Capacité d'un Condensateur Sphérique

Contexte : L'Électrostatique et le stockage d'énergie.

Cet exercice porte sur le calcul de la capacité d'un condensateur sphériqueUn condensateur formé de deux coquilles sphériques conductrices, concentriques, de rayons différents.. Ce composant est fondamental en électromagnétisme pour sa capacité à stocker de l'énergie sous forme de champ électrique. Nous utiliserons le théorème de GaussUn principe fondamental de l'électrostatique qui relie le flux du champ électrique à travers une surface fermée à la charge électrique totale enclose par cette surface. pour déterminer le champ électrique, puis nous en déduirons le potentiel et enfin la capacité du système.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe du théorème de Gauss dans une géométrie à symétrie sphérique. Il permet de bien comprendre le lien entre champ électrique, potentiel, et capacité.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer le théorème de Gauss pour trouver le champ électrique dans une symétrie sphérique.
Calculer la différence de potentiel entre deux points à partir du champ électrique.
Déterminer la capacité d'un condensateur sphérique.
Calculer l'énergie stockée dans le condensateur.

Données de l'étude

On considère un condensateur sphérique constitué de deux armatures conductrices concentriques. L'armature interne, de rayon \(R_1\), porte une charge \(+Q\). L'armature externe, de rayon \(R_2\), porte une charge \(-Q\). L'espace entre les deux est rempli d'un matériau diélectrique de permittivité \(\epsilon\).

Coupe d'un Condensateur Sphérique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rayon interne	\(R_1\)	5	cm
Rayon externe	\(R_2\)	10	cm
Charge sur l'armature interne	\(Q\)	8	nC
Permittivité du vide	\(\epsilon_0\)	\(8.854 \times 10^{-12}\)	F/m
Permittivité relative du diélectrique	\(\epsilon_r\)	4	-

Questions à traiter

Déterminer l'expression du champ électrique \(E(r)\) pour \(R_1 < r < R_2\).
Calculer la différence de potentiel \(V = V_1 - V_2\) entre les deux armatures.
En déduire l'expression de la capacité \(C\) du condensateur sphérique. Calculer sa valeur.
Calculer l'énergie électrostatique \(W\) stockée dans le condensateur.

Les bases sur les Condensateurs

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser deux concepts clés de l'électrostatique.

1. Théorème de Gauss
Ce théorème stipule que le flux du champ électrique \(\vec{E}\) à travers une surface fermée (surface de Gauss) est proportionnel à la charge électrique \(Q_{\text{int}}\) qu'elle contient. Pour une symétrie sphérique, il se simplifie grandement. \[ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = E \cdot (4\pi r^2) = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon} \]

2. Capacité et Potentiel
La capacité \(C\) d'un condensateur est le rapport entre la charge \(Q\) stockée sur l'une de ses armatures et la différence de potentiel \(V\) entre elles. Le potentiel se calcule en intégrant le champ électrique. \[ C = \frac{Q}{V} \quad \text{avec} \quad V = -\int_{R_2}^{R_1} \vec{E} \cdot d\vec{l} \]

Correction : Capacité d’un Condensateur Sphérique

Question 1 : Expression du champ électrique \(E(r)\)

Principe

Le concept physique clé est le théorème de Gauss. Il permet de calculer le champ électrique créé par une distribution de charges présentant une forte symétrie (ici, sphérique). On exploite cette symétrie pour simplifier le calcul du flux électrique.

Mini-Cours

Le théorème de Gauss relie le flux du champ électrique \(\vec{E}\) sortant d'une surface fermée \(S\) à la charge totale \(Q_{\text{int}}\) contenue à l'intérieur de cette surface. La symétrie sphérique du problème implique que le champ \(\vec{E}\) est radial (\(\vec{E} = E(r)\vec{u_r}\)) et que son module \(E\) ne dépend que de la distance \(r\) au centre. Le flux se simplifie alors en \(E(r) \times (\text{Surface de la sphère})\).

Remarque Pédagogique

Le choix de la surface de Gauss est crucial. Pour une symétrie sphérique, il faut toujours choisir une sphère centrée sur l'origine. Le rayon \(r\) de cette sphère doit être choisi dans la zone où l'on veut calculer le champ, ici entre les deux armatures (\(R_1 < r < R_2\)).

Normes

Les calculs en électromagnétisme se font dans le Système International d'unités (SI). Le champ électrique s'exprime en Volts par mètre (\(\text{V/m}\)) ou en Newtons par Coulomb (\(\text{N/C}\)), qui sont des unités équivalentes.

Formule(s)

Théorème de Gauss

\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon}

Hypothèses

Les armatures sont des conducteurs parfaits à l'équilibre électrostatique.
La distribution de charge \(+Q\) sur la sphère interne est uniforme.
Les effets de bord sont négligés.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge intérieure	\(Q_{\text{int}}\)	\(+Q\)	C
Permittivité du diélectrique	\(\epsilon\)	\(\epsilon_r \epsilon_0\)	F/m

Astuces

Pour toute distribution à symétrie sphérique, le champ électrique à l'extérieur de la distribution est identique à celui d'une charge ponctuelle de même valeur totale placée au centre. Ici, pour \(r > R_1\), tout se passe comme si on avait une charge ponctuelle \(+Q\) à l'origine.

Schéma (Avant les calculs)

Surface de Gauss pour le calcul du champ

Calcul(s)

Application du théorème

On applique le théorème de Gauss sur une sphère de rayon \(r\) (\(R_1 < r < R_2\)). Le flux est \(\Phi_E = E(r) \times 4\pi r^2\). La charge intérieure est \(Q_{\text{int}} = +Q\).

E(r) \cdot (4\pi r^2) = \frac{Q}{\epsilon} \Rightarrow E(r) = \frac{Q}{4\pi\epsilon r^2}

Schéma (Après les calculs)

Allure du champ E(r)

Réflexions

Le résultat montre que le champ électrique diminue comme l'inverse du carré de la distance (\(1/r^2\)), ce qui est caractéristique des sources à symétrie sphérique. Il est maximal sur la surface de l'armature interne (\(r=R_1\)) et minimal sur celle de l'armature externe (\(r=R_2\)).

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier la permittivité \(\epsilon\) du diélectrique. Si l'espace était vide, on utiliserait \(\epsilon_0\). Ici, \(\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0\). C'est une source d'erreur fréquente.

Points à retenir

Pour une sphère chargée en surface, le champ à l'extérieur est \(E(r) = Q / (4\pi\epsilon r^2)\). C'est une formule fondamentale à maîtriser.

Le saviez-vous ?

Le théorème de Gauss est l'une des quatre équations de Maxwell, qui constituent le fondement de l'électromagnétisme classique. Il est aussi valable en relativité générale pour le champ gravitationnel.

FAQ

Résultat Final

\[ E(r) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r r^2} \]

A vous de jouer

Calculez la valeur du champ électrique à mi-chemin entre les armatures (\(r=7.5\,\text{cm}\)).

Question 2 : Différence de potentiel \(V\)

Principe

Le concept physique est la relation entre le champ et le potentiel électrique. La différence de potentiel entre deux points est l'opposé de la circulation du champ électrique entre ces deux points. C'est une mesure du travail fourni par le champ électrique pour déplacer une charge.

Mini-Cours

Le potentiel électrique \(V\) est une grandeur scalaire, tandis que le champ \(\vec{E}\) est un vecteur. Ils sont liés par la relation \(\vec{E} = -\vec{\nabla}V\). Pour calculer une différence de potentiel, on utilise la forme intégrale : \(V_A - V_B = -\int_B^A \vec{E} \cdot d\vec{l}\). Le chemin d'intégration \(d\vec{l}\) est ici un simple segment radial \(dr \cdot \vec{u_r}\).

Remarque Pédagogique

Faites attention aux bornes de l'intégrale. On calcule \(V = V_1 - V_2\), donc on intègre de l'armature 2 (point de départ, borne inférieure) à l'armature 1 (point d'arrivée, borne supérieure). Une inversion des bornes changerait le signe du résultat.

Normes

La différence de potentiel, ou tension, est exprimée en Volts (V) dans le Système International.

Formule(s)

Définition de la différence de potentiel

V_1 - V_2 = -\int_{R_2}^{R_1} E(r) dr

Hypothèses

On suppose que le potentiel de référence est à l'infini, bien que cela ne soit pas nécessaire pour calculer une différence de potentiel. On suppose également que le champ est purement radial.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Champ électrique	\(E(r)\)	\(\frac{Q}{4\pi\epsilon r^2}\)	V/m
Rayon interne	\(R_1\)	0.05	m
Rayon externe	\(R_2\)	0.10	m

Astuces

L'intégrale de \(1/r^2\) est \(-1/r\). C'est une primitive à connaître par cœur car elle apparaît très souvent en physique (électrostatique, gravitation).

Schéma (Avant les calculs)

Chemin d'intégration du potentiel

Calcul(s)

Étape 1 : Mise en place de l'intégrale

\begin{aligned} V &= -\int_{R_2}^{R_1} \frac{Q}{4\pi\epsilon r^2} dr \\ &= -\frac{Q}{4\pi\epsilon} \int_{R_2}^{R_1} \frac{dr}{r^2} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul et évaluation

\begin{aligned} V &= -\frac{Q}{4\pi\epsilon} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{R_2}^{R_1} \\ &= \frac{Q}{4\pi\epsilon} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \\ &= \frac{Q}{4\pi\epsilon} \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Allure du potentiel V(r)

Réflexions

Le résultat est positif (\(R_2 > R_1 \Rightarrow 1/R_1 > 1/R_2\)), ce qui est logique : le potentiel est plus élevé près de la charge positive \(+Q\). La différence de potentiel augmente si l'écart entre les rayons augmente.

Points de vigilance

Le double signe "moins" est une source d'erreur classique : celui de la définition du potentiel et celui de la primitive de \(1/r^2\). Soyez méthodique pour ne pas vous tromper.

Points à retenir

La différence de potentiel est la circulation du champ électrique. Pour un champ en \(1/r^2\), le potentiel varie en \(1/r\).

Le saviez-vous ?

Le Volt a été nommé en l'honneur d'Alessandro Volta, l'inventeur de la pile électrique en 1800. Cette pile fut la première source de courant électrique continu.

FAQ

Résultat Final

\[ V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r} \left( \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2} \right) \]

A vous de jouer

Calculez la valeur de la différence de potentiel \(V\) avec les données de l'énoncé.

Question 3 : Capacité \(C\) du condensateur

Principe

La capacité \(C\) est une mesure intrinsèque de l'aptitude d'un condensateur à stocker des charges pour une tension donnée. Elle ne dépend que de la géométrie du système et du matériau diélectrique, pas de la charge ou de la tension appliquées.

Mini-Cours

La définition \(C=Q/V\) est fondamentale. Pour un condensateur donné, ce rapport est constant. Si on double la tension \(V\) à ses bornes, la charge \(Q\) qu'il stocke double également, mais sa capacité \(C\) reste la même. La capacité se mesure en Farads (F).

Remarque Pédagogique

Pour trouver la capacité, la méthode est toujours la même : 1. Placer une charge fictive \(+Q\) sur une armature et \(-Q\) sur l'autre. 2. Calculer le champ \(\vec{E}\) (souvent avec Gauss). 3. Calculer la tension \(V\) en intégrant \(\vec{E}\). 4. Appliquer \(C=Q/V\). La charge \(Q\) doit se simplifier à la fin.

Normes

Le Farad (F) est l'unité SI de la capacité. C'est une unité très grande ; on utilise plus couramment ses sous-multiples : le microfarad (µF, \(10^{-6}\) F), le nanofarad (nF, \(10^{-9}\) F) et le picofarad (pF, \(10^{-12}\) F).

Formule(s)

Définition de la capacité

C = \frac{Q}{V}

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rayon interne	\(R_1\)	0.05	m
Rayon externe	\(R_2\)	0.10	m
Permittivité relative	\(\epsilon_r\)	4	-
Permittivité du vide	\(\epsilon_0\)	\(8.854 \times 10^{-12}\)	F/m

Astuces

La charge \(Q\) doit toujours se simplifier lors du calcul de la capacité. Si ce n'est pas le cas, c'est qu'il y a une erreur dans le calcul du potentiel \(V\).

Schéma (Avant les calculs)

Géométrie du Condensateur

Calcul(s)

Calcul littéral de la capacité

\begin{aligned} C &= \frac{Q}{V} \\ &= \frac{Q}{\frac{Q}{4\pi\epsilon} \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2}} \\ &= 4\pi\epsilon \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1} \end{aligned}

Application Numérique

\begin{aligned} C &= 4\pi \epsilon_0 \epsilon_r \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1} \\ &= 4\pi (8.854 \times 10^{-12}) \times 4 \times \frac{0.05 \times 0.10}{0.10 - 0.05} \\ &= (4.448 \times 10^{-10}) \times \frac{0.005}{0.05} \\ &= 4.448 \times 10^{-11} \, \text{F} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Capacité vs Écartement

Réflexions

La capacité augmente avec la permittivité \(\epsilon_r\) du diélectrique et avec la surface des armatures (qui est liée à \(R_1 R_2\)). Elle diminue lorsque l'écartement (\(R_2 - R_1\)) augmente. C'est un comportement général pour tous les condensateurs.

Points de vigilance

Toutes les longueurs (\(R_1\), \(R_2\)) doivent être converties en mètres avant le calcul numérique. Oublier cette conversion est une erreur très fréquente qui fausse complètement le résultat final.

Points à retenir

La capacité d'un condensateur sphérique est \(C = 4\pi\epsilon \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}\). Cette formule montre bien que la capacité ne dépend que des caractéristiques géométriques et matérielles.

Le saviez-vous ?

La Terre elle-même peut être modélisée comme un condensateur sphérique isolé (en considérant \(R_2 \to \infty\)). Sa capacité est d'environ 710 microfarads. C'est énorme, mais cela montre à quel point le Farad est une unité grande.

FAQ

Résultat Final

\[ C \approx 44.5 \, \text{pF} \]

A vous de jouer

Que deviendrait la capacité si on remplaçait le diélectrique par du vide (\(\epsilon_r=1\)) ?

Question 4 : Énergie électrostatique \(W\)

Principe

Un condensateur chargé stocke de l'énergie potentielle électrostatique. Cette énergie est localisée dans le volume du champ électrique entre les armatures. Elle correspond au travail qu'il a fallu fournir pour séparer les charges et charger le condensateur.

Mini-Cours

L'énergie \(W\) stockée peut s'exprimer de trois manières équivalentes, utiles selon les données connues :

En fonction de la charge et de la tension : \(W = \frac{1}{2}QV\)
En fonction de la capacité et de la tension : \(W = \frac{1}{2}CV^2\)
En fonction de la capacité et de la charge : \(W = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}\)

Normes

L'énergie, quelle que soit sa forme (électrique, mécanique, thermique), s'exprime en Joules (J) dans le Système International.

Formule(s)

Formule de l'énergie stockée

W = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge	\(Q\)	\(8 \times 10^{-9}\)	C
Capacité	\(C\)	\(4.448 \times 10^{-11}\)	F

Astuces

Pour vérifier le calcul, on peut utiliser une autre formule. On a calculé \(V \approx 179.8\,\text{V}\) dans le "À vous de jouer" de la question 2. On peut donc vérifier avec \(W = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}(8 \times 10^{-9})(179.8) \approx 7.19 \times 10^{-7}\,\text{J}\). Le résultat est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)

Volume de stockage de l'énergie

Calcul(s)

Application Numérique

\begin{aligned} W &= \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} \\ &= \frac{1}{2} \frac{(8 \times 10^{-9})^2}{4.448 \times 10^{-11}} \\ &= \frac{1}{2} \frac{64 \times 10^{-18}}{4.448 \times 10^{-11}} \\ &\approx 7.19 \times 10^{-7} \, \text{J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Énergie vs Charge

Réflexions

L'énergie stockée est très faible (moins d'un microjoule), ce qui est typique pour de petits condensateurs avec de faibles charges. Pour stocker des énergies importantes, il faut des "supercondensateurs" qui ont des capacités de plusieurs centaines de Farads.

Points de vigilance

N'oubliez pas le facteur \(1/2\) dans la formule de l'énergie. Une autre erreur courante est d'oublier de mettre la charge \(Q\) ou la tension \(V\) au carré dans les formules correspondantes.

Points à retenir

L'énergie stockée dans un condensateur est proportionnelle au carré de la charge (\(W \propto Q^2\)) et au carré de la tension (\(W \propto V^2\)).

Le saviez-vous ?

Les défibrillateurs cardiaques utilisent de gros condensateurs. Ils se chargent lentement pendant quelques secondes, puis libèrent leur énergie en quelques millisecondes, délivrant un choc électrique de haute puissance pour relancer le cœur.

FAQ

Résultat Final

\[ W \approx 0.72 \, \text{µJ} \]

A vous de jouer

Si la tension aux bornes était de 1000 V, quelle serait l'énergie stockée ? (Utilisez \(W=1/2 CV^2\))

Outil Interactif : Simulateur de Capacité

Utilisez les curseurs pour modifier les rayons du condensateur et la permittivité relative du diélectrique. Observez comment la capacité et l'énergie stockée (pour une charge Q fixe de 8 nC) évoluent.

Paramètres d'Entrée

Rayon interne \(R_1\) (cm) 5 cm

Rayon externe \(R_2\) (cm) 10 cm

Permittivité relative \(\epsilon_r\) 4

Résultats Clés

Capacité (pF) -

Énergie stockée (µJ) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la distance entre les armatures (\(R_2 - R_1\)), comment évolue la capacité ?

Elle augmente
Elle diminue
Elle ne change pas

2. Le champ électrique à l'intérieur de l'armature interne (\(r < R_1\)) est :

Nul
Constant et non nul
Variable

3. Si on double la charge Q sur les armatures, l'énergie stockée est :

Divisée par 2
Doublée
Quadruplée

Condensateur Sphérique: Un composant formé de deux conducteurs sphériques et concentriques, utilisé pour stocker de l'énergie électrique.
Théorème de Gauss: Loi fondamentale de l'électrostatique qui relie la répartition des charges électriques au champ électrique qu'elles créent.
Permittivité: Mesure de la capacité d'un matériau à stocker de l'énergie électrique dans un champ électrique. La permittivité du vide est notée \(\epsilon_0\).