Commutation des opérateurs de moment cinétique Lx, Ly, Lz
Contexte : Les symétries de rotation et la quantification.
Le moment cinétique est à la rotation ce que la quantité de mouvement est à la translation. En physique quantique, il prend une importance capitale car il est quantifié : il ne peut prendre que des valeurs discrètes. Cette quantification émerge des propriétés de symétrie de l'espace. Les relations de commutationEn mécanique quantique, la relation de commutation entre deux opérateurs, [A, B] = AB - BA, détermine s'ils peuvent être mesurés simultanément. Si le résultat est non nul, les observables sont incompatibles. entre les différentes composantes du moment cinétique (\(L_x, L_y, L_z\)) sont au cœur de cette quantification. Elles déterminent quelles informations sur l'état de rotation d'un système peuvent être connues simultanément. Le calcul de ces commutateurs est un exercice fondamental d'algèbre des opérateurs.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une pure application de l'algèbre des opérateurs. Contrairement aux exercices précédents, il ne s'agit pas d'estimer une valeur, mais de dériver une relation structurelle fondamentale. Nous allons manipuler les définitions des opérateurs et les relations de commutation canoniques pour prouver une propriété essentielle de la nature. La rigueur dans l'application des règles de l'algèbre est ici la clé du succès.
Objectifs Pédagogiques
- Définir les opérateurs de moment cinétique \(\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z\) à partir des opérateurs de position et de quantité de mouvement.
- Appliquer les propriétés des commutateurs (linéarité, règle du produit).
- Utiliser les relations de commutation canoniques \([\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar\delta_{ij}\).
- Calculer explicitement le commutateur \([\hat{L}_x, \hat{L}_y]\).
- Interpréter physiquement le résultat en termes d'observables compatibles et incompatibles.
Données de l'étude
Définition du Moment Cinétique Orbital
Ses composantes cartésiennes sont données par :
Les opérateurs de position et de quantité de mouvement obéissent aux relations de commutation canoniques :
où \(i, j\) peuvent être \(x, y, z\), et \(\delta_{ij}\) est le symbole de Kronecker (\(\delta_{ij}=1\) si \(i=j\), et 0 sinon).
Questions à traiter
- Exprimer le commutateur \([\hat{L}_x, \hat{L}_y]\) en substituant les définitions des opérateurs \(\hat{L}_x\) et \(\hat{L}_y\).
- Développer le commutateur en une somme de quatre commutateurs, en utilisant la propriété de linéarité.
- Calculer chacun de ces quatre commutateurs en utilisant la règle du produit pour les commutateurs et les relations de commutation canoniques.
- Additionner les résultats et identifier l'expression finale en fonction de \(\hat{L}_z\). Que peut-on conclure sur la mesure simultanée de \(L_x\) et \(L_y\) ?
Les bases de la Physique Quantique
1. Opérateurs et Observables :
En mécanique quantique, chaque quantité physique mesurable (une observable) est associée à un opérateur mathématique (généralement noté avec un chapeau, ex: \(\hat{A}\)). La mesure d'une observable ne peut donner comme résultat qu'une des valeurs propres de l'opérateur correspondant.
2. Le Commutateur :
Le commutateur de deux opérateurs \(\hat{A}\) et \(\hat{B}\) est défini par \([\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}\). Il mesure à quel point l'ordre d'application des opérateurs est important.
- Si \([\hat{A}, \hat{B}] = 0\), les opérateurs commutent. Les observables correspondantes sont dites **compatibles** et peuvent être mesurées simultanément avec une précision arbitraire.
- Si \([\hat{A}, \hat{B}] \ne 0\), les opérateurs ne commutent pas. Les observables sont **incompatibles**, et il existe une relation d'incertitude qui limite la précision avec laquelle on peut les connaître simultanément.
3. Propriétés utiles des commutateurs :
Les commutateurs possèdent des propriétés algébriques similaires à la multiplication, mais avec des différences clés. Pour ce calcul, nous aurons besoin de :
- Linéarité : \([\hat{A}, \hat{B}+\hat{C}] = [\hat{A}, \hat{B}] + [\hat{A}, \hat{C}]\)
- Règle du produit : \([\hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = [\hat{A}, \hat{B}]\hat{C} + \hat{B}[\hat{A}, \hat{C}]\)
Correction : Commutation des opérateurs de moment cinétique Lx, Ly, Lz
Question 1 : Exprimer le commutateur \([\hat{L}_x, \hat{L}_y]\)
Principe (le concept physique)
La première étape de tout calcul de commutateur est de remplacer les symboles par leurs définitions explicites. Ici, nous substituons les expressions de \(\hat{L}_x\) et \(\hat{L}_y\) en fonction des opérateurs de position (\(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}\)) et de quantité de mouvement (\(\hat{p}_x, \hat{p}_y, \hat{p}_z\)). C'est une étape purement formelle qui prépare le terrain pour l'expansion algébrique.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'ensemble des opérateurs de moment cinétique forme une structure mathématique appelée une "algèbre de Lie", spécifiquement l'algèbre du groupe des rotations SO(3). Les relations de commutation que nous allons dériver sont les "constantes de structure" de cette algèbre et définissent entièrement la nature des rotations dans l'espace tridimensionnel.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Considérez cette étape comme la "mise en place" du problème. Il est crucial d'écrire les définitions correctement et sans erreur. Une erreur de signe ou d'indice à ce stade se propagera et rendra le calcul final incorrect. Prenez votre temps et soyez méticuleux.
Normes (la référence réglementaire)
La définition \(\hat{\vec{L}} = \hat{\vec{r}} \times \hat{\vec{p}}\) est la définition canonique du moment cinétique orbital, une transcription directe de la définition classique en mécanique quantique via le principe de correspondance.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On part de la définition du commutateur \([\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}\) et on substitue \(\hat{A} = \hat{L}_x\) et \(\hat{B} = \hat{L}_y\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On se place dans le cadre du formalisme standard de la mécanique quantique, où les observables sont des opérateurs agissant sur un espace de Hilbert.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(\hat{L}_x = \hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y\)
- \(\hat{L}_y = \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Repérez la structure cyclique des indices : pour \(L_x\), les indices sont (y, z), pour \(L_y\), c'est (z, x), et pour \(L_z\), (x, y). Cette permutation cyclique (x → y → z → x) est une bonne façon de mémoriser et de vérifier les formules.
Schéma (Avant les calculs)
Mise en place du Calcul
Calcul(s) (l'application numérique)
Il s'agit de la substitution directe des définitions dans la structure du commutateur. Aucune simplification n'est effectuée à ce stade.
Schéma (Après les calculs)
Commutateur Exprimé en Opérateurs Fondamentaux
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le problème est maintenant posé en termes d'opérateurs fondamentaux. La question de la commutation des composantes du moment cinétique a été ramenée à une question sur la commutation des composantes de la position et de la quantité de mouvement, pour lesquelles nous connaissons les règles.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La principale erreur est une faute de frappe ou une erreur de signe lors de la copie des définitions. Vérifiez deux fois chaque terme et chaque signe avant de passer à l'étape suivante.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le calcul d'un commutateur commence toujours par la substitution de ses définitions.
- Le moment cinétique est défini par \(\hat{\vec{L}} = \hat{\vec{r}} \times \hat{\vec{p}}\).
- Mémorisez ou sachez retrouver rapidement les composantes \(\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En robotique et en infographie 3D, la non-commutation des rotations est un problème très concret connu sous le nom de "blocage de cardan" (gimbal lock). L'ordre dans lequel on applique les rotations autour des axes X, Y et Z a une importance capitale sur l'orientation finale de l'objet.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Comment écririez-vous le commutateur \([\hat{L}_z, \hat{L}_x]\) ?
Simulateur 3D : Non-Commutativité des Rotations
Question 2 : Développer le commutateur
Principe (le concept physique)
Le commutateur est un objet mathématique qui possède la propriété de linéarité. Cela signifie que le commutateur d'une somme est la somme des commutateurs. Nous pouvons utiliser cette propriété pour décomposer notre commutateur complexe en une somme de commutateurs plus simples, impliquant des paires de termes.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La linéarité est une propriété fondamentale des opérateurs en mécanique quantique. Elle est directement liée au principe de superposition. L'opérateur agissant sur une somme d'états est la somme des opérateurs agissant sur chaque état. Cette propriété se transmet au commutateur : \([\hat{A} + \hat{B}, \hat{C} + \hat{D}] = [\hat{A},\hat{C}] + [\hat{A},\hat{D}] + [\hat{B},\hat{C}] + [\hat{B},\hat{D}]\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à la double distributivité que vous avez apprise pour les nombres : \((a-b)(c-d) = ac - ad - bc + bd\). L'expansion d'un commutateur est très similaire. Il faut juste faire attention à garder l'ordre des termes à l'intérieur de chaque nouveau commutateur. C'est une étape purement mécanique mais essentielle.
Normes (la référence réglementaire)
La linéarité est l'un des axiomes de base de l'algèbre linéaire, le cadre mathématique sur lequel repose la mécanique quantique. L'espace des états est un espace vectoriel, et les observables sont des opérateurs linéaires sur cet espace.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise la bilinéarité du commutateur :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les opérateurs de moment cinétique sont des opérateurs linéaires, ce qui est une propriété fondamentale héritée des opérateurs de position et de quantité de mouvement.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Commutateur de la Q1 : \([\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y, \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z]\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Procédez méthodiquement : "premier avec premier", "premier avec second", "second avec premier", "second avec second". Écrivez les quatre termes en faisant bien attention aux signes. Un signe négatif devant un opérateur s'applique à tout le terme.
Schéma (Avant les calculs)
Expansion par Linéarité
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la distributivité au commutateur.
Schéma (Après les calculs)
Le Commutateur Développé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le problème a été décomposé en quatre sous-problèmes plus simples. Chacun des quatre commutateurs implique maintenant le produit de deux opérateurs. La prochaine étape consistera à évaluer chacun de ces termes individuellement en utilisant une autre propriété des commutateurs : la règle du produit.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente ici est un oubli de signe. Le terme \((-\hat{z}\hat{p}_y)\) et le terme \((-\hat{x}\hat{p}_z)\) contribuent ensemble par un signe \((-)(-) = +\) au dernier commutateur. Assurez-vous que vos quatre termes ont les bons signes : (+, -, -, +).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Les commutateurs sont des opérateurs bilinéaires.
- On peut développer \([\hat{A}+\hat{B}, \hat{C}+\hat{D}]\) comme un produit ordinaire, en conservant l'ordre.
- Cette décomposition est une étape clé pour simplifier des commutateurs complexes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En traitement du signal, les transformées de Fourier temporelle et fréquentielle sont des opérateurs qui ne commutent pas avec le temps et la fréquence. C'est l'origine de l'équivalent du principe d'incertitude en signal : on ne peut pas connaître simultanément avec une précision infinie la fréquence exacte d'un signal et l'instant exact où il se produit.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
En utilisant la linéarité, développez le commutateur \([ \hat{x}, \hat{p}_x + \hat{p}_y]\).
Simulateur 3D : Algèbre des Opérateurs
Visualisation de la décomposition d'un opérateur complexe.
Question 3 : Calculer les quatre commutateurs
Principe (le concept physique)
Chacun des quatre termes est un commutateur de la forme \([\hat{A}\hat{B}, \hat{C}\hat{D}]\). Pour les évaluer, on applique la règle du produit \([\hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = [\hat{A}, \hat{B}]\hat{C} + \hat{B}[\hat{A}, \hat{C}]\). Une fois développés, ces termes ne contiendront plus que des commutateurs d'opérateurs de base (comme \([\hat{y}, \hat{p}_x]\)), que nous pouvons évaluer directement grâce aux relations de commutation canoniques.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La règle du produit pour les commutateurs est analogue à la règle de dérivation d'un produit en calcul, \( (fg)' = f'g + fg' \). Cela vient du fait qu'un commutateur \([\hat{A}, \cdot]\) est une opération mathématique appelée une "dérivation" dans le contexte de l'algèbre des opérateurs.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est la partie la plus calculatoire de l'exercice. La clé est d'être extrêmement systématique. Traitez chaque des quatre termes séparément. Pour chaque terme, appliquez la règle du produit deux fois si nécessaire. La plupart des commutateurs de base seront nuls (\([\hat{y}, \hat{z}]=0\), \([\hat{y}, \hat{p}_x]=0\), etc.), ce qui simplifiera grandement le calcul. Seuls les termes comme \([\hat{y}, \hat{p}_y]\) survivront.
Normes (la référence réglementaire)
Les relations de commutation canoniques sont un postulat de la mécanique quantique, aussi fondamental que la seconde loi de Newton en mécanique classique. Tout le formalisme est construit sur ces relations.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Règle du produit :
Relations de commutation canoniques :
Tous les autres commutateurs entre opérateurs de base (comme \([\hat{x}_i, \hat{x}_j]\) ou \([\hat{p}_i, \hat{p}_j]\)) sont nuls.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les opérateurs de position et de quantité de mouvement sont les générateurs de l'algèbre et que toutes les relations peuvent être dérivées de leurs propriétés de commutation.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Les quatre commutateurs issus de la Question 2 :
- Les relations de commutation canoniques.
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant de calculer, regardez les indices. Un commutateur comme \([\hat{y}\hat{p}_z, \hat{x}\hat{p}_z]\) contient \(\hat{p}_z\) en commun à droite. Comme \(\hat{p}_z\) commute avec \(\hat{y}, \hat{x}, \hat{p}_z\), ce commutateur sera nul. De même pour \([\hat{z}\hat{p}_y, \hat{z}\hat{p}_x]\). Vous pouvez immédiatement voir que les 2e et 3e termes de notre somme sont nuls !
Schéma (Avant les calculs)
Application de la Règle du Produit
Calcul(s) (l'application numérique)
On évalue chacun des quatre termes. On utilise la règle du produit et le fait que seuls les commutateurs entre une coordonnée et sa quantité de mouvement conjuguée (ex: \([\hat{x}, \hat{p}_x]\)) sont non nuls.
Terme 1 : \([\hat{y}\hat{p}_z, \hat{z}\hat{p}_x]\)
Terme 2 : \(-[\hat{y}\hat{p}_z, \hat{x}\hat{p}_z]\)
Ce terme est nul car \(\hat{p}_z\) commute avec tous les autres opérateurs (\(\hat{y}\), \(\hat{x}\), et \(\hat{p}_z\) lui-même).
Terme 3 : \(-[\hat{z}\hat{p}_y, \hat{z}\hat{p}_x]\)
Ce terme est nul car \(\hat{z}\) commute avec tous les autres opérateurs (\(\hat{p}_y\), \(\hat{z}\), et \(\hat{p}_x\)).
Terme 4 : \([\hat{z}\hat{p}_y, \hat{x}\hat{p}_z]\)
Schéma (Après les calculs)
Résultats Intermédiaires
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le calcul, bien que long, s'est considérablement simplifié. Des huit termes potentiels issus du développement complet, seuls deux ont survécu. Cela est dû au grand nombre de commutateurs nuls entre les opérateurs de base. Nous sommes maintenant prêts pour l'assemblage final.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus subtile est l'application de la règle du produit. Rappelez-vous que \([\hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = [\hat{A}, \hat{B}]\hat{C} + \hat{B}[\hat{A}, \hat{C}]\). L'opérateur \(\hat{B}\) sort "par la gauche" du deuxième commutateur. Respecter cet ordre est absolument essentiel car les opérateurs ne commutent pas en général.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La règle du produit est l'outil principal pour calculer les commutateurs de produits.
- Seuls les commutateurs entre un opérateur position et son opérateur quantité de mouvement conjugué (ex: \([\hat{x}, \hat{p}_x]\)) sont non nuls.
- La patience et la méthode sont les meilleures alliées pour ce type de calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le symbole de Levi-Civita \(\epsilon_{ijk}\) permet de compacter ces calculs. La définition de \(\hat{L}_i\) est \(\sum_{j,k} \epsilon_{ijk} \hat{x}_j \hat{p}_k\). La relation de commutation se résume alors élégamment à \([\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\hbar \sum_k \epsilon_{ijk} \hat{L}_k\).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez le commutateur simple \([ \hat{x}, \hat{L}_z ]\).
Simulateur 3D : Commutateurs Canoniques
Visualisation des paires d'opérateurs qui commutent ou non.
Question 4 : Sommer et interpréter le résultat
Principe (le concept physique)
La dernière étape consiste à additionner les termes non nuls que nous avons calculés et à reconnaître dans le résultat l'expression d'un autre opérateur de moment cinétique. Ce résultat final, une relation d'algèbre entre les opérateurs, a une signification physique profonde : il nous informe directement sur la compatibilité des mesures des différentes composantes du moment cinétique.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation de commutation non-nulle \([\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar\hat{L}_z\) implique une relation d'incertitude générale (dite de Robertson) : \(\Delta L_x \Delta L_y \ge \frac{1}{2} |\langle[\hat{L}_x, \hat{L}_y]\rangle| = \frac{\hbar}{2} |\langle\hat{L}_z\rangle|\). Cela signifie que si on mesure une valeur définie de \(L_z\), le produit des incertitudes sur \(L_x\) et \(L_y\) est non nul. Il est impossible de connaître les trois composantes simultanément.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Nous sommes au bout du calcul. En assemblant les pièces, vous verrez apparaître la définition de \(\hat{L}_z\). Ce n'est pas une coïncidence, mais le reflet de la structure mathématique profonde des rotations. Physiquement, cela signifie que la mesure de \(L_x\) perturbe \(L_y\) (et vice-versa) d'une manière qui est liée à la valeur de \(L_z\).
Normes (la référence réglementaire)
Ces relations de commutation \([\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\hbar \sum_k \epsilon_{ijk} \hat{L}_k\) sont considérées comme la définition fondamentale du moment cinétique en mécanique quantique. Toute observable (comme le spin) qui obéit à ces relations est, par définition, un moment cinétique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On additionne les résultats de la Q3 et on factorise.
Hypothèses (le cadre du calcul)
Aucune nouvelle hypothèse. On se contente d'assembler les résultats précédents.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Résultats de la Q3 : \(-i\hbar\hat{y}\hat{p}_x\) et \(+i\hbar\hat{x}\hat{p}_y\).
- Définition de \(\hat{L}_z = \hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x\).
Astuces(Pour aller plus vite)
Factorisez le terme commun \(i\hbar\). Le reste de l'expression devrait vous rappeler immédiatement quelque chose que vous avez vu dans les données de l'énoncé.
Schéma (Avant les calculs)
Assemblage Final
Calcul(s) (l'application numérique)
On additionne les quatre termes, dont deux sont nuls :
On reconnaît l'expression de \(\hat{L}_z\) :
Schéma (Après les calculs)
La Relation d'Algèbre du Moment Cinétique
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le commutateur de \(\hat{L}_x\) et \(\hat{L}_y\) n'est pas nul. Par conséquent, les observables \(L_x\) et \(L_y\) sont incompatibles. Il est fondamentalement impossible de mesurer simultanément la composante x et la composante y du moment cinétique d'une particule avec une précision infinie. Si on mesure précisément \(L_x\), la valeur de \(L_y\) devient complètement incertaine, et vice-versa. Par permutation cyclique, on peut montrer que cela est vrai pour n'importe quelle paire de composantes différentes (\([\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar\hat{L}_x\) et \([\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar\hat{L}_y\)).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne concluez pas que le moment cinétique n'est pas conservé. Ce que ce résultat implique, c'est que si un système a une valeur bien définie pour \(L_z\), il ne peut pas avoir de valeur bien définie pour \(L_x\) ou \(L_y\). Le vecteur \(\vec{L}\) n'a pas une direction fixe, mais précesse autour de l'axe z, formant un "cône d'incertitude".
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Les composantes du moment cinétique ne commutent pas entre elles.
- La relation de commutation est \([\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\hbar \sum_k \epsilon_{ijk} \hat{L}_k\).
- Il est impossible de connaître simultanément plus d'une composante du moment cinétique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) exploite ces propriétés quantiques. On aligne les moments cinétiques (spins) des protons dans le corps avec un champ magnétique puissant (définissant l'axe z). En appliquant des ondes radio, on fait précesser ces spins, et on détecte le signal qu'ils émettent en revenant à l'équilibre pour reconstruire une image des tissus.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Sans faire le calcul, que vaut le commutateur \([\hat{L}_y, \hat{L}_x]\) ?
Simulateur 3D : Cône de Précession
Outil Interactif : Incertitude du Moment Cinétique
Explorez la relation d'incertitude entre \(L_x\) et \(L_y\) en fonction de la valeur de \(L_z\).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Les particules comme les électrons, les protons et les neutrons possèdent un moment cinétique intrinsèque, appelé "spin", qui n'a pas d'analogue classique. C'est comme si elles tournaient sur elles-mêmes, mais cette image est trompeuse. Les opérateurs de spin (\(\hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_z\)) obéissent exactement aux mêmes relations de commutation que les opérateurs de moment cinétique orbital que nous venons de calculer, ce qui prouve qu'il s'agit bien d'une forme de moment cinétique.
Foire Aux Questions (FAQ)
Si on ne peut pas connaître L_x et L_y, comment peut-on connaître L² = L_x² + L_y² + L_z² ?
C'est une excellente question qui touche au cœur de la mécanique quantique. Bien que \(\hat{L}_x\) et \(\hat{L}_y\) ne commutent pas avec \(\hat{L}_z\), la somme de leurs carrés, \(\hat{L}_x^2 + \(\hat{L}_y^2\), commute avec \(\hat{L}_z\). Par conséquent, l'opérateur \(\hat{L}^2 = (\hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2) + \hat{L}_z^2\) commute aussi avec \(\hat{L}_z\). On peut donc connaître simultanément la norme du vecteur moment cinétique et une de ses projections, mais pas les autres projections.
Que signifie "iħ" dans le résultat ?
La présence du nombre imaginaire \(i\) est une caractéristique fondamentale de la mécanique quantique. Elle est liée au fait que la fonction d'onde est une grandeur complexe et que l'évolution temporelle du système est décrite par l'équation de Schrödinger, qui contient \(i\). La constante \(\hbar\) fixe l'échelle à laquelle les effets quantiques deviennent importants.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si un système est dans un état où \(L_z\) a une valeur certaine et non nulle, que peut-on dire de la valeur moyenne de \(L_x\) ?
2. Les relations de commutation du moment cinétique sont une conséquence directe de...
- Opérateur Quantique
- Entité mathématique qui, appliquée à la fonction d'onde d'un système, correspond à la mesure d'une observable physique.
- Commutateur
- Le commutateur de deux opérateurs, \([\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}\), mesure leur incompatibilité. S'il est non nul, les observables correspondantes ne peuvent être connues simultanément avec précision.
- Moment Cinétique
- Grandeur physique qui représente l'analogue de la quantité de mouvement pour la rotation. En mécanique quantique, ses composantes ne commutent pas entre elles.
D’autres exercices de physique quantique :
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