Contrôle de la Tension pour un Moteur DC
Contexte : Commande d'un moteur à courant continu.
Les moteurs à courant continu (DC) sont omniprésents en robotique, dans l'industrie et les appareils du quotidien. Leur vitesse de rotation est directement liée à la tension appliquée à leurs bornes. Comprendre cette relation est essentiel pour tout ingénieur souhaitant concevoir des systèmes asservis. Cet exercice se concentre sur le modèle électrique d'un moteur DC et le calcul de sa vitesse en fonction de la tension d'alimentation et de la charge mécanique appliquée.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous familiarisera avec les concepts clés de l'électromécanique. Vous apprendrez à modéliser un moteur DC par un circuit équivalent, à calculer la force contre-électromotrice (f.c.e.m.)Tension générée par la rotation du moteur, qui s'oppose à la tension d'alimentation. Elle est proportionnelle à la vitesse de rotation., et à déterminer le point de fonctionnement (vitesse et courant) du moteur dans des conditions données.
Objectifs Pédagogiques
- Modéliser un moteur à courant continu par son schéma électrique équivalent.
- Appliquer la loi des mailles au circuit du moteur.
- Calculer la force contre-électromotrice (f.c.e.m.) en fonction de la vitesse.
- Déterminer la vitesse de rotation du moteur à vide.
- Calculer le courant et la vitesse du moteur en charge.
Données de l'étude
Schéma Électrique Équivalent du Moteur DC
Visualisation 3D du Moteur
| Paramètre | Notation | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension d'alimentation | \(U\) | 12 | \(\text{V}\) |
| Résistance d'induit | \(R\) | 2 | \(\Omega\) |
| Constante du moteur | \(K\) | 0.05 | \(\text{V} \cdot \text{s} \cdot \text{rad}^{-1}\) |
| Couple de charge | \(\tau_c\) | 0.1 | \(\text{N} \cdot \text{m}\) |
Questions à traiter
- Écrire l'équation électrique du moteur (loi des mailles).
- Calculer le courant de démarrage \(I_d\) du moteur (à l'instant t=0, la vitesse est nulle).
- Calculer la vitesse de rotation à vide \(\omega_0\) (lorsqu'aucun couple de charge n'est appliqué, le courant est quasi nul).
- Calculer le courant \(I_c\) consommé par le moteur lorsqu'il entraîne le couple de charge \(\tau_c\).
- En déduire la vitesse de rotation en charge \(\omega_c\) du moteur.
Les bases du Moteur à Courant Continu
Un moteur DC est un convertisseur d'énergie électromécanique. Comprenons les équations qui le régissent.
1. L'Équation Électrique
Le circuit électrique de l'induit du moteur peut être modélisé par la loi des mailles de Kirchhoff. La tension d'alimentation \(U\) est égale à la chute de tension dans la résistance d'induit plus la force contre-électromotrice \(E\).
\[ U = R \cdot I + E \]
2. La Force Contre-Électromotrice (f.c.e.m.)
Lorsqu'un conducteur (les bobinages du rotor) tourne dans un champ magnétique (créé par les aimants), il induit une tension. Cette tension, appelée f.c.e.m., s'oppose à la tension d'alimentation. Elle est directement proportionnelle à la vitesse de rotation \(\omega\).
\[ E = K \cdot \omega \]
Où \(K\) est la constante du moteur.
3. L'Équation Mécanique
Le couple moteur \(\tau_m\) généré par le moteur est directement proportionnel au courant \(I\) qui le traverse.
\[ \tau_m = K \cdot I \]
Notez que la même constante \(K\) relie la vitesse à la tension (f.c.e.m.) et le courant au couple. C'est la beauté de la conversion électromécanique.
Correction : Contrôle de la Tension pour un Moteur DC
Question 1 : Écrire l'équation électrique du moteur (loi des mailles)
Principe (le concept physique)
La loi des mailles de Kirchhoff stipule que la somme des tensions dans une boucle fermée est nulle. En appliquant cela au circuit du moteur, la tension fournie par l'alimentation \(U\) est "consommée" par la résistance de l'induit (chute de tension \(RI\)) et par la force contre-électromotrice \(E\) qui s'oppose au passage du courant.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette équation est fondamentale car elle lie le monde électrique (tension \(U\), courant \(I\)) au monde mécanique (via la f.c.e.m. \(E\) qui dépend de la vitesse). C'est le point de départ de toute analyse de moteur à courant continu.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Il est crucial de bien orienter les tensions. La tension d'alimentation \(U\) agit comme un générateur, tandis que la chute de tension \(RI\) et la f.c.e.m. \(E\) agissent comme des récepteurs. Leur somme doit donc équilibrer la tension d'alimentation.
Normes (la référence réglementaire)
La loi des mailles est l'une des lois de Kirchhoff, qui sont les fondements de l'analyse des circuits électriques. Elles sont universellement appliquées en ingénierie électrique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Loi des mailles :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise un modèle simplifié du moteur, en négligeant l'inductance de l'induit, qui ne joue un rôle que dans les régimes transitoires (démarrage, changement de charge rapide).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Aucune donnée numérique n'est nécessaire pour cette question, il s'agit d'établir une relation littérale.
Astuces(Pour aller plus vite)
Visualisez toujours le circuit. La tension d'alimentation "pousse" le courant, tandis que la résistance et la f.c.e.m. "résistent" à cette poussée. L'équilibre entre ces actions donne l'équation.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit Équivalent du Moteur
Calcul(s) (l'application numérique)
Cette question ne demande pas de calcul numérique, mais l'établissement de la relation fondamentale.
Schéma (Après les calculs)
Équation de la Maille
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette équation est le pilier de l'étude. Elle montre que pour une tension U donnée, le courant I dépend de la f.c.e.m. E, et donc de la vitesse. Si la vitesse augmente, E augmente, et le courant I diminue.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est une erreur de signe, par exemple écrire \(U = RI - E\). Il faut se rappeler que la f.c.e.m. est une tension qui s'oppose à la tension d'alimentation, donc elle se soustrait du côté de l'alimentation ou s'ajoute du côté des chutes de tension.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'équation électrique d'un moteur DC est \(U = R \cdot I + E\).
- Elle traduit l'équilibre des tensions dans le circuit de l'induit.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Un moteur à courant continu est une machine réversible. Si vous le faites tourner mécaniquement (par exemple avec une manivelle), il se comporte comme un générateur et produit une tension à ses bornes. C'est le principe de la dynamo.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si on isole le courant I, quelle est son expression ?
Question 2 : Calculer le courant de démarrage \(I_d\) du moteur
Principe (le concept physique)
Au moment précis du démarrage (\(t=0\)), le rotor du moteur est encore immobile. Sa vitesse de rotation \(\omega\) est donc nulle. Puisque la f.c.e.m. \(E\) est proportionnelle à la vitesse (\(E = K \cdot \omega\)), elle est également nulle au démarrage. L'équation électrique se simplifie alors drastiquement.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le courant de démarrage est une valeur critique pour un moteur. C'est le courant le plus élevé que le moteur consommera en fonctionnement normal. Ce pic de courant doit être pris en compte pour dimensionner l'alimentation et les protections (fusibles, disjoncteurs) du circuit.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est une application directe de l'équation trouvée à la question 1, avec une condition initiale simple : vitesse nulle. Pensez toujours aux conditions initiales ou aux états particuliers (à vide, en charge, bloqué) pour simplifier les problèmes.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de sécurité électrique (comme la norme IEC 60947 pour les appareillages basse tension) définissent des classes de disjoncteurs (Courbe C, D, etc.) qui sont capables de tolérer ces pics de courant de démarrage sans se déclencher inutilement, tout en protégeant contre les vrais courts-circuits.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Équation du courant de démarrage :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la tension d'alimentation \(U\) est appliquée instantanément et reste constante. On néglige les phénomènes transitoires dus à l'inductance.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(U = 12 \, \text{V}\)
- \(R = 2 \, \Omega\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Au démarrage, un moteur DC se comporte comme une simple résistance. Le seul élément qui limite le courant est la résistance de son bobinage.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit au Démarrage (E=0)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du courant de démarrage :
Schéma (Après les calculs)
Courant de Démarrage
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le courant de démarrage de 6 A est significativement plus élevé que le courant nominal que le moteur consommerait en fonctionnement normal. C'est ce courant qui produit le couple maximal pour mettre le rotor en mouvement et vaincre l'inertie.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier que la condition \(\omega=0\) n'est valable qu'à l'instant initial. Dès que le moteur commence à tourner, la f.c.e.m. augmente et le courant diminue. Le courant de 6 A n'est qu'un pic très bref.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Au démarrage, la vitesse est nulle, donc la f.c.e.m. \(E\) est nulle.
- Le courant de démarrage est le plus élevé et n'est limité que par la résistance de l'induit : \(I_d = U/R\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour limiter les pics de courant de démarrage sur les gros moteurs, on utilise des "démarreurs progressifs". Ce sont des dispositifs électroniques qui augmentent graduellement la tension d'alimentation, permettant au moteur de démarrer en douceur sans appeler un courant excessif sur le réseau électrique.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la résistance d'induit était de 4 \(\Omega\), quel serait le nouveau courant de démarrage (en A) ?
Question 3 : Calculer la vitesse de rotation à vide \(\omega_0\)
Principe (le concept physique)
"À vide" signifie que le moteur ne fournit aucun effort mécanique (aucun couple de charge). Dans ce cas idéal, le moteur n'a besoin que d'un courant très faible, juste pour vaincre ses propres frottements internes. On fait donc l'approximation que le courant à vide \(I_0\) est nul.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La vitesse à vide est la vitesse maximale que le moteur peut atteindre pour une tension d'alimentation donnée. C'est un point de fonctionnement théorique important. En pratique, le courant n'est jamais tout à fait nul, donc la vitesse réelle sera toujours légèrement inférieure à la vitesse à vide théorique.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Encore une fois, on part de l'équation de base et on applique la condition particulière. Ici, la condition est \(I \approx 0\). L'équation électrique se simplifie alors différemment, permettant d'isoler la f.c.e.m. et, par conséquent, la vitesse.
Normes (la référence réglementaire)
Les fiches techniques des moteurs (datasheets) fournissent toujours la vitesse à vide ("no-load speed") pour une tension nominale donnée. C'est une caractéristique essentielle pour le choix d'un moteur.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Équation de la vitesse à vide :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On fait l'approximation que le courant à vide est nul (\(I_0 = 0\)), ce qui signifie qu'on néglige le couple nécessaire pour vaincre les frottements internes du moteur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(U = 12 \, \text{V}\)
- \(K = 0.05 \, \text{V} \cdot \text{s} \cdot \text{rad}^{-1}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
La vitesse à vide est le rapport direct entre la tension d'alimentation et la constante du moteur. C'est le calcul le plus simple pour estimer la vitesse maximale d'un moteur.
Schéma (Avant les calculs)
Fonctionnement à Vide (I=0)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la vitesse à vide :
Schéma (Après les calculs)
Vitesse à Vide
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La vitesse de 240 rad/s (environ 2292 tours par minute) est la vitesse maximale que ce moteur peut atteindre avec une alimentation de 12V. Toute charge mécanique appliquée sur son axe le fera ralentir.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention aux unités de vitesse. Les calculs donnent une vitesse angulaire en radians par seconde (rad/s). Si une vitesse en tours par minute (tr/min ou RPM) est demandée, il faut convertir en utilisant la relation : \(1 \, \text{tr/min} = 2\pi/60 \, \text{rad/s}\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- À vide, on approxime le courant à zéro (\(I_0 \approx 0\)).
- La f.c.e.m. est alors quasiment égale à la tension d'alimentation (\(E \approx U\)).
- La vitesse à vide est \(\omega_0 = U/K\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les moteurs "brushless" (sans balais) sont une évolution des moteurs DC. Ils n'ont pas de balais mécaniques pour la commutation, ce qui élimine l'usure et les étincelles. Un circuit électronique externe (le contrôleur) recrée le champ magnétique tournant, offrant un meilleur rendement et une plus grande longévité.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si on alimentait le moteur avec une tension de 24 V, quelle serait sa nouvelle vitesse à vide (en rad/s) ?
Question 4 : Calculer le courant \(I_c\) consommé par le moteur en charge
Principe (le concept physique)
Lorsque le moteur entraîne une charge, il doit fournir un couple mécanique \(\tau_m\) pour la vaincre. En régime permanent, le couple moteur est égal au couple de charge \(\tau_c\). L'équation mécanique \(\tau_m = K \cdot I\) nous permet de relier directement ce couple au courant consommé par le moteur.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation \(\tau_m = K \cdot I\) est au cœur de la conversion d'énergie électrique en énergie mécanique. Elle montre que le courant n'est pas une "perte", mais la source même de l'effort mécanique. Plus le moteur doit "forcer" (couple élevé), plus il doit "tirer" de courant de l'alimentation.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette question fait le pont entre la mécanique (le couple) et l'électricité (le courant). C'est la deuxième équation fondamentale du moteur. Assurez-vous d'utiliser la bonne constante \(K\), qui est la même pour la relation électrique (Vitesse-Tension) et la relation mécanique (Courant-Couple).
Normes (la référence réglementaire)
Les unités doivent être cohérentes. Si \(K\) est en \(\text{V} \cdot \text{s} \cdot \text{rad}^{-1}\), qui est équivalent à \(\text{N} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}\), le couple \(\tau\) doit être en Newton-mètres (Nm) pour obtenir un courant en Ampères (A).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Équation du courant en charge :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le moteur tourne à une vitesse stable (régime permanent), de sorte que le couple moteur compense exactement le couple de charge. On néglige le couple de frottement interne du moteur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(\tau_c = 0.1 \, \text{N} \cdot \text{m}\)
- \(K = 0.05 \, \text{N} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le calcul est une simple division. L'important est de bien identifier que la question porte sur la relation mécanique du moteur et non sur son équation électrique à ce stade.
Schéma (Avant les calculs)
Relation Couple-Courant
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du courant en charge :
Schéma (Après les calculs)
Courant en Charge
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Pour fournir un couple de 0.1 Nm, le moteur doit consommer un courant de 2 A. Ce courant est bien inférieur au courant de démarrage (6 A) mais supérieur au courant à vide (qu'on a supposé nul).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre les deux équations fondamentales. La vitesse est liée à la tension via la f.c.e.m. (\(E=K\omega\)), tandis que le courant est lié au couple (\(\tau=KI\)). Utiliser la mauvaise équation est une erreur courante.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le couple moteur est proportionnel au courant : \(\tau_m = K \cdot I\).
- En régime permanent, le couple moteur égale le couple de charge : \(\tau_m = \tau_c\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La puissance mécanique développée par le moteur est \(P_m = \tau_m \cdot \omega\). La puissance électrique consommée par la f.c.e.m. est \(P_e = E \cdot I\). En remplaçant \(\tau_m\) et \(E\) par leurs expressions, on trouve que \(P_m = (KI)\omega\) et \(P_e = (K\omega)I\), donc \(P_m=P_e\). La f.c.e.m. est le mécanisme par lequel la puissance électrique est convertie en puissance mécanique.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le couple de charge était de 0.15 Nm, quel serait le courant consommé (en A) ?
Question 5 : En déduire la vitesse de rotation en charge \(\omega_c\) du moteur
Principe (le concept physique)
Maintenant que nous connaissons le courant consommé en charge (\(I_c\)), nous pouvons revenir à l'équation électrique. En utilisant \(U = R \cdot I_c + E_c\), nous pouvons calculer la nouvelle valeur de la f.c.e.m. en charge, \(E_c\). Comme la f.c.e.m. est toujours liée à la vitesse par \(E_c = K \cdot \omega_c\), nous pouvons en déduire la vitesse en charge.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Ce calcul illustre l'autorégulation d'un moteur DC. Quand on applique une charge, le moteur ralentit. En ralentissant, sa f.c.e.m. \(E\) diminue. D'après \(I = (U-E)/R\), la diminution de \(E\) provoque une augmentation du courant \(I\). Cette augmentation de \(I\) entraîne une augmentation du couple moteur \(\tau_m = KI\), qui vient s'opposer à la charge. Le moteur trouve un nouveau point d'équilibre à une vitesse plus faible mais avec un couple plus élevé.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est la synthèse de tout l'exercice. On utilise le courant trouvé avec l'équation mécanique pour le réinjecter dans l'équation électrique afin de trouver la vitesse. C'est le couplage électromécanique en action.
Normes (la référence réglementaire)
La courbe "Vitesse-Couple" d'un moteur DC, qui est une droite décroissante, est une caractéristique fondamentale fournie par les constructeurs. Le calcul que nous faisons ici revient à trouver un point sur cette droite.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Équations de la vitesse en charge :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les paramètres du moteur (R, K) ne varient pas avec la température ou la charge, ce qui est une approximation valable pour un fonctionnement stable.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(U = 12 \, \text{V}\)
- \(R = 2 \, \Omega\)
- \(K = 0.05 \, \text{V} \cdot \text{s} \cdot \text{rad}^{-1}\)
- \(I_c = 2 \, \text{A}\) (résultat de la Q4)
Astuces(Pour aller plus vite)
Vous pouvez combiner toutes les équations pour obtenir une formule directe de la vitesse en fonction du couple : \(\omega_c = \frac{U}{K} - \frac{R}{K^2}\tau_c\). On reconnaît l'équation d'une droite de la forme \(y = b + ax\).
Schéma (Avant les calculs)
Point de Fonctionnement en Charge
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la f.c.e.m. en charge \(E_c\) :
2. Calcul de la vitesse en charge \(\omega_c\) :
Schéma (Après les calculs)
Point de Fonctionnement en Charge
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Comme prévu, la vitesse en charge (160 rad/s) est inférieure à la vitesse à vide (240 rad/s). L'application d'un couple de charge a fait chuter la vitesse du moteur de 80 rad/s. La différence de tension (4 V) est "perdue" dans la résistance de l'induit sous forme de chaleur (effet Joule).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous d'utiliser le courant en charge \(I_c\) et non le courant de démarrage \(I_d\) dans ce calcul. Le courant de démarrage n'est pertinent qu'à l'instant \(t=0\), alors que nous calculons ici un point de fonctionnement en régime permanent.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La vitesse en charge est toujours inférieure à la vitesse à vide.
- Le calcul de la vitesse en charge nécessite de connaître le courant consommé, qui dépend lui-même du couple.
- La séquence de calcul est : \(\tau_c \rightarrow I_c \rightarrow E_c \rightarrow \omega_c\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La modulation de largeur d'impulsion (PWM - Pulse Width Modulation) est la technique la plus courante pour contrôler la vitesse d'un moteur DC. Au lieu de faire varier la tension continue, on envoie une tension fixe (ex: 12V) par impulsions très rapides. En faisant varier la largeur des impulsions (le "rapport cyclique"), on fait varier la tension moyenne vue par le moteur, ce qui permet de contrôler sa vitesse de manière très efficace et avec peu de pertes d'énergie.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le couple de charge était de 0.15 Nm, quelle serait la vitesse en charge (en rad/s) ?
Outil Interactif : Simulateur de Moteur DC
Modifiez la tension d'alimentation et le couple de charge pour observer l'impact sur le point de fonctionnement du moteur.
Paramètres d'Entrée
Point de Fonctionnement
Le Saviez-Vous ?
Le premier moteur électrique fonctionnel a été inventé par Michael Faraday en 1821. Il s'agissait d'une simple démonstration du principe de rotation homopolaire : un fil suspendu plongeant dans un bain de mercure entourant un aimant se mettait à tourner en continu lorsqu'un courant le parcourait, démontrant pour la première fois la conversion d'énergie électrique en mouvement circulaire.
Foire Aux Questions (FAQ)
Comment peut-on inverser le sens de rotation d'un moteur DC ?
Pour un moteur à aimants permanents, il suffit d'inverser la polarité de la tension d'alimentation \(U\). En inversant le sens du courant, on inverse le sens de la force de Laplace sur les conducteurs du rotor, et donc le sens du couple moteur.
Qu'est-ce que le "rendement" d'un moteur ?
Le rendement (\(\eta\)) est le rapport entre la puissance mécanique utile fournie par le moteur (\(P_m = \tau_c \cdot \omega_c\)) et la puissance électrique totale qu'il consomme (\(P_{\text{elec}} = U \cdot I_c\)). La différence entre les deux est la puissance perdue, principalement sous forme de chaleur dans la résistance de l'induit (pertes Joule) et par les frottements mécaniques.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Le courant de démarrage d'un moteur DC ne dépend...
2. Si on augmente le couple de charge appliqué au moteur, sa vitesse de rotation...
- Force Contre-Électromotrice (f.c.e.m.)
- Tension générée par la rotation du moteur, qui s'oppose à la tension d'alimentation. Elle est proportionnelle à la vitesse de rotation.
- Induit
- Partie tournante du moteur (le rotor) qui contient les bobinages de fil de cuivre où le courant circule.
- Couple Moteur
- L'effort de rotation généré par le moteur. Il est proportionnel au courant consommé et est mesuré en Newton-mètres (Nm).
D’autres exercices d’electromagnétisme:
0 commentaires