Compression Adiabatique d’un Gaz Parfait

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, la relation entre pression et volume est donnée par la loi de Laplace : \(P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(P_1 = 1.00 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
• \(V_1 = 24.6 \, \text{L}\)
• \(V_2 = 10.0 \, \text{L}\)
• \(\gamma = 5/3 \approx 1.667\)

Calcul :

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, on peut utiliser la relation \(T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}\) ou, une fois \(P_2\) connue, la loi des gaz parfaits \(P_2V_2 = nRT_2\).

Utilisons \(T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
• \(\frac{V_1}{V_2} = 2.46\)
• \(\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3 \approx 0.6667\)

Calcul :

Vérification avec la loi des gaz parfaits : \(T_2 = \frac{P_2V_2}{nR}\)

La différence provient des arrondis successifs, notamment pour \(\gamma\). L'utilisation de la relation \(T V^{\gamma-1} = \text{constante}\) est plus directe.

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, le travail effectué sur le gaz est donné par \(W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}\). Comme c'est une compression, on s'attend à un travail positif (le système reçoit du travail).

Alternativement, pour un processus adiabatique, \(\Delta U = W\) (car \(Q=0\)), et pour un gaz parfait, \(\Delta U = nC_{v,m}(T_2-T_1)\). Pour un gaz parfait monoatomique, \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\). On peut aussi utiliser \(C_{v,m} = \frac{R}{\gamma-1}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques (volumes en m³) :

• \(P_1 = 1.00 \times 10^5 \, \text{Pa}\), \(V_1 = 24.6 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\)
• \(P_2 \approx 4.482 \times 10^5 \, \text{Pa}\), \(V_2 = 10.0 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\)
• \(\gamma = 5/3 \Rightarrow 1-\gamma = 1 - 5/3 = -2/3\)
• \(n = 1.00 \, \text{mol}\), \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
• \(T_1 = 300 \, \text{K}\), \(T_2 \approx 546.6 \, \text{K}\)

Calcul avec la formule \(P,V\) :

Le signe négatif indique un travail effectué PAR le gaz si la formule est \(W = \int P dV\). Si \(W\) est le travail reçu PAR le gaz (convention du premier principe \(\Delta U = Q + W\)), alors \(W = -\int P_{ext} dV\). Pour une compression réversible, \(P_{ext} = P_{gaz}\), donc \(W_{reçu} = -W_{effectué}\). La formule \(W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}\) donne le travail reçu par le gaz. Si on utilise \(W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{\gamma-1}\), on obtient : \[ W = \frac{2460 - 4482}{5/3 - 1} = \frac{-2022}{2/3} = -2022 \times \frac{3}{2} = -3033 \, \text{J} \] Ceci est le travail effectué par le système. Le travail reçu par le système est \(+3033 \, \text{J}\).

Utilisons la formule du travail reçu pour une compression adiabatique : \(W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}\) ou \(W = nC_v(T_2-T_1)\). \[ W_{\text{reçu}} = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma} = \frac{4482 \, \text{J} - 2460 \, \text{J}}{1 - 5/3} = \frac{2022 \, \text{J}}{-2/3} = -3033 \, \text{J} \] Il y a une convention de signe à clarifier. Si \(W\) est le travail reçu par le système, alors pour une compression adiabatique \(W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}\). Si on utilise \(W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{\gamma-1}\) c'est le travail effectué PAR le gaz. Le travail reçu est \(W_{reçu} = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}\) ou \(W_{reçu} = nC_v(T_2-T_1)\). \(C_{v,m} = \frac{R}{\gamma-1} = \frac{8.314}{5/3-1} = \frac{8.314}{2/3} = 8.314 \times \frac{3}{2} = 12.471 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) \[ \begin{aligned} W_{\text{reçu}} &= (1.00 \, \text{mol}) \times (12.471 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (546.6 \, \text{K} - 300 \, \text{K}) \\ &= 12.471 \times 246.6 \, \text{J} \\ &\approx 3075.4 \, \text{J} \end{aligned} \] La différence vient des arrondis sur P2 et T2. Utilisons les valeurs exactes de P1V1 et P2V2 si possible. \(P_1V_1 = nRT_1 = 1 \times 8.314 \times 300 = 2494.2 \, \text{J}\) \(P_2V_2 = nRT_2 = 1 \times 8.314 \times 546.6 = 4543.6 \, \text{J}\) \[ \begin{aligned} W_{\text{reçu}} &= \frac{4543.6 \, \text{J} - 2494.2 \, \text{J}}{1 - 5/3} = \frac{2049.4 \, \text{J}}{-2/3} \\ &= 2049.4 \times (-1.5) = -3074.1 \, \text{J} \end{aligned} \] Le travail reçu par le gaz est \(W = -\int P dV\). Pour une adiabatique, \(P V^\gamma = K\), \(P = K V^{-\gamma}\). \(W = - \int_{V_1}^{V_2} K V^{-\gamma} dV = -K \left[ \frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma} \right]_{V_1}^{V_2} = -\frac{K}{1-\gamma} (V_2^{1-\gamma} - V_1^{1-\gamma})\) \(W = -\frac{1}{1-\gamma} (P_2V_2 - P_1V_1) = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{\gamma-1}\). Cette formule donne le travail effectué PAR le gaz. Le travail effectué SUR le gaz est l'opposé. \(W_{\text{sur le gaz}} = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{\gamma-1}\) ou \(\frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}\). Avec nos valeurs: \(W_{\text{sur le gaz}} = \frac{2494.2 - 4543.6}{5/3-1} = \frac{-2049.4}{2/3} = -3074.1 \, \text{J}\). Ceci est le travail effectué PAR le gaz. Le travail effectué SUR le gaz est donc \(+3074.1 \, \text{J}\). Vérifions avec \(W = nC_v(T_2-T_1)\). \(C_v = \frac{R}{\gamma-1} = \frac{8.314}{2/3} = 12.471 \, \text{J/mol.K}\). \(W = 1 \times 12.471 \times (546.6 - 300) = 1 \times 12.471 \times 246.6 \approx 3075.4 \, \text{J}\). Les petites différences sont dues aux arrondis de T2.

Principe :

Pour un processus adiabatique, il n'y a pas d'échange de chaleur avec l'extérieur (\(Q=0\)). Selon le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = Q + W\). Donc, pour un processus adiabatique, \(\Delta U = W_{\text{reçu par le gaz}}\).

Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température : \(\Delta U = n C_{v,m} (T_2 - T_1)\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(W_{\text{reçu}} \approx 3075 \, \text{J}\) (de la Question 3)
• \(n = 1.00 \, \text{mol}\)
• \(C_{v,m} = \frac{R}{\gamma-1} = \frac{8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}}{5/3 - 1} = 12.471 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
• \(T_1 = 300 \, \text{K}\), \(T_2 \approx 546.6 \, \text{K}\)

Calcul :

Ceci est cohérent avec \( \Delta U = W_{\text{reçu}} \).