ÉTUDE DE PHYSIQUE

Collisions élastiques et inélastiques

Collisions élastiques et inélastiques

Collisions élastiques et inélastiques

Comprendre les Collisions en Mécanique

En mécanique, une collision (ou choc) est une interaction brève et intense entre deux ou plusieurs corps, qui modifie leur mouvement. On distingue principalement deux types de collisions : les collisions élastiques, où l'énergie cinétique totale du système est conservée, et les collisions inélastiques, où une partie de l'énergie cinétique est transformée en d'autres formes d'énergie (chaleur, son, déformation permanente). Un cas particulier de collision inélastique est la collision parfaitement inélastique, où les corps restent collés après l'impact. Dans tous les types de collisions, si le système est isolé (pas de forces extérieures résultantes), la quantité de mouvement totale est conservée.

Problème

On étudie les collisions unidimensionnelles de deux particules A et B sur un axe horizontal lisse. La particule A se déplace initialement vers la particule B, qui est au repos.

Caractéristiques et Données :

  • Masse de la particule A (\(m_A\)) : \(2.0 \, \text{kg}\)
  • Masse de la particule B (\(m_B\)) : \(3.0 \, \text{kg}\)
  • Vitesse initiale de la particule A (\(v_{A1}\)) : \(+5.0 \, \text{m/s}\) (dirigée vers la droite)
  • Vitesse initiale de la particule B (\(v_{B1}\)) : \(0 \, \text{m/s}\) (au repos)
  • On néglige les frottements.
Schéma Général d'une Collision Unidimensionnelle
Avant Collision A (mA) vA1 B (mB) vB1=0 Après Collision A vA2 B vB2 x Collision Unidimensionnelle

Schéma illustrant une collision unidimensionnelle entre deux particules A et B.

Questions à traiter

  1. Partie A : Collision Élastique
    1. Écrire les équations de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique pour cette collision élastique unidimensionnelle.
    2. À partir de ces équations, déterminer les expressions littérales des vitesses \(v_{A2}\) et \(v_{B2}\) des particules A et B après la collision, en fonction de \(m_A\), \(m_B\), et \(v_{A1}\) (sachant \(v_{B1}=0\)).
    3. Calculer les valeurs numériques de \(v_{A2}\) et \(v_{B2}\).
    4. Vérifier numériquement que l'énergie cinétique totale est conservée lors de cette collision.

  2. Partie B : Collision Parfaitement Inélastique
    1. Les particules A et B, avec les mêmes conditions initiales, subissent maintenant une collision parfaitement inélastique (elles restent collées après le choc). Écrire l'équation de conservation de la quantité de mouvement pour ce type de collision.
    2. Déterminer l'expression littérale de la vitesse finale commune \(v_f\) du système {A+B} après la collision.
    3. Calculer la valeur numérique de \(v_f\).
    4. Calculer la variation d'énergie cinétique (\(\Delta E_c\)) du système lors de cette collision. Conclure sur la nature de la collision.

Correction : Collisions élastiques et inélastiques

Partie A - Question a : Équations de conservation (Collision Élastique)

Principe :

Pour une collision élastique unidimensionnelle entre deux particules dans un système isolé, la quantité de mouvement totale et l'énergie cinétique totale sont conservées.

Schéma : Collision Élastique 1D
Avant mA vA1 mB vB1=0 Après (Élastique) mA vA2 mB vB2
Équations :

Conservation de la quantité de mouvement :

\[m_A v_{A1} + m_B v_{B1} = m_A v_{A2} + m_B v_{B2}\]

Puisque \(v_{B1} = 0\), cela devient :

\[m_A v_{A1} = m_A v_{A2} + m_B v_{B2} \quad (1)\]

Conservation de l'énergie cinétique :

\[\frac{1}{2}m_A v_{A1}^2 + \frac{1}{2}m_B v_{B1}^2 = \frac{1}{2}m_A v_{A2}^2 + \frac{1}{2}m_B v_{B2}^2\]

Puisque \(v_{B1} = 0\), et en multipliant par 2 :

\[m_A v_{A1}^2 = m_A v_{A2}^2 + m_B v_{B2}^2 \quad (2)\]
Résultat A.a : Les équations de conservation sont établies ci-dessus.

Partie A - Question b : Expressions littérales de \(v_{A2}\) et \(v_{B2}\)

Principe :

Il s'agit de résoudre le système de deux équations (1) et (2) à deux inconnues (\(v_{A2}\) et \(v_{B2}\)). Une méthode courante consiste à réarranger les équations.

Calcul :

De l'équation (1) : \(m_A (v_{A1} - v_{A2}) = m_B v_{B2} \quad (1')\)

De l'équation (2) : \(m_A (v_{A1}^2 - v_{A2}^2) = m_B v_{B2}^2\)

En utilisant l'identité \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) :

\[m_A (v_{A1} - v_{A2})(v_{A1} + v_{A2}) = m_B v_{B2}^2 \quad (2')\]

Si \(v_{A1} \neq v_{A2}\) (ce qui est le cas s'il y a collision et transfert d'énergie/mouvement), on peut diviser (2') par (1') (en supposant \(v_{B2} \neq 0\), ce qui est vrai si \(m_A \neq 0\) et \(v_{A1} \neq 0\)) :

\[v_{A1} + v_{A2} = v_{B2} \quad (3)\]

Cette équation (3) est une propriété importante des collisions élastiques unidimensionnelles lorsque la cible est initialement au repos : la vitesse relative d'approche est égale à l'opposé de la vitesse relative d'éloignement.

Maintenant, substituons \(v_{B2}\) de (3) dans (1') :

\[ \begin{aligned} m_A (v_{A1} - v_{A2}) &= m_B (v_{A1} + v_{A2}) \\ m_A v_{A1} - m_A v_{A2} &= m_B v_{A1} + m_B v_{A2} \\ m_A v_{A1} - m_B v_{A1} &= m_A v_{A2} + m_B v_{A2} \\ (m_A - m_B)v_{A1} &= (m_A + m_B)v_{A2} \\ v_{A2} &= \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} v_{A1} \end{aligned} \]

Substituons \(v_{A2}\) dans (3) pour trouver \(v_{B2}\) :

\[ \begin{aligned} v_{B2} &= v_{A1} + \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} v_{A1} \\ &= v_{A1} \left(1 + \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B}\right) \\ &= v_{A1} \left(\frac{m_A + m_B + m_A - m_B}{m_A + m_B}\right) \\ &= \frac{2m_A}{m_A + m_B} v_{A1} \end{aligned} \]
Résultat A.b : Les vitesses après la collision sont :
  • \(v_{A2} = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} v_{A1}\)
  • \(v_{B2} = \frac{2m_A}{m_A + m_B} v_{A1}\)

Partie A - Question c : Valeurs numériques de \(v_{A2}\) et \(v_{B2}\)

Principe :

Application numérique des formules trouvées.

Données spécifiques :
  • \(m_A = 2.0 \, \text{kg}\)
  • \(m_B = 3.0 \, \text{kg}\)
  • \(v_{A1} = +5.0 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{A2} &= \frac{2.0 \, \text{kg} - 3.0 \, \text{kg}}{2.0 \, \text{kg} + 3.0 \, \text{kg}} \times (5.0 \, \text{m/s}) \\ &= \frac{-1.0 \, \text{kg}}{5.0 \, \text{kg}} \times 5.0 \, \text{m/s} \\ &= -0.2 \times 5.0 \, \text{m/s} \\ &= -1.0 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} v_{B2} &= \frac{2 \times 2.0 \, \text{kg}}{2.0 \, \text{kg} + 3.0 \, \text{kg}} \times (5.0 \, \text{m/s}) \\ &= \frac{4.0 \, \text{kg}}{5.0 \, \text{kg}} \times 5.0 \, \text{m/s} \\ &= 0.8 \times 5.0 \, \text{m/s} \\ &= +4.0 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

La particule A recule (\(v_{A2}\) négatif) et la particule B avance (\(v_{B2}\) positif).

Résultat A.c :
  • \(v_{A2} = -1.0 \, \text{m/s}\)
  • \(v_{B2} = +4.0 \, \text{m/s}\)

Partie A - Question d : Vérification de la conservation de l'énergie cinétique

Principe :

On calcule l'énergie cinétique totale avant la collision (\(E_{c, \text{avant}}\)) et après la collision (\(E_{c, \text{après}}\)). Si elles sont égales, l'énergie cinétique est conservée.

Calcul :

Avant collision :

\[ \begin{aligned} E_{c, \text{avant}} &= \frac{1}{2}m_A v_{A1}^2 + \frac{1}{2}m_B v_{B1}^2 \\ &= \frac{1}{2}(2.0 \, \text{kg})(5.0 \, \text{m/s})^2 + \frac{1}{2}(3.0 \, \text{kg})(0 \, \text{m/s})^2 \\ &= \frac{1}{2}(2.0)(25.0) + 0 \, \text{J} \\ &= 25.0 \, \text{J} \end{aligned} \]

Après collision :

\[ \begin{aligned} E_{c, \text{après}} &= \frac{1}{2}m_A v_{A2}^2 + \frac{1}{2}m_B v_{B2}^2 \\ &= \frac{1}{2}(2.0 \, \text{kg})(-1.0 \, \text{m/s})^2 + \frac{1}{2}(3.0 \, \text{kg})(4.0 \, \text{m/s})^2 \\ &= \frac{1}{2}(2.0)(1.0) + \frac{1}{2}(3.0)(16.0) \, \text{J} \\ &= 1.0 \, \text{J} + 24.0 \, \text{J} \\ &= 25.0 \, \text{J} \end{aligned} \]

On constate que \(E_{c, \text{avant}} = E_{c, \text{après}} = 25.0 \, \text{J}\).

Résultat A.d : L'énergie cinétique totale est conservée (\(25.0 \, \text{J}\)), ce qui confirme la nature élastique de la collision.

Quiz Intermédiaire A1 : Dans une collision élastique unidimensionnelle entre deux masses égales, si l'une est initialement au repos, que se passe-t-il après la collision ?

Partie B - Question a : Conservation de la quantité de mouvement (Collision Parfaitement Inélastique)

Principe :

Dans une collision parfaitement inélastique, les deux corps restent collés après le choc et se déplacent comme un seul objet de masse \(m_A + m_B\). La quantité de mouvement totale du système est toujours conservée si le système est isolé.

Schéma : Collision Parfaitement Inélastique 1D
Avant mA vA1 mB vB1=0 Après (Inélastique) (mA+mB) vf
Équation :

La quantité de mouvement avant est \(p_{\text{avant}} = m_A v_{A1} + m_B v_{B1}\).

La quantité de mouvement après est \(p_{\text{après}} = (m_A + m_B) v_f\), où \(v_f\) est la vitesse finale commune.

Conservation de la quantité de mouvement : \(p_{\text{avant}} = p_{\text{après}}\)

\[m_A v_{A1} + m_B v_{B1} = (m_A + m_B) v_f\]

Puisque \(v_{B1} = 0\), cela devient :

\[m_A v_{A1} = (m_A + m_B) v_f\]
Résultat B.a : L'équation de conservation de la quantité de mouvement est \(m_A v_{A1} = (m_A + m_B) v_f\).

Partie B - Question b : Expression littérale de la vitesse finale \(v_f\)

Principe :

On isole \(v_f\) à partir de l'équation de conservation de la quantité de mouvement établie précédemment.

Calcul :
\[ \begin{aligned} m_A v_{A1} &= (m_A + m_B) v_f \\ v_f &= \frac{m_A v_{A1}}{m_A + m_B} \end{aligned} \]
Résultat B.b : L'expression littérale de la vitesse finale commune est \(v_f = \frac{m_A v_{A1}}{m_A + m_B}\).

Partie B - Question c : Valeur numérique de \(v_f\)

Principe :

Application numérique de la formule de \(v_f\).

Données spécifiques :
  • \(m_A = 2.0 \, \text{kg}\)
  • \(m_B = 3.0 \, \text{kg}\)
  • \(v_{A1} = +5.0 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_f &= \frac{(2.0 \, \text{kg}) \times (5.0 \, \text{m/s})}{2.0 \, \text{kg} + 3.0 \, \text{kg}} \\ &= \frac{10.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}}{5.0 \, \text{kg}} \\ &= +2.0 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Le système {A+B} se déplace vers la droite à \(2.0 \, \text{m/s}\).

Résultat B.c : La vitesse finale commune est \(v_f = +2.0 \, \text{m/s}\).

Partie B - Question d : Variation d'énergie cinétique (\(\Delta E_c\))

Principe :

La variation d'énergie cinétique est la différence entre l'énergie cinétique totale après la collision et l'énergie cinétique totale avant la collision. Pour une collision inélastique, on s'attend à ce que \(\Delta E_c < 0\), indiquant une perte d'énergie cinétique.

Calcul :

Énergie cinétique avant (déjà calculée en A.d) :

\[E_{c, \text{avant}} = 25.0 \, \text{J}\]

Énergie cinétique après (système {A+B}) :

\[ \begin{aligned} E_{c, \text{après}} &= \frac{1}{2}(m_A + m_B) v_f^2 \\ &= \frac{1}{2}(2.0 \, \text{kg} + 3.0 \, \text{kg})(2.0 \, \text{m/s})^2 \\ &= \frac{1}{2}(5.0 \, \text{kg})(4.0 \, \text{m}^2/\text{s}^2) \\ &= \frac{1}{2}(20.0) \, \text{J} \\ &= 10.0 \, \text{J} \end{aligned} \]

Variation d'énergie cinétique :

\[ \begin{aligned} \Delta E_c &= E_{c, \text{après}} - E_{c, \text{avant}} \\ &= 10.0 \, \text{J} - 25.0 \, \text{J} \\ &= -15.0 \, \text{J} \end{aligned} \]

La variation d'énergie cinétique est négative, ce qui signifie qu'une partie de l'énergie cinétique initiale a été convertie en d'autres formes d'énergie (chaleur, déformation) lors de la collision. Ceci est caractéristique d'une collision inélastique.

Résultat B.d : La variation d'énergie cinétique est \(\Delta E_c = -15.0 \, \text{J}\). La collision est inélastique.

Quiz Intermédiaire B1 : Dans une collision parfaitement inélastique, quelle quantité est toujours conservée (si le système est isolé) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans une collision élastique :

2. Dans une collision parfaitement inélastique :

3. La quantité de mouvement d'une particule est définie comme :

4. Si la variation d'énergie cinétique totale d'un système lors d'une collision est négative (\(\Delta E_c < 0\)), la collision est :

Glossaire

Collision (ou Choc)
Interaction brève et intense entre deux ou plusieurs corps qui modifie leur état de mouvement.
Collision Élastique
Collision au cours de laquelle l'énergie cinétique totale du système est conservée, en plus de la quantité de mouvement totale (si le système est isolé).
Collision Inélastique
Collision au cours de laquelle l'énergie cinétique totale du système n'est pas conservée (une partie est transformée en d'autres formes d'énergie). La quantité de mouvement totale est conservée si le système est isolé.
Collision Parfaitement Inélastique
Type de collision inélastique où les corps restent collés ensemble après l'impact et se déplacent avec une vitesse commune.
Quantité de Mouvement (\(\vec{p}\))
Produit de la masse d'un objet par son vecteur vitesse (\(\vec{p} = m\vec{v}\)). C'est une grandeur vectorielle.
Conservation de la Quantité de Mouvement
Principe selon lequel, pour un système isolé (non soumis à des forces extérieures nettes), la quantité de mouvement totale du système reste constante.
Énergie Cinétique (\(E_c\))
Énergie associée au mouvement d'un objet. Pour un objet de masse \(m\) et de vitesse \(v\), \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\). C'est une grandeur scalaire.
Conservation de l'Énergie Cinétique
Principe spécifique aux collisions élastiques, où l'énergie cinétique totale du système avant la collision est égale à l'énergie cinétique totale après la collision.
Collisions élastiques et inélastiques - Exercice d'Application

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