Théorie des Perturbations : Correction d'Énergie au Premier Ordre
Contexte : L'art de l'approximation en mécanique quantique.
En mécanique quantique, très peu de systèmes physiques peuvent être résolus de manière exacte. Le plus souvent, les physiciens sont confrontés à des problèmes trop complexes. La théorie des perturbationsEnsemble de méthodes mathématiques utilisées pour trouver une solution approchée à un problème qui ne peut être résolu exactement, en partant de la solution exacte d'un problème connexe plus simple. est l'un des outils les plus puissants pour contourner cette difficulté. L'idée est de partir d'un système simple et soluble (le système "non perturbé") et d'y ajouter un petit terme correctif (la "perturbation") pour se rapprocher du système réel. Cet exercice vous guidera dans le calcul de la correction la plus simple : la correction d'énergie au premier ordre pour une particule dans un puits de potentiel infiniModèle fondamental en mécanique quantique décrivant une particule confinée dans une région de l'espace d'où elle ne peut s'échapper. C'est l'un des rares problèmes à admettre des solutions exactes et simples..
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des postulats de la mécanique quantique. Nous allons utiliser les états propresLes états stationnaires d'un système quantique, solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps. Chaque état propre est associé à une énergie bien définie (valeur propre). connus d'un système simple pour calculer comment ses niveaux d'énergie sont modifiés par une petite perturbation. C'est une démarche fondamentale pour comprendre des phénomènes comme l'effet Stark (atomes dans un champ électrique) ou l'effet Zeeman (atomes dans un champ magnétique).
Objectifs Pédagogiques
- Rappeler les énergies et les fonctions d'ondeObjet mathématique qui décrit l'état quantique d'un système. Le carré de son module représente la densité de probabilité de trouver la particule en un point donné. d'une particule dans un puits infini.
- Appliquer la formule générale de la correction d'énergie au premier ordre.
- Calculer des éléments de matriceEn mécanique quantique, une quantité de la forme ⟨ψ_a|Ô|ψ_b⟩, qui représente "l'effet" de l'opérateur Ô sur l'état ψ_b, vu depuis l'état ψ_a. La correction d'énergie est un élément de matrice diagonal. de l'hamiltonien de perturbation.
- Interpréter physiquement le résultat, notamment l'importance des symétries et des nœuds de la fonction d'onde.
Données de l'étude
Schéma du Puits de Potentiel Perturbé
Questions à traiter
- Rappeler les expressions des niveaux d'énergie non perturbés \(E_n^{(0)}\) et des fonctions d'onde normalisées \(\psi_n^{(0)}(x)\) pour ce système.
- Calculer la correction d'énergie au premier ordre, \(E_1^{(1)}\), pour l'état fondamental (\(n=1\)).
- Calculer la correction d'énergie au premier ordre, \(E_2^{(1)}\), pour le premier état excité (\(n=2\)).
- Interpréter physiquement les résultats. En particulier, pourquoi la correction \(E_2^{(1)}\) est-elle nulle ?
Les bases de la Théorie des Perturbations
Avant la correction, revoyons la formule clé de cet exercice.
Correction d'Énergie au Premier Ordre :
Soit un système décrit par un Hamiltonien \(H_0\) dont on connaît les états propres \(|\psi_n^{(0)}\rangle\) et les énergies propres \(E_n^{(0)}\). Si on ajoute une petite perturbation \(W\), le nouvel Hamiltonien est \(H = H_0 + W\). La théorie des perturbations nous dit que la correction au premier ordre sur l'énergie du n-ième niveau est donnée par la valeur moyenne de la perturbation dans l'état non perturbé :
En notation intégrale pour un problème à une dimension, cela s'écrit :
Cette formule est le point de départ de tout notre calcul.
Correction : Théorie des Perturbations : Correction d'Énergie au Premier Ordre
Question 1 : États non perturbés du puits infini
Principe (le concept physique)
Le puits de potentiel infini est le modèle le plus simple de confinement quantique. Il décrit une particule qui peut se mouvoir librement dans un intervalle \([0, L]\) mais ne peut absolument pas en sortir. La résolution de l'équation de Schrödinger pour ce potentiel mène à une quantification des énergies : seules certaines valeurs discrètes sont permises, correspondant à des états stationnaires décrits par des fonctions d'onde sinusoïdales.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La condition de confinement, \(V(0)=V(L)=\infty\), impose que la fonction d'onde \(\psi(x)\) s'annule aux bords. En résolvant \(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi\) avec les conditions \(\psi(0)=\psi(L)=0\), on trouve que seules les solutions de la forme \(\sin(k_n x)\) avec \(k_n L = n\pi\) sont possibles. L'énergie cinétique est alors directement liée à \(k_n\), d'où la quantification en \(n^2\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Visualisez les fonctions d'onde comme les modes de vibration d'une corde de guitare fixée à ses deux extrémités. L'état fondamental (\(n=1\)) est la vibration la plus simple (un seul ventre). Le premier état excité (\(n=2\)) a un nœud au milieu, et ainsi de suite. L'énergie plus élevée des états excités correspond à une "oscillation" plus rapide de la fonction d'onde.
Normes (la référence réglementaire)
Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour ce problème fondamental. Cependant, il constitue la "norme" pédagogique de base sur laquelle s'appuient tous les cours de mécanique quantique pour introduire la quantification et les états propres.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Les solutions de l'équation de Schrödinger \(H_0 \psi = E \psi\) pour le puits infini sont bien connues :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose un puits unidimensionnel avec des parois infiniment hautes et parfaitement verticales. La particule a une masse \(m\) constante.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Les paramètres du système non perturbé sont la masse \(m\) et la largeur du puits \(L\).
Astuces(Pour aller plus vite)
Retenez que pour un puits de largeur \(L\), la "longueur d'onde" associée à l'état \(n\) est \(\lambda_n = 2L/n\). En utilisant la relation de de Broglie \(p = h/\lambda\), on retrouve facilement que l'énergie \(E=p^2/2m\) est proportionnelle à \(n^2/L^2\).
Schéma (Avant les calculs)
Niveaux d'Énergie et Fonctions d'Onde
Calcul(s) (l'application numérique)
Cette question est un rappel de cours. Il n'y a pas de calcul à effectuer, mais il faut énoncer les résultats connus pour les énergies propres \(E_n^{(0)}\) et les fonctions d'onde \(\psi_n^{(0)}(x)\).
Schéma (Après les calculs)
Résultats connus pour le Puits Infini
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'énergie est proportionnelle à \(n^2\), ce qui signifie que les niveaux d'énergie sont de plus en plus espacés. La fonction d'onde est une sinusoïde qui doit s'annuler aux bords du puits (\(x=0\) et \(x=L\)). Le nombre quantique \(n\) correspond au nombre de "ventres" de la fonction d'onde. Ces expressions pour \(E_n^{(0)}\) et \(\psi_n^{(0)}(x)\) constituent notre point de départ "exact" avant d'introduire la perturbation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier que le nombre quantique \(n\) commence à 1, et non à 0. Un état \(n=0\) correspondrait à \(\psi(x)=0\) partout, c'est-à-dire une absence de particule. L'énergie la plus basse, \(E_1^{(0)}\), est non nulle ; c'est l'énergie du point zéro, une conséquence directe du principe d'incertitude d'Heisenberg.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'énergie dans un puits infini est quantifiée et dépend de \(n^2\).
- La fonction d'onde est une sinusoïde nulle aux bords.
- \(n=1\) est l'état fondamental, l'énergie la plus basse possible (qui n'est pas nulle !).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le modèle de la particule dans une boîte est utilisé comme une première approximation grossière pour comprendre le spectre d'absorption de certaines molécules organiques conjuguées. Les électrons \(\pi\) sont considérés comme se déplaçant librement le long de la chaîne carbonée, ce qui permet d'estimer la couleur de la molécule.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel est le rapport d'énergie \(E_3^{(0)} / E_1^{(0)}\) ?
Question 2 : Correction d'énergie pour l'état fondamental (n=1)
Principe (le concept physique)
Nous allons appliquer la formule générale \(E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | W | \psi_n^{(0)} \rangle\). Physiquement, cela revient à "sonder" la perturbation \(W(x)\) avec la densité de probabilité de présence de la particule, \(|\psi_n^{(0)}(x)|^2\). Si la particule a une forte probabilité de se trouver là où la perturbation est grande, la correction d'énergie sera importante. Si elle a une faible probabilité, la correction sera faible.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'expression \(\langle \psi | W | \psi \rangle\) est appelée la "valeur moyenne" ou "l'espérance quantique" de l'observable \(W\) dans l'état \(\psi\). Elle représente la moyenne de toutes les valeurs que l'on pourrait mesurer pour la quantité physique \(W\) si on disposait d'un grand nombre de systèmes identiques, tous dans l'état \(\psi\). Ici, elle représente l'énergie potentielle additionnelle moyenne apportée par la perturbation.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que \(|\psi(x)|^2\) est la densité de population d'une ville le long d'une route et que \(W(x)\) est le prix d'un café à chaque point de cette route. L'intégrale \(\int |\psi|^2 W dx\) représente alors le prix moyen du café payé par l'ensemble des habitants. Si la perturbation (un café très cher) est là où il y a beaucoup de monde, le prix moyen augmente beaucoup.
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul est une application directe du formalisme de la mécanique quantique. Les "normes" sont les postulats de la théorie elle-même, notamment le postulat sur la mesure et la valeur moyenne des observables.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Nous devons calculer l'intégrale :
La propriété fondamentale de la distribution de Dirac est \(\int f(x)\delta(x-a)dx = f(a)\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la perturbation \(\alpha\) est suffisamment faible pour que la correction au premier ordre soit une bonne approximation et que la fonction d'onde n'est pas trop modifiée.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Fonction d'onde : \(\psi_1^{(0)}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\)
- Perturbation : \(W(x) = \alpha \delta(x - L/2)\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Avec une perturbation en fonction de Dirac, il n'y a pas de véritable intégrale à calculer ! Il suffit d'évaluer le reste de l'expression à l'endroit où la fonction de Dirac est "piquée". C'est un raccourci de calcul extrêmement puissant.
Schéma (Avant les calculs)
Superposition de la Densité de Probabilité et de la Perturbation
Calcul(s) (l'application numérique)
En utilisant la propriété de la fonction de Dirac, l'intégrale se simplifie en évaluant l'expression \(\alpha \, |\psi_1^{(0)}(x)|^2\) au point \(x = L/2\).
Schéma (Après les calculs)
Effet de la Perturbation sur l'État Fondamental
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La correction d'énergie est positive (\(\alpha > 0\)), ce qui signifie que le niveau d'énergie de l'état fondamental est relevé par la perturbation. C'est logique : ajouter un potentiel "répulsif" (une barrière, même infiniment fine) augmente l'énergie du système. La correction est maximale car la probabilité de présence de la particule dans l'état fondamental est maximale au centre du puits, là où se trouve la perturbation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention aux unités. Si \(\alpha\) est en Joules·mètres, \(L\) doit être en mètres pour que \(E_1^{(1)}\) soit en Joules. De plus, ne pas oublier le carré sur la fonction d'onde dans la formule, une erreur fréquente est de n'utiliser que \(\psi\) au lieu de \(|\psi|^2\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La correction d'énergie est la valeur moyenne de la perturbation.
- Pour une perturbation \(\delta\), le calcul se réduit à une simple évaluation.
- L'état fondamental est le plus sensible à une perturbation au centre du puits.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La fonction Delta de Dirac a été introduite en physique par le physicien théoricien Paul Dirac. Bien qu'elle ne soit pas une fonction au sens mathématique strict, elle est devenue un outil indispensable en physique et en ingénierie pour modéliser des phénomènes très localisés comme une charge ponctuelle, une impulsion instantanée ou une masse ponctuelle.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la largeur du puits \(L\) est doublée, comment la correction \(E_1^{(1)}\) est-elle modifiée ?
Question 3 : Correction d'énergie pour le premier état excité (n=2)
Principe (le concept physique)
La méthode est rigoureusement la même que pour l'état fondamental. Nous allons sonder la même perturbation \(\delta(x-L/2)\), mais cette fois avec la densité de probabilité du premier état excité, \(|\psi_2^{(0)}(x)|^2\). La forme de cette densité de probabilité sera cruciale pour le résultat.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les fonctions d'onde du puits de potentiel présentent une parité bien définie par rapport au centre du puits (si on le centre en 0). Les fonctions pour \(n\) impair sont paires (\(\psi(-x) = \psi(x)\)), tandis que celles pour \(n\) pair sont impaires (\(\psi(-x) = -\psi(x)\)). La perturbation \(\delta(x-L/2)\) est paire. L'intégrale d'un produit de trois fonctions est non nulle seulement si le produit total est pair. Ici pour n=2 : (impaire) x (paire) x (impaire) = paire. L'intégrale peut donc être non nulle. Cependant, la position spécifique de la perturbation sur un nœud rend le calcul plus simple.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Avant tout calcul, ayez le réflexe de visualiser la situation. Dessinez la fonction d'onde \(\psi_2^{(0)}(x)\). Vous verrez immédiatement qu'elle s'annule en \(x=L/2\). Puisque la perturbation n'existe qu'à ce point précis, l'interaction entre les deux doit être nulle. La physique précède et guide le calcul mathématique.
Normes (la référence réglementaire)
L'analyse des symétries est une "norme" de pensée fondamentale en physique. Elle permet souvent de simplifier drastiquement les problèmes ou même de prédire des résultats (comme des corrections nulles ou des règles de sélection) sans effectuer le moindre calcul intégral.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Nous calculons l'intégrale :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont identiques à celles de la question précédente. On reste dans le cadre de la théorie des perturbations au premier ordre.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Fonction d'onde : \(\psi_2^{(0)}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\)
- Perturbation : \(W(x) = \alpha \delta(x - L/2)\)
Astuces(Pour aller plus vite)
La présence d'un nœud de la fonction d'onde à l'endroit de la perturbation en Dirac est un "joker". Le résultat de l'intégrale est immédiatement zéro, sans même avoir besoin d'écrire la valeur de la fonction d'onde.
Schéma (Avant les calculs)
Superposition de |ψ₂|² et de la Perturbation
Calcul(s) (l'application numérique)
Comme précédemment, on évalue l'expression \(\alpha \, |\psi_2^{(0)}(x)|^2\) au point \(x = L/2\).
Schéma (Après les calculs)
Effet de la Perturbation sur le Premier État Excité
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La correction d'énergie est nulle. L'énergie du premier état excité n'est pas modifiée (au premier ordre) par cette perturbation. Cela s'explique par le fait que la fonction d'onde \(\psi_2^{(0)}(x)\) possède un nœud (un point où elle s'annule) exactement au centre du puits. La probabilité de trouver la particule à l'endroit de la perturbation est donc nulle. La particule, dans cet état, "ne voit pas" la perturbation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur serait de conclure que la perturbation n'a absolument aucun effet sur l'état n=2. Elle n'a pas d'effet sur l'énergie au premier ordre. Cependant, elle aura un effet sur l'énergie au second ordre (\(E_2^{(2)}\)), et elle modifiera également la fonction d'onde (correction \(\psi_2^{(1)}\)). Le "0" obtenu ici est le premier terme d'un développement en série, pas nécessairement la fin de l'histoire.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Une particule "ne voit pas" une perturbation située sur un nœud de sa fonction d'onde.
- La symétrie est un outil puissant pour prédire des corrections nulles.
- La correction au premier ordre peut être nulle même si la perturbation a un effet à des ordres supérieurs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Ce principe est crucial dans les "règles de sélection" en spectroscopie. Une transition entre deux états atomiques par absorption de lumière n'est possible que si un certain "élément de matrice" (très similaire à notre intégrale) est non nul. Les symétries des états de départ et d'arrivée déterminent si la transition est "permise" ou "interdite".
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est la valeur de \(\psi_3^{(0)}(L/2)\) ? (sans le facteur de normalisation)
Question 4 : Interprétation physique des résultats
Principe (le concept physique)
La comparaison des deux résultats (\(E_1^{(1)} > 0\) et \(E_2^{(1)} = 0\)) illustre un principe fondamental : l'effet d'une perturbation dépend crucialement de la "forme" de l'état quantique considéré. La correction d'énergie est directement liée à la probabilité de présence de la particule à l'endroit de la perturbation.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En termes plus formels, l'opérateur de perturbation \(W\) ne "couple" que des états de symétrie appropriée. Ici, la perturbation est une fonction paire par rapport au centre du puits. L'élément de matrice \(\langle \psi_m | W | \psi_n \rangle\) ne sera non nul que si les états \(\psi_m\) et \(\psi_n\) ont la même parité. Notre calcul de \(E_n^{(1)} = \langle \psi_n | W | \psi_n \rangle\) est un cas particulier où \(m=n\). Comme \(\psi_n\) a toujours la même parité qu'elle-même, cet élément de matrice n'est jamais nul pour des raisons de symétrie globale, mais il peut l'être pour des raisons de symétrie locale (un nœud).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le message à retenir est que les particules quantiques ne sont pas de petites billes localisées. Elles sont décrites par des ondes de probabilité qui occupent tout l'espace disponible. L'interaction d'une particule avec son environnement dépend de la forme globale de cette onde. C'est pourquoi un électron dans un état 'p' d'un atome (qui a un nœud au noyau) interagit différemment avec le noyau qu'un électron dans un état 's' (qui a un maximum de probabilité au noyau).
Normes (la référence réglementaire)
L'interprétation physique des résultats mathématiques est la "norme" de travail de tout physicien. Un calcul sans interprétation n'a que peu de valeur. Il faut toujours se demander : "Qu'est-ce que ce résultat m'apprend sur le comportement du système ? Est-il conforme à mon intuition physique ?"
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule clé est la définition de la correction, qui relie l'énergie à la densité de probabilité :
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'interprétation repose sur l'hypothèse fondamentale de Born, qui postule que \(|\psi(x)|^2\) est la densité de probabilité de trouver la particule en \(x\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Les données pertinentes sont les résultats que nous avons calculés : \(E_1^{(1)} = 2\alpha/L\) et \(E_2^{(1)} = 0\).
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour rapidement estimer l'effet d'une perturbation, superposez mentalement le graphe du potentiel de perturbation et le graphe de la densité de probabilité de l'état qui vous intéresse. Le signe et l'ordre de grandeur de la correction d'énergie peuvent souvent être estimés simplement par inspection visuelle.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Densités de Probabilité
Calcul(s) (l'application numérique)
Cette question est purement interprétative. Le calcul a déjà été fait. Pour l'état \(n=1\), la densité de probabilité \(|\psi_1^{(0)}(L/2)|^2 = 2/L\) est maximale, donc la correction \(E_1^{(1)}\) est positive et maximale. Pour l'état \(n=2\), la densité de probabilité \(|\psi_2^{(0)}(L/2)|^2 = 0\) est nulle, donc la correction \(E_2^{(1)}\) est nulle.
Schéma (Après les calculs)
Décalage des Niveaux d'Énergie
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Pour l'état fondamental (\(n=1\)), la densité de probabilité \(|\psi_1^{(0)}(x)|^2\) est maximale au centre du puits. La particule interagit donc très fortement avec la perturbation, ce qui résulte en une augmentation significative de son énergie.
Pour le premier état excité (\(n=2\)), la densité de probabilité \(|\psi_2^{(0)}(x)|^2\) est nulle au centre du puits. La particule n'a aucune chance de se trouver à l'endroit de la perturbation. Par conséquent, la perturbation n'a aucun effet sur son énergie (au premier ordre). C'est une manifestation directe de la structure nodale des fonctions d'onde.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas généraliser ce résultat ! Si la perturbation n'était pas exactement au centre (par exemple en \(L/4\)), la fonction d'onde \(\psi_2^{(0)}\) ne serait plus nulle à cet endroit et la correction \(E_2^{(1)}\) serait non nulle. La symétrie du problème (perturbation au centre, états propres symétriques ou antisymétriques par rapport au centre) est la clé de ce résultat particulier.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La correction d'énergie \(E_n^{(1)}\) mesure la sensibilité de l'état \(n\) à la perturbation.
- Elle est proportionnelle à la probabilité de trouver la particule dans la région perturbée.
- Si une perturbation est placée sur un nœud d'une fonction d'onde, la correction d'énergie au premier ordre pour cet état est nulle.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En conception de dispositifs à semi-conducteurs, comme les puits quantiques utilisés dans les lasers, les ingénieurs jouent sur ces effets. En plaçant des impuretés (des perturbations) à des endroits stratégiques, ils peuvent modifier sélectivement les niveaux d'énergie pour ajuster la longueur d'onde du laser émis.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Sans faire le calcul, que vaut la correction d'énergie \(E_4^{(1)}\) pour l'état \(n=4\) ? (Indice : dessinez la fonction d'onde \(\psi_4^{(0)}(x)\)).
Outil Interactif : Niveaux d'Énergie Perturbés
Observez comment les 10 premiers niveaux d'énergie sont affectés par la perturbation. Modifiez l'intensité \(\alpha\) de la perturbation pour voir l'ampleur des décalages.
Paramètres d'Entrée
Analyse des Niveaux
Le Saviez-Vous ?
La théorie des perturbations a été développée par Erwin Schrödinger lui-même en 1926, dans le même élan créatif que son célèbre article introduisant son équation. Il a réalisé que son équation ne pouvait être résolue exactement que pour de très rares cas (comme l'atome d'hydrogène) et a immédiatement développé cette méthode d'approximation pour pouvoir traiter des systèmes plus complexes, jetant ainsi les bases de la chimie quantique et de la physique de la matière condensée.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quand est-ce que la théorie des perturbations au premier ordre n'est pas suffisante ?
Elle n'est pas suffisante dans deux cas principaux. Premièrement, si la perturbation est "trop forte", l'approximation n'est plus valide. La règle générale est que la correction d'énergie \(E_n^{(1)}\) doit être bien plus petite que l'écart d'énergie entre les niveaux non perturbés, \(|E_n^{(0)} - E_{m}^{(0)}|\). Deuxièmement, comme dans notre exercice pour n=2, si la correction au premier ordre est nulle par symétrie, il est souvent nécessaire de calculer la correction au second ordre (\(E_n^{(2)}\)) pour voir le premier effet non nul de la perturbation.
Qu'est-ce que la "dégénérescence" en théorie des perturbations ?
On parle de dégénérescence lorsque plusieurs états quantiques distincts partagent la même énergie. Si le niveau d'énergie que l'on perturbe est dégénéré, la formule simple \(E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | W | \psi_n^{(0)} \rangle\) n'est plus applicable. Il faut alors utiliser une version plus complexe de la théorie, appelée "théorie des perturbations pour les états dégénérés", qui implique de diagonaliser une matrice de la perturbation dans le sous-espace des états dégénérés.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour quels niveaux quantiques \(n\) la correction d'énergie \(E_n^{(1)}\) sera-t-elle nulle avec la perturbation \(W = \alpha \delta(x - L/2)\) ?
2. Si la perturbation était déplacée en \(x=L/4\), la correction \(E_2^{(1)}\) pour l'état n=2 serait...
- Hamiltonien (H)
- Opérateur mathématique qui représente l'énergie totale d'un système quantique. Ses valeurs propres sont les niveaux d'énergie possibles du système.
- Fonction d'onde (ψ)
- Solution de l'équation de Schrödinger qui contient toute l'information sur un système quantique. Le carré de son module, \(|\psi|^2\), est la densité de probabilité de présence de la particule.
- Distribution de Dirac (δ)
- Objet mathématique (une "fonction généralisée") qui est nul partout sauf en un point où il est infini, tout en ayant une intégrale égale à 1. Il modélise une action très intense et très localisée.
D’autres exercices de physique quantique :
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