Détente de Joule-Gay-Lussac

Principe :

La pression initiale \(P_1\) du gaz parfait dans le compartiment A peut être calculée en utilisant l'équation d'état des gaz parfaits.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(n = 1 \, \text{mol}\)
• \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
• \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
• \(V_A = 2 \, \text{L} = 2 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\)

Calcul :

Note : \(1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\)

Principe :

La détente de Joule-Gay-Lussac se déroule dans une enceinte rigide et calorifugée. Le gaz se détend dans le vide.

Justification :

• Calorifugée : L'enceinte est isolée thermiquement, donc il n'y a pas d'échange de chaleur avec l'extérieur : \(Q = 0\). La transformation est donc adiabatique.
• Détente dans le vide : Le gaz se détend contre une pression extérieure nulle (vide dans le compartiment B). Le travail des forces de pression extérieures est donc nul : \(W_{ext} = -\int P_{ext} dV = 0\). Comme l'enceinte est rigide, le travail total échangé avec l'extérieur est nul : \(W = 0\).
• Irréversible : La détente est brutale et non quasi-statique. Le système n'est pas à l'équilibre au cours de la transformation. C'est une transformation irréversible.

La transformation n'est ni isochore (le volume du gaz change), ni isobare (la pression du gaz change), ni nécessairement isotherme à ce stade de l'analyse (cela dépendra des propriétés du gaz).

Principe :

La variation d'énergie interne \(\Delta U\) d'un système thermodynamique est donnée par le premier principe de la thermodynamique : \(\Delta U = Q + W\).

Formule(s) utilisée(s) :

Application :

Comme démontré à la question précédente :

• \(Q = 0\) (transformation adiabatique)
• \(W = 0\) (détente dans le vide)

Calcul :

Principe :

Pour un gaz parfait, l'énergie interne \(U\) est une fonction unique de la température \(T\). Plus précisément, pour \(n\) moles d'un gaz parfait, la variation d'énergie interne est donnée par \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\), où \(C_{v,m}\) est la capacité thermique molaire à volume constant.

Puisque \(\Delta U = 0\) et que le gaz est parfait, cela a une implication directe sur sa température.

Formule(s) utilisée(s) :

Application et Calcul :

Nous avons trouvé que \(\Delta U = 0\). Donc :

Puisque \(n \neq 0\) et \(C_{v,m} \neq 0\), il faut nécessairement que :

Avec \(T_1 = 300 \, \text{K}\) :

Commentaire :

Pour un gaz parfait subissant une détente de Joule-Gay-Lussac, la température reste constante. Ce résultat est une caractéristique importante des gaz parfaits (première loi de Joule) : leur énergie interne ne dépend que de la température. Si \(\Delta U = 0\), alors \(\Delta T = 0\).

Pour un gaz réel, on observerait généralement une légère variation de température (refroidissement pour la plupart des gaz à température ambiante, ou réchauffement dans certaines conditions) car son énergie interne dépend aussi du volume (forces intermoléculaires).

Principe :

L'enthalpie \(H\) est définie par \(H = U + PV\). Pour un gaz parfait, l'enthalpie est également une fonction unique de la température. La variation d'enthalpie \(\Delta H\) pour \(n\) moles d'un gaz parfait est donnée par \(\Delta H = n C_{p,m} \Delta T\), où \(C_{p,m}\) est la capacité thermique molaire à pression constante.

Formule(s) utilisée(s) :

Alternativement, puisque \(H = U + PV\) et pour un gaz parfait \(PV = nRT\):

Application et Calcul :

Nous avons trouvé que \(T_2 = T_1\), donc \(\Delta T = T_2 - T_1 = 0\).

En utilisant l'autre approche : \(\Delta U = 0\) et \(\Delta(nRT) = nR(T_2 - T_1) = nR \times 0 = 0\).

Principe :

L'entropie \(S\) est une fonction d'état. Sa variation \(\Delta S\) pour une transformation irréversible peut être calculée en imaginant un chemin réversible fictif reliant les mêmes états initial et final. Pour un gaz parfait, une expression générale de la variation d'entropie est :

Ou, en utilisant \(C_{p,m}\):

Puisque la transformation est isotherme pour ce gaz parfait (\(T_1 = T_2\)), le premier terme s'annule.

Données spécifiques :

• \(n = 1 \, \text{mol}\)
• \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
• \(T_1 = T_2 = 300 \, \text{K}\) (donc \(\ln(T_2/T_1) = \ln(1) = 0\))
• Volume initial : \(V_1 = V_A = 2 \, \text{L}\)
• Volume final : \(V_2 = V_A + V_B = 2 \, \text{L} + 8 \, \text{L} = 10 \, \text{L}\)

Calcul :

En utilisant la formule avec les volumes :

Conclusion sur la réversibilité :

Nous avons calculé \(\Delta S_{système} \approx 13.38 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1}\).

Pour une transformation adiabatique (\(Q=0\)), l'entropie échangée avec l'extérieur est nulle : \(\Delta S_{échangée} = Q/T_{ext} = 0\).

L'entropie créée lors de la transformation est \(\Delta S_{créée} = \Delta S_{système} - \Delta S_{échangée} = \Delta S_{système}\).

Puisque \(\Delta S_{système} > 0\), alors \(\Delta S_{créée} > 0\). Une entropie créée positive est caractéristique d'une transformation irréversible, ce qui confirme notre analyse initiale.