distances beaucoup plus grandes, \(v\) pourrait dépasser \(c\), ce qui n'est pas en contradiction avec la relativité restreinte car il ne s'agit pas d'un mouvement *dans* l'espace mais d'un étirement *de* l'espace.

Points de vigilance

Assurez-vous que les unités de distance et de H sont compatibles. Si H est en \(\text{s}^{-1}\), la distance doit être en mètres pour obtenir m/s. Si H est en \((\text{km/s})/\text{Mpc}\), la distance doit être en Mpc pour obtenir km/s.

Points à retenir

La loi de Hubble (\(v=Hd\)) relie directement la vitesse de récession à la distance propre. Plus une galaxie est loin, plus elle s'éloigne vite.

Le saviez-vous ?

La mesure précise de la constante de Hubble \(H_0\) est un défi majeur en cosmologie moderne. Différentes méthodes (basées sur le fond diffus cosmologique ou sur des "chandelles standards" comme les supernovae Ia) donnent des valeurs légèrement différentes, une tension connue sous le nom de "tension de Hubble". Notre valeur de \(H \approx 61.7 \, (\text{km/s})/\text{Mpc}\) est dans la fourchette des valeurs mesurées (environ 67-74 \((\text{km/s})/\text{Mpc}\)).

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul :

Résultat Final

La vitesse de récession de la galaxie à \(t_1\) est \(v_1 \approx 30860 \, \text{km/s}\).

A vous de jouer

Quelle serait la vitesse de récession \(v_1\) si la distance \(d_1\) était de 200 Mpc ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Concept Clé : Loi de Hubble.
Formule Essentielle : \(v(t) = H \cdot d(t)\).
Point de Vigilance Majeur : Cohérence des unités entre \(H\) et \(d\).

Question 4 : Calculer le redshift \(z\) de la lumière émise à \(t=0\) et reçue à \(t_1\).

Principe

Le redshift cosmologique est directement lié au rapport entre le facteur d'échelle au moment de la réception de la lumière et le facteur d'échelle au moment de son émission.

Mini-Cours

Lorsque la lumière voyage dans un univers en expansion, sa longueur d'onde \(\lambda\) est étirée proportionnellement au facteur d'échelle \(a(t)\). Si la lumière est émise à \(t_{\text{e}}\) avec \(\lambda_{\text{e}}\) et reçue à \(t_{\text{r}}\) avec \(\lambda_{\text{r}}\), alors \(\lambda_{\text{r}} / \lambda_{\text{e}} = a(t_{\text{r}}) / a(t_{\text{e}})\). Le redshift \(z\) est défini comme \(z = (\lambda_{\text{r}} - \lambda_{\text{e}}) / \lambda_{\text{e}}\). En combinant ces relations, on trouve \(1+z = a(t_{\text{r}}) / a(t_{\text{e}})\).

Remarque Pédagogique

Le redshift est une mesure directe de l'expansion totale de l'Univers entre l'émission et la réception. C'est une quantité observable clé en cosmologie, mesurée par le décalage des raies spectrales des objets lointains.

Normes

La relation entre redshift et facteur d'échelle est une conséquence fondamentale de la propagation de la lumière dans la métrique FLRW.

Formule(s)

Relation redshift / facteur d'échelle :

1 + z = \frac{a(t_{\text{r}})}{a(t_{\text{e}})}

Application :

1 + z = \frac{a(t_1)}{a(t_0)}

Hypothèses

On utilise les mêmes hypothèses que précédemment (modèle exponentiel, \(a_0=1\)). On suppose que la lumière voyage en ligne droite (\(\text{géodésique nulle}\)) entre l'émission et la réception.

Donnée(s)

Données issues du calcul précédent (Q1) et de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Facteur d'échelle à la réception	\(a(t_1)\)	\(\approx 1.8776\)	(sans dimension)
Facteur d'échelle à l'émission	\(a(t_0)\)	1	(sans dimension)

Astuces

La formule \(1+z = a(t_{\text{r}})/a(t_{\text{e}})\) est facile à retenir : le rapport des facteurs d'échelle est égal au rapport des longueurs d'onde (plus 1 pour z).

Schéma (Avant les calculs)

Redshift et Expansion

Calcul(s)

Calcul de \(1+z\)

On utilise la formule reliant le redshift aux facteurs d'échelle à l'émission (\(a(t_0)=1\)) et à la réception (\(a(t_1)\)).

\begin{aligned} 1 + z &= \frac{a(t_1)}{a(t_0)} \\ &= \frac{1.8776}{1} \\ &= 1.8776 \end{aligned}

Calcul de \(z\)

On isole \(z\) en soustrayant 1.

\begin{aligned} z &= (1+z) - 1 \\ &= 1.8776 - 1 \\ &= 0.8776 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Redshift et Expansion (avec valeur z)

Réflexions

Un redshift de \(z \approx 0.88\) signifie que la longueur d'onde de la lumière a été étirée d'environ 88% pendant son voyage depuis \(t=0\) jusqu'à nous à \(t_1\), à cause de l'expansion de l'Univers.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(a(t_{\text{r}})\) et \(a(t_{\text{e}})\) dans la fraction. C'est toujours le facteur d'échelle le plus grand (\(\text{réception, } t \text{ plus tardif}\)) divisé par le plus petit (\(\text{émission, } t \text{ plus précoce}\)). \(z\) est toujours positif pour l'expansion.

Points à retenir

Le redshift \(z\) mesure directement le facteur d'expansion de l'Univers entre l'émission et la réception de la lumière via \(1+z = a(t_{\text{r}})/a(t_{\text{e}})\).

Le saviez-vous ?

Les quasars les plus lointains observés ont des redshifts supérieurs à \(z=7\), voire \(z=10\) ! Cela signifie que la lumière que nous recevons d'eux a été émise lorsque l'Univers était plus de 8 à 11 fois plus petit qu'aujourd'hui (\(a_{\text{réception}}/a_{\text{émission}} = 1+z > 8\) ou \(11\)), très tôt dans son histoire.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul :

Résultat Final

Le redshift de la lumière émise à \(t=0\) et reçue à \(t_1\) est \(z \approx 0.88\).

A vous de jouer

Quel serait le redshift \(z\) si la lumière était reçue à \(t = 5 \, \text{Gyr}\) (utiliser le facteur d'échelle \(a(5 \, \text{Gyr}) \approx 1.37\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

Concept Clé : Redshift cosmologique.
Formule Essentielle : \(1 + z = a(t_{\text{r}}) / a(t_{\text{e}})\).
Point de Vigilance Majeur : Identifier correctement \(t_{\text{r}}\) et \(t_{\text{e}}\).

Question 5 : Trouver \(t_2\) tel que \(a(t_2) = 2 \times a(t_1)\).

Principe

On cherche le temps \(t_2\) pour lequel le facteur d'échelle atteint une valeur donnée (le double de \(a(t_1)\)). On utilise la loi d'évolution exponentielle du facteur d'échelle et on résout pour \(t_2\).

Mini-Cours

Pour résoudre une équation de la forme \(e^x = C\), on utilise le logarithme népérien (\(\ln\)), qui est la fonction inverse de l'exponentielle : \(\ln(e^x) = x\). En appliquant le logarithme aux deux membres de l'équation, on obtient \(x = \ln(C)\). On utilise aussi la propriété \(\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)\).

Remarque Pédagogique

Cette question illustre une propriété fondamentale de la croissance exponentielle : le temps nécessaire pour que la quantité double (ou triple, etc.) est constant, quel que soit le moment où l'on commence à mesurer. Ce "temps de doublement" est caractéristique de la croissance exponentielle.

Normes

Pas de norme spécifique ici, il s'agit d'une manipulation mathématique standard des fonctions exponentielle et logarithme.

Formule(s)

Loi d'évolution :

a(t) = e^{H t}

Condition imposée :

a(t_2) = 2 \times a(t_1)

Équation à résoudre :

e^{H t_2} = 2 \times e^{H t_1}

Hypothèses

On suppose que le modèle d'expansion exponentielle avec \(H\) constant reste valide jusqu'à l'instant \(t_2\).

Donnée(s)

Données issues de l'énoncé et de la Question 1 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Paramètre de Hubble	\(H\)	\(2 \times 10^{-18}\)	\(\text{s}^{-1}\)
Temps \(t_1\)	\(t_1\)	\(3.15 \times 10^{17}\)	\(\text{s}\)
Conversion s en Gyr		\(1 \, \text{Gyr} \approx 3.15 \times 10^{16}\)	\(\text{s}\)

Astuces

Plutôt que de calculer \(a(t_1)\) explicitement, on peut directement résoudre \(e^{H t_2} = 2 e^{H t_1}\) en utilisant les logarithmes, ce qui mène plus directement à \(t_2 = t_1 + \ln(2)/H\). Cela évite d'utiliser une valeur arrondie de \(a(t_1)\).

Schéma (Avant les calculs)

Temps de Doublement

Calcul(s)

Résolution de l'équation pour \(t_2\)

\begin{aligned} \ln(e^{H t_2}) &= \ln(2 e^{H t_1}) \\ H t_2 &= \ln(2) + \ln(e^{H t_1}) \\ H t_2 &= \ln(2) + H t_1 \\ t_2 &= t_1 + \frac{\ln(2)}{H} \end{aligned}

Calcul du temps de doublement \(\Delta t = \ln(2)/H\)

\begin{aligned} \Delta t = \frac{\ln(2)}{H} &= \frac{0.6931}{2 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1}} \\ &\approx 3.4655 \times 10^{17} \, \text{s} \end{aligned}

Calcul de \(t_2\) en secondes

\begin{aligned} t_2 &= t_1 + \Delta t \\ &= (3.15 \times 10^{17} \, \text{s}) + (3.4655 \times 10^{17} \, \text{s}) \\ &= 6.6155 \times 10^{17} \, \text{s} \end{aligned}

Conversion de \(t_2\) en \(\text{Gyr}\)

\begin{aligned} t_2 &= \frac{6.6155 \times 10^{17} \, \text{s}}{3.15 \times 10^{16} \, \text{s/Gyr}} \\ &\approx 21.0 \, \text{Gyr} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Temps de Doublement (avec valeurs)

Réflexions

Dans un modèle exponentiel, le temps nécessaire pour doubler le facteur d'échelle (\(\text{appelé temps de doublement ou } 1/H \times \ln(2)\)) est constant et égal à \(\ln(2)/H\). Ici, il faut environ \(3.4655 \times 10^{17} \, \text{s}\) (environ 11 Gyr) pour que le facteur d'échelle double, quelle que soit la valeur de départ. Donc, \(t_2 = t_1 + (\text{temps de doublement}) \approx 10 \, \text{Gyr} + 11 \, \text{Gyr} = 21 \, \text{Gyr}\).

Points de vigilance

Attention aux propriétés des logarithmes : \(\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)\) et \(\ln(e^x)=x\). Ne pas écrire \(\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)\) !

Points à retenir

Le temps de doublement pour une croissance exponentielle \(e^{Ht}\) est \(\Delta t = \ln(2)/H\). Il est indépendant du temps ou de la valeur initiale.

Le saviez-vous ?

Le concept de temps de doublement est crucial pendant l'inflation cosmique. On pense que pendant une fraction de seconde après le Big Bang, l'Univers a subi une expansion exponentielle extrêmement rapide avec un \(H\) gigantesque, doublant de taille peut-être \(10^{26}\) fois en environ \(10^{-32}\) secondes !

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul :

Résultat Final

Le facteur d'échelle aura doublé par rapport à \(t_1\) à l'instant \(t_2 \approx 21.0 \, \text{Gyr}\).

A vous de jouer

À quel instant \(t_3\) le facteur d'échelle sera-t-il la moitié de sa valeur à \(t_1\) (c'est-à-dire \(a(t_3) = a(t_1)/2\)) ? Exprimez en \(\text{Gyr}\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Concept Clé : Résolution d'équation exponentielle via logarithme. Temps de doublement constant.
Formule Essentielle : \(t_{\text{doublement}} = \ln(2)/H\).
Point de Vigilance Majeur : Manipulation correcte des logarithmes.

Outil Interactif : Simulateur d'Expansion

Explorez comment le facteur d'échelle et la vitesse de récession d'une galaxie (initialement à 266 Mpc) évoluent avec le temps dans ce modèle exponentiel.

Paramètres d'Entrée

Temps écoulé (t) 10 Gyr

Paramètre de Hubble (H) x 10¹⁸ 2.0 x 10^-18 s^-1

Résultats Clés

Facteur d'échelle a(t) -

Distance propre d(t) (Mpc) -

Vitesse de récession v(t) (km/s) -

Redshift (z) depuis t=0 -

Glossaire

Expansion de l'Univers: L'observation que l'espace entre les objets astronomiques distants (comme les galaxies) augmente avec le temps.
Facteur d'échelle (\(a(t)\)): Un paramètre sans dimension qui décrit comment les distances relatives dans l'univers changent avec le temps en raison de l'expansion. Par convention, \(a=1\) aujourd'hui.
Paramètre de Hubble (\(H(t)\)): Le taux d'expansion de l'univers à un instant \(t\), défini comme \(H(t) = \dot{a}(t) / a(t)\), où \(\dot{a}\) est la dérivée de \(a\) par rapport au temps. Sa valeur actuelle est la constante de Hubble \(H_0\). Il mesure la vitesse relative d'expansion.
Constante de Hubble (\(H_0\)): La valeur actuelle du paramètre de Hubble. Elle est souvent exprimée en \((\text{km/s})/\text{Mpc}\).
Loi de Hubble: La relation linéaire observée (pour des distances pas trop grandes) entre la vitesse de récession \(v\) d'une galaxie et sa distance \(d\) : \(v = H_0 d\).
Décalage vers le rouge (Redshift, \(z\)): L'augmentation de la longueur d'onde (\(\lambda\)) de la lumière émise par des objets s'éloignant, due à l'expansion de l'espace. \(z = (\lambda_{\text{reçue}} - \lambda_{\text{émise}}) / \lambda_{\text{émise}}\). Il est relié au facteur d'échelle par \(1+z = a(t_{\text{réception}}) / a(t_{\text{émission}})\).
Distance Propre: La distance entre deux objets à un instant cosmologique donné, mesurée comme si l'expansion était figée à cet instant.
Distance Comobile: Une distance entre objets qui ne tient pas compte de l'expansion de l'Univers. Elle reste constante si les objets ne bougent que sous l'effet de l'expansion. La distance propre est la distance comobile multipliée par le facteur d'échelle (normalisé).
Inflation Cosmique: Une période d'expansion exponentielle extrêmement rapide postulée juste après le Big Bang, expliquant l'homogénéité et la platitude de l'Univers observable.
Énergie Sombre: Une forme d'énergie hypothétique à pression négative qui imprègne tout l'espace et qui est responsable de l'accélération actuelle de l'expansion de l'univers.
Mégaparsec (Mpc): Une unité de distance utilisée en astronomie, valant un million de parsecs. \(1 \, \text{pc} \approx 3.26\) années-lumière \(\approx 3.086 \times 10^{16} \, \text{m}\). Donc \(1 \, \text{Mpc} \approx 3.086 \times 10^{22} \, \text{m}\).
Giga-année (Gyr): Une unité de temps valant un milliard (\(10^9\)) d'années. \(1 \, \text{Gyr} \approx 3.15 \times 10^{16} \, \text{s}\).